Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

Equacoes Diferenciais

Lenimar N Andrade UFPB

19 de agosto de 2008

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Equacoes diferenciais – definicoes basicas

Equacao diferencial e uma equacao onde aparecem uma funcao e suas derivadas. Por exemplo, f ′(x) + f (x) = cosx e y′′ − 4y′ + 5y + 3 = x3 + 3x sao exemplos de equacoes diferenciais.

Uma solucao (exata) para uma equacao diferencial e uma funcao que torna a equacao uma sentenca verdadeira para quaisquer valores das variaveis quando a funcao e substituıda na equacao. Por exemplo, y = e3x e uma solucao da equacao y′ − 3y = 0 porque, ao substituirmos y na equacao, obtemos 0 = 0 apos a simplificacao.

Uma equacao diferencial e denominada ordinaria se a funcao envolvida possuir apenas uma variavel. Se a funcao tiver varias variaveis, entao a equacao chama-se parcial.

A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da derivada mais alta que aparecer na equacao. Por exemplo, y′′′ − y′′ + 5y = x5 + 2x − 1 e uma equacao diferencial ordinaria de terceira ordem.

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Definicoes basicas

Um problema de valor inicial (PVI) e uma equacao diferencial mais algumas condicoes iniciais do tipo y0 = y(x0), y1 = y′(x0), etc. A quantidade de condicoes iniciais fornecidas depende da ordem da equacao.

Em geral, a determinacao da solucao exata de uma equacao diferencial envolve o calculo de uma ou varias primitivas. Por isso, na maioria dos casos, o calculo da solucao exata e difıcil ou impossıvel de ser realizado utilizando-se apenas as conhecidas funcoes elementares (trigonometricas, logarıtmicas, hiperbolicas, polinomiais, etc.). Ate mesmo equacoes de aparencia muito simples podem ser impossıveis de se resolver de forma exata. Por exemplo, ninguem consegue determinar a solucao exata de y′ = x2 + y2 usando so as funcoes elementares conhecidas – note que e ate difıcil imaginar um problema de aparencia tao simples!

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Definicoes basicas

A resolucao de equacoes diferenciais e um problema importantıssimo porque possui aplicacoes a diversas areas do conhecimento tais como Matematica Aplicada, Fısica, Engenharia e Computacao Grafica.

Devido a impossibilidade de se determinar a solucao exata na maioria dos casos, desenvolveram-se tecnicas de determinacao de solucao numerica aproximada da equacao.

A resolucao numerica aproximada nao envolve calculo de primitivas. Envolve apenas uma sequencia de passos onde sao usados operacoes aritmeticas basicas e calculo de valores de funcoes. Neste caso, nao se determina uma funcao, mas uma tabela de valores de pontos que devem estar muito proximos do grafico da funcao que seria a solucao da equacao.

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Uma solucao aproximada e uma tabela de valores que inicia com

(x0,y0), proximos do grafico da funcao que seria a solucao da equacao.

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Metodo de Euler

O metodo mais simples para se encontrar pontos (xn,yn) proximos do grafico da solucao do PVI y′ = f (x,y), y(x0) = y0 e o metodo de Euler. A obtencao da formula que define esse metodo e bem simples e consiste apenas em utilizar a definicao de derivada da funcao y(x) no ponto em que x = xn:

Portanto, se h for proximo de 0, temos a aproximacao

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Metodo de Euler

Lembrando que a equacao em estudo e y′ = f (x,y), temos que a aproximacao citada anteriormente e o mesmo que

Observando a aproximacao anterior, definimos: xn+1 = xn + h, yn = y(xn) e

Dessa forma, a aplicacao do metodo de Euler para o citado PVI, consiste em, a partir do ponto inicial (x0,y0) dado, ir calculando varios pontos (xn,yn), utilizando as formulas xn+1 = xn + h e yn+1 = yn + hf (xn,yn).

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Exemplo 1

Solucao

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Exemplo 1

Observacoes

O valor de h deve ser escolhido proximo de 0. Quanto mais proximo de 0, melhor sera a precisao dos valores obtidos. No entanto, quanto menor o h, maior o tempo gasto na resolucao.

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Exemplo 1

Por uma questao meramente organizacional, os dados obtidos podem ser dispostos em forma de tabela:

n xn yn f (xn, yn)

A utilidade dos valores da coluna f (xn,yn) e so na hora de calcular a linha seguinte.

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Exemplo 1

Observacao

O problema deste exemplo e muito simples e, por causa disso, sua solucao exata pode ser calculada usando-se uma tecnica conveniente:

Usando essa funcao, podemos calcular os pontos que realmente estao distancia entre cada um desses pontos e os (xn,yn) da tabela fornecem os erros nos calculos de cada ponto.

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Metodo de Runge-Kutta

O metodo mais famoso para resolucao numerica de equacoes diferenciais foi elaborado pelos matematicos alemaes Carl David Runge (1856–1927) e Martin Wilhelm Kutta (1867–1944).

O metodo elaborado por essa dupla no inıcio do seculo X e um metodo simples e bastante eficiente.

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Metodo de Runge-Kutta

O metodo de Runge-Kutta e um aperfeicoamento do metodo de Euler e consiste em somar ao yn nao apenas um valor de k1, mas uma media de varios valores de k1, k2, k3, · · · .

Nao vamos apresentar aqui uma demonstracao completa do metodo. Os casos mais simples podem ser encontrados demonstrados em livros como a referencia bibliografica [1].

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Metodo de Runge-Kutta de 2a ordem (RK2)

Para cada valor inteiro de n, a partir de n = 0, calculam-se:

Repete-se essa sequencia de calculos varias vezes, ate chegar no valor de yn desejado.

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Metodo de Runge-Kutta de 3a ordem (RK3)

Para cada valor inteiro de n, a partir de n = 0, calculam-se:

Repete-se essa sequencia de calculos varias vezes, ate chegar no valor de yn desejado.

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Metodo de Runge-Kutta de 4a ordem (RK4)

Para cada valor inteiro de n, a partir de n = 0, calculam-se:

Repete-se essa sequencia de calculos varias vezes, ate chegar no valor de yn desejado.

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Metodo de Runge-Kutta de 4a ordem

Exemplo 2

metodo de Runge-Kutta de 4a ordem com h = 0,1, calcule y(1).

Solucao Na equacao dada, isolamos o valor de y′ e obtemos f (x,y) :

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Metodo de Runge-Kutta de 4a ordem

Exemplo 2 – continuacao

Paramos aı porque no enunciado e perguntado qual e o valor de y(1) = y(x5).

Organizamos todos os calculos realizados em formato de tabela, mostrada a seguir.

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Metodo de Runge-Kutta de 4a ordem

Exemplo 2 – continuacao

Nao ha necessidade de calcular os k1,k2, k3,k4 da ultima linha porque esses valores so teriam utilidade se a tabela fosse ser continuada, calculando-se o y6.

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Observacao

Neste caso, usando-se uma tecnica adequada de resolucao de equacoes diferenciais, e possıvel encontrar a solucao exata

Isso mostra que o metodo RK4, como sempre, forneceu um valor bastante preciso.

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Referencia Bibliografica

[1] Calculo Numerico - Aspectos Teoricos e Computacionais,

Marcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lucia da Rocha Lopes, Pearson Education, 2a edicao, 1996.

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Observacoes finais

Todos os textos desta disciplina (incluindo as provas) foram elaborados utilizando-se o LATEX, um programa gratuito que produz textos com formulas matematicas de altıssima qualidade grafica.

LATEX pode ser utilizado tambem em formulas de Quımica Organica, partituras musicais, partidas de xadrez, textos em outros idiomas como chines, japones, arabe, hebraico, russo, grego, etc. Pode ser copiado gratuitamente a partir do site w.miktex.org

Em particular, este texto foi produzido utilizando-se a classe Beamer do LATEX – parece o PowerPoint da Microsoft, mas tem uma qualidade bem superior.

Os programas utilizados na elaboracao dos exemplos foram o GeoGebra (que pode ser copiado de w.geogebra.at) e o Maple (programa comercial canadense).

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