ondas eletromagneticas 1

ondas eletromagneticas 1

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ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA – Prof. Dr. Airton Ramos

4)Ondas

178 Eletromagnéticas

Introdução

Um dos fatos mais importantes do eletromagnetismo, tanto teórico quanto experimental, é a existência de ondas acopladas de campo elétrico e magnético, que se propagam para longe das fontes, transportando parte da energia fornecida pelo agente físico que mantém as distribuições de carga e corrente no sistema. Sabe-se que isso ocorre apenas para fontes dependentes do tempo. As relações de interdependência entre os campos são precisamente definidas nas equações das leis de Ampere e Faraday. Na lei de Ampere existe uma parcela do rotacional do campo magnético que é proporcional à derivada no tempo do campo elétrico. De modo análogo, na lei de Faraday, o rotacional do campo elétrico é proporcional à derivada no tempo do campo magnético. A partir dessas relações, verificamos que campos estáticos são independentes entre si e campos variáveis no tempo são mutuamente dependentes um do outro. Mostraremos, neste capítulo, que essa dependência mútua resulta em equações de onda idênticas para ambos os campos. Os seja, os campos elétrico e magnético de fontes variáveis no tempo têm a forma matemática de distribuições que se deslocam no espaço na medida em que o tempo passa. Esse fenômeno é denominado de onda eletromagnética. A origem das ondas eletromagnéticas pode ser atribuída à irradiação de cargas elétricas em movimento não uniforme. Sabe-se muito bem que uma carga fixa em um certo referencial inercial gera campo elétrico radial isotropicamente distribuído em torno da posição da carga (Figura 4.1a). Além disso, uma carga estática não produz campo magnético. É possível mostrar teoricamente que uma carga em movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante, também produz campo elétrico radial, porém não mais isotropicamente distribuído no espaço. O campo é

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associadas à onda eletromagnética gerada pela carga acelerada

mais intenso na direção perpendicular à direção do movimento da carga (Figura 4.1b). Uma carga em movimento uniforme também produz campo magnético, e este campo está na direção azimutal em relação à direção do movimento. Finalmente, uma carga acelerada produz campo elétrico que, além da componente radial, também apresenta uma componente na direção polar em relação à direção do movimento (Figura 4.1c). Esta componente de campo elétrico polar e o campo magnético azimutal constituem as componentes de campo e r re r φh r

ctev =r q re r φh r

∫= dtav r q θe r φh r θe r

( a )( b )

( c ) e r e r re r φh r re r φh r ctev =r q re r φh r

∫= dtav r q θe r φh r θe r re r φh r

∫= dtav r q θe r φh r θe r

( a )( b )

( c )

Figura 4.1 – Representação esquemática da irradiação de uma carga acelerada.

O Teorema de Poynting que será demonstrado neste capítulo estabelece que existe um fluxo de energia eletromagnética cuja densidade de potencia é dada por he rr×, onde os campos são provenientes da mesma fonte. Com base neste resultado, podemos concluir que apenas a carga acelerada irradia energia na direção radial, ou seja, pra longe de sua própria posição. Este processo está na base de diversos fenômenos conhecidos, como a radiação de frenagem de

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ciclotron

partículas em alta velocidade (como ocorre em tubos de raios x) e a radiação de As ondas eletromagnéticas são geradas continuamente pela matéria ordinária, a partir do incessante movimento de suas partículas elementares. Sempre que um átomo transita de um estado de maior energia para um de menor energia, ele irradia a diferença na forma de ondas eletromagnéticas. Este é o principal processo gerador de luz no universo. Isso tanto acontece no interior das estrelas a partir de reações nucleares, quanto no interior de um filamento metálico aquecido, devido à excitação e de-excitação de estados eletrônicos nos átomos. Mesmo à temperatura ambiente, qualquer amostra de matéria irradia continuamente devido à ativação de estados rotacionais e vibracionais moleculares, embora nesse caso, não se trate de radiação visível. Mas, ondas eletromagnéticas também podem ser geradas por equipamentos produzidos pelo homem. Qualquer sistema elétrico baseado em corrente alternada irradia uma parte de sua energia na forma de ondas. O exemplo mais característico disso é a antena, uma estrutura metálica excitada por corrente alternada que acopla eficientemente um gerador de corrente alternada ao espaço livre, a fim de obter ondas eletromagnéticas. As ondas eletromagnéticas constituem uma das formas mais importantes e básicas de interação e troca de energia entre sistemas físicos, sendo responsáveis por uma série de fenômenos bem conhecidos de todas as pessoas, como a visão, as cores dos objetos, o aquecimento produzido pelo sol e outros irradiadores, etc. As ondas eletromagnéticas também constituem a base de funcionamento de muitos sistemas e equipamentos modernos tais como os sistemas de telecomunicações, os fornos de microondas, os equipamentos ópticos e assim por diante. Uma vez emitida, a onda eletromagnética não depende mais da fonte que a produziu. As ondas eletromagnéticas se propagam em alta velocidade e transportam energia na direção de propagação. Objetos interceptados pelas ondas eletromagnéticas, via de regra, absorvem uma parte da energia transportada ao

ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA – Prof. Dr. Airton Ramos mesmo tempo em que espalham o restante da energia disponível em várias direções do espaço. Este Capítulo trata do estudo da geração e propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e em meios materiais, bem como de alguns eventos conseqüentes da interação de ondas eletromagnéticas com a matéria. Uma vez que este estudo exige o conhecimento básico da teoria ondulatória, sugere-se a leitura do Apêndice 4.1 àqueles que não estejam familiarizados com o tema.

Análise no domínio da freqüência

Os capítulos anteriores desenvolveram a teoria eletromagnética no domínio do tempo. Iniciamos este capítulo com a descrição da análise eletromagnética no domínio da freqüência por ser extremamente vantajosa a sua aplicação no estudo das ondas eletromagnéticas. A análise no domínio da freqüência exige a aplicação do princípio da superposição e portanto, somente pode ser usada em sistemas lineares. As equações de Maxwell expressam relações lineares entre os campos e as fontes no vácuo. Dentro da matéria, isso também se aplica desde que as propriedades macroscópicas condutividade, permissividade e permeabilidade sejam independentes dos campos aplicados.

Superposição

Sejam as fontes densidade de carga e densidade de corrente em um sistema eletromagnético, definidas como a soma de diversas parcelas:

(4.1)∑=∑ρ=ρn

vnv j de tal modo que cada par de valores []nvnj,rρ satisfaz individualmente a equação de continuidade:

(4.2)t

então, os campos produzidos por essas fontes também podem ser descritos pelo somatório de diversas parcelas, ou seja:

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(4.3)∑=∑=∑=∑=n

182 n hbed de modo que cada conjunto das componentes correspondente dessas grandezas

[ ]nnnnnvn h,b,e,d,j, rρ satisfaz individualmente as equações de Maxwell, isto é:

(4.4)t

bet

Na descrição macroscópica dos campos em meios materiais, contudo, a linearidade será mantida desde que a polarização, a magnetização e a condução no meio sejam proporcionais aos campos aplicados, ou seja, desde que a permissividade elétrica, a permeabilidade magnética e a condutividade do material sejam independentes das intensidades dos campos. Assim sendo, podemos escrever:

(4.5)nnnnnnejhbed

rσ=μ=ε=

Análise fasorial

A análise fasorial é uma técnica de representação e solução de equações diferenciais temporais aplicável a sistemas lineares excitados por fontes que variam no tempo segundo as funções trigonométricas tsenω e tcosω ou segundo as funções exponenciais complexas tjeω e tjeω−. Todas essas funções têm a característica comum de serem periódicas e monocromáticas (freqüência única). Estas funções podem ser representadas de maneira geral pelas expressões:

(4.6))t(j)t(jee)tcos()t(senθ+ω−θ+ωθ+ωθ+ω

onde o argumento )t(θ+ω é denominado de fase, ω é a freqüência angular e θ é a fase inicial. Usando a identidade de Euler (δ+δ=δsenjcosej), podemos escrever as funções trigonométricas na forma de funções exponenciais:

(4.7)[])t(j)t(jee
(4.8)[])t(j)t(jee2

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Um sistema descrito por equações diferenciais lineares e excitado por uma fonte monocromática, terá necessariamente como resposta, funções monocromáticas no tempo com a mesma freqüência da fonte. Assim qualquer sistema eletromagnético com fontes monocromáticas em um meio linear, pode ser analisado considerando-se que as respostas, tanto para os potenciais quanto para os campos, são funções monocromáticas do tempo. Esta análise é mais convenientemente realizada usando-se as funções exponenciais complexas, conforme se verá a seguir. Definimos o fasor correspondente a uma função monocromática do tempo como uma quantidade complexa cujo módulo é a amplitude dessa função e cujo ângulo polar é igual à fase inicial dessa função. Em um sistema eletromagnético excitado por fontes monocromáticas, os fasores que descrevem à densidade de carga e a densidade de corrente podem ser escritos na forma:

(4.9)jjojoejJeθρθ=ρ=Γr

enquanto que para os campos e potenciais gerados temos:

(4.10)

ajojohj o bjoejodj o eaAeehH ebBeeEedD θϕθθ

Onde as amplitudes e as fases podem variar com a posição no espaço mas não dependem do tempo. Usaremos a convenção de representar um fasor por letras maiúsculas, enquanto mantemos a convenção até aqui adotada de representar funções do tempo por letras minúsculas. Também adotamos o seguinte procedimento para obter uma função do tempo a partir do seu fasor: multiplicados o mesmo por tjeωe extraímos a parte real do resultado. Assim, para as fontes, temos:

(4.1)[]

[] )tcos(jeejReeJRej

)tcos(eeReeRe jo tjjjo o tjjo ρωρθω r e de maneira análoga, para os campos e potenciais, temos:

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(4.12)

)tcos(eeERee)tcos(deDRed ao tjo ho tj bo tj eo tj do tj r r

A análise de um sistema eletromagnético excitado por fontes monocromáticas pode ser realizada por meio da transformação das equações de Maxwell para a forma fasorial, resolução dessas equações no domínio da freqüência e, uma vez obtidas as soluções para os fasores das grandezas desejadas, retornar ao domínio do tempo por meio das transformações indicadas em (4.12). Se diversas fontes com diferentes freqüências estão presentes, as soluções para os potenciais e campos podem ser obtidas como a soma das respostas parciais para cada fonte, de acordo com o princípio da superposição. Trataremos agora de obter a forma fasorial das equações de Maxwell.

Lei de Gauss para a indução elétrica

equação da lei de Gauss para obter:

(4.13)[])tcos()tcos(dodoρθ+ωρ=θ+ω⋅∇r

Substituindo agora as funções cosseno por funções exponenciais de acordo com (4.8), obtemos:

(4.14))t(jo)t(jo)dt(jo)dt(joe2e2e

d e

Comparando os termos que multiplicam as funções tjeωe tjeω−, obtemos as equações:

(4.15)[]ρθθρ=⋅∇jodjoeedr
(4.16)[]ρθ−θ−ρ=⋅∇jodjoeedr

Mas, de acordo com (4.9) e (4.10) essas equações relacionam os fasores de indução elétrica e densidade de carga, ou seja:

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