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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 31, n. 2, 2701 (2009) w.sbfisica.org.br

Notas e Discussoes

O calculo de alta precisao do perıodo do pendulo simples (The high-precision computation of the period of the simple pendulum)

Claudio G. Carvalhaes1,2 e Patrick Suppes1

1Center for the Study of Language and Information, Ventura Hall, Stanford University, Stanford, CA, USA 2Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil Recebido em 31/10/2008; Aceito em 30/12/2008; Publicado em 26/6/2009

Apresentamos o metodo iterativo da media aritmetica-geometrica no calculo preciso do perıodo temporal do pendulo simples e o comparamos com o metodo da serie de potencias. Aproximacoes analıticas para o perıodo sao obtidas pelos dois metodos e comparadas em termos de suas precisoes numericas. Os resultados sao amplamente favoraveis a media aritmetica-geometrica em virtude de sua rapida convergencia. Palavras-chave: pendulo simples, integral elıptica, media aritmetica-geometrica, renormalizacao.

We present the iterative method of using the arithmetic-geometric mean in the computation of the time period of the simple pendulum and compare it with the power-series method. Analytical approximations are derived by both methods and compared in terms of their numerical precision. The results are strongly favorable to the arithmetic-geometric mean due to its fast convergence. Keywords: simple pendulum, elliptic integral, arithmetic-geometric mean, renormalization.

1. Introducao

Os livros-texto introdutorios [1] apresentam a seguinte formula aproximada para o perıodo temporal do pendulo circular simples, conhecida como aproximacao harmonica

Aqui, L representa o comprimento do pendulo e g a aceleracao local da gravidade. Esta aproximacao foi descoberta pelo inventor do relogio de pendulo, Christiaan Huygens, e publicada [2] em um celebre tratado, em 1673. Nos textos modernos, a aproximacao harmonica e obtida linearizando-se a equacao de movimento do pendulo por meio de onde θ denota a posicao angular do pendulo em relacao ao equilıbrio. Essa linearizacao leva a equacao do oscilador harmonico, de onde a aproximacao (1) e facilmente identificada e por esse motivo chamada de aproximacao harmonica.

A aproximacao harmonica tem dois problemas basicos que a tornam de pouca utilidade fora do laboratorio didatico. O primeiro e fato dela produzir resultados numericos bastante imprecisos se a amplitude de oscilacao estiver fora do chamado regime de pequenas oscilacoes. Esse regime nao e definido com clareza na literatura, mas e comum toma-lo como sendo o maior intervalo de amplitudes dentro do qual o perıodo da aproximacao harmonica difere em menos de 1% do valor exato. Isto corresponde a uma amplitude maxima de cerca de 23◦, valor nao muito pequeno para um pendulo de corda. No entanto, a amplitude maxima cai para menos de 0,5◦ se o comprimento do pendulo for maior ou igual a 25 cm e for exigida uma concordancia com o perıodo exato de apenas 3 casas decimais. O segundo problema e que a aproximacao harmonica descreve o pendulo como um sistema cujo perıodo nao depende da amplitude de oscilacao. Esse comportamento uniforme, chamado de isocronismo, contrasta com o do pendulo real, chamado de anisocronismo, para o qual o perıodo cresce monotonicamente com a amplitude.

Apesar dos problemas, a aproximacao harmonica e largamente usada nos cursos introdutorios pela necessidade de se contornar dificuldades matematicas. Embora seja possıvel obter uma expressao analıtica exata para o perıodo do pendulo simples usando apenas a conservacao da energia mecanica, essa expressao envolve uma funcao nao elementar do Calculo, a integral elıptica completa do primeiro tipo, que na pratica requer algum tipo de aproximacao para ser avaliada.

Mas ha varias alternativas a aproximacao harmonica disponıveis na literatura [3-10]. Essas derivam de

1E-mail: claudioc@stanford.edu.

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2701-2 Carvalhaes e Suppes abordagens que variam de procedimentos geometricos simples ao uso de series e funcoes especiais. As aproximacoes mais precisas, no entanto, so foram apresentadas recentemente [1], empregando-se um metodo iterativo para o calculo da integral elıptica, chamado metodo da media aritmetica-geometrica. Esse metodo e tao eficiente que apenas tres iteracoes sao suficientes para gerar uma aproximacao para o perıodo que difere em menos de 1% do valor exato para amplitudes de ate 179◦. As iteracoes consistem simplesmente em determinar as medias aritmetica e geometrica de um par de numeros positivos.

A media aritmetica-geometrica [14, 15] e conhecida na matematica ha mais de dois seculos mas, curiosamente, seu emprego na geracao de aproximacoes analıticas, como as descritas aqui, nao e comum. Na verdade, a media aritmetica-geometrica foi descoberta por Lagrange [12], nao se sabe ao certo quando, e publicada na literatura em 1785. Gauss a redescobriu independentemente em 1791, quando tinha apenas 14 anos de idade [13]. Os matematicos Legendre, Landen e Ramanujan tambem tiveram participacao importante nesse desenvolvimento.

A media aritmetica-geometrica surgiu da busca por um metodo para o calculo preciso do perımetro da elipse. O foco principal era a determinacao precisa da orbita elıptica dos planetas. Atualmente, ela e uma importante ferramenta computacional de alta precisao. Suas aplicacoes incluem o calculo de funcoes elementares, tais como logaritmo, exponencial e funcoes trigonometricas, o calculo das integrais elıpticas completas do primeiro e do segundo tipo, o calculo das funcoes hipergeometricas e o problema historico da determinacao do numero pi com numero arbitrario de casas [14-19].

Neste trabalho, nos empregamos a media aritmetica-geometrica no calculo do perıodo do pendulo simples e comparamos os resultados obtidos com os do metodo das series de potencias. As aproximacoes analıticas obtidas em [1] sao novamente apresentadas. Um ponto interessante no uso da media aritmeticageometrica e que ela leva a um processo recursivo, no qual o pendulo e seguidamente substituido por outro de igual perıodo mas de menor amplitude. Com a amplitude diminuindo a cada iteracao, o calculo do perıodo se torna cada vez mais preciso e converge rapidamente para o valor exato. Esse processo pode ser explorado, por exemplo, na abordagem da ideia de renormalizacao em cursos elementares.

2. O perıodo exato do pendulo simples

A formula exata do perıodo do pendulo simples pode ser obtida em poucos passos a partir da conservacao da energia. Seja θ o deslocamento angular, medido no sentido anti-horario em relacao a posicao de equilıbrio, L o comprimento do pendulo e g a aceleracao da gravidade.

Tomando o zero da energia potencial no ponto mais baixo da trajetoria e a velocidade inicial como sendo nula, a energia total vale E = mg L(1−cos θ0), onde θ0 representa o deslocamento angular inicial. A velocidade num instante qualquer e dada por v = Ldθ/dt. Entao, resolvendo-se a equacao da conservacao da energia para dθ/dt e integrando t de 0 a T/4, onde T e o perıodo de oscilacao, obtem-se a expressao [10, 1, 20] dφ√ aproximacao harmonica. Nesta expressao, a integral dφ√ e chamada integral elıptica completa do primeiro tipo.

Para pequenas amplitudes de oscilacao (θ0 pequeno), o parametro k se aproxima de zero e K tende ao valor pi/2 [21, 2]. Nesse limite a Eq. (3) toma a forma da aproximacao harmonica. Isto significa que o esquema de linearizacao (2) equivale a aproximar a curva K(k) pela reta horizontal pi/2. Como K(k) e uma funcao monotonicamente crescente que diverge exponencial- mente no limite |k| = 1 (ou seja, |θ0| = pi), a distancia entre o perıodo exato T e a aproximacao T0 aumenta rapidamente com a amplitude, tornando T0 imprecisa, mesmo para pequenas amplitudes.

, (5b)

As sequencias {an} e {bn} definidas por esta relacao tem o mesmo limite e esse limite depende unicamente de a0 = a e b0 = b. Esse limite, denotado por M(a,b), corresponde a media aritmetica-geometrica de a e b

Essa propriedade de convergencia segue da desigualdade b ≤ a, que leva a cujas provas sao deixadas como exercıcio. A Eq. (7) im- plica que an+1 e bn+1 se tornam mais proximos a cada iteracao e com isso, de acordo com a Eq. (8), a distancia

O calculo de alta precisao do perıodo do pendulo simples 2701-3 entre an e bn cai quadraticamente a cada iteracao. Ou seja, as sequencias {an} e {bn} convergem quadraticamente para o mesmo limite. O fato da convergencia

ser quadratica implica, grosseiramente, que o numero de casas decimais de concordancia entre an e bn dobra a cada iteracao. Essa rapida convergencia permite que a media aritmetica-geometrica de a e b possa ser determinada com extrema precisao em poucas iteracoes. Em geral, o calculo computacional e feito introduzindo-se a variavel auxiliar

e iterando (5) ate que se obtenha cn = 0 com o grau de precisao que se queira.

A conexao entre a integral elıptica K(k) e a media aritmetica-geometrica pode ser demonstrada introduzindo-se [15]

dφ√

dt√

Portanto, I(a,b) e invariante sob a transformacao

Tomando o limite n → ∞ e usando o fato de I ser continua, obtemos

Deste resultado segue a solucao da integral elıptica em termos da media aritmetica-geometrica

O perıodo exato do pendulo simples e entao dado por

Devido a convergencia quadratica da media aritmeticageometrica, essa formula permite o calculo eficiente e preciso do perıodo do pendulo para valores arbitrarios da amplitude inicial. Como a determinacao de

M(1,cosθ0/2) envolve apenas uma sequencia de medias aritmeticas e geometricas, essa formula pode ser facil- mente implementada em uma calculadora ou planilha eletronica, sendo a precisao do calculo restrita apenas ao numero de casas decimais disponıveis.

Iterando M(1,cosθ0/2) analiticamente, obtemos da Eq. (16) uma sequencia de aproximacoes para T que converge rapidamente para solucao exata. Os quatro primeiros elementos dessa sequencia sao

onde q = cos θ0/2. Cada iteracao fornece uma aproximacao mais precisa, porem mais complexa, que a an- terior. No limite de oscilacao de um pendulo de haste

mostrando claramente que T diverge exponencialmente nesse limite. Em um trabalho recente [1], nos mos- tramos que T3 difere em menos de 1% do perıodo exato para amplitudes inferiores a 179,37◦ e e mais precisa que todas as outras aproximacoes na literatura. A aproxi- macao T4 amplia essa concordancia para a amplitude maxima de 179,9◦. Continuando a sequencia, obtem-

2701-4 Carvalhaes e Suppes se aproximacoes cada vez mais precisas, porem pouco apropriadas para o tratamento analıtico.

4. Comparacao com o metodo de serie de potencias

O metodo da serie de potencias e uma das formas padroes de se avaliar a Eq. (3) com precisao. O resultado da expansao de T em torno de k = 0 e uma serie convergente para |k| < 1, dada por [14]

A ordem zero desta expansao corresponde a aproxi- macao harmonica T ≈ T0. Os termos seguintes representam correcoes que melhoram gradativamente essa aproximacao. A expansao em segunda ordem, que e obtida somando-se ate o termo em k2, seguida de

correcao de quarta ordem, que contem todos os termos ate k4, e mais precisa que a de segunda ordem, e assim por diante.

O erro na estimativa de T atraves da Eq. (16) ou da

Eq. (18) depende da amplitude de oscilacao. Quanto maior a amplitude, maior o numero de iteracoes em (16) e de termos na Eq. (18) para se obter um resultado preciso. O problema e que um numero grande de iteracoes/termos inviabiliza a aplicacao do metodo no estudo analıtico. Em outras palavras, a aplicabilidade das Eqs. (16) e (18) esta fortemente condicionada a rapidez de convergencia de cada metodo.

Para comparar essa aplicabilidade em calculos de alta precisao, vamos usar como criterio a unidade de precisao do computador, que e chamada de machine epsilon. Essa unidade, denotada por ², e definida como sendo o menor numero positivo x que somado a 1 no computador retorna um valor maior que 1, quando x e 1 sao armazenados em registros do mesmo tipo. Ou seja,

A computacao apresentada a seguir foi processada usando registros de ponto flutuante de 64 bits, para os quais o valor padrao de ² e 2−52 [23].

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