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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 32, n. 1, 1305 (2010) w.sbfisica.org.br

Introducao ao teorema de Nash e as Branas-mundo (Introduction to Nash’s theorem and brane-worlds)

A.J.S. Capistrano1 e P.I. Odon2

1Universidade Federal do Tocantins, Porto Nacional, TO, Brasil 2Odyssey School, Boston MA, USA Recebido em 6/5/2009; Aceito em 1/7/2009; Publicado em 26/3/2010

Apesar dos modelos de Branas-mundo terem recebido atencao consideravel nos ultimos anos por fornecerem varias opcoes a fısica contemporanea, seus mecanismos nao sao completamente entendidos ou apropriadamente justificados. Tendo em vista tal dificuldade, neste trabalho fornecemos uma contribuicao pedagogica dirigida especialmente aos alunos de pos-graduacao em fısica, fazendo uma abordagem introdutoria a um dos temas importantes em fısica e geometria no que diz respeito aos fundamentos da teoria de imersao de variedades. Apresentamos uma descricao do teorema de imersao de Nash de 1956 que mostra como fazer uma imersao local entre variedades Riemaniannas mantendo a regularidade e diferenciabilidade das funcoes de imersao, e de como isso e aplicado a fısica sob o ponto de vista das Branas-mundo. Palavras-chave: Branas-mundo, teoria de Imersao, teorema de Nash.

Although brane-world models have gained considerable attention in the last years for providing several options for contemporary physics, their mechanisms are not completely understood or properly justified. Taking into account such difficulty, in this work we provide a pedagogical contribution, written especially for physics graduate students, and present an introductory approach to one of the important themes in physics and geometry concerning the foundations of immersion theory of manifolds. We present a description of Nash’s embedding theorem of 1956 which shows how to do a local embedding between Riemannian manifolds while preserving the regularity and differentiability of the embedding functions, and how it can be applied to physics in the contex of the brane-worlds. Keywords: Brane-world, Immersion theory, Nash’s theorem.

1. Introducao

A geometria Riemanniana tem exercido uma forte influencia na fısica desde o inıcio do seculo X com o advento da relatividade geral. Tanto e assim que os estudantes de fısica aprofundam seus conhecimentos em geometria atraves do estudo da geometria Riemanniana. No entanto, ela nao e a unica opcao disponıvel, no sentido de que estruturas mais gerais tem sido amplamente estudadas, como a teoria de imersoes de variedades. Porem, particularmente em fısica, o tema e muito pouco comentado tanto nos cursos basicos de graduacao quanto nos cursos de pos-graduacao devido a sua especificidade. Com o objetivo de dar uma contribuicao suprindo esta questao, discutimos um dos trabalhos importantes na historia da geometria, e invariavelmente repercutindo nas teorias fısicas, proposto ha pouco mais de cinquenta anos por John Nash. Nash [1, 2] apresentou dois trabalhos sendo que o primeiro, no ano de 1954, tratava de imersoes globais e o se- gundo, de 1956, resolvia o classico problema da imersao local entre variedades Riemannianas usando argumentos de regularidade e diferenciabilidade das funcoes de imersao, onde iremos focar nossa atencao.

O presente trabalho e dirigido principalmente aos estutandes de pos-graduacao das areas de relatividade geral e teorias multidimensionais. Damos enfase ao resgate de pontos principais acerca da geometria imersoes locais, tais como seu desenvolvimento historico, conceitos e esclarecimento de passagens matematicas muitas vezes obscurecidas na literatura mais especializada no que diz respeito a imersao. No entanto, dada a complexidade do tema, limitamo-nos a uma breve descricao do teorema de Nash e sua aplicacao na estruturacao de equacoes gerais comuns a quaisquer modelos de Branas-mundo, os quais sao fundamentalmente variedades imersas. Formulado sob um contexto multidimensional com inspiracao nos modelos de Supercordas, o programa de Branas-mundo foi proposto originalmente em 1998 como tentativa de re-

1E-mail: capistrano@mail.uft.edu.br

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1305-2 Capistrano e Odon solver o problema de hierarquia das interacoes fundamentais. Tal problema pode ser resumido no questionamento acerca de como a interacao gravitacional e mais fraca quando comparada as demais interacoes fundamentais e de como podemos unifica-las com a elaboracao de uma teoria fısica mais geral, incluindo aspectos quanticos e gravitacionais. Atualmente, os modelos de Branas-mundo tem sido amplamente estudados particularmente em aplicacoes a cosmologia, como, por exemplo, o problema da expansao acelerada do universo.

O artigo esta organizado em cinco secoes. Na secao I apresentamos uma introducao historica e conceitual do problema da imersao. Aspectos mais tecnicos como a descricao do teorema de Nash, da obtencao das equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci e do princıpio de acao Einstein-Hilbert adaptado as Branas-mundo sao introduzidos na secao I. Na secao IV apresentamos uma discussao acerca de trabalhos com base na teoria de imersoes. Finalmente, na ultima secao apresentamos as consideracoes finais.

2. O problema da imersao

O desenvolvimento da teoria de Imersoes confundese com a historia da geometria Riemanniana. Antes de 1850, uma superfıcie bidimensional era considerada apenas como uma superfıcie imersa no espaco R3. Por exemplo, considere uma superfıcie onde cada um dos seus pontos podem ser definidos pela parametrizacao de Monge X : R2 −→ R3 onde u = x e v = y, sendo que f(u,v) e uma funcao diferenciavel. Esta parametrizacao e caracterizada pela equacao g(x,y,z) = cte, (2) onde g(x,y,z) : R3 −→ R2 e tambem uma funcao regular e diferenciavel. A caracterıstica da funcao de ser regular permite-nos usar o teorema das funcoes implıcitas o que possibilita extrair outra funcao diferenciavel z = f(x,y). O vetor normal a superfıcie pode ser obtido pela relacao

onde concluımos que

sendo dl = (dx,dy,dz) tangente a superfıcie. Ao variarmos a direcao do vetor tangente, a nocao de forma local de uma superfıcie pode ser obtida pela analise de como os vetores normais variam sobre a mesma ou, equivalentemente, de como a superfıcie se afasta do plano tangente local. As variacoes maximas e mınimas das direcoes no vetor normal n sao dadas respectivamente por k1 e k2. Estes extremos sao usados para calcular as direcoes principais pela formula de Euler

Por outro lado, C.F Gauss propos ideias bem diferentes contribuindo decisivamente para o que conhecemos hoje por geometria nao-Euclideana [3–5]. O quinto postulado de Euclides, conhecido como o postulado das paralelas, so pode ser violado se nao existirem retas paralelas ou se existir mais de uma reta paralela a outra passando por algum ponto externo, algo que era inconcebıvel naquela epoca. O espaco descoberto por Gauss, J. Bolyai e N.I. Lobachevsky chamado de espaco hiperbolico, e o espaco onde o postulado das paralelas de Euclides e substituıdo pela suposicao de que, para qualquer reta, nao existe apenas uma, mas muitas retas paralelas passando por qualquer ponto externo dado. Isso implica que a soma dos angulos internos de um triangulo e menor que 180◦ e que nao existem triangulos semelhantes.

A partir de 1816, Gauss fez um levantamento geodesico de certas areas da Alemanha e observou que bastavam medidas tangenciais para descrever a topografia do condado e assim, produziu um mapa bidimensional a partir de dados tridimensionais. O conceito inovador de Gauss foi extremamente importante na teoria da relatividade geral de Einstein aplicando a ideia de que a geometria de uma superfıcie curva pode ser estudada sem a referencia a um espaco Euclidiano de dimensao superior. Essa ideia foi desenvolvida por B. Riemann que apresentou a Gauss um outro tipo de espaco nao- Euclideano, o espaco elıptico. Da mesma forma que o espaco hiperbolico, o espaco elıptico tambem se baseia na quebra do quinto postulado de Euclides: as retas paralelas nao existem e como H. Poincare [6], Riemann deu sua interpretacao para os termos ponto, reta e plano. Como plano, ele escolheu a superfıcie da esfera. Seus pontos, como os de Poincare, continuavam sendo as posicoes descritas por Descartes. As retas de Riemann eram os cırculos maximos, i.e., as geodesicas sobre uma esfera.

O problema do espaco de Riemann era que alem de ser inconsistente com o 5◦ postulado de Euclides tambem era incompatıvel com dois outros postulados. Ele reinterpretou o 2◦ postulado declarando que este apenas garantia que as retas nao tivessem limites. Entretanto Riemann nao foi tao feliz em solucionar os problemas do espaco elıptico com o 1◦ postulado de Euclides, que diz dados dois pontos, ha um segmento de reta que os une. Apesar disso, sua obra e a necessidade de quebrar outros postulados alem do postulado das paralelas causaram um impacto na matematica do final do seculo XIX.

O conceito abstrato de uma variedade Riemanniana, sendo esta definida intrinsecamente, foi formulada

Introducao ao teorema de Nash e as Branas-mundo 1305-3 no trabalho de Riemman [7] em 1850 em que descreveu a forma local da superfıcie de uma variedade com o tensor de curvatura o qual depende apenas da metrica, porem restrita a uma classe de equivalencia de variedades, isto e, diferentes variedades que possuem o mesmo tensor de curvatura. Neste sentido, nao ha referencia previa a um padrao de forma ou curvatura. Por exemplo, ao tomar- mos um plano temos que o tensor de curvatura R1212 coincide com a curvatura gaussiana K, conforme o teo- rema egregium de Gauss K = k1k2, que e nula. O mesmo resultado ocorre para um toro, assim, para a geometria Riemanianna um toro e essencialmente um plano. Note que de acordo com a geometria diferencial devemos definir duas quantidades chamadas curvatura gaussiana e curvatura media para podermos definir a forma de uma superfıcie.

No entanto, a curvatura gaussiana, por si mesma, nao define a forma local sendo somente uma quantidade intrınseca a geometria. Para tanto, faz-se necessario a introducao da curvatura media H, que por sua vez, e uma quantidade extrınseca, i.e., esta vinculada com a definicao do vetor normal n, dada por

Por conseguinte, se formos ao <3, encontramos que

R1212 = K, onde recaımos no mesmo problema, pois a quantidade H esta ausente. Daı a nocao de curvatura extrınseca [8] que mede a variacao do vetor normal a superfıcie. Portanto, a forma local fica definida em termos destes dois numeros, K e H.

De fato, como a geometria Riemanniana carece da quantidade H, segundo os crıticos de Riemann, a mesma tirava a nocao intuitiva necessaria a geometria no sentido de impossibilitar uma melhor conceituacao acerca das formas das coisas. A nocao intuitiva de formas foi perdida no contexto Riemanniano e foi contestada de forma vigorosa principalmente pelos filosofos Kantianos. [9] no livro Crıtica da Razao Pura defende que

O conceito de espaco [Euclidiano] nao e de forma alguma de origem empırica mas uma necessidade do pensamento.

A definicao da forma local da geometria Riemanniana foi objeto de uma conjectura feita por L. Schlaefli [10,1] em 1873 supondo que uma variedade Riemanniana deveria ser consistente com a teoria gaussiana das superfıcies imersas. Em outras palavras, para resolver a ambiguidade do tensor de Riemann qualquer variedade deveria ser imersa em uma variedade maior, sendo esta ultima a referencia de curvatura. Mas, como fazer a imersao de uma variedade? Uma indicacao inicial acerca de uma possıvel solucao veio com as equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci.

Com base na suposicao de Schlaefli, podemos conceber genericamente uma imersao como sendo a aplicacao

XA : Vn −→ VD em que Vn e uma subvariedade Rie- manniana a ser imersa em VD que e o espaco ambiente ou bulk Riemanniano onde sera feita a imersao.

ponto de Vn de dimensao n com forma quadratica φ = gµνdxµdxν um ponto de VD de metrica GAB e coordenada XA, tal que gµνdxµdxν = GABXA,µXB,ν .

Assim, podemos encontrar a primeira equacao de imersao gµν = GABXA,µXB,ν , onde os XA,µ sao componentes de vetores tangentes a Vn. Em termos de notacao, para a derivada comum usare- mos a simbologia (,) e para a derivada covariante (;).

Alem disso devemos ter m−n vetores normais a Vn que satisfazem a equacao de ortogonalidade

GABXA,µηBb = 0 .

Escolhendo os vetores ηAa como sendo mutuamente ortogonais e de norma ±1

GABηAa ηBb = gab = ±δab .

As equacoes de imersao nos informam basicamente como a variedade imersa e o espaco ambiente estao relacionados uma vez determinadas as variaveis de imersao

XA e ηAa . A geometria imersa e determinada pela solucao destas equacoes que definem kµνa = −XB,µηAa,νGAB , (6)

Aµab = ηAa,µηBb GAB , (7) onde kµνa e Aµab sao respectivamente a curvatura extrınseca (segunda forma fundamental) e o vetor torcao (terceira forma fundamental). Para mostrar a existencia da solucao devemos calcular as condicoes de integrabilidade das equacoes de imersao. Tais condicoes sao fornecidas pelas equacoes de Gauss, Codazzi e Ricci2

Rαβγσ = 2gabkaα[γkbσ]β + RABCDXA,αXB,βXC,γXD ,σ

2ka[αβ;γ] = 2gcdA[cdγkcα]β + RABCDXA,αηBa XC,βXD ,γ

2Nas equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci, denotamos que osındices proximos aos colchetes sao anti-simetricos onde fazemos a indicacao com a inclusao da barra vertical ao lado do ındice proximo ao colchete, i.e.,

2A[γ|maAδ]nb = AγmaAδnb − AδmaAγnb.

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2A[baγ;δ] = 2gcdA[cbδAd]aγ + 2gcdk[cγδkd]δγ + RABCDηAa ηBb XC,γXD,δ , da subvariedade imersa nao-perturbada Vn cuja barra indica que o elemento em questao nao sofreu uma per- turbacao. Os ηa, ηb sao as componentes de vetores nor- mais a Vn com metrica gab do espaco interno Bn desses vetores, onde a,b −→ n + 1...D.

Basicamente, as equacoes de Gauss e Ricci sao equacoes diferenciais que relacionam as componentes tangenciais e normais, respectivamente, a curvatura extrınseca. Uma outra relacao e dada pela equacao de Codazzi na qual precisamos “diferenciar” a curvatura extrınseca considerada um tensor [8]. Em geral, essas equacoes nos fornecem como os espacos de metricas gµν, gab e GAB se relacionam. Portanto, a solucao do problema da imersao depende da solucao dessas equacoes, o que nao e tarefa facil devido a forte nao-linearidade das mesmas. Uma demonstracao classica sobre como obter estas equacoes como originalmente concebidas podem ser encontradas em [1, 12]. No entanto, iremos mostrar um processo ligeiramente diferente obtendo essas equacoes sob o contexto das Branas-mundo tomando como princıpio o teorema de Nash.

Embora geometria Riemanniana tenha consolidado como padrao de geometria com o advento da relatividade geral em 1916, a questao da imersao de variedades Riemannianas ainda estava em aberto. Logo apos Einstein ter completado seu artigo em 1915, a resposta a crıtica de Kant sobre o carater nao intuitivo das geometrias nao-Euclidianas, que parece ter sido atribuıda ao proprio Riemann, tornou-se realizavel. Riemann argumentou que se a intuicao e a base da verdade geometrica, atribuindo formas e comparacoes, entao isto e de fato algo que tem a ver com a fısica, ja que ela depende de medidas e instrumentos. A conjectura de Schaefli ficou conhecida como o Problema Inverso de Riemann, ou seja, o problema de definicao da forma local de uma superfıcie. As equacoes de Gauss-Codazzi- Ricci foram inicialmente resolvidas por M. Janet [13], E. Cartan [14] e C. Burstin [15], porem usando series de potencias convergentes (funcoes analıticas). No entanto, devido a rapida convergencia das funcoes, as solucoes mostravam-se como solucoes particulares do problema da integracao dessas equacoes, e portanto nao eram validas para qualquer variedade. A generalidade da solucao das equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci viria somente decadas depois com os trabalhos de J. Nash pelo uso de um processo perturbativo na geometria com funcoes regulares e diferenciaveis.

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