Baixe Física Moderma para o ITA e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Material Elaborado por Caio Guimarães Física Moderna: Análise da Aplicação da Teoria nos Exercícios do ITA Capítulo 1: Como tudo Começou Catástrofe do Ultravioleta e Efeito Fotoelétrico Nota do Autor A idéia desse artigo é apresentar os conceitos (geralmente incomuns nos cursos de ensino médio) do inicio da teoria de Física Moderna. Não nos preocuparemos muito com a demonstração rigorosa de todos os resultados que aqui discutiremos, até porque muitos deles se baseiam em teorias avançadas demais (e desnecessárias no momento) para os alunos do ensino médio (ou que querem prestar o vestibular do ITA). Lembrando aos que prestarão ITA, esse assunto como é cobrado no vestibular, não chega a ser de complexidade tão alta, porém são coisas que o aluno precisa ter tido contato para entender. Sugerimos que o leitor leia com atenção a teoria, e pratique todos os exercícios que estão aqui apresentados. Bons estudos! Introdução A Física é um ramo da ciência que se preza pela sua consistência de sua teoria. Uma Lei da física é algo que deve ser seguida independentemente da situação em que esteja sendo analisada. No início do século XIX a física parecia já ter mapeado grande parte dos fenômenos naturais com suas leis. Até o momento grandes nomes já haviam sido consagrados com suas teorias explicando fenômenos como o movimento de corpos (mecânica newtoniana e gravitação), movimento da luz (óptica), máquinas térmicas, eletromagnetismo... Foi exatamente então que começaram surgir furos na teoria clássica; furos esses que só seriam explicados com teorias completamente inovadoras e bem diferentes das tendências estudadas até então. Apresentaremos agora alguns fenômenos (esses furos) que foram analisados, e que consequentemente deram inicio à Mecânica Quântica. A Catástrofe do Ultravioleta A teoria clássica da física apresentava um dos seus primeiros furos ao se estudar a emissão de um corpo negro. Corpo negro é qualquer corpo que absorve totalmente a energia emitida sobre ele. Um corpo negro ao ser incidido com certa energia emitirá energia na forma de energia eletromagnética (produzindo luz e calor). Naturalmente, deveria existir uma lei matemática que nos dá a dependência da intensidade emitida com a temperatura e a freqüência emitida. Os conhecimentos da Física Clássica nos davam a seguinte expressão (elaborada pelo trabalho de Rayleigh-Jeans e Boltzmann): 4 8 kT I O gráfico da intensidade em função do comprimento de onda é decrescente com o aumento do comprimento de onda. Isso gera o absurdo em questão. Para freqüências no espectro do ultravioleta teríamos uma intensidade tendendo a infinito, o que viola a lei da conservação de energia. Os gráficos experimentais mostravam que a função deveria ter um máximo global, o que não acontecia até então com as teorias conhecidas. O Efeito Fotoelétrico O efeito fotoelétrico foi primeiramente estudado por Hertz, e posteriormente Einstein. O fenômeno consiste do seguinte. A partir de uma placa metálica, incide-se uma freqüência crescente de energia. A partir de certo instante, elétrons são arrancados dessa placa. Isso pode ser evidenciado com o seguinte experimento de Einstein. Um circuito é montado com duas placas metálicas. Ao aumentarmos a freqüência de luz incidida sobre a placa metálica, o amperímetro indica passagem de corrente. Tal fenômeno ajudará nas teses (que veremos mais a frente) da dualidade partícula onda. Por enquanto fique registrado o caráter não usual de que apenas a partir de certa freqüência houve emissão de elétrons, não importando a intensidade de energia emitida. Por quê? Exercício contextualizado Sabemos que a temperatura média da superfície da estrela polar é de 8300K. Qual das opções propostas pode melhor representar o comprimento de onda relativo a radiação espectral máximc? (a) 3500 Angstrons (b) 2100 Angstrons (c) 4500 Angstrons (d) 1500 Angstrons (e) 5000 Angstrons Solução: A expressão que nos dá o comprimento de onda para o pico de intensidade para uma dada temperatura é a Lei de Deslocamento de Wien. Para obter a expressão, como foi visto anteriormente, bastaria derivar a expressão de Planck para I em função de lambda e T. O resultado nos diz que: 10 max max 0,00289 0,00289 3500.10 8300I I m T Resposta: Item a Voltando ao problema: Efeito Fotoelétrico O fato que causava problema na compreensão de a intensidade da luz incidida não ser fator no arrancamento dos elétrons podia ser agora explicada pela teoria de Planck. A energia emitida é meramente função da freqüência. Discutimos que para que o elétron seja libertado é preciso que receba uma freqüência mínima, chamada de freqüência de corte. Recebendo uma energia correspondente a uma freqüência maior ou igual à de corte há liberação de elétrons (obrigatoriamente deverá ser no mínimo o valor da de corte). Incidindo uma energia h.f numa placa metálica (maior que a energia de corte) parte da energia será usada para superar o corte e o restante dará energia para os elétrons (a menos que haja uma força dissipativa, essa energia será transformada em cinética). A conservação de energia, ou equação de Einstein para o efeito fotoelétrico é dada por: 0 max.hf h f E OBS: A energia de corte (h. fo) é também denominada de função trabalho. Sendo essa energia máxima transferida totalmente à energia cinética, temos: 0 1 . ² . 2 mV h f f Sabendo que a energia de corte pode ser dada em função de um potencial (pela definição física Energia = Potencial x Carga), temos: 0 0 E V e Segue que: 0 0. h V f f e Isto é, o potencial de corte é uma reta em função da freqüência de luz incidente. Um experimento de laboratório interessante é determinar a constante de planck utilizando dados experimentais (é só lembrar que o coeficiente angular da reta resultante será h/e). É importante então concluir que o potencial de corte depende do material porém seu coeficiente angular h/e é constante para todos os materiais. Podemos inclusive fazer uma análise de como é o comportamento do gráfico da corrente de elétrons liberados em função da voltagem estabelecida. Para uma dada intensidade de luz incidida temos um aumento de corrente com o aumento da voltagem. Notar que basta aplicar uma ddp com a voltagem de corte negativa para zerar a corrente. Tal ddp que zera a corrente é a mesma independente da intensidade do feixe incidido, porém a corrente de saturação não é (veja a figura acima). Exercício contextualizado resolvido Sobre um circuito de efeito fotoelétrico são incididos radiações de duas freqüências diferentes, de comprimentos 1 e 2 (maiores que a frequência de corte do material). Os elétrons liberados por cada incidência têm velocidades V1 e V2 tais que a razão entre V1 e V2 é dada por k. Determine o valor da função trabalho do material usado em função de k, h, c (velocidade da luz), 1 e 2 . Solução: Da conservação de energia (lembrando que a função trabalho é constante para um dado material): 1 1 0 2 2 0 1 . ² 2 1 . ² 2 mV hf E mV hf E Dividindo as duas equações: 2 1 01 2 2 0 k hf EV V hf E Lembrando que c = .f , segue: 0 1 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 1 2 . ² ² ² 1 ² 1 ² . . . 1 ² 1 ² hc E hc k hc k k E E hc E k k E h c h c k E k This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only. Material Elaborado por Caio Guimarães Física Moderna: Análise da Aplicação da Teoria nos Exercícios do ITA Capítulo 2: Postulados de Bohr Rydberg e Balmer No final dos século XIX , início do século XX a física mostrava ter mudanças em sua teoria com a recente formada teoria de Planck a respeito da quantização de emissão/absorção de energia. Enquanto isso, cientistas como Rydberg e Balmer estudavam o fenômeno da emissão de luz na passagem de um elétron de uma camada de seu átomo para o outro. O estudo ainda era muito limitado, mas Rydberg conseguiu encontrar uma expressão matemática que relacionasse o comprimento de onda da freqüência emitida com o número dos níveis do qual o elétron estaria saltando. O trabalho de Balmer foi semelhante porém menos geral que o de Rydberg (incorporando apenas alguns níveis). Vale ressaltar que o trabalho de Rydberg foi encontrar uma função de dados encontrados experimentalmente, e daí a complexidade de tal trabalho. 2 2 1 1 1 .H i f R n n Onde HR é a constante de Rydberg, obtida experimentalmente. Modelo de Niels Bohr O cientista dinamarquês Niels Bohr, no inicio do século XX se propôs a explicar a tese de Rydberg, criando um modelo atomístico diferente do que já se conhecia na época. Os experimentos até então, realizados por Rutherford mostravam que o átomo consistia de uma nuvem eletricamente carregada em torno de um centro, denso, e positivamente carregado chamado núcleo. Tal proposta de Rutherford leva ao mundo da física propor o modelo planetário para os elétrons, onde o núcleo estaria agindo como o Sol e os elétrons em volta do núcleo como planetas em órbita. Importante! O modelo planetário tinha uma falha muito aparente, talvez uma das questões mais interessantes a surgir na física moderna. Naquela época, os trabalhos de eletromagnetismo desenvolvidos pelo modelo de Maxwell explicavam toda e qualquer manifestação eletromagnética conhecida. Uma das leis de Maxwell dizia que uma carga acelerada, obrigatoriamente, emite radiação eletromagnética. Ora, um elétron em volta de um núcleo está acelerado (aceleração centrípeta)! Se esse elétron emitir onda eletromagnética, ele estará perdendo energia, e com isso sua órbita deveria diminuir gradativamente até chegar ao núcleo, gerando uma colisão catastrófica. Sabemos que isso não é verdade, e não poderia ser, uma vez que a estabilidade da matéria é algo concreto. Uma esperança de explicação Experimentos da época de descarga elétrica em tubos de gás a baixa pressão mostravam que a emissão de luz ocorre (a emissão eletromagnética), mas apenas em freqüências discretas. Baseado nisso e nas recém descobertas de Max Planck de quantização, no início do século Bohr propôs um modelo que explicaria tais impasses. O modelo de Bohr foi apresentado em 1913 por meio de postulados (regras não demonstradas matematicamente, mas que explicariam o comportamento observado). A seguir, estão os postulados de Bohr. - O elétron se move numa órbita circular em torno de um núcleo sob ação da força elétrica como força centrípeta. - As órbitas do elétron são restritas, isto é, nem todas órbitas são permitidas em qualquer situação. A restrição é que o momento angular do elétron é necessariamente quantizado: . . 2 h mv r n n h Do postulado de Bohr que diz . 2 h mvr n , é possível expressarmos a energia total do elétron como sendo uma função de n (ou seja, do nível em que se encontra o elétron), tornando-se possível então determinar a energia de cada nível. Vimos que: 0 . ² 1 . 8 Z e E r Como sabemos que a energia do nível é inversamente proporcional a r , podemos expressar a energia como função do número n do nível, também. 4 2 0 . ². 1 1 ( ) . 9. ². ² ² A m Z e E n E h n n Substituindo os valores das constantes para o caso do Hidrogênio teremos: 1 ( ) 13,6. ² E n eV n Esse resultado se aproxima do resultado de Balmer e Rydberg, uma vez que a energia emitida num salto será dada pela diferença das energias dos níveis em questão: 2 2 2 2 1 1 1 1 . . . f i i f E A A E A n n n n Lembrando do resultado de Planck que . . hc E h f , chegamos matematicamente (a partir do modelo de Bohr) à função proposta por Balmer e Rydberg numa abrangência ainda maior. 2 2 1 1 1 . i f R n n Exercício contextualizado Resolvido Determine, no átomo de Hidrogênio de Bohr, o valor do menor comprimento de onda possível emitida por um fóton num salto de um elétron de um nível para seu adjacente. Solução: A partir da expressão da diferença de energia entre 2 níveis adjacentes: 22 2 2 2 1 1 1 1 13,6. 13,6. ² 1 1 ² 2 1 13,6. 13,6. ².( 1)²² i f E n n n n n n n n nn n A expressão da diferença de energia em módulo em função de n é estritamente decrescente pois: 4 4 ( 1) ( 1) 4 4 2 ².( 1)² 2 1 ².2( 1). 13,6. .( 1) 2 ².( 1)² 2( 1).(2 1). .(2 1) 13,6. 0 .( 1) n n n n n n nd E dn n n n n n n n n n n Portanto a diferença de energia é máxima no salto do nível 2 pro nível 1. Queremos a diferença máxima para que a freqüência seja máxima e com isso, o comprimento de onda seja mínimo. max 1 1 3 13,6. 13,6. 10,2 4 1 4 E eV Segue que: max min 10,2 c h E eV min 10,2 hc unidades decomprimento Exercícios Propostos: 1. (ITA 99) A tabela abaixo mostra os níveis de energia de um átomo do elemento X que se encontra no estado gasoso. 0 1 2 3 0 7,0 13,0 17,4 21,4 E E eV E eV E eV ionização eV Dentro as possibilidades abaixo, a energia que poderia restar a um elétron com energia de 15eV, após colidir com um átomo de X seria de: a) 0 eV b) 4,4 eV c) 16,0 eV d) 2,0 eV e) 14,0 eV 2. (ITA 2006) O átomo de hidrogênio no modelo de Boh é constituído de um elétron de carga e e massa m, que se move em órbitas circulares de raio r em torno do próton, sob a influência da atração coulombiana. Sendo a o raio de Bohr, determine o período orbital para o nível n, envolvendo a permissividade do vácuo. 3. Suponha que o átomo de hidrogênio emita energia quando seu elétron sofre uma transição entre os estados inicial n=4, e final n=1. Qual é a energia do fóton emitido? Qual é a freqüência da radiação emitida (Constante de Planck = 6,63 .10-34 J.s) 4. (ITA 2002) Sabendo que um fóton de energia 10,19 eV excitou o átomo de hidrogênio do estado fundamental (n=1) até o estado p, qual deve ser o valor de p? Justifique. 5. (ITA 2003) Utilizando o modelo de Bohr para o átomo, calcule o número aproximado de revoluções efetuadas por um elétron no primeiro estado excitado do átomo de hidrogênio, se o tempo de vida do elétron, nesse estado excitado, é de 10-8 s. São dados: o raio da órbita do estado fundamental é de 5,3 . 10-11 m e a velocidade do elétron nessa órbita é de 2,2.106 m/s 6. Determine a expressão para a velocidade do elétron na órbita em função do numero n do nível. Material Elaborado por Caio Guimarães Física Moderna: Análise da Aplicação da Teoria nos Exercícios do ITA Capítulo 3: A Dualidade Partícula Onda & Hipótese de De Broglie ; Princípio de Incerteza Introdução A resposta à dúvida do caráter ora ondulatório e ora de partícula das emissões eletromagnética pôde ser analisada com o experimento do efeito fotoelétrico de Einstein. O choque de uma emissão eletromagnética contra uma placa arrancava elétrons da mesma, evidenciando sob certas condições (como vimos, a freqüência para o fenômeno é restrita) o caráter de partícula por parte de ondas. Estudaremos a seguir um segundo fenômeno que corroborou a tese de Einstein. Efeito Compton O fenômeno descoberto pelo físico Arthur Holly Compton em 1923, chamado Efeito Compton, analisa a diminuição de energia de um fóton quando esse colide com matéria. A diminuição de energia ocorre com a mudança no comprimento de onda (aumenta). Tal mudança nos evidencia que a luz, por exemplo, não tem caráter puramente ondulatório (assim como Einstein já havia evidenciado em seu experimento do efeito fotoelétrico). Usaremos um resultado do Eletromagnetismo de que radiações eletromagnéticas carregam momento linear (p) : . Eletromagnetismo Planck hf E p c hf p c A situação descrita no efeito Compton está ilustrada ao lado. Deduziremos agora uma expressão para o aumento no comprimento de onda do fóton após o choque. É importante deixar claro que algumas passagens da dedução parecerão complicadas a primeira vista, pois utilizaremos resultados da Física relativística. Pedimos que mesmo que o conceito ainda não esteja completamente claro ainda (veremos mais isso mais a frente nesse curso de Física Moderna), que o leitor acredite nos resultados que estaremos usando. Tais resultados são: Energia associada à matéria (energia de repouso): ²E mc Energia associada a matéria com velocidade: ² ² . ²E mc p c Voltando ao problema, considerando uma colisão entre o fóton e um elétron em repouso (veja figura), temos da conservação de energia: 1 2 2 1 2 2 1 2 ² ² ² . ² ² ² ² . ² ² ² ² ² ² repouso foton velocidade foton particula inicial particula final e e e E E E E mc hf mc p c hf mc hf hf mc p c mc hf hf mc p c Na direção da colisão, não há forças externas, portanto podemos conservar também a quantidade de movimento naquela direção e na direção perpendicular a mesma.: .cos .cos . . foton foton eletron inicial final final foton eletron foton inicial final final foton foton inicial final p p p p p p p sen p sen Lembrando que 1 2foton foton inicial final f f p h p h c c Temos então o sistema: 1 2 1 2 .cos .cos . . e hf hf p c c hf hf sen sen c c Resolvendo e eliminando o parâmetro (Fica como exercício para o leitor), chegamos à seguinte expressão para pe: 1 2 1 2² ² ² ² ². . .cos² 2 ² ² ²e h f h f h f f p c c c Da conservação de energia já tínhamos obtido que: 2 1 2² ² ²² ²e mc hf hf mc p c Logo: 2 1 2 1 2 1 2 ² ² ² ² ² ² ² ². . .cos ² 2 ² ² ² ²e mc hf hf mc h f h f h f f p c c c c Arrumando a igualdade e lembrando que c= f (fica como exercício), chegamos à expressão conhecida do efeito Compton: 2 1 1 cos h mc Exercício Proposto 1. Calcule a modificação percentual do comprimento de onda no espalhamento de Compton a 180o a. de um raio X de 80 keV; b. de um raio g oriundo da aniquilação de um par elétron-pósitron em repouso. Exercício Contextualizado Resolvido 1. Um elétron em movimento manifesta uma onda de matéria com comprimento de onda de De Broglie igual a 10-10 m . Sendo a massa do elétron igual a 9,1. 10-31 kg, sua carga é 1,6.10-19 C e a constante de Planck igual a 6,63 . 10-34 J.s, qual a DDP necessária para acelera-lo do repouso até a velocidade necessária? Solução: Da Hipótese de De Broglie, segue: 34 6 31 10 6,63.10 7,28.10 9,1.10 .10 h h mv smv m Utilizando o Teorema do Trabalho e Energia Cinética, desconsiderando o efeito relativístico do elétron: 31 12 19 1 . . ² 0 2 . ² 9,1.10 .7,28².10 150,7 2 2.1,6.10 campo cinetica elétrico W E U q m v m v U V q A DDP necessária é de aproximadamente 150,7 V. Princípio de Incerteza de Heisenberg Conforme foi dito na introdução desse artigo, muitos dos conceitos aqui apresentados carecem de demonstrações rigorosas. Isso é compreensível se formos pensar que a teoria que estamos estudando levou a criação da Mecânica Quântica, um ramo da física que envolve muita teoria e matemática pesada (fugindo então dos propósitos desse curso). É importante que entendamos os conceitos extraídos dos resultados desses cientistas, e sabermos como aplica-los (principalmente nos exercícios do ITA, como o curso se propõe a fazer). Werner Heisenberg é um cientista alemão que se propôs a mostrar, ou exprimir matematicamente, sua tese de que a posição e velocidade do elétron em torno do núcleo do átomo são impossíveis de precisar simultaneamente. Para medir experimentalmente a posição do elétron precisamos de instrumentos de medidas (um dos métodos conhecidos na época consistia de incidir um tipo de radiação sobre o mesmo). Os instrumentos de medida, por sua vez possuem incertezas de medição. Quanto menor a incerteza, mais precisa é a localização do elétron. Com base na base da teoria da mecânica quântica já desenvolvida, Heisenberg enunciou que o produto da incerteza da posição pela incerteza do momento linear de um elétron não pode ser inferior (em ordem de grandeza) à metade da constante de Planck reduzida. Ou seja: . 2 4 h h p x A conclusão é que o elétron não está bem definido na sua órbita do átomo. Quanto mais preciso soubermos sua posição, menos preciso para nós será sua velocidade, tornando assim impossível descrever o elétron em cada instante. Esse enunciado é conhecido como Princípio da Incerteza de Heisenberg. Exercícios Propostos de Revisão 1. Um arma dispara um projétil de 20 g a uma velocidade de 500 m/s . Determine o comprimento de onda de De Broglie associado ao projétil e explique por que o caráter ondulatório não é aparente nessa situação. 2. Um microscópio eletrônico pode resolver estruturas de pelo menos 10 vezes o comprimento de onda de De Broglie do elétron. Qual é a menor estrutura que pode ser resolvida num microscópio eletrônico, usando elétrons com energia cinética de 10000 eV ? 3. (ITA 2003) Marque verdadeiro ou falso. I No efeito fotoelétrico, quando um metal é iluminado por um feixe de luz monocromática a quantidade de elétrons emitidos pelo metal é diretamente proporcional à intensidade do feixe incidente, independente da freqüência da luz. II As órbitas permitidas ao elétron em um átomos são aquelas em que o momento angular é nh/2 para n=1,3,5... III Os aspectos corpuscular e ondulatório são necessários para a descrição completa de um sistema quântico. IV A natureza complementar do mundo quântico é expressa, no formalismo da Mecânica Quântica, pelo princípio de incerteza de Heisenberg. 4. (ITA 2004) Um elétron é acelerado a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial U, adquirindo uma quantidade de movimento p. Sabe- se que, quando o elétron está em movimento, sua energia relativística é dada por 0( ²)² ² ²E m c p c em que mo é a massa de repouso do elétron e c é a velocidade da luz no vácuo. Obtenha o comprimento de onda de De Broglie do elétron em função de U e das constantes fundamentais pertinentes. OBS do autor: Essa questão é muito parecida com o exercício contextualizado resolvido. 5. (ITA 2005) Um átomo de hidrogênio inicialmente em repouso emite um fóton numa transição do estado de energia n para o estado fundamental. Em seguida, o átomo atinge um elétron em repouso que com ele se liga, assim permanecendo após a colisão. Determine literalmente a velocidade do sistema átomo + elétron após a colisão. Dados: a energia do átomo de hidrogênio no estado n é 0 ²n E E n ; o momento linear do fóton é hf/c , e a energia deste é hf, em que h é a constante de Planck, f é a freqüência do fóton e c é a velocidade da luz. 6. (ITA 2005) Num experimento, foi de 5,0.10³m/s a velocidade de um elétron, medida com precisão de 0,003%. Calcule a incerteza na determinação da posição do elétron, sendo conhecidos: massa do elétron 9,1.10-31 kg e constante de Planck reduzida 341,1.10 .h J s Gabarito: 1) 6,63.10-35 m 2) 5.10-10 m 3) F-F-V-V 4) 5) 6) A incerteza mínima é de, aproximadamente, 0,04 % Material Elaborado por Caio Guimarães e Eurico Nicacio Física Moderna: Análise da Aplicação da Teoria nos Exercícios do ITA Capítulo 4: Relatividade de Einstein Introdução Histórica Com a publicação Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento , Albert Einstein em 1905 enunciou sua teoria restrita da Relatividade. Nele é explicado que a teoria até então seguida pelos físicos, proposta por Galileu, que explicavam os conceitos de velocidade e movimento de um corpo de acordo com um dado sistema referencial não valeriam mais para o eletromagnetismo (que havia sido fortemente enriquecido pelo modelo de Maxwell). Estudaremos agora no que consiste essa teoria. O porquê da proposta De acordo com os recentes estudos do eletromagnetismo, observar um fenômeno eletromagnético depende do referencial do observador. Ou seja, dependendo da velocidade com que um observador se aproxima da luz ele pode observar um campo magnético ou um campo elétrico. Isso vai contraria as teorias da relatividade de Galileu que dizia que um fenômeno mantinha sua natureza independente do referencial. Tal teoria era válida para a física Newtoniana, porém precisaria ser reavaliada para incluir os conceitos do eletromagnetismo. A nova idéia de Simultaneidade Antes de enunciarmos os dois postulados que regem a teoria da relatividade, vamos descrever um fenômeno que nos dará uma noção da diferença do conceito de Galileu para o conceito novo proposto por Einstein. Imagine um trem passando por uma estação com velocidade constante. No momento exato em que o trem está passando, duas pessoas (uma em cada extremidade do trem) enviam um sinal luminoso para uma pessoa localizada no centro do trem. Para alguém fora do trem o sinal deve chegar ao centro simultaneamente, é claro. Agora imagine o ponto de vista dessa pessoa que está fora do trem. Para ela o observador do centro do trem está se aproximando na direção do ponto de partida de um dos raios luminosos, e se afastando do ponto de partida de outro raio luminoso. Obviamente, então, para o referencial inercial o sinal luminoso de um chegará ao observador central antes do outro. Isso é um absurdo de acordo com a teoria da relatividade de Galileu. Para Galileu o tempo é único independente do referencial (o tempo passa independentemente para todos, simultaneamente). Então, como dois raios luminosos, emitidos ao mesmo tempo, percorrendo a mesma distância, teriam tempos de chegadas diferentes? A Transformação de Lorentz Dilatação do Tempo Em 1913, Einstein publicou um texto explicando como poderiam ser aplicadas transformações conhecidas como transformações de Lorentz, para descrever a diferença na simultaneidade de eventos de acordo com o seu sistema referencial. Imagine dois espelhos paralelos, separados de uma distância d, no qual um deles manda um raio luminoso retilíneo para o outro. O espelho receptor passa a se mover com velocidade v para um lado. Vamos considerar essa situação em dois referenciais distintos. (i) Para um referencial fixo ao espelho receptor (Receptor II). Nesse caso o sinal continua sendo vertical. O tempo de percurso nesse referencial é ta que: 2.t c d (ii) Para um referencial fixo ao espelho emissor (Referencial I) Nesse caso o sinal é oblíquo em relação a vertical. Para o observador fixo ao espelho em movimento, o sinal ainda será vertical. De tal forma que podemos tirar a seguinte relação de Pitágoras. 1 1( . )² ² ( )²t c d vt Das duas observações, eliminando o parâmetro d: 1 2 1 2 2 1 ². ² ² ². ² ² ² ² ² . 1 ² t c v t c c v t t c v t t c Devido a esse resultado, comumente encontramos em materiais didáticos a expressão fator de Lorentz , que é dado por: 1 ² 1 ² v c Ou seja, para um referencial com velocidade v em relação ao outro referencial, o tempo é dividido pelo fator de Lorentz. Nesse caso to = t2 é o tempo de travessia do raio sem o movimento de referencial. Mostraremos com mais detalhes mais a frente que a velocidade de um corpo não pode exceder a velocidade da luz, o que está coerente com nossa expressão uma vez que o radicando deverá ser positivo. Vale notar que para quanto maior for a relação v²/c² mais influente fica o fator de Lorentz (que é sempre um número maior que 1). É comum ouvir-se falar de um objeto como sendo relativístico ou não-relativístico. O objeto será relativístico quanto mais próximo de 1 for a razão v/c. No caso da velocidade entre dois referenciais, temos que o tempo é dilatado para o observador do referencial I. O observador I vê o tempo dilatado em relação ao tempo medido no referencial II. A esse fenômeno denominamos Dilatação do Tempo. O tempo passa mais lentamente para o referencial em movimento 1 0t t Vamos ver que, com a teoria de Einstein, o fato evidenciado torna-se possível. A velocidade em que viaja o múon é de aproximadamente 0,9952c. O tempo de vida do múon, considerando a dilatação do tempo (para o referencial terra é): 2 2 2, 2 2,2 22,5 1 0,9952 1 vida s s t s v c A distância que o múon pode percorrer a essa velocidade antes de desintegrar é: 0,9952. . 6,712vidas c t m Como a distância permitida é maior que a distância que o múon teria que percorrer para chegar ao lugar onde foi observado (devido à contração de espaço), a observação torna-se possível. Paradoxo dos Gêmeos Vamos analisar a seguinte situação. Dois gêmeos idênticos A e B são tais que A passará por uma viajem numa nave espacial sob uma velocidade muito próxima da velocidade da luz, enquanto que B permanecerá parado na Terra. Sabemos que para o gêmeo B, que está na Terra, a nave está se movendo, então, segundo a teoria que vimos, ele afirma que o tempo para o seu irmão gêmeo dentro da nave está passando mais lentamente. Enquanto isso, o irmão A vê a Terra se afastar dele com velocidade perto de c, e afirma que o tempo passa mais de vagar para o seu irmão. Qual dos dois está correto? Na verdade, com o problema proposto, ambas as afirmações estão erradas. Segundo o postulado de Einstein, não é possível comparar o passar do tempo entre duas pessoas com referenciais movendo-se um em relação ao outro. O correto, sim, seria dizer que o tempo passa mais devagar para B quando medido no referencial de A, e vice-versa. Porém, se analisarmos um problema segundo o referencial inercial Terra, existe uma resposta para qual dos dois irmãos está mais envelhecido? . O gêmeo viajante A mudou de referencial inercial ao sair da Terra, passando a um referencial com velocidade constante próxima a da luz, e mais tarde, ao retornar voltou ao referencial da Terra. Ou seja, como a comparação final é feita no referencial da Terra, conclui-se que B está mais envelhecido que A, devido à dilatação do seu tempo em relação ao referencial. Massa de Repouso Podemos definir massa pela segunda Lei de newton, como sendo: F m dv dt Note que aumentando a força indefinidamente estaríamos aumentando indefinidamente sua velocidade. Ora, mas sabemos que a velocidade tem um limite (velocidade da luz no vácuo c). Portanto é de se esperar que haja uma alteração no valor da massa para velocidades próximas da luz. A partir da 2ª lei de Newton e da Lei da conservação do Impulso é possível demonstrar que: 0 0 ² 1 ² m m m v c Onde mo é a massa do objeto em repouso. Não incluímos a prova nesse artigo, por ser de complexidade matemática excessiva, fugindo ao interesse do artigo. Energia Relativística Junto com seu trabalho matemático sobre relatividade, Einstein mostrou que a expressão relativística precisa para a energia de uma massa de repouso mo e momento linear p é: Devemos então notar a consistência, para os casos: - Objeto de massa de repouso não-nula, com velocidade nula: 00 . ²p E m c (Famosa Relação de Einstein para energia de repouso) - Objeto de massa de repouso nula: 0 0m E pc (Consistência com o resultado do eletromagnetismo) Método Mnemônico de lembrar a expressão da energia O Triângulo ao lado resume as expressões de energia: 0 0 ²cinetica cineticaE E E E m c E Onde, E é a energia relativística total e Eo é a energia de repouso. Do teorema de Pitágoras: 0 0 ² ² ² ² ² ( )² E E pc E m c pc 2 0. ² ²E m c pc