algebra 1

algebra 1

(Parte 1 de 9)

(Algebra Abstrata)

Texto de aula

Professor Rudolf R. Maier

Indice

Teoria Elementar dos Conjuntos pg.

§ I.0 Fundamentos1

Algumas observacoes sobre logica elementar Conceitos primitivos e conjuntos Igualdade entre conjuntos Subconjuntos Diferenca e complementar Reuniao e intersecao Uma propriedade fundamental do conjunto IN O conjunto das partes O teorema binomial O triangulo de Pascal

§ I.1 Produtos Cartesianos e Relacoes23

Produtos Cartesianos Relacoes Relacao inversa Composicao de relacoes Relacoes de equivalencia

§ I.2 Aplicacoes (funcoes)37

Definicao e exemplos Composicao de aplicacoes A caracterizacao das aplicacoes entre as relacoes Aplicacoes injetoras, sobrejetoras e bijetoras Conjuntos equipotentes A decomposicao canonica de uma aplicacao O axioma da escolha As ordens |Inj(m,n)| e |Sob(m,n)|

CAPITULO I Estruturas Algebricas

estruturas algebricas65

§ I.1 Definicoes das mais importantes

Composicoes internas Estruturas algebricas Propriedades especiais de estruturas Centralizador e centro Semigrupos e monoides Elementos regulares, inversıveis e grupos

e homomorfismos89

§ I.2 Subestruturas, estruturas quocientes

Subestruturas Subestrutura gerada por um subconjunto Relacoes de congruencia e estruturas quocientes Estruturas quocientes Homomorfismos e Isomorfismos O teorema geral do homomorfismo e estruturas simples Associatividade, comutatividade, identidades e inversos sob homomorfismos

§ I.3 Grupos110

Grupos Os grupos simetricos Subgrupos O grupo dos automorfismos de uma estrutura algebrica As relacoes de equivalencia modulo um subgrupo As relacoes de congruencia de um grupo e subgrupos normais Grupos quocientes e homomorfismos de grupos Imagens homomorficas abelianas de grupos Os grupos cıclicos

§ I.4 Aneis e Corpos130

Aneis e subaneis Homomorfismos e relacoes de congruencia num anel - ideais Aneis quocientes e ideais Propriedades especiais de aneis Ideais principais em aneis comutativos com identidade Aneis simples e Corpos Ideais primos e ideais maximais Elementos idempotentes

ALGEBRA I (Algebra Abstrata) Notas de aula

Prof. Rudolf R. Maier Versao atualizada 2005

CAPITULO I Teoria Elementar dos Conjuntos

§ I.0 Fundamentos

Algumas observacoes sobre logica elementar

I.0.2 Implicacao - condicao necessaria - condicao suficiente

Suponhamos, A e B sao ”assercoes” (ou ”propriedades”) - as quais podem ser verdadeiras ou falsas e cuja veracidade ou falsidade pode ser constatada de forma unica. Quando escrevemos queremos dizer que A implica em B , ou seja, sempre quando A for verdadeira, tambem B sera verdadeira. Outra maneira de dizer isto e:

(A validade de) A e condicao suficiente para (a validade de) B , ou B e condicao necessaria para A , ou A vale somente se B vale, ou B vale se A vale, ou ainda Se A , entao B .

E claro que A B

significam o mesmo quanto A =⇒ B . Vejamos exemplos:

Seja A a assercao: ”um certo numero natural n e multiplo de 4 ” (dependendo do n, isto pode ser verdadeiro ou falso), B a assercao: ”n e par ” .

Claramente temos neste caso A =⇒ B, pois sempre se n e multiplo de 4, concluimos que n e par. Assim, podemos dizer:

”n ser multiplo de 4” e condicao suficiente para ”n ser par ”.

”n ser par ” e condicao necessaria para ”n ser multiplo de 4 ”.

Um outro exemplo:

Seja A a assercao: ”esta chovendo ” (tambem isto pode ser verdadeiro ou falso aqui e agora), B a assercao: ”a praca esta molhada ”.

Tambem neste caso temos A =⇒ B, pois, se realmente esta chovendo, temos certeza que a praca esta molhada. Assim, podemos dizer: ”estar chovendo ” implica que ” a praca esta molhada ”

”estar chovendo ” e condicao suficiente para termos ”uma praca molhada ” ”uma praca molhada ” e condicao necessaria para ”estar chovendo ”

”esta chovendo ” somente se ” a praca esta molhada ”

”a praca esta molhada se esta chovendo ” se ”esta chovendo ”, entao ”a praca esta molhada ”

Exercıcio. Pensando-se num certo quadrangulo Q, facam o mesmo com as assercoes

E claro que a seta numa implicacao A =⇒ B nao pode ser simplesmente invertida: A e condicao suficiente para B significa que B e condicao necessaria para A , mas nao que B e condicao suficiente para A:

O fato de ”n ser par ” e condicao necessaria mas nao suficiente para ”n ser multiplo de 4 ”. O fato de ”n ser multiplo de 4 ” e condicao suficiente mas nao necessaria para ”n ser par ”: Tambem 6 e par sem ser multiplo de 4.

O fato de termos ”uma praca molhada ” e condicao necessaria mas nao suficiente para ”estar chovendo ”. O fato de ”estar chovendo ” e condicao suficiente mas nao necessaria para termos ”uma praca molhada ” : A praca pode estar molhada sem que esteja chovendo (por exemplo devido a uma operacao dos bombeiros).

Existem assercoes A e B que ambas implicam na outra, ou seja, as quais satisfazem simultaneamente

Nesta situacao temos entao que A e suficiente para B e tambem A e necessario para B . Dizemos que A e (condicao) necessario(a) e suficiente para B , ou tambem A vale se e somente se vale B .

Este fato indicamos por

Dizemos tambem que A e B sao assercoes equivalentes, ou ainda que A constitui uma propriedade caracterıstica para B (e vice versa).

Por exemplo:

Cada uma destas duas propriedades, as quais um numero n pode ter ou nao, e suficiente para a outra. Cada uma e necessaria para a outra. Cada uma e necessaria e suficiente para a outra. Cada uma vale se e somente se a outra vale.

Exercıcio. Pensar sobre as assercoes equivalentes, quando Q e um certo quadrangulo:

Se A e uma assercao, indicamos por A a assercao ”nao - A ”, a qual e verdadeira se e somente se A e falsa. Sejam A e B duas assercoes e suponha

O que acontece com esta implicacao se negarmos as duas assercoes ? A resposta e que devemos tambem inverter a seta da implicacao , ou seja, teremos

Em outras palavras: Se A e suficiente para B , entao B e suficiente para A.

Ou tambem: Se A e suficiente para B , entao A e necessario para B. Por exemplo, se negarmos a implicacao

(Parte 1 de 9)

Comentários