teoria dos numeros

teoria dos numeros

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Texto de aula Professor Rudolf R. Maier

Versao atualizada 2005

Estas notas sao o resultado da experiencia nas aulas do curso do mesmo tıtulo, proferido regularmente pelo autor neste Departamento de Matematica.

Durante o curso e na elaboracao destas notas fizemos livre uso e seguimos com modificacoes e complementacoes a linha do livro de David M. Burton

Revised Printing

University of New Hampshire

Allyn and Bacon, Inc.

§ 1 Resultados Preliminares1

Indice

O princıpio da inducao O teorema binomial

As formulas para Sn(m) = n∑ k=1 km

Os numeros triangulares Algumas observacoes sobre logica elementar Diferenca de dois quadrados

§ 2 Teoria de divisibilidade nos numeros inteiros21

O algoritmo geral de divisao Maximo divisor comum de dois numeros Numeros relativamente primos O algorıtmo Euclidiano O mınimo multiplo comum Equacoes Diofantinas

§ 3 Numeros primos e sua distribuicao34

O teorema fundamental da aritmetica A quantidade dos divisores de um numero n A decomposicao primaria de n! Estimativas sobre quantidades de primos A funcao pi dos numeros primos Decomposicao de numeros e o crivo do Eratostenes A conjetura de Goldbach Progressoes aritmeticas e primos Polinomios e primos

§ 4 Triplos Pitagoricos e a conjetura de Fermat53

Triplos Pitagoricos A conjetura de Fermat

e de Mersenne61

§ 5 Numeros deficientes-abundantes-perfeitos

Numeros deficientes, abundantes e perfeitos O teorema de Euclides/Euler Numeros de Mersenne

§ 6 A teoria das congruencias69

Divisibilidade e congruencias Congruencias lineares Congruencias simultaneas e o teorema do resto chines

§ 7 Os Teoremas de Fermat e de Wilson78

O pequeno teorema de Fermat O teorema de Wilson

reciprocidade quadratica de Euler/Gauss85

§ 8 Congruencias quadraticas e a lei da

Restos quadraticos Um Lema de Euler O sımbolo de Legendre Um Lema de Gauss

O sımbolo de Legendre ( 2

A lei da reciprocidade quadratica Mais alguns sımbolos de Legendre especiais

soma de quadrados105

§ 9 Representacao de inteiros como

Soma de dois quadrados Soma de tres quadrados Soma de quatro quadrados (o teorema de Lagrange)

§ 10 A funcao ϕ de Euler114

Restos relativamente primos e a funcao ϕ O teorema de Euler Mais algumas propriedades da funcao ϕ

§ 1 Raızes primitivas123

Ordens modulo n e raızes primitivas Existencia de raızes primitivas.

TEORIA DOS NUMEROS Notas de aula - Versao atualizada 2005 Prof. Rudolf R. Maier

§ 1 Resultados Preliminares

A Teoria dos Numeros, a mais pura disciplina dentro da mais pura das Ciencias - da Matematica - tem uma longa historia, originando-se nas antigas civilizacoes da humanidade. Listamos primeiro alguns nomes famosos de matematicos que voltarao a aparecer no contexto do nosso curso:

Dedicaremos os nossos estudos durante este curso as propriedades dos numeros inteiros racionais. Lidaremos entao com o conjunto

, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 , . . .

dos numeros inteiros e seus subconjuntos, particularmente com os subconjuntos

0, 1, 2, 3 ,}
1, 2, 3 ,

dos numeros inteiros nao-negativos e dos numeros naturais.

Iniciamos, lembrando exemplos de algumas sequencias importantes no conjunto IN dos numeros naturais:

1.1 Exemplo. Sequencias importantes em IN sao: A sequencia

= (1, 2, 3 ,, n ,...) de todos os numeros naturais,
= (2, 4, 6 ,, 2n ,...) dos numeros naturais pares,
= (1, 3, 5 ,, 2n−1 ,...) dos numeros ımpares,d) (

n∈IN

1, 4, 9 ,, n2 , . . .)

=( dos quadrados perfeitos, n∈IN

1, 8, 27 ,, n3 , . . .)

=( dos cubos perfeitos,

= (2, 4, 8 ,, 2n , . . .) das potencias de 2
= (2, 3, 5 ,, pn ,...) dos numeros primos,

h) etc.

Temos duas operacoes internas em IN0 e tambem em Z a adicao + e a multi- plicacao · as quais queremos admitir sem mais explicacoes. A ordem natural em Z e dada por: ∀ n,m ∈ Z temos

Uma fundamantal propriedade do conjunto IN dos numeros naturais e:

O princıpio da inducao.

Todo conjunto nao vazio S de numeros naturais possui um elemento mınimo. Em sımbolos:

Deste princıpio segue a importante 1.2 Proposicao.

Seja T um conjunto de numeros naturais (i.e. T ⊆ IN) satisfazendo as propriedades:

b) Sempre se n ∈ T , entao tambem n+1 ∈ T. Entao T = IN e o conjunto de todos os numeros naturais.

Demonstracao: Suponhamos T 6= IN. Para o conjunto complementar S = IN \ T temos entao 6O 6= S ⊆ IN. Pelo princıpio da inducao existe m ∈ S tal que m ≤ n para todos os n ∈ S. Como 1 ∈ T pela propriedade a), temos 1 6∈ S, particularmente m > 1. Daı concluimos n = m−1 ∈ T. Pela propriedade b) temos porem m = n+1 ∈ T, de onde sai o absurdo m ∈ S ∩ T = 6O. Isto mostra que S 6= 6O e impossıvel. Temos que ter S = 6O e daı T = IN.

Proposicao 1.2 aplica-se para verificar a validade geral de formulas as quais envolvem numeros naturais, como mostra o seguinte

1.3 Exemplo. Para todos os numeros naturais n vale

1 + 3 + 5 ++ (2n−3) + (2n−1) = n2 (∗) .

Em palavras: A soma dos n primeiros numeros naturais ımpares e o n-esimo quadrado perfeito.

naturais para os quais a formula (∗) e verdadeira (o ”conjunto verdade” ou o ”conjunto de validade” de (∗)). Para mostrar que T = IN , so e preciso verificar a) e b) da Proposicao 1.2 para este T :

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