(Parte 1 de 2)

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 31, n. 2, 2307 (2009) w.sbfisica.org.br

Fısica e musica em consonancia (Physics and music in consonance)

Mario Goto1

Departamento de Fısica, Centro de Ciencias Exatas, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, PR, Brasil Recebido em 15/10/2008; Revisado em 1/2/2009; Aceito em 18/2/2009; Publicado em 26/6/2009

Sao examinadas as condicoes fısicas e matematicas da consonancia das ondas sonoras, estabelecendo-se uma relacao entre suas frequencias fundamentais. Mostra-se que e independente de fases e amplitudes relativas alem de ser valida para todas as suas componentes harmonicas, concluindo-se que esta relacao de consonancia assim definida depende apenas das frequencias fundamentais. Por fim, examina-se como esta relacao se manifesta na estrutura da escala musical. Palavras-chave: fısica e musica, relacao de consonancia, escala musical.

Physical and mathematical conditions of consonance of sound waves are examined and a relation between its fundamental frequencies is established. It is shown that it is independent from the relative phases and amplitudes as well as the validity for all the harmonic frequencies. At last, it is discussed how this consonance relation manifests itself in musical scales. Keywords: physics and music, consonance relations, musical scales.

1. Introducao

A musica e a arte dos sons e a consonancia das ondas sonoras e o que torna possıvel a musica na nossa vida. As regras para se combinar sons consonantes sao bem conhecidas, tendo sido estabelecidas ao longo da evolucao da musica. Os elementos basicos sao as notas e os intervalos entre as notas, cujas propriedades principais sao a frequencia (da nota) e a consonancia (do intervalo). Se duas notas musicais tem frequencias f1 e f2, respectivamente, o intervalo entre estas no- tas e definido pela relacao r = f2 : f1. Embora a frequencia seja uma grandeza contınua, a musica e com- posta por sons consonantes, sendo que os intervalos de interesse musical se manifestam como fracoes de uma oitava, assim chamada por conter oito notas (do, re, mi, fa, sol, la, si, Do) dentro do intervalo de frequencia f(Do) : f(do) = 2. Estas oito notas definem a escala musical basica conhecida como a escala de do maior.

Em relacao a nomenclatura [1], as denominacoes das notas musicais estao relacionados com a lıngua dominante dos paıses, principalmente, conforme mostra a

Tabela 1. Paıses de idiomas diferentes tendem a adotar a nomenclatura inglesa devido ao predomınio do ingles como linguagem universal. Neste texto os nomes das notas, exceto os da oitava central, serao em letras minusculas, os acentos podendo ser omitidos. Quanto as oitavas, serao indicadas porındices inferiores variando de 0 a 8.

A chamada musica ocidental e baseada na escala de entonacao justa, um conjunto de notas musicais no in- oitava, f0 uma frequencia de referencia. A audicao humana e sensıvel a frequencias entre 20 Hz a 20.0 Hz, e um piano tıpico cobre 7 oitavas, das notas la0 a do8, com frequencias de 27,5 Hz e 4.224 Hz, respectivamen- te, tendo como padrao de afinacao a nota la4 (quarta oitava, central) com frequencia atribuıda de 440 Hz [2,

3]. A Fig. 1 mostra o teclado do piano; a nota do cen- tral, de referencia, proxima a chave, e o do4. E claro que o teclado do piano contem muito mais notas do que as oito (por oitava) necessarias para a escala basica de do maior. Esta questao sera retomada adiante ao tratar das construcoes das escalas musicais.

Tabela 1 - Denominacoes das notas musicais estao relacionados com a lıngua dominante dos paıses.

Lınguas latinas em geral Do Re Mi Fa Sol La Si Frances ut re mi fa sol la si Ingles e alemao C D E F G A B

1E-mail: mgoto@uel.br Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

2307-2 Goto

Figura 1 - Teclado tıpico de um piano.

1.1. Escala pitagorica

A origem da escala musical remonta ao matematico grego Pitagoras que, usando um monocordio com um suporte movel entre as extremidades fixas da corda vibrante, identificou as relacoes entre as frequencias como os fatores preponderantes para a consonancia dos sons. A Fig. 2 ilustra um monocordio, o suporte movel dividindo a corda tensionada em duas partes de com- primentos L1 e L2. Pitagoras percebeu que os sons produzidos pelas partes com relacoes de comprimentos

L1/L2 iguais a 2/1, 3/2 e 4/3 eram particularmente agradaveis enquanto que quaisquer outras combinacoes arbitrarias resultavam desagradaveis. Dois sons resultando numa combinacao agradavel sao ditos consonantes, de outro modo sao dissonantes.

Uma corda de comprimento L tensionada e fixa nas duas extremidades tem modos de vibracao definidos por comprimentos de onda λn satisfazendo [4]

para n assumindo valores inteiros 1, 2, 3,, etc.

Comprimento de onda e frequencia se relacionam com a velocidade de propagacao da onda sobre a corda,

v = fn × λn, de modo que fn = v

= nv

Considerando apenas o modo fundamental (n = 1), as relacoes de frequencia ficam f2/f1 = L1/L2. Em notacao atual, as relacoes acima definem as notas do1, um tom. A relacao 2/1 corresponde ao intervalo de uma oitava, neste caso de do1 a do2.

Figura 2 - O monocordio (ou monocorda), corda tensionada e fixa nas duas extremidades, com um suporte movel que permite variar o comprimento da corda.

Tomando como referencia a nota do1 definem-se as notas re um tom acima e mi outro tom acima do re.

Com o mesmo procedimento, tendo como base a nota sol, definem-se as notas la e si, completando a escala de Pitagoras, na talela 2. A Tabela 3 mostra os inter- valos entre as notas adjacentes numa oitava, de do1 a do2. Os intervalos entre as notas mi − fa e si − do2 resultam 256/243, intervalo que define o meio tom ou semitom.

Por um vıcio de linguagem e comum dizer que semitom e a metado do tom - assim seria se o intervalo fosse a diferenca das frequencias. O intervalo e a razao entre as frequencias e, a rigor, espera-se que o intervalo de um tom contenha dois intervalos de semitons. Significa que se r for o intervalo de semitom, r× r = r2 deve corresponder ao intervalo de um tom. Na escala pitagorica isto e satisfeito de forma aproximada, pois e o intervalo de um tom e 9/8 = 1,125. Significa, por exemplo, que meio tom acima de do e meio tom abaixo de re nao sao equivalentes. c

Tabela 2 - Notas e os respectivos intervalos em relacao a primeira nota do1, na escala pitagorica.

Tabela 3 - Notas e os intervalos entre duas notas consecutivas, na escala pitagorica.

1.2. Escala de entonacao justa

Consonancia e dissonancia nao sao conceitos absolutos, e o astronomo grego Ptolomeu adicionou as relacoes 3 : 2 : 1 de Pitagoras as relacoes 4 : 5 : 6, considerandoas tao consonantes quanto as anteriores. Tendo como referencia a nota do, resulta o conjunto de intervalos notas {sol, si, re2}. Por fim, o mesmo conjunto ini- cial de intervalos deslocados abaixo de do2 resulta no conjunto {4/3,5/3,2} correspondente ao conjunto das

Fısica e musica em consonancia 2307-3 notas {fa, la, do2}. O intervalo 9/4 de re2 (no segundo conjunto) fica oitava acima e, dividido por 2, corresponde ao intervalo 9/8 de re. Este conjunto de notas com os respectivos interva- los em relacao a nota do1, na Tabela 4, e a base da chamada escala de entonacao justa. A Tabela 5 traz

O conjunto das oito notas, de do1 a do2, inclusive, define a escala de do maior. As escalas musicais se repetem em oitavas, e a Tabela 6 relaciona as frequencias correspondentes as notas da oitava central da escala de entonacao justa, tendo como padrao a frequencia f(La) = 440 Hz.

Tabela 4 - Notas e os respectivos intervalos em relacao a primeira nota do1, na escala de entonacao justa.

Tabela 5 - Notas e os intervalos entre duas notas consecutivas, na escala de entonacao justa.

Tabela 6 - Intervalos em relacao a La e as frequencias (em Hertz) correspondentes as notas da oitava central na escala de entonacao justa.

Do Re Mi Fa Sol La Si Do

A primeira nota (do) e a tonica, a terceira (mi) a mediante e a quinta (sol) a dominante. A tonica da o nome ou a tonalidade da escala, a primeira delas sendo a de do maior. O padrao se repete em quintas, definindo mais sete escalas de outras tonalidades em ordem ascendente. Para manter o padrao de intervalos (tom-tom-semitom-tom-tom-semitom), recorre-se a notas alteradas de meio tom para cima (sustenido, sımbolo #) em posicoes especıficas. Por exemplo, a proxima escala e a de sol maior, com o conjunto de no- tas {sol,la,si,do,re,mi,fa#,sol}, a nota fa alterada para fa#. Em seguida vem a escala de re maior con- tendo as notas alteradas fa# e do#, e assim por diante. Em ordem descendente, usando alteracoes de meio tom para baixo (bemol, sımblo b) define-se mais sete escalas, comecando pela de fa maior com a nota alterada sib, depois sib maior com as notas alteradas sib e mib, e assim por diante.

Para cada uma das escalas maiores, existe uma menor relativa. A relativa menor de do maior e a la menor, definido pelo conjunto de notas (sem alteracoes) {la,si,do,re,mi,fa,sol,la} com o padrao de intervalos (tom-semitom-tom-semitom-tom-tom). Escalas maior e menor diferem nas posicoes relativas dos intervalos de tom e semitom, estas diferencas produzindo sonoridades que expressam sentimentos antagonicos, alegres (escalas maiores) ou tristes (escalas menores).

Quanto mais notas mutuamente consonantes contiver mais possibilidades oferece a escala e, neste sentido, a escala de entonacao justa e mais rica que a de Pitagoras. Esta questao sera melhor avaliada na seccao 2, que trata das condicoes de consonancia. Em termos fısicos, o som natural pode ser tratado como uma combinacao linear de ondas sonoras com frequencias harmonicas fn = nf0 em relacao a uma adas consonantes com a fundamental, a composicao harmonica sendo uma caracterıstica da fonte sonora, e define uma das propriedades do som, o timbre, muitas vezes caracterizado como qualidade do som. O som e produzido pelas vibracoes mecanicas de materiais que constituem a fonte sonora contendo, em princıpio, todas as frequencias harmonicas. Como todo sistema mecanico vibrante real e amortecido, e esse amortecimento depende da frequencia e do material, o resultado e a supressao de algumas das componentes harmonicas, moldando assim o timbre.

1.3. Escala equitemperada

A escala de entonacao justa ou a escala de Pitagoras, conhecidas como escalas naturais, apresentam algumas dificuldades de ordem pratica por conter relacoes de frequencia desiguais, o que dificulta a transposicao de uma sentenca musical ou a execucao de uma peca musical usando instrumentos com diferentes formas de afinacao. Para contornar estas dificuldades foi criada a escala cromatica ou temperada, construıda de tal modo que uma oitava contenha exatamente 12 notas separadas em intervalos iguais, de razao r,

Esta razao r define o intervalo de semitom e r2 o intervalo de um tom. A escala de igual temperamento, atualmente, e de uso universal como padrao de afinacao

2307-4 Goto da maioria dos instrumentos musicais. Instrumentos musicais que tem notas definidas, como o piano, somente sao possıveis na escala de igual temperamento, capaz de acomodar todas as escalas usando um numero mınimo de notas musicais.

Na pratica a teoria musical utiliza as qualidades sonoras da escala de entonacao justa inserida, de forma aproximada, na escala equitemperada, fazendo uso da praticidade desta ultima nas mudancas de tonalidades de trechos musicais ou nas transposicoes. A Tabela 7 relaciona as notas e as respectivas frequencias da oitava central da escala equitemperada, tendo como padrao a frequencia de 440 Hz da nota La. Nesta escala, as alteracoes sustenido (#) e bemol (b) definem notas enar-

Tabela 7 - Intervalos em relacao a La e as frequencias (em Hertz) correspondentes as notas da oitava central na escala equitemperada. Apenas as notas sem alteracoes fazem parte da escala de do maior.

Do Do# Re Re# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si Do

Do Reb Re Mib Mi Fa Solb Sol Lab La Sib Si Do 1 r r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 r11 2

2. Condicoes de consonancia

Os sons sao ondas mecanicas que se propagam pelo ar, descritas por equacoes diferenciais lineares, tendo como fontes sistemas mecanicos vibrantes tambem descritos por equacoes diferenciais lineares. Deste modo os sons podem ser descritos como combinacoes lineares de ondas contendo os modos normais de vibracao do sistema fonte. A principal propriedade do som e a altura, definida pela frequencia mais baixa ou fundamental, as demais componentes harmonicas contribuindo para o timbre, uma das principais qualidades do som. Sons puros sao os que tem uma unica componente harmonica de frequencia definida. Para entender as condicoes de consonancia, considere dois sons puros de frequencias

diferentes f1 e f2 quando produzidos simultaneamente (harmonia) ou em sequencia num curto intervalo de

tempo (melodia). As observacoes do dia a dia sugerem que a qualidade do som resultante deve-se essencialmente as frequencias dos sons primarios, independente de suas amplitudes relativas ou eventuais diferencas de fases, entendendo-se por som primario o produzido por uma unica fonte sonora.

Usando relacoes trigonometricas [5], as oscilacoes temporais, considerdas em fase, resultam [6]

mostrando uma onda principal cuja frequencia e a media das frequencias dos sons primarios,

com amplitude modulada pela frequencia de batimento

Por consideracoes praticas e sem perda de generalidade, pode-se supor que f2 > f1. Assim, pode-se ver que, se satisfeita a condicao para n inteiros maiores que 1 (n > 1), a onda resultante continuara periodica, comportando-se como uma combinacao de dois sons harmonicos. Realmente, a relacao trigonometrica (3) pode ser revertida para assume o papel da frequencia fundamental.

Embora a propria fundamental nao esteja presente, as duas ondas sao componentes harmonicas e portanto sao consonantes se a consonancia for interpretada como a ausencia de distorcoes e quaisquer outras irregularidades na onda sonora como um todo. Em particu- f2 = 2f1, respectivamente, condicoes harmonicas trivialmente consonantes.

A relacao de consonancia, Eq. (7), e satisfeita quando a razao entre as frequencias for um numero racional e puder ser definido de tal forma que a diferenca entre o numerador e o denominador seja igual a 2, pois (n + 1) − (n − 1) = 2.

Por exemplo, o intervalo do − la,

Fısica e musica em consonancia 2307-5 o intervalo do − sol,

etc..

A Fig. 3 mostra as combinacoes de notas Do e La no quadro (a), Do e Mi no quadro (b) e Do e Sol no quadro (c), casos tıpicos de intervalos que satisfazem a relacao de consonancia, Eq. (7).

A Fig. 4 traz, nos quadros (a), (b) e (c) os padroes irregulares, com periodicidade nao definida, que caracterizam as combinacoes dissonantes.

A Tabela 8 contem os intervalos entre todas as notas da escala de entonacao justa mostrando que a maioria satisfaz a condicao de consonancia. O mesmo nao ocorre na escala pitagorica, como mostra a Tabela 9, significando menos possibilidades para as construcoes de linhas melodicas ou de acordes. c

(a) (b) (c) Figura 3 - Padroes regulares tıpicos de consonancia, combinacoes de notas Do e La em (a), Do e Mi em (b) e Do e Sol em (c).

(Parte 1 de 2)

Comentários