Expansiones y Trigonometria 1 1.1.Expansiones y series , Apuntes de Física

¡Descarga Expansiones y Trigonometria 1 1.1.Expansiones y series y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! Departamento de F́ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. Las Palmeras 3425, Ñuñoa. Casilla 653, Correo 1, Santiago fono: 562 678 7276 fax: 562 271 2973 e-mail: secretaria@fisica.ciencias.uchile.cl INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA Herbert Massmann Transcriptores: Vı́ctor Muñoz G. Max Ramı́rez G. ÍNDICE GENERAL III 11.9. Campo gravitacional de una esférica sólida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 11.9.1. Densidad media de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 11.11.Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 12.Fluidos 317 12.1. Conceptos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 12.2. La presión atmosférica P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 12.3. Principio de Arqúımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 12.4. La fórmula barométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 12.5. Tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 12.6. Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 12.7. Fluidos en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 12.8. Aplicaciones del principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 12.9. *Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 12.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 12.11.Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 13.Oscilador Armónico 353 13.1. La ecuación diferencial ẍ(t) + ω20x(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 13.2. El oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.3. El oscilador armónico atenuado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 13.4. El oscilador armónico forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 13.5. Osciladores armónicos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 13.6. ∗ Modos normales de una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 13.8. Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Caṕıtulo 1 Expansiones y Trigonometŕıa En este primer caṕıtulo se recopilarán algunos resultados de las matemáticas que son básicos para los caṕıtulos que siguen. 1.1. Expansiones y series Consideremos las expansiones: (1 + x)1 = 1 + x (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 (1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 (1 + x)5 = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 Generalizando, para un entero n positivo arbitrario, la expansión del binomio (1+x)n puede escribirse en la forma (1 + x)n = 1 + n 1! x + n · (n− 1) 2! x2 + n · (n− 1) · (n− 2) 3! x3 + n · (n− 1) · (n− 2) · (n− 3) 4! x4 + · · ·+ nx(n−1) + xn , (1.1) donde n! ≡ 1 · 2 · 3 · . . . · (n− 1) · n. Por definición 0! ≡ 1. La expansión 1.1 es válida para cualquier valor de x y cualquier valor de n entero no negativo. Una expresión análoga también se puede escribir para (1+x)α, donde α es ahora cualquier número real. En efecto, en ese caso (1 + x)α = 1 + α 1! x + α · (α− 1) 2! x2 + α · (α− 1) · (α− 2) 3! x3 + α · (α− 1) · (α− 2) · (α− 3) 4! x4 + · · · . (1.2) 2 Expansiones y Trigonometŕıa Sin embargo, si α no es nulo o un entero positivo, hay una diferencia importante entre las dos expresiones: la expansión (1.1), con n entero no negativo siempre tiene una cantidad finita de términos y se puede usar para cualquier valor de x; la serie (1.2), por otra parte, posee infinitos términos (sumandos) y sólo se puede usar (en el lenguaje técnico, “converge”) si |x| < 1. Ejemplos: 1. Usando la ecuación (1.2) con α = −1 se obtiene la serie geométrica (1− x)−1 = 1 1− x = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · (1.3) Si bien el lado izquierdo está bien definido para cualquier valor de x, el lado derecho sólo da un resultado finito si |x| < 1. Para x = 1/2 el lado izquierdo es igual a 2, mientras que el lado derecho da la serie 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + . . . que, obviamente, al sumarla, también da 2. Para x = 1/10 el lado izquierdo es igual a 10/9, mientras que el lado derecho da la serie 1 + 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + . . . = 1, 1111 . . . . que es el desarrollo decimal de 10/9. 2. Evaluemos la suma finita SN = 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xN . Para ello restemos de esta serie la misma serie, pero multiplicada por x, es decir: SN = 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xN x SN = x + x2 + x3 + · · ·+ xN + xN+1 . Al restar, al lado izquierdo queda (1 − x) · SN , mientras que al lado derecho queda 1− xN+1, o sea, (1− x) · SN = 1− xN+1 . Despejando SN se obtiene SN = 1− xN+1 1− x . Si hacemos N cada vez más grande, es decir lo hacemos tender a infinito, en el lado derecho se tendrá algo finito sólo si |x| < 1. En efecto, en ese caso ĺımN→∞ xN+1 = 0 y entonces ĺım N→∞ SN = 1 + x + x2 + x3 + · · · = 1 1− x , resultado consistente con el del ejemplo 1. 1.2 Elementos de trigonometŕıa 5 Es útil definir también la función tangente: tanα ≡ longitud del lado opuesto longitud del lado adyacente = sinα cos α . Evaluemos sin2 α + cos2 α. Se tiene: cos2 α + sin2 α = ( AC AB )2 + ( BC AB )2 = (AC)2 + (BC)2 (AB)2 . Pero, de acuerdo al teorema de Pitágoras, (AC)2 + (BC)2 = (AB)2, luego cos2 α + sin2 α = 1 . Dos relaciones trigonométricas importantes son: sin(α + β) = sin α cos β + sinβ cos α (1.8) y cos(α + β) = cos α cos β − sinα sinβ . (1.9) Figura 1.2 Demostremos al menos una de ellas; la primera. Para ello consideremos la figura 1.2. Par- tiendo del triángulo 4 (ABC), prolongamos el lado BC y graficamos las alturas CD y AE. Note que el ángulo <) ACE resulta ser igual a α+β . El área de un triángulo es la mitad del producto de su base por la altura. De la figura 1.2, para el área del 4 (ABC), obtenemos 2 · Área [4 (ABC)] = BC · EA = AB · CD . 6 Expansiones y Trigonometŕıa En la última ecuación hemos escrito el producto “base por altura” del triángulo ∆(ABC) de dos maneras distintas: en la primera igualdad, BC es la base y EA la altura, mientras que en la segunda, AB es la base y CD la altura. Partiendo de la última igualdad, dividiendo ambos lados por AC y CB, se obtiene BC BC · EA AC = AB · CD AC · CB , o sea, EA AC = (AD + DB) · CD AC · BC = AD AC · CD BC + DB BC · CD AC . Usando las definiciones de seno y coseno, se deduce finalmente que sin(α + β) = sin α cos β + sinβ cos α . Como casos particulares de las ecuaciones (1.8) y (1.9), se encuentra cos(2α) = cos2 α− sin2 α (1.10) y sin(2α) = 2 cos α sinα . (1.11) Existen muchas identidades trigonométricas de este tipo que resultan ser útiles para lle- var adelante diferentes tipos de cálculos. Dejamos que el lector demuestre las siguientes identidades: sinα± sinβ = 2 sin [ α± β 2 ] cos [ α∓ β 2 ] , (1.12) cos α + cos β = 2 cos [ α + β 2 ] cos [ α− β 2 ] , (1.13) cos α− cos β = −2 sin [ α + β 2 ] sin [ α− β 2 ] , (1.14) tan 2θ = 2 tan θ 1− tan2 θ . (1.15) La definición del seno y coseno que hemos dado es válida para ángulos α entre 0 y 90 grados. Para definir estas funciones para otros ángulos es conveniente considerar un ćırculo de radio R = 1 centrado en el origen (ver figura 1.3). Por convención, los ángulos se miden desde el eje x̂ en el sentido contrario a los punteros del reloj. 1.2 Elementos de trigonometŕıa 7 Figura 1.3 Consideremos el punto A sobre el ćırculo, formando un ángulo α con el eje x̂. Usando el hecho que la hipotenusa vale 1, es fácil convencerse de que las coordenadas x e y del punto A coinciden con los valores de cos α y sin α, respectivamente. Es ésta la propiedad que se usa para definir el valor del seno y coseno para cualquier ángulo β. El procedimiento es el siguiente: i) Encontrar el punto P sobre el ćırculo que forma un ángulo β con el eje x̂ (en la figura 1.3, esto se muestra para β = 210◦); ii) luego, proyectar el punto P sobre los ejes para encontrar xp e yp. Entonces cos β = xp y sin β = yp. Para el caso mostrado en la figura 1.3, cos(210◦) = − √ 3/2 = −0, 8660 . . . y sin(210◦) = −1/2. Es evidente que, para todos los ángulos θ, siempre se cumple −1 ≤ cos θ ≤ 1 y −1 ≤ sin θ ≤ 1 . Podemos graficar las proyecciones del punto P a medida que variamos β. De esta manera se obtiene el gráfico de las funciones coseno y seno (ver figura 1.4). Figura 1.4 Recordemos que los ángulos también pueden ser medidos en radianes (unidad adimensional que se abrevia por rad). El valor del ángulo α, en radianes, es igual al largo del arco subtendido sobre el ćırculo unitario desde donde lo cruza el eje x̂ hasta el punto A (ver 10 Expansiones y Trigonometŕıa donde n! ≡ n · (n−1) · (n−2) · . . . ·3 ·2 ·1. Para |θ|  1, estas series convergen rápidamente, lo que permite representar las funciones seno y coseno con pocos términos. Ejemplo: Representemos en un mismo gráfico, para el intervalo t ∈ [−π, 2π] , las siguientes cinco funciones: i) f0(t) = cos t ii) f1(t) = 1 iii) f2(t) = 1− t2/2! iv) f3(t) = 1− t2/2! + t4/4! v) f4(t) = 1− t2/2! + t4/4!− t6/6! Observe que de acuerdo a la ecuación (1.18), las funciones f1(t), f2(t), etc., para t pequeño son aproximaciones cada vez mejores de f0(t) = cos t. Este comportamiento se observa claramente en la figura 1.6 (página siguiente) donde se han graficado las diversas funciones. Figura 1.6 Funciones trigonométricas inversas En ocasiones, lo que se conoce es x = cos α y lo que se desea conocer es el ángulo α. Esta operación inversa se denota por α = arccos(x) . Es importante darse cuenta de que esta “función” inversa, llamada arcocoseno, es una función multivaluada, o sea, que la respuesta no es única. Hay varios ángulos α distintos para los cuales el coseno del ángulo tiene el mismo valor. Las calculadoras, al evaluar las 1.3 Problemas 11 funciones trigonométricas inversas, sólo dan la solución que está en el intervalo [0, π] para el arcocoseno y el intervalo [−π/2,+π/2] para la función arcoseno y la función arcotangente. En ocasiones la solución entregada por la calculadora no es la f́ısicamente aceptable, en cuyo caso uno debe preocuparse de encontrar la solución correcta (en el lenguaje técnico: elegir la rama adecuada). Algo similar ocurre cuando uno extrae ráıces: puede ocurrir que la ráız de 9 de interés f́ısico sea −3 y no la solución que entrega la calculadora (que es +3). Para la función arcocoseno la calculadora, al evaluar α = arccos(x) con |x| ≤ 1, siempre dará la respuesta α que se ubica en el intervalo [0, π] (si está usando la calculadora en radianes) o en el intervalo [0, 180◦] si la calculadora está calculando en grados. Ejercicio: Sea |x| ≤ 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los ángulos γ (en radianes) para los cuales cos γ = x. Suponga además que hemos, de alguna manera, encontrado una solución γ = α0 (por ejemplo, el ángulo que muestra la calculadora al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las demás soluciones a nuestro problema vienen dadas por γ = α0 + j · 2π y γ = −α0 + j · 2π, con j cualquier valor entero. Para la función arcoseno la calculadora, al evaluar α = arcsin(x) con |x| ≤ 1, siempre dará la respuesta α que se ubica en el intervalo [−π/2, π/2] (si está usando la calculadora en radianes) o en el intervalo [−90◦,+90◦] si la calculadora está calculando en grados. Ejercicio: Sea |x| ≤ 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los ángulos γ (en radianes) para los cuales sin γ = x. Suponga además que hemos, de alguna manera, encontrado una solución γ = α0 (por ejemplo, el ángulo que muestra la calculadora al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las demás soluciones a nuestro problema vienen dadas por γ = α0 + j · 2π y γ = (π − α0) + j · 2π, con j cualquier valor entero. Por ser frecuentemente fuente de errores reiteramos lo dicho unos párrafos antes: al evaluar funciones trigonométricas inversas la solución entregada por la calculadora no es siempre la f́ısicamente aceptable. El alumno debe asegurarse de que la respuesta mostrada por la calculadora efectivamente resuelve completamente su problema, en caso contrario, debe analizar si alguna de las otras soluciones, que se obtuvieron en los dos ejercicios anteriores, sirve. 1.3. Problemas 1. Evalúe las siguientes sumatorias a) S = ∑ n = 1, 2 m = 1, 2, 3 nm b) S = ∑ j=−3,...,8 1 12 Expansiones y Trigonometŕıa c) S = N∑ j=0 j d) S = ∑ i, j = 1, . . . , 4 i > j 1 |i− j| Respuestas: a) 17 , b) 12 , c) N(N + 1)/2 , d) 13/3 2. Encuentre una expresión para [ (x + ∆)β − xβ ]/∆, en el ĺımite en que ∆ tiende a cero. En otras palabras, ∆ tiene un valor finito pero pequeñ́ısimo (tan pequeño como se quiera); al final del cálculo se permite poner ∆ = 0. Usando una notación y un lenguaje más técnico, el enunciado de este problema seŕıa: Evalúe f(x) = ĺım ∆→0 1 ∆ [ (x + ∆)β − xβ ] . Respuesta: f(x) = β xβ−1 . 3. Evalúe cos(x + ε)− cos x ε para |ε|  1 . Respuesta: − sinx. 4. Represente en forma cuidadosa, en un mismo gráfico, para el intervalo t ∈ [−1, 1] , las siguientes cuatro funciones: a) f0(t) = 1/(1− t) b) f1(t) = 1 + t c) f2(t) = 1 + t + t2 d) f3(t) = 1 + t + t2 + t3 Observe que, de acuerdo a la ecuación (1.3), f1(t), f2(t) y f3(t) son sucesivamente aproximaciones cada vez mejores (para t pequeño) de la función f0(t). 5. Demuestre las siguientes relaciones trigonométricas: (a) sinα = tanα√ 1 + tan2 α 1.3 Problemas 15 11. La figura 1.12 adjunta indica la diferencia entre un d́ıa sideral y un d́ıa solar. Para facilitar la explicación supongamos que es posible observar las estrellas durante el d́ıa. (Por supuesto que las estrellas están alĺı y de hecho los radioastrónomos observan algunas de ellas.) Para un observador en el Ecuador, el d́ıa solar es el peŕıodo que transcurre entre dos pasos consecutivos del sol por el zenit (posición del sol justo sobre nuestras cabezas). El d́ıa sideral consiste en el mismo fenómeno pero que ahora ocurre con una estrella muy lejana. La diferencia entre ambas definiciones se debe a la traslación de la tierra alrededor del sol. Determine el valor del ángulo α que se muestra en la figura y calcule la diferencia entre el d́ıa sideral y el d́ıa solar en segundos. Figura 1.12 Figura 1.13 12. Un tambor de 50 cm de radio y 1.5 m de largo se encuentra “acostado” y lleno con parafina hasta una altura h =60 cm (ver figura 1.13). ¿Cuántos litros de parafina hay en el tambor? 13. La esfericidad de la tierra fue postulada por Pitágoras y confirmada por Aristóteles al observar la forma circular de la sombra que proyecta la tierra en la superficie de la luna durante un eclipse lunar. El primer cálculo que se conoce del radio de la tierra se debe a Eratóstenes (276 A.C.– 194 A.C.), quien a la fecha estaba a cargo del Museo de Alejandŕıa. El método que usó se basó en observar el ángulo con que inciden los rayos solares sobre la superficie de la tierra, el mismo d́ıa y a la misma hora, en dos lugares separados entre śı por una gran distancia. Los lugares elegidos fueron Siena (S) (hoy Asuán) y Alejandŕıa (A). 16 Expansiones y Trigonometŕıa Figura 1.14 Eratóstenes sab́ıa que al mediod́ıa del 22 de junio el Sol cáıa verticalmente en Siena, pues la luz se reflejaba directamente en el fondo de una noria. El mismo d́ıa, a la misma hora, midió la sombra que proyectaba en Alejandŕıa un alto obelisco, que le indicó que los rayos solares formaban un ángulo de 7,2◦ con la vertical (ver figura 1.14). Dado que el sol está a gran distancia de la tierra se puede suponer que los rayos que llegan a ambas ciudades son paralelos. Eso quiere decir que la separación angular entre Siena y Alejandŕıa medida con respecto al centro de la tierra es también 7,2◦. Sabiendo que la distancia entre Siena y Alejandŕıa (arco de ćırculo) es de aproximadamente 800 km, estime el radio de la tierra. Respuesta: Radio ∼ 6100 km. (El resultado que obtuvo Eratóstenes en su época fue incorrecto, debido a la imprecisión con que estimó la distancia entre los dos lugares.) 14. Una persona ubicada en el punto P observa dos montañas que la rodean, una a la derecha y la otra a la izquierda. Sean α y β los ángulos de elevación, respectivamente (ver figura 1.15). Si la montaña de la izquierda tiene una altura h y la separación entre las proyecciones de las cimas sobre el nivel de la superficie terrestre es D, calcule la altura del otro monte. Figura 1.15 15. En el año 1752 los astrónomos Landale y Lacaille determinaron en Berĺın (B) y en la ciudad del Cabo (C), a la misma hora, el ángulo entre la normal y la recta entre su 1.3 Problemas 17 posición y un punto predeterminado del borde de la luna. Los ángulos que determina- ron fueron β = 32,08◦ en Berĺın y γ = 55,72◦ en El Cabo. Ambas ciudades se ubican en el mismo meridiano y se encuentran en las latidudes λB = 52,52◦ y λC = −33,93◦, respectivamente (ver figura 1.16). Usando para el radio terrestre el valor de 6370 km, determine la distancia entre la tierra y la luna. Figura 1.16 16. Encuentre el ángulo entre dos diagonales de un cubo. 17. a) Teorema del seno. Demuestre que en un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes relaciones: a sinα = b sinβ = c sin γ , donde α, β y γ son los ángulos interiores del triángulo y a, b y c los lados opuestos a cada uno de estos ángulos. b) Teorema del coseno. Demuestre que en un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes relaciones: c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ b2 = a2 + c2 − 2ac cos β y a2 = b2 + c2 − 2cb cos α 20 Expansiones y Trigonometŕıa Figura 1.21a Figura 1.21b 1.4. Solución a algunos de los problemas Solución al problema 15 Figura 1.22 Inspeccionando la figura 1.22 se deduce de inmediato que φ = δβ + δγ y φ = β + γ − λB − |λC | . Usando el teorema del seno (ver problema 17) en los triángulos OBL y OLC, se obtienen las expresiones sin δβ R = sin(π − β) D 1.4 Solución a algunos de los problemas 21 y sin δγ R = sin(π − γ) D . Como δβ y δγ son ángulos pequeños podemos usar las aproximaciones sin δβ ' δβ y sin δγ ' δγ . De esta manera se obtienen δβ ' R D sinβ y δγ ' R D sin γ . Sumando estas ecuaciones se deduce que φ = δβ + δγ ' R D (sinβ + sin γ) , o sea, D ' R (sinβ + sin γ) φ = R (sinβ + sin γ) β + γ − λB − |λC | . Sustituyendo en esta ecuación los valores numéricos se encuentra que D ' 367,000 km , valor muy cercano al actualmente aceptado para el radio de la órbita lunar, que es de 384.000 km. Solución al problema 16 Consideremos un cubo de lados a. Sea A un vértice de una diagonal y B el vértice de otra diagonal del cubo. De los dos vétices de la segunda diagonal, denotaremos por B al vértice que está a una distancia a de A (el otro vértice se encontrará a una distancia a √ 2 de A). Sea O el punto central del cubo. El triángulo AOB es isósceles: con base AB = a y lados b ≡ AO = BO = √ 3 2 a. El ángulo α =<) (AOB) es el ángulo buscado. Se tiene que sin α 2 = a/2 b = 1√ 3 , de donde se deduce que α = 70,529◦ . El ángulo complementario <) (AOC) = 109,47◦. Figura 1.23 22 Expansiones y Trigonometŕıa Solución al problema 21 Sea a = AP y d = PQ. Usando el teorema del seno en el triángulo APB se obtiene sinβ a = sin (α− β) D , o sea, a = D sinβ sin(α− β) . Usando el teorema del seno en el triángulo AQP se deduce que sin(π − γ) a = sin(γ − α) d . Usando las dos ecuaciones anteriores se obtiene para d la expresión d = D sinβ sin(α− β) sin(γ − α) sin γ . Reemplazando los valores numéricos se encuentra que la distancia recorrida por el avión en 10 segundos es d = 1, 53 km. La velocidad del avión es, por lo tanto, v = 552 km/h. La altura a la que vuela el avión viene dada por h = a sinα = 1628 [m] . Figura 1.24 Solución al problema 24 Primero giremos la cuneta de manera que quede simétrica respecto a la horizontal, es decir, con un ángulo (α + β)/2 a cada lado (ver figura 25a). Caṕıtulo 2 Cinemática en una dimensión 2.1. Posición, velocidad y aceleración Cinemática es la descripción del movimiento de un cuerpo sin considerar las causas que lo producen. Más tarde, al estudiar las leyes de Newton, analizaremos el origen del movimiento. Para simplificar la discusión, comenzaremos por estudiar el movimiento de objetos cuya ubicación queda determinada especificando la posición de un solo punto. Este tipo de objeto recibe el nombre de part́ıcula. Contrariamente a lo que pudiera pensarse, no es necesario que los objetos sean pequeños para que puedan ser considerados part́ıculas. Por ejemplo, cuando se estudia el movimiento de la tierra en torno al sol, la distancia relevante es la distancia Tierra–sol. En este caso, el tamaño de la Tierra no es importante, pudiéndose tratar como una part́ıcula ubicada en el centro de la tierra. El movimiento más simple de una part́ıcula se tiene cuando la posición de ésta viene descrita por una única coordenada; por ejemplo, el movimiento de una part́ıcula que se traslada a lo largo de una ĺınea recta. (En el presente caṕıtulo nos restringiremos a este tipo de movimientos.) La elección de un origen divide naturalmente a la recta en dos zonas. En forma arbitraria llamamos a una de ellas el lado positivo y a la otra el lado negativo (ver figura 2.1). Figura 2.1 La posición de una part́ıcula queda determinada dando simplemente un número (la “coor- denada x”). La descripción de su movimiento es completa si conocemos la función x(t) que indica la posición que ocupa en cada instante t. La diferencia entre la coordenada de una part́ıcula entre dos instantes t1 y t2 (con t2 > t1) se denomina desplazamiento: Desplazamiento ≡ x2 − x1 ≡ ∆x . 26 Cinemática en una dimensión El desplazamiento es una cantidad que tiene signo. Si la coordenada x de la part́ıcula se incrementa durante cierto intervalo de tiempo, entonces el desplazamiento es positivo; si, por el contrario, decrece, el desplazamiento es negativo. Se define velocidad media de una part́ıcula durante el intervalo [t1, t2] como la razón entre el desplazamiento y la duración del intervalo de tiempo, v(t1, t2) = x(t2)− x(t1) t2 − t1 . En un gráfico x(t) en función de t, esta definición corresponde a la tangente del ángulo que forma la recta que une (x1, t1) y (x2, t2) con el eje del tiempo (ver figura 2.2). Figura 2.2 La velocidad promedio entrega una información global sobre el movimiento que realiza una part́ıcula en un cierto intervalo de tiempo. Si se desea tener una información más precisa acerca de la velocidad durante el movimiento, es necesario subdividir el intervalo de tiempo original en subintervalos y calcular en cada uno de ellos una velocidad media. Mientras más pequeño es el tamaño de esos subintervalos, más precisa es la información acerca de las variaciones que experimenta la velocidad de la part́ıcula mientras se desplaza. El valor que se mide para la velocidad media en un cierto intervalo de tiempo ε pequeño, donde ε es finito pero tan pequeño como nosotros deseamos, se denomina velocidad instantánea. Para determinar la velocidad instantánea de la part́ıcula en un instante t, se evalúa la velocidad promedio durante un intervalo muy pequeño que comienza en t y termina en t+ε, donde ε es un incremento de tiempo infinitesimal (más adelante, al finalizar el cálculo, haremos ε → 0). Expĺıcitamente: v(t, t + ε) = x(t + ε)− x(t) ε . Al hacer ε → 0, se obtiene la velocidad instantánea de la part́ıcula en el instante t. Esta la denotaremos por v(t) o ẋ(t). Se tiene v(t) = ĺım ε→0 x(t + ε)− x(t) ε = ẋ(t) . (2.1) 2.1 Posición, velocidad y aceleración 27 Este proceso de ĺımite está ilustrado en la Figura 2.3. Alĺı se observa cómo cambia el valor de la velocidad media de la part́ıcula en un intervalo [t, t + ∆t] cuando es evaluada para diferentes valores de ∆t. En el caso ĺımite, cuando ε → 0, se observa que la velocidad instantánea queda representada por la tangente del ángulo (pendiente) que forma la recta tangente a la curva x(t) vs. t con el eje del tiempo. De aqúı en adelante el término velocidad siempre se referirá a la velocidad instantánea. Figura 2.3 Ejemplos: 1. Supongamos que la posición de una part́ıcula viene dada por x(t) = x0 + v0 t, con x0 = −1 m y v0 = 0,5 ms . El gráfico x(t) en función de t da lugar a la recta que se muestra en la figura 2.4. Esa curva corresponde a una part́ıcula que se mueve con velocidad uniforme. La inclinación de la recta con respecto al eje del tiempo es una medida de la velocidad de la part́ıcula. Una recta horizontal corresponde a una part́ıcula en reposo mientras que una recta perpendicular al eje del tiempo representa un objeto que tiene velocidad infinita. Evaluemos expĺıcitamente la velocidad en un instante t cualquiera. Usando la ecuación (2.1) y la expresión para x(t) de este ejercicio, se obtiene v(t) = ĺım ε→0 x(t + ε)− x(t) ε = ĺım ε→0 [x0 + v0 · (t + ε)]− [x0 + v0 · t] ε = ĺım ε→0 v0 · ε ε = ĺım ε→0 v0 = v0 . 30 Cinemática en una dimensión 2. En un ejemplo anterior vimos que la posición y velocidad de una part́ıcula que cae libremente bajo la acción de la aceleración de gravedad terrestre están dadas por las siguientes ecuaciones z(t) = z0 − 1 2 g t2 y v(t) = −g t . Evaluemos la aceleración: a(t) = ĺım ε→0 v(t + ε)− v(t) ε = ĺım ε→0 [−g · (t + ε)]− (−g · t)] ε = ĺım ε→0 −g · ε ε = ĺım ε→0 (−g) = −g . El resultado indica que la aceleración es constante y negativa. Eso significa que la part́ıcula acelera en el sentido negativo del eje z. Generalizando, podemos concluir que cuando el gráfico v(t) en función del tiempo t es una recta, el movimiento de la part́ıcula corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. El caso particular en que la recta es horizontal corresponderá a la situación donde la aceleración es nula. En el gráfico x(t) en función de t, las aceleraciones se manifiestan en la curvatura del gráfico. Se dice que un gráfico tiene curvatura positiva, si ésta tiene la misma orien- tación que la curvatura de un pocillo, y negativa si la curvatura tiene la orientación de la de un paraguas. Si en un gráfico x(t) vs. t la curvatura es positiva dentro de un cierto intervalo, entonces también lo será la aceleración en ese intervalo. Por ejemplo, en la figura 2.5 (que corresponde a la cáıda libre) la curvatura es negativa, luego también lo será la aceleración. 3. Consideremos una part́ıcula de masa m, cuya posición a medida que transcurre el tiempo viene dada por z(t) = A cos(ωt) , donde A y ω son constantes. Tal movimiento de la part́ıcula es un movimiento oscila- torio periódico. La amplitud de las oscilaciones es A y el peŕıodo del movimiento (es decir, el tiempo que debe transcurrir hasta que una configuración se vuelva a repetir) es T = 2π/ω . Al inverso de T se le llama frecuencia: ν = 1/T . A la magnitud ω se le llama frecuencia angular. Se tiene que ω = 2πν. 2.1 Posición, velocidad y aceleración 31 Evaluemos la velocidad de la part́ıcula: v(t) = ĺım ε→0 z(t + ε)− z(t) ε = ĺım ε→0 1 ε [A cos(ω(t + ε))−A cos(ωt)] = ĺım ε→0 A ε [cos(ωt) cos(ωε)− sin(ωt) sin(ωε)− cos(ωt)] ' ĺım ε→0 A ε [ cos(ωt) ( 1− ω 2ε2 2 ) − sin(ωt) · (ωε)− cos(ωt) ] = ĺım ε→0 A ε [ − cos(ωt)ω 2ε2 2 − sin(ωt) · (ωε) ] = ĺım ε→0 A [ − cos(ωt)ω 2ε 2 − ω · sin(ωt) ] = −Aω · sin(ωt) Una vez conocida la velocidad podemos, en forma análoga, calcular la aceleración: a(t) = ĺım ε→0 v(t + ε)− v(t) ε = ĺım ε→0 1 ε [−Aω sin(ω(t + ε))− (−Aω) sin(ωt)] = ĺım ε→0 −Aω ε [sin(ωt) cos(ωε) + cos(ωt) sin(ωε)− sin(ωt)] ' ĺım ε→0 −Aω ε [ sin(ωt) ( 1− ω 2ε2 2 ) + cos(ωt) · ωε− sin(ωt) ] = ĺım ε→0 −Aω [ − sin(ωt)ω 2ε 2 + ω cos(ωt) ] = −Aω2 cos(ωt) La figura 2.7 muestra la posición, velocidad y aceleración de la part́ıcula en función del tiempo. 32 Cinemática en una dimensión Figura 2.7 Notemos que para todo t, a(t) = −ω2 z(t). El lector ya familiarizado con la ecuaciones de Newton (que analizaremos recién en el caṕıtulo 4) puede establecer una interesante relación con la Ley de Hooke. En efecto, al hacer uso de la ecuación de Newton F = m a, se encuentra que la fuerza neta que actúa sobre la part́ıcula de masa m debe satisfacer la relación F = −(mω2) z . Denotando a la constante (mω2) por k, se tiene F = −kz. Esto nos muestra que la fuerza neta sobre la part́ıcula es proporcional al desplazamiento. El signo negativo indica que la dirección en que actúa la fuerza es opuesta al desplazamiento. Un ejemplo concreto en que aparece una fuerza del tipo F = −kz es una masa m colgando de un resorte. En ese caso k es la constante del resorte y a F = −kz se le llama Ley de Hooke. 4. Una persona levanta un peso P , su- jetando una cuerda que pasa por una polea y caminando horizontal- mente con velocidad v0. ¿Cuál es la velocidad del peso P? Supongamos que el largo de la cuer- da es 2h (o sea, cuando la persona está en x = 0, el cuerpo P está en el suelo encontrándose la cuerda es- tirada). Se tiene Figura 2.8 (h− y) + √ h2 + x2 = 2h , o sea, y(t) = √ h2 + x2(t)− h = √ h2 + v20t2 − h . Para la velocidad obtenemos 2.2 El camino inverso 35 t y t + dt. Para obtener la distancia recorrida entre ti y tf , habrá que sumar todas las contribuciones. Se tiene entonces que x(tf ) = x(ti) + ∫ tf ti v(t) dt . (2.5) El śımbolo ∫ tf ti significa “sume las contribuciones que están detrás del śımbolo desde t = ti hasta t = tf”. Por supuesto que∫ tf ti v(t) dt = (Área delimitada por v(t) y el eje t entre t = ti y tf ) . Ejemplos: 1. Movimiento uniforme: Consideremos una part́ıcula cuya velocidad es constante v(t) = v0 en todo instante. Si la part́ıcula en el instante t = 0 se encuentra en xi, ¿dónde se encontrará en el instante t? Usando la ecuación (2.4) se obtiene x(t) = x(0) + Área entre v0 y el eje t, entre t = 0 y t . = x(0) + v0 t 2. Movimiento uniformemente acelerado: Consideremos una part́ıcula cuya velocidad viene dada por v(t) = v0 + a0 t , (ver figura 2.10). Observe que v0 es la velocidad de la part́ıcula en el instante t = 0. Al calcular la aceleración se encuentra que a(t) = ĺım ε→0 v(t + ε)− v(t) ε = a0 , o sea, la expresión para la velocidad corresponde a una part́ıcula que en todo instante sufre una aceleración constante a0. Encontremos el desplazamiento entre los instantes t = 0 y el instante t = tf . Usando la ecuación (2.4) se obtiene x(tf ) = x(0) + Área entre v(t) y el eje t, entre t = 0 y t = tf = x(0) + v0 tf + 1 2 (v(tf )− v0) · tf = x(0) + v0 tf + 1 2 a0 t 2 f . 36 Cinemática en una dimensión Figura 2.10 Conociendo la posición x(t) de una part́ıcula, siempre es posible determinar su velocidad. El rećıproco no es cierto: si se conoce la velocidad v(t) no es posible determinar la posición; lo único que se puede determinar es el desplazamiento entre dos instantes. En otras pala- bras, si conocemos v(t), debemos conocer además la posición en algún instante para poder determinar x(t). Las relaciones que permiten obtener la velocidad si se conoce la aceleración a(t), son análo- gas a las que relacionan la posición con la velocidad: v(tf ) = v(ti) + Área entre a(t) y el eje t entre t = ti y tf . (2.6) o v(tf ) = v(ti) + ∫ tf ti a(t) dt . (2.7) Ejemplo: Movimiento uniformemente acelerado. Suponga que la aceleración de una part́ıcula es constante (a(t) = a0 , ∀t). Usando (2.6) se deduce que v(t) = v(0) + a0 t . Haciendo uso del resultado obtenido en el ejemplo anterior se obtiene finalmente que x(t) = x(0) + v(0) t + 1 2 a0 t 2 . Observe que x(0) y v(0) son la posición y la velocidad de la part́ıcula en el instante t = 0. 2.3. Máximos y mı́nimos Considere una función f(t) suave (o sea, sin saltos ni puntas). Ya sabemos (ver último problema de la sección anterior) que ḟ(t) está relacionado con la pendiente de las tangentes 2.4 Problemas 37 de la función f(t). Observemos que para valores de t en los cuales ḟ(t) = 0, la función f(t) tiene un máximo o mı́nimo (local). También podemos invertir la argumentación: encontrar los máximos y mı́nimos de una función f(z) es equivalente a encontrar los ceros de la función derivada g(z) = ĺım ε→0 f(z + ε)− f(z) ε . Ejemplo: Suponga que un agricultor tie- ne L metros de malla para construir un co- rral rectangular. El agricultor desea apro- vechar una muralla de piedra (recta) para obtener un corral mayor. ¿Qué dimensio- nes deberá tener el corral para que su área sea máxima? Figura 2.11 Solución: Sean a y b los largos del gallinero (ver figura 2.11). El largo de la malla es L = 2a + b, mientras que el área del gallinero es A = a · b. Despejando b de la primera ecuación y sustituyéndolo en la segunda se obtiene: A = a · (L− 2a) . El área es una función de a. Tanto para a = 0 como para a = L/2 se tiene que A = 0. Para algún valor intermedio el área del gallinero será máxima. Para resolver el problema debemos encontrar el máximo de la función f(a) = a · (L− 2a). Para ello encontremos los ceros de la función derivada g(a) = ĺım ε→0 f(a + ε)− f(a) ε = ĺım ε→0 1 ε [(a + ε) · (L− 2(a + ε))− a · (L− 2a)] = L− 4a . La función g(a) tiene un (único) cero para a = L/4. Luego para ese valor de a el área del gallinero será máxima. 2.4. Problemas 1. Suponga que la altura de cierto proyectil en función del tiempo viene dada por la relación z(t) = −a0 · (t− t0)2 + z0 , con z0 = 125 m, t0 = 5 s y a0 = 5 m/s2. a) Grafique la altura del proyectil en función del tiempo desde t = 0 hasta t = 12 s. b) ¿En qué instante choca el proyectil contra el suelo? c) Encuentre gráficamente la velocidad instantánea (es decir, mida las pendientes de las tangentes) en los instantes t=0 s, t=2 s, t=4 s, t=6 s, t=8 s y t=10 s. Grafique su resultado. 2. Un conductor maneja su coche 10 km a una velocidad de 90 km/h y luego otros 10 km a 70 km/h. ¿Cuál es la rapidez promedio durante el trayecto de 20 km? (La respuesta no es 80 km/h.) 40 Cinemática en una dimensión Figura 2.14 7. Suponga que la posición de una part́ıcula en función del tiempo (medido en segundos) viene dada por z(t) = t− 4 cos t [m] a) Grafique z(t) en el intervalo de tiempo 0 < t < +6 s. b) A partir del gráfico responda las siguientes preguntas: 1) ¿En qué instante la velocidad es nula? 2) ¿En qué instantes la part́ıcula se encuentra en el origen? 3) ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad es negativa? 4) ¿En qué intervalos de tiempo la aceleración es positiva? c) Encuentre la velocidad instantánea en función del tiempo evaluando v(t) = ĺım ∆t→0 z(t + ∆t)− z(t) ∆t . d) Grafique v(t) encontrada en la parte anterior. A partir del gráfico responda las siguientes preguntas: 1) ¿En qué instante la velocidad es nula? 2) ¿En qué intervalos de tiempo la velocidad es negativa? 3) ¿En qué intervalos de tiempo la aceleración es positiva? (Compare las respuestas con las de la parte b)). 8. La figura 2.15 muestra la velocidad de una part́ıcula en función del tiempo. 2.4 Problemas 41 Figura 2.15 ¿En qué instantes o en qué intervalos de tiempo: a) La velocidad es cero? b) La velocidad es constante? c) La velocidad es positiva? d) La aceleración es nula? e) La aceleración es positiva? f ) El módulo de la velocidad es máximo? g) El módulo de la aceleración es máximo? h) ¿Cuál es la distancia que recorre la part́ıcula entre t = 2 s y t = 4 s? i) Si en el instante t = 0 la part́ıcula se encuentra en el origen (es decir, si s(0) = 0), haga un gráfico aproximado del desplazamiento s(t). j ) Haga un gráfico aproximado de s(t) si s(0) = −4 m. Respuestas: a) En t = 2 s y t = 8,5 s; b) A partir de t = 10 s, se podŕıa decir también que en el instante t = 6 s la velocidad es constante; c) Entre t = 2 s y t = 8,5 s; d) Misma respuesta de la parte b); e) Entre t = 0 s y t = 6 s; f) En t = 6 s; g) Entre t = 7 s y t = 9 s; h) Entre t = 2 s y t = 4 s la velocidad media es de 1 m/s, luego la distancia recorrida es de 2 m (note que esto coincide con el área bajo la curva). 9. La figura 2.16 muestra la aceleración de una part́ıcula en función del tiempo. a) Si en el instante t = 0 s la part́ıcula está en reposo, encuentre la velocidad de la part́ıcula en cada instante. ¡Grafique! b) Calcule el tamaño de las áreas I, II y III. ¿Qué unidades tienen? ¿Qué relación hay entre estas áreas y la parte a) de este problema? c) Repita lo hecho en la parte a), pero suponiendo que en el instante t = 0 la part́ıcula tiene una velocidad v0 = −8 m/s. ¡Grafique! 42 Cinemática en una dimensión Figura 2.16 10. En cada una de las siguientes expresiones para la posición s(t) de una part́ıcula, encuentre una expresión anaĺıtica para la velocidad instantánea: a) s(t) = at2 + bt + c b) s(t) = atα c) s(t) = a cos (ωt + β) En las ecuaciones anteriores a, b, c, ω, α y β son constantes. 11. Para cada una de las siguientes expresiones para la aceleración a(t) de una part́ıcula (a en m/s2 y t en s), encuentre la expresión más general para la velocidad v(t) y la posición x(t). a) a(t) = a0 b) a(t) = a0 cos (ωt) En las expresiones anteriores, a0 y ω son constantes. 12. Un observador suelta una piedra desde el techo de un edificio. El sonido de la piedra chocando contra el suelo se escucha después de t0 = 6 s. a) Si la velocidad del sonido es c = 340 m/s, encuentre la altura del edificio. (Ignore los efectos del roce del aire, que en la práctica, para este problema, no son despreciables.) b) Demuestre que si gt0/c  1, entonces la altura del edificio viene aproximada- mente dada por h = 1 2 gt20 ( 1− gt0 c ) . 2.4 Problemas 45 a) Si d=12 m y el pasajero sigue corriendo, ¿alcanzará a subirse al tren? b) Haga un gráfico de la función xt(t) del tren. En el mismo gráfico dibuje la fun- ción xp(t) correspondiente al pasajero para diversos valores de la distancia de separación d. Encuentre el valor cŕıtico dc para el cual el pasajero alcanza apenas el tren. c) Para la separación cŕıtica dc, ¿cuál es la velocidad del tren cuando el pasajero lo alcanza? 22. Desde un edificio se lanza una piedra A con una velocidad inicial vertical hacia abajo v0 = 30 m/s. Desde el suelo, al pie del edificio y en el mismo instante, se lanza una piedra B hacia arriba. Las dos piedras chocan a una altura h = 30 m, siendo en ese instante la rapidez de ambas piedras la misma. Encuentre el tiempo que transcurre entre el lanzamiento y la colisión. (Use para g el valor 10 m/s2.) Respuesta: t = √ 3− 1 s. 23. Considere un avión de pasajeros cuya velocidad de aterrizaje es de unos 400 km/h. Suponga que la desaceleración del avión es uniforme. Encuentre el valor que debe tener ésta para que el avión llegue al reposo en una pista de 1200 m. Respuesta: a =5,15 m/s2 24. ¿Cuál será la forma del cilindro de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio R? 25. En Paine un agricultor tiene la posibilidad de realizar una (y sólo una) exportación de sand́ıas de su plantación. Al comienzo de la temporada el precio es bueno, pero la pro- ducción no es grande. En efecto, al comienzo tiene 6 toneladas para vender y el precio es de $40,000/ton. . Por cada d́ıa que demore la exportación puede exportar 0.5 to- neladas adicionales; sin embargo, el precio disminuye en aproximadamente $800/ton. ¿Cuánto tiempo debeŕıa esperar para realizar la exportación si desea maximizar las entradas? Respuesta: 19 d́ıas. 26. A partir de un tronco de 27 cm de diámetro se desea aserrar una viga de sección rectangular que tenga la mayor resistencia posible. La resistencia de una viga hori- zontal apoyada en sus extremos, en primera aproximación, es proporcional al ancho y proporcional al cuadrado de su altura. ¿Cuáles serán las dimensiones de la viga? 46 Cinemática en una dimensión 27. Un salvavidas ubicado en el punto A en una playa debe socorrer a un nadador ubi- cado en el punto B (ver figura 2.19). La velocidad con que puede correr el salvavi- das en la arena es v1 y la velocidad con que avanza en el agua es v2. Sea P el lu- gar óptimo en el cual el salvavidas debe ingresar al agua para que tarde el menor tiempo posible en el trayecto de A a B. Demuestre que en ese caso se satisface sinα sinβ = v1 v2 . Figura 2.19 Notemos que esta expresión es análoga a la ley de Snell para la refracción de un rayo de luz. 28. ¿Qué dimensiones (interiores) tiene un recipiente ciĺındrico, cuya capacidad es de un litro, si la forma se ha elegido de tal manera que en su confección se use la menor cantidad de material posible? 29. Considere cierto objeto A que se mueve a lo largo del eje x̂ tal como se describe a continuación: i) En el instante t = 0 se encuentra en x0 = −4 [m] y su velocidad es v0 = 2 [m/s]. ii) Durante los primeros cuatro segundos la velocidad permanece constante. iii) A partir del instante t = 4 [s], el objeto frena uniformemente hasta quedar con la mitad de la velocidad. Durante este proceso de frenado la part́ıcula avanza 3 [m]. iv) Luego mantiene esa velocidad durante 2 [s]. v) Luego la part́ıcula acelera (en sentido negativo) con una aceleración constante a0 = −2 [m/s2] hasta que la velocidad sea v1 = −3 [m/s]. vi) A continuación se desplaza con la velocidad v1 hasta llegar a dos metros del punto de partida. vii) Finalmente la part́ıcula A frena uniformemente hasta quedar en reposo en el punto de partida (x0 = −4 [m]). a) Haga un gráfico detallado de x(t) y v(t). b) Encuentre la velocidad media de la part́ıcula A entre los instantes t = 6 [s] y t = 13 [s]. c) ¿En qué instante el alejamiento desde el punto de partida es máximo y cuánto es ese alejamiento? 2.5 Solución a algunos de los problemas 47 d) Un segundo móvil B parte en t = 0 desde el origen y se deplaza con velocidad constante vB = 1 [m/s] a lo largo de la misma recta que A. Suponga que cuando los dos móviles se encuentran por primera vez, B se detiene. ¿En qué instante volverán a encontrarse? 30. Un malabarista desea hacer piruetas manteniendo en forma rotativa, con una ma- no, tres manzanas en el aire. Si el malabarista desea hacer lanzamientos cada 0,5 s, determine la altura a la cual usted le aconsejaŕıa lanzar cada manzana. 31. Desde la altura H con respecto al piso se deja caer un macetero. En ese instante, y desde el primer piso, un ascensor acelera hacia arriba con aceleración αg, (α < 1). Si el ascensor tiene una altura h, (h < H) y parte del reposo, calcule el tiempo que demora el macetero en pasar desde el techo al piso del mismo. Para no hacer trágica la situación, suponga que la trayectoria (recta) del macetero pasa al lado del ascensor. 32. Dos móviles A y B (puntuales) están restringidos a moverse sobre el eje x de cierto sistema de coordenadas. Inicialmente A se desplaza a 10 m/s, mientras que B se encuentra en reposo en el origen del sistema de coordenadas. En t = 0 cuando A se encuentra en xA = 100 m, el móvil B comienza a ser uniformemente acelerado en la dirección positiva del eje x con aceleración a1 = 1 m/s2. Este movimiento continúa hasta que B se encuentra a 22 m de A. Entonces B deja de acelerar y simultáneamente env́ıa un mensaje al móvil A, que demora 0,5 s en llagar a destino. Tan pronto A recibe el mensaje, se detiene. a) ¿Cuál es la velocidad c con que se propaga el mensaje entre A y B? Suponga que la velocidad con que viaja el mensaje es constante. b) ¿Cuál es la velocidad de B en el instante en que env́ıa el mensaje? c) ¿Cuál es el desplazamiento de B entre t = 0 y el instante en que choca con A? d) ¿Cuál es la velocidad media de B entre t = 0 y el instante en que choca con A? 2.5. Solución a algunos de los problemas Solución al problema 19 Sea x la dirección a lo largo de la cual ocurre el movimiento y denotemos, respectivamente, con s(t), v(t) y a(t) a la posición , velocidad y aceleración que tiene la part́ıcula en el instante t. Las condiciones iniciales son s(0) = 0 y v(0) = 50 m/s. Conociendo s(0), v(0) podemos encontrar a(0). En efecto a(0) = −ηv(0). Usando las expresiones { v(t + ∆) ' v(t) + a(t) ∆ s(t + ∆) ' s(t) + v(t) ∆ (∗) . 50 Cinemática en una dimensión Solución al problema 27 Los tiempos t1, que el salvavidas tarda pa- ra correr de A a P y t2, que tarda para nadar de P a B vienen dados por t1 = √ x2 + z2a v1 . y t2 = √ (L− x)2 + z2b v1 . Por lo tanto, el tiempo total que tarda en ir de A a B es T = √ x2 + z2a v1 + √ (L− x)2 + z2b v1 . Figura 2.20 En la expresión anterior L, za y zb son fijos; el valor de x se debe determinar de manera que T sea mı́nimo. Encontrar el mı́nimo de T en función de x es equivalente a encontrar los ceros de la función derivada dT/dx: dT (x) dx = ĺım ε→0 T (x + ε)− T (x) ε = x v1 √ x2 + z2a − (L− x) v2 √ (L− x)2 + z2b . La derivada tiene ceros si x v1 √ x2 + z2a = (L− x) v2 √ (L− x)2 + z2b . Pero x√ x2 + z2a = sinα y (L− x)√ (L− x)2 + z2b = sinβ , luego, T (x) tiene un extremo en función de x cuando sinα v1 = sinβ v2 . No es dif́ıcil convencerse que tal extremo corresponde a un mı́nimo (y no a un máximo). 2.5 Solución a algunos de los problemas 51 Solución al problema 29 a) Impĺıcitamente supondremos que las distancias estarán expresadas en metros, el tiempo en segundos, las velocidades en m/s y las aceleraciones en m/s2. De acuerdo al enunciado se tiene: Punto de partida: x(0) = −4, v(0) = 2 Entre t = 0 y 4, v(t) = 2, lo que corresponde a una ĺınea horizontal en el gráfico v en función de t (ver figura 2.21). Entre t = 0 y 4 se tiene una recta con pendiente 2, en el gráfico x(t) en función de t (ver figura 2.22). La posición en t = 4 es x(4) = x(0) + v0 · 4 = −4 + 2 · 4 = 4. A partir de t = 4, en el gráfico v en función de t, la velocidad estará representada por una recta hasta llegar a v0/2 = 1. Durante el proceso de frenado que tarda hasta cierto instante t̃, la part́ıcula avanza 3 metros, o sea, el área bajo la curva v(t) entre t = 4 y t̃ debe ser 3. No es dif́ıcil darse cuenta de que t̃ debe ser 6. La aceleración entre t = 4 y t = 6 es a1 = −0,5 (es la pendiente en el gráfico 2.21). De acuerdo al enunciado, la part́ıcula avanza 3 metros durante el frenado, o sea, x(6) = x(4) + 3 = 7. El gráfico de x(t), entre t = 4 y t = t̃ = 6 será parabólico con curvatura negativa. Otra forma de encontrar la posición en t = 6 es usando la expresión x(6) = x(4) + v(4) · (6− 4) + 0,5 a1 · (6− 4)2, o sea, x(6) = 4 + 2 · 2− 0,5 · 0,5 · 22 = 7. De t = 6 hasta t = 8 (durante 2 segundos) la velocidad se mantiene constante. El gráfico de v(t) es una recta horizontal con velocidad 1. El área bajo el gráfico v(t) entre t = 6 y 8 nos da la distancia que A avanza en ese intervalo. Tal área es 2, luego x(8) = 7 + 2 = 9. Durante este intervalo x(t) es representado por una recta (velocidad constante). Se tiene que v(8) = 1. La part́ıcula desacelera con aceleración a0 = −2 hasta que la velocidad sea −3. Se observa inmediatamente que para ello debe desacelerar durante 2 segundos. Entonces v(10) = v(8) + a0 · (10− 8) = 1− 2 · (10− 8) = 1− 4 = −3. Entre t = 8 y 10 el gráfico de v(t) es una recta (aceleración constante). Podemos encontrar la posición de la part́ıcula en t = 10: x(10) = x(8) + v(8) · (10 − 8) + 0,5 a1 · (10− 8)2, o sea, x(10) = 9 + 1 · 2 + 0,5 · (−2) · 22 = 7. En t = 10 la part́ıcula se encuentra en x(10) = 7 y su velocidad es v(10) = −3. La part́ıcula sigue a velocidad constante hasta llegar a dos metros del punto de partida (o sea, hasta llegar a −2 metros). La part́ıcula, por lo tanto, deberá recorrer 9 metros. Con v1 = −3 [m/s] tardará para ello 3 segundos. O sea, entre t = 10 y t = 13 la velocidad será constante (linea horizontal) en el gráfico v en función de t. A partir de t = 13 la part́ıcula frena uniformemente hasta quedar en reposo en el punto de partida. El gráfico de v(t) es por lo tanto una recta hasta cero. El área bajo la curva entre t = 13 y el instante en que queda en reposo debe ser −3 (la part́ıcula A debe recorrer aún dos metros hacia la izquierda para llegar al punto de partida). Es claro que para ello tardará 4/3 segundos. 52 Cinemática en una dimensión Entre t = 13 y t = 14, 3, la part́ıcula recorre −2 metros. El gráfico de x(t) es una parábola curvada hacia arriba que llega a t = 14, 3 con pendiente nula. Figura 2.21 Figura 2.22 b) En t = 6 y t = 13 la part́ıcula A se encuentra en x(6) = 7 y x(13) = −2, respectivamente. La velocidad media entre esos dos instantes es v = (−2)− 7 13− 6 = −9/7 m/s . 2.6 Elementos del cálculo infinitesimal e integral 55 d) df(g(t)) dt = ḟ(g(t)) ġ(t) . Demostración de c): De la definición de la derivada se deduce que, para ε muy pequeño f(t + ε) = f(t) + ε ḟ(t) . (∗) Con esta relación, y una análoga para la función g(t), se deduce que d(f(t) g(t)) dt = ĺım ε→0 1 ε [f(t + ε) g(t + ε)− f(t) g(t)] = ĺım ε→0 1 ε [ (f(t) + ε ḟ(t)) (g(t) + ε ġ(t))− f(t) g(t) ] = ĺım ε→0 1 ε [ ε ḟ(t) g(t) + ε f(t) ġ(t) + ε2 ḟ(t) ġ(t) ] = ḟ(t) g(t) + f(t) ġ(t) . Demostración de d): d dt f(g(t)) = ĺım ε→0 1 ε [f(g(t + ε))− f(g(t))] = ĺım ε→0 1 ε [f(g(t) + ε ġ(t))− f(g(t))] Pero, usando nuevamente la ecuación (∗), se tiene f(g + ε ġ) = f(g) + (ε ġ) ḟ(g) , luego d dt f(g(t)) = ĺım ε→0 1 ε [ f(g(t)) + ε ġ(t) ḟ(g(t))− f(g(t)) ] = ḟ(g(t)) ġ(t) . En un gráfico de la función f(t) en función de t, la expresión (integral) A = ∫ b a f(t) dt representa al área delimitado por la fun- ción f(t) y el eje t entre t = a y t = b (ver figura). Figura 2.23 Propiedades: 56 Cinemática en una dimensión a) ∫ b a α f(t) dt = α ∫ b a f(t) dt . b) ∫ b a [ f(t) + g(t) ] dt = ∫ b a f(t) dt + ∫ b a g(t) dt . c) ∫ b a f(t) dt = ∫ c a f(t) dt + ∫ b c f(t) dt . En muchos casos es posible evaluar la integral A anaĺıticamente. Para ello, se debe encontrar una función F (t) tal que su derivada sea la función que aparece tras el śımbolo integral, o sea, tal que dF (t)/dt = f(t). Entonces A = ∫ b a f(t) dt = F (t) ∣∣∣∣b a = F (a)− F (b) . Caṕıtulo 3 Cinemática en dos y tres dimensiones En este caṕıtulo extenderemos la descripción del movimiento de una part́ıcula a dos y tres dimensiones. Esto nos lleva a introducir el concepto de vector, cuya definición y propiedades ilustraremos con los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración. 3.1. Vectores Consideremos el movimiento de una part́ıcula en un plano. La posición de la part́ıcula podrá ser claramente especifica- da si se introduce un sistema de ejes per- pendiculares que se intersectan en un pun- to, que llamaremos el “origen” (ver figura 3.1). Por ejemplo, el punto P en la figura 3.1 se encuentra a 3 m a la derecha del origen, medidos a lo largo de la dirección del eje x, a 2 m sobre el origen, medidos a lo lar- go del eje y. En general, la posición de un punto cualquiera queda determinada dan- do un par ordenado (x, y) de números, en el sentido que siempre el primer número corresponderá a la proyección sobre el eje x̂ y el segundo número a aquélla sobre el eje ŷ. Figura 3.1 El trazo que une el origen O con el punto P , en el sentido que indica la punta de flecha en la figura 3.1, se denomina el vector de posición ~rp del punto P . La magnitud de este vector es igual a la longitud del trazo OP y se denota por |~rp| o simplemente como rp (sin flecha). Rigurosamente, un vector es un objeto que, más allá de poseer las caracteŕısticas descritas, está definido por la existencia de una operación de suma entre vectores y la multiplicación 60 Cinemática en dos y tres dimensiones Sea ~A = (Ax, Ay) un vector cualquiera del plano xy, con componentes cartesia- nas Ax y Ay. Expresemos las componen- tes del vector en función de su magnitud y del ángulo θ que forma con el semieje x positivo. La figura 3.5 muestra que Ax = A cos θ Ay = A sin θ , donde A = | ~A| = √ (A2x + A2y) y tanφ = Ay Ax . Figura 3.5 De esta manera, un vector en un plano queda determinado si se conocen sus componentes cartesianas, o si se conoce su magnitud A y el ángulo que forma con el semieje x positivo (referidos a un sistema de coordenadas dado). Los números (A,φ) reciben el nombre de coordenadas polares del vector ~A. Vectores Unitarios. Al dividir un vector ~A por su magnitud se obtiene un nuevo vector â, de módulo uno, cuya dirección y sentido coinciden con aquellos del vector ~A. En efecto, â = ~A A = ( Ax A , Ay A ) |â| = √ (Ax/A)2 + (Ay/A)2 = √ A2x + A2y A2 = 1 . A cada vector se le puede asociar un vector unitario. Existen, sin embargo, tres vectores unitarios que merecen mención especial. Estos son los vectores unitarios x̂, ŷ y ẑ que apuntan en sentido positivo sobre cada uno de los ejes coordenados de un sistema cartesiano en tres dimensiones. La figura 3.6 muestra la descomposición de un vector arbitrario ~A en la suma de tres vectores: un vector Axx̂ , paralelo al eje x, otro Ayŷ paralelo al eje y y un ter- cero Az ẑ paralelo al eje z. Es decir, ~A = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ . Figura 3.6 Producto escalar o producto punto de dos vectores 3.1 Vectores 61 Sean ~A = (Ax, Ay, Az) = Axx̂ + Ayŷ + Az ẑ y ~B = (Bx, By, Bz) = Bxx̂ + Byŷ + Bz ẑ dos vectores arbitrarios. Se define el pro- ducto punto entre los vectores ~A y ~B me- diante la expresión ~A · ~B ≡ | ~A| | ~B| cos γ , Figura 3.7 donde γ es el ángulo entre los dos vectores (ver figura 3.7). De la definición se desprende que el producto punto de dos vectores es un número real. Además, y esto es muy importante, es independiente de la orientación del sistema de coor- denadas. Usando la definición de producto punto es inmediato que x̂ · x̂ = ŷ · ŷ = ẑ · ẑ = 1 y x̂ · ŷ = x̂ · ẑ = ŷ · ẑ = 0 . Otras caracteŕısticas importantes del producto punto son su conmutatividad ~A · ~B = ~B · ~A y distributividad ~A · ( ~B + ~C) = ~A · ~B + ~A · ~C . Evaluemos el producto punto entre los dos vectores ~A y ~B en términos de sus coordenadas. Se tiene ~A · ~B = (Axx̂ + Ayŷ + Az ẑ) · (Bxx̂ + Byŷ + Bz ẑ) = AxBx x̂ · x̂ + AxBy x̂ · ŷ + AxBz x̂ · ẑ + AyBx ŷ · x̂ + AyBy ŷ · ŷ + +AyBz ŷ · ẑ + AzBx ẑ · x̂ + AzBy ẑ · ŷ + AzBz ẑ · ẑ = AxBx + AyBy + AzBz . Resumen: El módulo de un vector y la suma y producto punto de dos vectores vienen dados por | ~A| = √ A2x + A2y + A2z ~A + ~B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) = (Ax + Bx) x̂ + (Ay + By) ŷ + (Az + Bz) ẑ 62 Cinemática en dos y tres dimensiones y ~A · ~B = | ~A|| ~B| cos γ = AxBx + AyBy + AzBz . Note que la última expresión permite evaluar el ángulo entre dos vectores si se conocen sus componentes cartesianas. Ejemplo Evaluemos nuevamente el ángulo entre dos diagonales de un cubo. Sea ~A el vector a lo largo de la diago- nal que une el punto (0,0,0) con el punto (1,1,1) y ~B el vector a lo largo de la diago- nal que une el punto (1,0,0) con el punto (0,1,1). Los vectores ~A y ~B, por lo tanto, pueden escribirse en coordenadas cartesia- nas de la forma ~A = x̂ + ŷ + ẑ y ~B = −x̂ + ŷ + ẑ . Figura 3.8 Evaluemos el producto punto de estos dos vectores. Se tiene ~A · ~B = | ~A| | ~B| cos γ = √ 3 √ 3 cos γ , donde γ es el ángulo entre los dos vectores (o sea, el ángulo entre las dos diagonales). Por otra parte, usando coordenadas cartesianas ~A · ~B = 1 · (−1) + 1 · 1 + 1 · 1 = 1 . De las dos ecuaciones anteriores se deduce que cos γ = 1/3, o sea, γ = 70,53◦. 3.2. Cinemática La generalización de los conceptos de la cinemática de una a dos y tres dimensiones es directa. Supongamos que ~r (t) representa la posición de cierta part́ıcula. Entonces su velocidad y aceleración (instantánea) vendrán dadas por ~v(t) = ~̇r (t) = ĺım ∆→0 ~r(t + ∆)− ~r(t) ∆ y ~a(t) = ~̇v(t) = ~̈r (t) = ĺım ∆→0 ~v(t + ∆)− ~v(t) ∆ . De la expresión anterior se deduce que si ~r (t) = x(t)x̂ + y(t)ŷ + z(t)ẑ , 3.2 Cinemática 65 Figura 3.11 una parábola. Antes de Galileo, los filósofos se esforzaron mucho para intentar explicar este movimiento. Galileo centró su interés buscando la descripción más sencilla y directa. De hecho, lo analizó como una superposición de dos movimientos: i) la tendencia natural de los cuerpos a mantener su velocidad (ley de inercia) y ii) la cáıda libre de un cuerpo debida a la atracción gravitatoria. Ambos movimientos se superponen simultáneamente y dan origen al movimiento parabólico. Una vez aceptado que el movimiento de una part́ıcula en un campo gravitatorio uniforme se puede describir como una superposición de dos desplazamientos que ocurren simultánea- mente, continuamos con la descripción de este movimiento. Para comenzar, especifiquemos el sistema de referencia. El eje x̂ lo elejimos de manera que su dirección coincida con la proyección de la velocidad sobre el plano horizontal, mientras que el eje ẑ lo elegimos hacia arriba (o sea, una part́ıcula al caer acelera en la dirección −ẑ). De acuerdo a nuestra hipótesis, la aceleración en todo instante es ~a(t) = −gẑ. También supondremos que la velocidad en el instante t = 0 viene dada por ~v(0) = v(0)x x̂ + v (0) z ẑ y que la part́ıcula se encuentra en el lugar ~r(0) = ~r0 = x0x̂ + z0ẑ. Analicemos cada una de las componentes por separado. Componente x : La aceleración no tiene componente en la dirección x, o sea, ax = 0 . La velocidad vx es, por lo tanto, constante, igual al valor inicial: vx(t) = v(0)x ∀t . Para el desplazamiento en la dirección x se encuentra que x(t) = x(0) + v(0)x t . 66 Cinemática en dos y tres dimensiones Figura 3.12 Componente z : La aceleración es az = −g . La velocidad vz y el desplazamiento en la dirección z vendrán dados por vz(t) = v(0)z − gt y z(t) = z(0) + v(0)z t− 1 2 gt2 . Estos resultados los podemos condensar escribiéndolos en forma vectorial: ~a(t) = −gẑ ~v(t) = ~v (0) − gtẑ ~r(t) = ~r0 + ~v (0) t− 1 2 gt2ẑ . Ejemplo Un bombardero vuela con una velocidad horizontal v0, constante, y a una altura h en una trayectoria que pasa directamente por sobre su objetivo. ¿A qué ángulo de visión φ debe soltar la bomba, de forma que ésta llegue a su objetivo? (Ignore el efecto debido al roce del aire.) La bomba en el instante en que se deja libre tiene la misma velocidad que el bombardero. Definimos el sistema de coordenadas de acuerdo a lo que se observa en la figura 3.12. Entonces la posición y la velocidad inicial de la bomba vienen dadas por ~r0 = hẑ y ~v0 = v0x̂, respectivamente. ¿Cuánto demora la bomba en caer? La bomba llegará al suelo cuando z(t) = h − gt2/2 = 0. Esto ocurre en el instante τ = √ (2h/g). Durante el intervalo de tiempo τ la bomba alcanza a recorrer una distancia horizontal L = v0 τ . Luego para el ángulo de visión obtenemos tanφ = L h = v0 h √ 2h g = √ 2v20 gh . 3.2 Cinemática 67 Movimiento circular uniforme Consideremos una part́ıcula que gira con rapidez constante sobre una trayectoria circular de radio R (que define el plano x–y). Eligiendo el origen al centro del ćırculo, el ángulo del vector posición con el eje x̂ aumentará uniformemente: φ(t) = φ0 + ω0t , donde φ0 es el ángulo en el instante t = 0 y ω0 es una constante que determina cuán rápido vaŕıa el ángulo (por esta razón se le suele llamar velocidad angular). Las componentes x e y del vector posición vienen dadas por x(t) = R cos φ(t) = R cos(φ0 + ω0t) e y(t) = R sinφ(t) = R sin(φ0 + ω0t). El vector posición es, por lo tanto, ~r(t) = R cos(φ0+ω0t)x̂+R sin(φ0+ω0t)ŷ . Derivando ~r(t) se encuentra la velocidad ~v(t) = − Rω0 sin(φ0 + ω0t)x̂ + Rω0 cos(φ0 + ω0t)ŷ . Evaluemos el módulo de la velocidad (ra- pidez): Figura 3.13 v = |~v(t)| = √ vx(t)2 + vy(t)2 = √ R2ω20 sin 2(φ0 + ω0t) + R2ω20 cos2(φ0 + ω0t) = Rω0 . A pesar de que la rapidez es constante (no depende del tiempo), la velocidad no lo es, ya que continuamente cambia de sentido. Esta última ecuación enseña que la velocidad angular es la rapidez de la part́ıcula dividida por el radio de giro. Evaluando el producto punto entre ~r y ~v: ~r(t) · ~v(t) = x(t)vx(t) + y(t)vy(t) = 0 se encuentra que éste es nulo. Como el producto punto de dos vectores no nulos vale cero sólo si los dos vectores son perpendiculares, se halla que la velocidad de una part́ıcula en un movimiento circular uniforme es siempre perpendicular al radio. Derivando la velocidad se encuentra la aceleración: ~a(t) = −Rω20 cos(φ0 + ω0t)x̂−Rω20 sin(φ0 + ω0t)ŷ . 70 Cinemática en dos y tres dimensiones El primer término nos da la aceleración tangencial mientras que el segundo es la aceleración radial. Para el movimiento circular uniforme (es decir, si θ(t) = ω0 t) se obtiene ~a(t) = ~̈r(t) = −Rω20 r̂ , o sea, el mismo resultado encontrado en la sección anterior. 3.4. Problemas 1. Sean ~A, ~B y ~C los vectores ~A = 2x̂ + ŷ , ~B = 3x̂ + ŷ − 2ẑ y ~C = x̂ + 3ŷ − ẑ . a) Encuentre el módulo de ~A, ~B y ~C. b) Encuentre el módulo del vector suma, o sea, evalúe D = | ~D| = | ~A + ~B + ~C| . c) ¿Cuál vector es más largo: ~A+ ~B o ~A+ ~C ? En vista de lo calculado en la parte a), ¿le sorprende este resultado? d) Encuentre el ángulo entre los vectores ~B y ~C. Respuesta: d) 49,860. 2. Demuestre que los vectores: ~A = cos (α)x̂ + sin (α)ŷ ~B = cos (β)x̂ + sin (β)ŷ son vectores unitarios que forman un ángulo α y β con el eje x̂, respectivamente. Evalúe ~A · ~B y encuentre una fórmula para cos (α− β). 3. Considere los tres puntos cuyas coordenadas cartesianas vienen dadas por: P1 = (1, 1, 1), P2 = (1, 2, 0) y P3 = (2, 3, 1). Demuestre que ellos definen los vértices de un triángulo rectángulo. 4. Encuentre un vector unitario  que sea simultáneamente perpendicular a los vectores ~u = 2x̂ + ŷ − ẑ y ~v = x̂ − ŷ + ẑ . ¿Cuántos vectores unitarios  existen con esta propiedad? 5. Definamos los vectores: ~s = 1√ 2 (x̂ + ŷ) ~t = 1√ 2 (−x̂ + ŷ) 3.4 Problemas 71 a) Grafique ~s y ~t . b) Evalúe s = |~s | y t = |~t | . c) Encuentre el ángulo entre ~s y ~t . Comentario: Note que ~s y ~t pueden considerarse como un nuevo conjunto de ejes de referencia (ŝ, t̂ ). Para indicar que ~s y ~t son vectores unitarios se ha usado la convención de reemplazar las flechas por tongos. d) Considere los vectores ~A = x̂ + 2ŷ y ~B = 2x̂ − 3ŷ. Exprese estos vectores en términos de los nuevos vectores unitarios, es decir, escriba ~A y ~B de la forma ~A = asŝ + att̂ ~B = bsŝ + btt̂ y evalúe las constantes as, at, bs y bt. e) Evalúe ~A · ~B de dos maneras distintas: primero usando las componentes respecto al sistema de referencia (x̂, ŷ) y luego usando las componentes respecto al sistema de referencia (ŝ, t̂ ). 6. Sea ~A = x̂ + 3ẑ − 2ŷ. Encuentre un vector ~B en el plano x̂, ŷ que sea perpendicular a ~A. Respuesta: ~B = α (2x̂ + ŷ), donde α es un número real no nulo. 7. Considere la siguiente situación en nuestro espacio f́ısico de tres dimensiones: Desde cierto origen emergen cuatro vectores de igual tamaño, de manera que los ángulos entre cualquier par de vectores sean iguales. Encuentre el valor de ese ángulo. (Para resolver este problema relaciónelo con el de las diagonales de un cubo considerado en la sección 3.1.) Comentario: Las “puntas” de los cuatro vectores forman los vértices de un tetraedro regular. La molécula de metano CH4 es un ejemplo de lo arriba planteado. En tal molécula el átomo de carbono se encuentra al centro de los cuatro átomos de hidrógeno que están distribuidos de la manera más regular posible. 8. Encuentre el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de largo, si el vector suma forma un ángulo de 50◦ con el mayor de ellos. Encuentre también la magnitud del vector suma. 9. La suma de dos vectores mide 30 unidades y forma ángulos de 25◦ y 50◦ con ellos. ¿Cuál es la magnitud de cada uno de los vectores? 10. Suponga que la posición ~r de una part́ıcula en función del tiempo t viene dada por: ~r = ~r (t) = r0 ( cos ( t t0 ) x̂ + sin ( t t0 ) ŷ ) , 72 Cinemática en dos y tres dimensiones con t0 = 1 min y r0 = 3 cm. ¿Qué trayectoria recorre la part́ıcula? ¿Cuánto tiempo tarda la part́ıcula en volver al punto de partida? 11. Supongamos que la posición ~r de una part́ıcula en función del tiempo t viene dada por ~r = at x̂ + (b− ct2) ŷ , con a = 2 m/s, b = 10 m y c = 9,8 m/s2. Grafique la trayectoria. ¿Qué tipo de trayectoria es? ¿En qué instante la part́ıcula cruza el eje x̂? 12. Un barco a vapor se dirige hacia el sur con una velocidad ~vb = 25 km/h en un área donde sopla un viento desde el su- roeste con velocidad ~v0 = 18 km/h. En- cuentre el ángulo θ0 que forma el humo emitido por el vapor con la dirección norte–sur (ver figura 3.15). Respuesta: θ0 ' 18, 64o Figura 3.15 13. Considere un disco de radio R = 50 cm que rueda sobre una recta (el eje x̂ ) con una velocidad angular ω = 2 s−1. Considere un punto P ubicado en el peŕımetro del disco, y designe por ~r al vector que va desde el origen hacia el punto P . Encuentre una expresión pa- ra ~r = ~r (t); suponga que en el instante t = 0 el punto P está en el origen. Figura 3.16 Haga un gráfico de ~r (t) para el intervalo t ∈ [0 s , 10 s ]. ¿Cuánto tarda la rueda en dar una vuelta completa? 14. Una part́ıcula recorre una trayectoria circular en el plano x–y, cuyo radio es R = 5 m con una velocidad constante v0 = 15 m/s y en el sentido del reloj. Encuentre el vector posición ~r(t), el vector velocidad ~v(t) y el vector aceleración ~a(t) (en coordenadas cartesianas) si en el instante t = 0 la part́ıcula se encuentra en ~r0 = −5ŷ. 3.4 Problemas 75 23. Una part́ıcula se encuentra en el instante t = 0 en el lugar ~r(0) = 10ŷ cm y tiene una velocidad ~v(0) = 2x̂ cm/s. La aceleración en todo instante es ~a = −G ~r r3 , con G=200 cm/s2. Encuentre numéricamente la trayectoria de la part́ıcula para t ∈ [0, 3,5 s]. ¡Grafique! Indicación: programe las siguientes relaciones ~r(t + ∆) ' ~r(t) + ~v(t) ∆ ~v(t + ∆) ' ~v(t) + ~a(t) ∆ ~a(t + ∆) = −G~r(t + ∆)/r3(t + ∆) . 24. Calcule la máxima distancia ∆ que un objeto puede alejarse del borde de un “peldaño” para evitar ser alcanzado por los objetos lanzados con velocidad v0 desde el punto A. La distancia desde A al borde del peldaño es L y la altura de éste es H. Figura 3.22 25. Un proyectil se lanza con velocidad ini- cial v0 y ángulo de lanzamiento θ, am- bos conocidos. El proyectil sobrepasa una barrera rectangular de ancho a co- nocido, pero altura h desconocida, ro- zando sus dos vértices A y B (ver figu- ra 3.23). Encuentre la distancia d que separa el punto de lanzamiento con la pared más cercana al obstáculo. Tam- bién encuentre la altura h de la barre- ra. Figura 3.23 26. Una part́ıcula tiene un vector posición dado por ~r = 30 · t x̂ + (40 · t− 5 t2)ŷ, donde r está en metros y t en segundos. Encuentre los vectores velocidad y aceleración instantáneas. 76 Cinemática en dos y tres dimensiones 27. Desde una distancia d del borde rec- to de un tobogán se dispara una bengala. Si el tobogán tiene una al- tura h y un largo b, determinar am- bas componentes de la velocidad ini- cial del proyectil para que éste ate- rrice sobre el vértice superior del to- bogán de manera que su velocidad sea paralela al plano inclinado. Figura 3.24 Respuesta: ~v = d √ g b 2 h (b + d) x̂ + (2 b + d) √ h g 2 b (b + d) ẑ . 28. Supongamos que r(t) y θ(t) son las coordenadas polares de un punto que se mueve en un plano. Demuestre que la velocidad de tal punto, en coordenadas cartesianas, viene dada por ~v(t) = [ dr dt cos θ − r dθ dt sin θ ] x̂ + [ dr dt sin θ + r dθ dt cos θ ] ŷ = [ ṙ cos θ − r θ̇ sin θ ] x̂ + [ ṙ sin θ + r θ̇ cos θ ] ŷ . Encuentre la velocidad en coordenadas cartesianas para los tres casos del problema 22. 29. Una part́ıcula tiene aceleración constante ~a = (6 · x̂ + 4 · ŷ )[m/s2] . En t = 0 la velocidad es cero y el vector posición es ~x0 = 10 · x̂ [m]. a) Encuentre los vectores velocidad y posición en un instante t cualquiera. b) Encuentre la ecuación de la trayectoria en el plano y dibújela. 30. De un cañón se disparan dos proyectiles: el primero con un ángulo de elevación θ1 = 60◦ y el segundo con un ángulo de elevación θ2 = 45◦. La velocidad de los proyectiles, al emerger del cañón es v0 = 250 m/s. Despreciando la resistencia del aire, encuentre el intervalo de tiempo entre los dos disparos que asegure que los proyectiles choquen. 3.4 Problemas 77 31. La figura indica la conexión en una caja de cambios de un automóvil. Encuentre la razón entre los radios de ambos en- granajes, que es la misma para ambos pares, si uno desea que en la primera marcha, con el motor a 2000 RPM, el auto tenga una velocidad de 30 Km/h. Por cada cinco vueltas en la salida de la caja de cambios, las ruedas, cuyo radio es de 50 cm, dan una vuelta. Figura 3.25 32. Consideremos una turbina hidráulica. Supongamos que el agua ingresa a la turbina con una velocidad ~v, con v = |~v| = 15 m/s, formando un ángulo con la tangente al rotor en el punto de en- trada α = 30◦ (ver figura 3.26). Su- ponga además que el radio externo del rotor es R = 2 m y que, en su estado estacionario, el rotor gira a 30 RPM (o sea, con frecuencia ν = 0, 5 s−1). La forma de las paletas de un rotor de una turbina hidráulica es tal que la ve- locidad relativa entre el agua que ingre- sa a la turbina y la paleta en el punto de entrada, sea tangente a la paleta (de esta manera el agua ingresa a la turbi- na sin choques). Figura 3.26 Determine el ángulo β entre la paleta del rotor y la tangente al rotor en el punto de entrada de agua. Encuentre también la velocidad relativa vr del agua (respecto a la paleta) en ese punto. Respuesta: tanβ = v sinα v cos α − 2πRν ; vr = 10, 06 [m/s] . 33. Una part́ıcula se mueve en el plano xy con una velocidad (que depende de la posición) ~v = ax̂+bxŷ, donde a y b son constantes. En el instante inicial la part́ıcula se encuentra en el origen (x(0) = y(0) = 0). Encuentre la ecuación de la trayectoria y(x). Respuesta: y(x) = b 2a x2 . 80 Cinemática en dos y tres dimensiones Ogú, un ingenioso troglodita, desarrolló un método para cazarla aprovechando que el ave no tiene coraza sobre el dorso. El disparaba flechas que impactaran al avix por arriba. Dados la velocidad del ave vave, la altura h a la que vuela, la velocidad v0 con que la flecha es impulsada por el arco y el ángulo θ (respecto a la horizontal) con que el troglodita dispara la flecha, calcular: a) El tiempo que le toma a la flecha pasar por la altura h la segunda vez. b) El valor de la distancia d entre el ave y la vertical por el punto de lanzamiento, en el instante del lanzamiento, para que la flecha impacte al ave. Figura 3.32 41. Se lanzan dos proyectiles A y B de modo que tienen igual alcance horizontal L. A se lanza horizontalmente desde una altura h, que es igual a la altura máxima que alcanza B durante su vuelo (ver figura 3.33) a) Calcule la razón entre los tiempos de vuelo de A y B. b) Calcule la razón entre las compo- nentes horizontales de la veloci- dad de los proyectiles. c) ¿Cuál es la rapidez (magnitud de la velocidad) de cada uno de ellos al llegar al suelo? Figura 3.33 3.5 Solución a algunos de los problemas 81 3.5. Solución a algunos de los problemas Solución al problema 18. Coloquemos el origen en el lugar en que está ubicado el cañón y sean x̂ y ẑ los ejes horizontal y vertical, respectivamente. La posición de la bala (siendo t = 0 el instante del disparo) vendrá dada por las coordenadas x(t) = v0 cos θ0 t y z(t) = v0 sin θ0 t− 1 2 gt2 . La componente vertical de la velocidad de la bala será vz(t) = v0 sin θ0 − gt . Sea t∗ el instante en que la bala penetra por la ventana. En ese instante deben cumplirse las relaciones v0 cos θ0 t∗ = Dy v0 sin θ0 t∗ − 1 2 gt∗2 = h . La condición de que la bala penetre en forma horizontal por la ventana exige que en t∗ la velocidad vertical de la bala sea nula. O sea, además de las dos relaciones anteriores, debe cumplirse que v0 sin θ0 − gt∗ = 0 . Despejando t∗ de la última relación y reemplazándola en las dos anteriores se obtiene v20 sin θ0 cos θ0 = Dg (1) y v20 sin 2 θ0 = 2hg . (2) Dividiéndo la última por la antepenúltima se encuentra tan θ0 = 2h D . Esta relación permite encontrar el ángulo de elevación del disparo θ0. Para determinar el valor de v0 elevamos al cuadrado la ecuación (1): v40 sin 2 θ0 (1− sin2 θ0) = D2g2 . Despejando sin2 θ0 de (2), sustituyéndolo en la última ecuación se encuentra para v0 la expresión v20 = (D2 + 4h2)g 2h . 82 Cinemática en dos y tres dimensiones Solución al problema 30. Sea xy el plano en que se mueven los proyectiles, ẑ el eje que apunta hacia arriba y colo- quemos el origen en el lugar en que se encuentra el cañón. Sea t el tiempo transcurrido desde el disparo de la bala # 1. La posición de esa bala viene dada por { z1(t) = v0 sin θ1 t− 12gt 2 x1(t) = v0 cos θ1 t . Sea t′ el tiempo transcurrido desde el disparo de la bala # 2. La posición de la segunda bala viene, análogamente, dada por{ z2(t′) = v0 sin θ2 t′ − 12gt ′2 x2(t′) = v0 cos θ2 t′ . Para que las balas choquen deben coincidir las dos coordenadas de ambas balas, o sea, debe cumplirse cosθ1 t = cosθ2 t′ (3.3) y v0 sin θ1 t− 1 2 gt2 = v0 sin θ2 t′ − 1 2 gt′2 . (3.4) Despejando t′ de la primera de estas ecuaciones y reemplazándola en la segunda se obtiene v0 sin θ1 t− 1 2 gt2 = v0 sin θ2 cos θ1 cos θ2 t− 1 2 g cos2 θ1 cos2 θ2 t2 . Luego dividimos por t, multiplicamos por cos θ2 y reordenamos los términos: v0 (cos θ2 sin θ1 − sin θ2 cos θ1) = gt 2 cos θ2 (cos2 θ2 − cos2 θ1) . (3.5) Sea ∆t el tiempo entre ambos disparos. Se tiene entonces que t′ = t − ∆t. Sustituyendo esto en (5.3) se encuentra que t = ( cos θ2 cos θ2 − cos θ1 ) ∆t . (3.6) Sustituyendo esta relación a su vez en (5.6), se obtiene: v0 (cos θ2 sin θ1 − sin θ2 cos θ1) = g 2 (cos2 θ2 − cos2 θ1) cos θ2 − cos θ1 ∆t , o sea, ∆t = 2v0 g sin(θ1 − θ2) cos θ1 + cos θ2 ' 11 s . 3.5 Solución a algunos de los problemas 85 b) La velocidad horizontal de ambos proyectiles es constante. Ambos recorren la misma distancia horizontal y como B para ello demora el doble que A, se deduce que la velocidad horizontal de B debe ser la mitad de la de A. c) La velocidad vertical con que A y B llegan al suelo es la misma (la de una cáıda libre de una altura h). Esta es vv = √ 2gh. El tiempo de cáıda de A es t∗ = √ (2h/g). En ese tiempo A avanza en dirección horizontal una distancia horizontal L. Como la velocidad horizontal es uniforme se deduce que ésta (para la part́ıcula A) debe ser vh = L/t∗ = L √ g/(2h). La rapidez de A cuando llega al suelo es, por lo tanto, |~vA(t∗)| = √ v2v + v2h = √ 2gh + L2g 2h . Para la part́ıcula B la componente vertical de la velocidad es la misma, mientras que la componente horizontal es la mitad de la de A, o sea, |~vB(t∗)| = √ v2v + (vh/2)2 = √ 2gh + L2g 8h . 86 Cinemática en dos y tres dimensiones Caṕıtulo 4 Las leyes de Newton En el presente caṕıtulo enunciaremos y analizaremos las aśı llamadas Leyes de Newton. Recurrir a estas leyes para formular la mecánica clásica presenta algunos inconvenientes, pues permite que se le hagan objeciones desde un punto de vista lógico. A pesar de estas dificultades persistiremos en este camino, es decir, tomaremos las leyes de Newton como el punto de partida para el desarrollo de la mecánica. Las razones para ello son dos: por una parte esta forma de proceder corresponde más de cerca al desarrollo histórico y, por otra, tiene la ventaja de ser una formulación menos abstracta que las otras alternativas. Antes de enunciar las famosas leyes de Newton, debemos discutir algunos conceptos preli- minares. 4.1. Espacio y tiempo En la Mecánica de Newtoniana se supone que las part́ıculas, como también los observadores, “viven” en un espacio euclideano tridimensional. Eso significa, entre otras cosas, que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo que imaginemos en este espacio, es siempre 180o. Otra caracteŕıstica de un espacio euclideano es, por ejemplo, que la suma de dos vectores de desplazamiento es conmutativa. Para darse cuenta como estos conceptos fracasan cuando el espacio es no–euclideano es útil considerar el espacio bi–dimensional formado por la superficie de una esfera. Tal espacio es no–euclideano y en él se presentan varias situaciones curiosas. Por ejemplo, al viajar en ĺınea recta en ese espacio, en algún instante uno vuelve al punto de partida. La suma de los ángulos interiores de un triángulo dibujado sobre tal esfera es mayor a 180o y también la suma de dos vectores es no conmutativa. El espacio que Newton usa para desarrollar la mecánica no sólo es euclideano sino que tam- bién homogéneo e isótropo. Esto significa que todos los lugares del espacio son equivalentes y que el espacio tiene las mismas propiedades en todas las direcciones. Para desarrollar la mecánica también es indispensable decir algo sobre el concepto de tiem- po. Newton usó la suposición de que: “El tiempo matemático, absoluto y verdadero fluye, 90 Las leyes de Newton El cambio de momentum ∆~p de una part́ıcula es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, como también al intervalo ∆t durante el cual ella se aplica, y apunta en la dirección y sentido de esta fuerza, o sea, ∆~p = ~F ∆t . Como primer comentario es necesario decir que esta ley sólo es válida si la fuerza ~F es constante durante el intervalo ∆t y si las magnitudes son observadas desde un sistema de referencia inercial. La segunda ley debemos considerarla como definición del concepto fuerza. Si sobre una part́ıcula actúa una fuerza durante un cierto intervalo de tiempo ∆t, necesariamente cam- biará su velocidad (y por consiguiente también su momentum). La fuerza media que actúa sobre la part́ıcula durante el intervalo ∆t es el cuociente entre el cambio de momentum y el intervalo de tiempo: 〈 ~F 〉 = ∆~p ∆t . La fuerza instantánea se obtiene en el ĺımite ∆t−→0, o sea, viene dada por ~F ≡ d~p dt . Note que la fuerza también es una magnitud vectorial. Si la masa de una part́ıcula no vaŕıa a medida que transcurre el tiempo, entonces ~F = d~p dt = d( m~v ) dt = m d~v dt = m~a . En palabras, la fuerza neta que actúa sobre una part́ıcula es igual al producto de su masa y su aceleración. Si la masa se mide en kg y la aceleración en (m/s2), entonces la fuerza viene dada en Newtons (N). O sea, por definición, en el sistema de unidades SI 1 N ≡ 1 kg · 1 m s2 . Tercera ley: Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro B, entonces este último ejercerá so- bre A una fuerza de igual magnitud y en la misma dirección, pero en sentido opuesto. De acuerdo a la tercera ley, una fuerza nunca aparece en forma solitaria, sino que siempre vendrá acompañada de otras fuerzas, de manera que la suma vectorial de todas ellas sea nula. Es importante señalar que estas fuerzas, denominadas de acción y reacción, actúan siempre sobre objetos diferentes. O sea, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan 4.3 Uso de las leyes de Newton 91 sobre un cuerpo no necesariamente tiene que ser nula. Para que sobre un cuerpo pueda actuar una fuerza neta no nula es necesario que exista al menos un segundo cuerpo. A pesar de que no se menciona expĺıcitamente, al aplicar la tercera ley se supone que la acción y reacción aparecen en forma simultánea. Como dos cuerpos pueden interactuar a distancia (por ejemplo, a través de la interacción gravitacional), el último comentario implica que en la mecánica newtoniana debe existir una manera de transmitir la información de un cuerpo a otro con una velocidad infinita. En la naturaleza tales velocidades infinitas no existen; hoy en d́ıa sabemos que la velocidad de la luz en el vaćıo es un ĺımite superior para las velocidades con que se puede trasladar algo material o información de un lugar a otro. Por esta razón, la tercera ley es generalmente una muy buena aproximación, pero no tiene una validez universal; por ejemplo, en colisiones atómicas no es siempre aplicable. 4.3. Uso de las leyes de Newton Para aprender a manejar las leyes de Newton y comprender su significado, lo mejor es ilustrar su uso en algunas situaciones concretas. Ejemplos: 1. Analicemos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que cae. Debido a la atracción gravitatoria, todo objeto sufrirá una fuerza que apunta hacia el centro de la tierra. Es esta fuerza la que acelera al cuerpo durante su cáıda. ¿Cuál es el tamaño de esta fuerza? Sabemos que al realizar experimentos con cuerpos sobre la superficie terrestre, al soltarlos todos ellos caen con la misma aceleración hacia la superficie. Esta aceleración constante, llamada aceleración de la gravedad, se denota por g, y su valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2. (En realidad, al realizar estos experimentos hay que asegurarse de que los efectos de la densidad y viscosidad de la atmósfera sean despreciables. Más aún, el experimento debe realizarse sin alejarse demasiado—a lo más unas pocas decenas de kilómetros—de la superficie terrestre.) Conociendo la aceleración del cuerpo y su masa m podemos (usando la segunda ley de Newton) establecer cuál es la fuerza gravitacional que actúa sobre el cuerpo. Definiendo al vector unitario ẑ como un vector que apunta hacia arriba, el vector aceleración del cuerpo vendrá dado por ~a = −gẑ. La fuerza sobre el cuerpo es entonces ~F = m (−g ẑ) = −mgẑ . A la magnitud de esta fuerza gravitacional es lo que se llama peso del objeto. Usando la letra W para denotar al peso se tiene |~F | ≡ W = m g = peso del objeto . 92 Las leyes de Newton 2. Analicemos las fuerzas que actúan sobre un libro de masa M , en reposo sobre una mesa (superficie horizontal). Ya sabemos que sobre el libro actúa una fuerza, debido a la gravedad terrestre, que es ~W = −Mgẑ . Por otra parte, debido a que el libro se encuentra (y se mantiene) en reposo, la fuerza neta sobre el libro debe ser nula. ¿Quién o qué ejerce otra fuerza, igual a − ~W , sobre el libro? La respuesta es: la mesa. Efectivamente, el libro se apoya sobre la mesa y la superficie de ella ejerce sobre el libro una fuerza hacia arriba, llamada reacción, cuya magnitud es igual al peso del libro. Introduzcamos los aśı llamados diagramas de cuerpo libre: Al analizar las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo es conveniente aislarlo del resto de los objetos que interactúan con él. Para ello cada objeto que interactúa con este cuerpo es sustituido por una fuerza que cumple con la tercera ley de Newton. El resultado de esta operación es el aśı llamado diagrama de cuerpo libre del objeto. Para el caso del libro, la interacción de éste con la tierra se reemplaza por el vector ~W que apunta hacia abajo y cu- ya magnitud coincide con el peso del libro; el efecto de la mesa sobre el li- bro se reemplaza por el vector ~R, (ver figura 4.1). Si el libro se mantiene en reposo, la segunda ley de Newton re- quiere que ~W + ~R = 0. Figura 4.1 3. Consideremos un objeto de masa m que cuelga del techo sujetado por una cuerda ideal (ver figura 4.2). ¿Cuál es la fuerza que la cuerda ejerce sobre el gancho en el techo y cuál es la tensión de la cuerda? Una cuerda ideal es una cuerda que, a menos que se especifique lo contrario, no tiene masa, es perfectamente flexible y no es extensible. Que una cuerda sea perfectamente flexible quiere decir que sólo es capaz de transmitir una fuerza a lo largo de ella; no puede ejercer fuerzas transversales. Figura 4.2 Sobre el objeto actúan dos fuerzas; una es el peso ~W = −mgẑ y la otra es la fuerza ~F1 ejercida por la cuerda. Como el objeto no acelera, la fuerza neta (es decir, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él) debe ser nula. Por consiguiente, ~F1 = − ~W .