Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 31, n. 2, 2311 (2009) www.sbfisica.org.br

For¸a de Casimir para potenciais delta de Dirac c
(Casimir force for Dirac delta potentials)

Luis Alberto Soriano Carrillo e Jos´ Alexandre Nogueira1 e
Departamento de F´ ısica, Centro de Ciˆncias Exatas, Universidade Federal do Esp´ e ırito Santo, Vit´ria, ES, Brasil o Recebido em 22/2/2008; Revisado em 11/12/2008; Aceito em 29/12/2008; Publicado em 30/6/2009 Neste trabalho mostramos explicitamente como determinar as fun¸oes de Green para o c´lculo da for¸a de c˜ a c Casimir devido a campos escalares entre fronteiras representadas por duas fun¸oes delta de Dirac em 1+1 dic˜ mens˜es. Reobtemos os resultados de K.A. Milton (J. Phys. A37, 209 (2004)), por´m mostrando de forma o e detalhada os c´lculos das fun¸oes de Green. a c˜ Palavras-chave: for¸a de Casimir, potenciais delta de Dirac, fun¸oes de Green em 1+1 dimens˜es. c c˜ o In this work we show explicitly how to determine the Green functions for the calculation of the Casimir force due to scalar fields between boundaries represented by two Dirac delta functions in 1+1 dimensions. With this purpose, we re-obtain the K.A. Milton results (J. Phys. A37, 209 (2004)), showing in the detailed form the calculations of the Green functions. Keywords: Casimir forces, Dirac delta potentials, Green functions in 1+1 dimensions.

1. Introdu¸˜o ca
A teoria quˆntica de campos ´ a mais bem sucedida a e teoria que une em uma s´ estrutura conceitual os o princ´ ıpios da mecˆnica quˆntica e da relatividade esa a pecial. Nela as part´ ıculas s˜o interpretadas como as a excita¸˜es dos campos. A quantiza¸˜o de uma teoria co ca de campos implica em transformar os campos em operadores que atuam sobre vetores que pertencem a um particular espa¸o vetorial complexo, chamado espa¸o c c de Fock ou de n´mero de ocupa¸˜o. Esse espa¸o veu ca c torial ´ um produto direto dos espa¸os de Hilbert ase c sociados a osciladores harmˆnicos independentes, onde o as excita¸˜es elementares desses osciladores s˜o associco a adas a part´ ıculas. Essa teoria quˆntica mostra que o a v´cuo ou o estado de m´ a ınima energia n˜o ´ um espa¸o a e c absolutamente vazio, mas sim um espa¸o no qual pec quenas e r´pidas flutua¸˜es dos campos (oscila¸˜es) a co co ocorrem a todo momento e em toda parte. Essas s˜o a tamb´m conhecidas como flutua¸˜es de ponto-zero. As e co flutua¸˜es de ponto-zero podem ser interpretadas como co uma cont´ ınua cria¸˜o e aniquila¸˜o de part´ ca ca ıculas virtuais, ocorridas em intervalos de tempo muito pequenos. Um campo livre ´ um sistema com infinitos graus de e liberdade, podendo ser considerado como uma cole¸˜o ca infinita de osciladores harmˆnicos desacoplados, cada o um com uma freq¨ˆncia pr´pria de oscila¸˜o. Essas ue o ca
1 E-mail: 2O

freq¨ˆncias s˜o chamadas de freq¨ˆncias normais de ue a ue vibra¸˜o. Dessa maneira uma teoria de campos livres ca quantizados ´ tratada como um sistema de infinitos ose ciladores harmˆnicos quˆnticos desacoplados. o a O efeito Casimir ´ um fenˆmeno de natureza e o quˆntica, e est´ associado `s oscila¸˜es de ponto-zero a a a co do estado de v´cuo dos campos quˆnticos. O efeito ´ a a e uma conseq¨ˆncia das distor¸˜es na energia do v´cuo ue co a dos campos devidas ` presen¸a de contornos. Esse a c efeito foi predito por H.B. Casimir [1] em 1948. Em seu trabalho original, Casimir previu que, devido a flutua¸˜es quˆnticas do campo eletromagn´tico, duas placo a e cas met´licas, planas, paralelas e eletricamente neutras a (aterradas) se atrairiam com uma for¸a de m´dulo igual c o a π2 c A, 240a4

F =

(1)

onde A ´ a ´rea das placas e a a distˆncia entre elas. e a a Para placas de 1 cm2 de ´rea e separadas de 1 µm, a a for¸a de atra¸˜o, por unidade de ´rea, entre a placas ´ c ca a e de 0,013 dynas/cm2 (1,3 mPa).2 Embora as flutua¸˜es de ponto-zero dos campos no co v´cuo do espa¸o livre (sem contornos) n˜o sejam oba c a servadas, a presen¸a de contornos muda essa situa¸˜o. c ca A energia de Casimir ´ determinada matematicamente e

nogueira@cce.ufes.br.

leitor interessado encontrar´ revis˜es em inglˆs na Ref. [2] e em portuguˆs na Ref. [3]. a o e e

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Carrillo e Nogueira

como a diferen¸a entre a energia de ponto-zero do v´cuo c a do campo eletromagn´tico na presen¸a de condi¸˜es de e c co contorno e a energia de ponto-zero do mesmo campo no espa¸o livre. Dessa maneira, esse efeito est´ relacionado c a com as diferen¸as na densidade de energia do v´cuo, c a provocadas pelas altera¸˜es nas condi¸˜es de contorno co co impostas aos campos no v´cuo. Assim, delas obt´m-se, a e como resultado, uma for¸a de atra¸˜o inversamente proc ca porcional ` quarta potˆncia da distˆncia entre as placas a e a no v´cuo do campo eletromagn´tico. Essa for¸a foi mea e c dida experimentalmente por Sparnaay [4] em 1958, entretanto devido ` enorme imprecis˜o de suas medidas, a a Sparnaay pode apenas mostrar que seus resultados experimentais eram compat´ ıveis com a previs˜o te´rica de a o Casimir. Experimentos realizados separadamente por Lamoureaux em 1997 [5], usando o pˆndulo de tors˜o, e a e Mohideen e Roy em 1998 [6], usando o microsc´pio o de for¸a atˆmica, marcam, devido ao seus altos graus c o de precis˜es, uma nova fase (chamada moderna) nas o medidas da for¸a de Casimir. Diversos outros experic mentos [7] confirmaram o efeito Casimir com alto grau de precis˜o. a Ao estudar um fenˆmeno natural, quase sempre o procuramos iniciar pela abordagem de um modelo idealizado, mais sem perder as caracter´ ısticas mais relevantes do fenˆmeno em estudo. Este ´ o caso da aboro e dagem tradicional do estudo do efeito Casimir. Nela, as intera¸˜es f´ co ısicas entre as flutua¸˜es dos campos e a co mat´ria de que s˜o formadas as fronteira3 s˜o trocadas e a a ab initios por condi¸˜es de contorno idealizadas. Em co geral as condi¸˜es de contorno sob as quais est˜o suco a jeitos os campos quˆnticos restringem os poss´ a ıveis valores de oscila¸˜o dos modos do campo em considera¸˜o.4 ca ca Contudo, esse tratamento convencional de condi¸˜es de co contorno idealizadas para a determina¸˜o da energia de ca Casimir dos campos quˆnticos, claramente n˜o captura a a as caracter´ ısticas dos materiais reais. Um material real n˜o pode confinar modos de excita¸˜es do campo eletroa co magn´tico com comprimentos de onda muito menores e do que o comprimento de onda de plasma do material, n˜o obstante condi¸˜es de contorno idealizadas confia co nam todos os modos. Nos ultimos anos, o desenvolvimento de novas ´ t´cnicas de medidas para a for¸a de Casimir tˆm pere c e mitido atingir elavadas precis˜es. Em microeletrˆnica o o os efeitos das flutua¸˜es do v´cuo tˆm se tornados co a e relevantes. Assim, novos interesses tˆm surgido no e efeito Casimir. Entre eles, a necessidade de previs˜es o te´ricas mais precisas que possam ser testadas e que o sejam de importˆncia consider´vel no estudo das noa a vas t´cnologias de micro e nanodispositivos. Nesses cae sos, somos levados a considerar condi¸˜es de contorno co mais realistas. Realmente, propriedades detalhadas dos
3 Por 4 No

materiais, tais como: absor¸˜o, rugosidade e efeitos de ca temperatura finita; tornam-se muito relevantes devido a `s precis˜es atingidas nos experimentos. o O estudo dos efeitos das flutua¸˜es do v´cuo, tais co a como a for¸a e a energia de Casimir, em meios materic ais realistas foi inicialmente feito por Lifshitz em 1956 [8]. Ele propˆs uma teoria macrosc´pica para for¸as o o c atuando entre duas espessas placas paralelas (semiinfinitas), formadas por materiais diel´tricos depene dentes da freq¨ˆncia (ω), separadas por uma fatia inue finita de outro material diel´trico. De acordo com essa e teoria, as oscila¸˜es do v´cuo s˜o modeladas pelas fluco a a tua¸˜es do campo eletromagn´tico propagando-se denco e tro do material diel´trico descrito por uma permissivie dade diel´trica dependente da freq¨ˆncia. A teoria de e ue Lifshitz nos permite calcular a for¸a de Casimir conc siderando efeitos de temperatura finita (diferente de zero), bem como de condutividade finita. Para tratar o efeito Casimir de forma mais realista, devemos considerar as intera¸˜es das flutua¸˜es co co dos campos com a mat´ria das fronteiras, que modie ficam o v´cuo do espa¸o livre, ao inv´s de introduzir a c e condi¸˜es de contorno idealizadas. Para esse fim, inco troduzimos na teoria um potencial de intera¸˜o dado ca por 1 σ(x)φ2 (x), 2 onde σ(x) representa o campo do material da fronteira. Escolhas adequadas para o campo σ(x) permitem modelar as fronteiras. Assim, fronteiras que podem ser consideradas como planos em 3+1 dimens˜es ou pontos em o 1+1 dimens˜es s˜o descritas por fun¸˜es delta de Dirac. o a co Dizemos que nesses casos estamos no limite n´ ıtido. Nos casos em que os potenciais s˜o fun¸˜es delta de Dirac, a a co for¸a de Casimir ´ em geral determinada empregando-se c e o m´todo do tensor energia-momento, calculado atrav´s e e das fun¸˜es de Green. Essas fun¸˜es de Green podem co co ser obtidas de uma forma elegante, fazendo uso das propriedades das fun¸˜es delta de Dirac [9]. co O objetivo principal deste trabalho n˜o ´ reobter a a e for¸a de Casimir entre fronteiras descritas por potencic ais delta de Dirac, utilizando o m´todo baseado no tene sor energia-momento. Embora esse resultado j´ exista a na literatura [10], em nosso trabalho, apresentaremos um c´lculo detalhado das fun¸˜es de Green relevantes a co para o problema. O trabalho est´ organizado da seguinte forma: na a se¸˜o 2 calculamos a for¸a de Casimir devido a camca c pos escalares entre fronteiras representadas por duas fun¸˜es delta de Dirac. A subse¸˜o 2.1 ´ dedicada co ca e ao c´lculo expl´ a ıcito das fun¸˜es de Green. Na se¸˜o co ca 3 apresentamos nossas considera¸˜es finais. Ainda h´ co a um apˆndice, onde mostramos que, no limite em que e
2

fronteiras aqui queremos dizer os objetos que limitam regi˜es do espa¸o, e n˜o uma interface entre dois meios. o c a

2 2 caso de placas condutoras paralelas, as freq¨ˆncias s˜o dadas por ωk = c kx + ky + nπ , onde n = 0, 1, 2, 3, . . . e a ´ a ue a e a distˆncia entre as placas, perpendiculares ao eizo Z. Portanto, para cada valor de n existe um conjunto cont´ a ınuo de valores que ω pode assumir.

For¸a de Casimir para potenciais delta de Dirac c

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as constantes de acoplamento tende para infinito, as fun¸˜es de Green obtidas na se¸˜o 2 s˜o as mesmas co ca a obtidas para condi¸˜es de contorno de Dirichlet hoco mogˆneas. N´s escolhemos realizar nossos c´lculos em e o a 1+1 dimens˜es de forma a simplificar a ´lgebra, e assim o a tornar mais transparente o m´todo de determina¸˜o das e ca fun¸˜es de Green. co

2.1.

Determina¸˜o das fun¸˜es de Green ca co

ˆ Para resolvermos a Eq. (7), definimos o operador H0 como ∂2 ˆ H0 := − 2 + κ2 . ∂x (8)

2.

Efeito Casimir com potenciais delta de Dirac em 1+1 dimens˜es o

ˆ A fun¸˜o de Green g0 (x, x ) associada ao operador H0 , ca ˆ H0 g0 (x, x ) = δ(x − x ), ´ bem conhecida e facilmente determinada [9]. e ˆ −1 Fazendo H0 agir ` esquerda na Eq. (9), temos a ˆ −1 H0 δ(x − x ) = g0 (x, x ). (10) (9)

Nesta se¸˜o n´s determinaremos a for¸a de Casimir ca o c para um campo escalar real, em 1+1 dimens˜es, ino teragindo com um potencial descrito por fun¸˜es delta co de Dirac nas posi¸˜es x = 0 e x = a. No limite em co que as constantes de acoplamento tendem para infinito (chamado limite forte) a teoria se torna aquela do efeito Casimir original [11]. N´s calculamos a for¸a de Casimir a partir do teno c sor energia-momento, determinado usando-se fun¸˜es co de Green. As fun¸˜es de Green ser˜o calculadas a parco a tir da fun¸˜o de Green livre (sem intera¸˜o), e ´ muito ca ca e conveniente quando o potencial ´ descrito por fun¸˜es e co delta de Dirac. A densidade lagrangiana a ser considerada ´ dada e por L = L0 + Lint , onde 1 1 L0 = − ∂ µ φ(x)∂µ φ(x) − µ2 φ2 (x), 2 2 e o termo de intera¸˜o ´ dado por ca e 1 1 Lint = − λδ(x)φ2 (x) − λ δ(x − a)φ2 (x), 2 2 (4) (3) (2)

Substituindo a defini¸˜o (8) na equa¸˜o para a fun¸˜o ca ca ca de Green reduzida (7), obtemos ˆ −1 g(x, x ) = g0 (x, x ) − λH0 δ(x)g(x, x ) − ˆ −1 λ H0 δ(x − a)g(x, x ). (11) Usando a Eq. (10), o segundo termo do lado direito da Eq. (11) pode ser escrito na seguinte forma ˆ −1 λH0 δ(x)g(x, x ) = λ ˆ −1 H0 δ(x − z)δ(z)g(z, x )dz = (12)

λg0 (x, 0)g(0, x ).

De forma semelhante, o ultimo termo pode ser escrito ´ como ˆ −1 λ H0 δ(x − a)g(x, x ) = λ g0 (x, a)g(a, x ). (13)

onde os coeficientes das fun¸˜es delta de Dirac, λ e λ , co tˆm dimens˜o de massa. e a A energia de Casimir ser´ obtida a partir das a fun¸˜es de Green, co G(t, x; t , x ) = i T φ(t, x)φ(t , x ) , (5)

Substituindo as Eqs. (12) e (13) em (11) obtemos uma nova express˜o para a fun¸˜o de Green reduzida, a ca g(x, x ) = g0 (x, x ) − λg0 (x, 0)g(0, x ) − λ g0 (x, a)g(a, x ). (14)

onde sua transformada de Fourier da parte temporal ´ e dada por G(t, x; t , x ) = dω −iω(t−t ) e g(x, x ; ω). 2π (6)

Agora avaliando a Eq. (14) para os casos em que x = 0 e x = a, temos g(0, x ) = g0 (0, x ) − λ g0 (0, a)g(a, x ) , 1 + λg0 (0, 0) (15)

A fun¸˜o de Green reduzida em (6) deve satisfazer a ca seguinte equa¸ao n˜o-homogˆnea de Klein-Gordon c˜ a e − ∂2 + κ2 + λδ(x) + λ δ(x − a) g(x, x ) = ∂x2 (7) g(a, x ) = Usando a Eq. Eq. (15), temos

g0 (a, x ) − λg0 (a, 0)g(0, x ) . 1 + λ g0 (a, a)

(16)

δ(x − x ), onde κ2 = µ2 − ω 2 ´ uma constante.5 e
5 N´s o

(16) para eliminarmos g(a, x ) na

omitimos o ω de g(x, x ; ω) para simplificar a nota¸˜o. ca

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Carrillo e Nogueira

g(0, x ) =

g0 (0, x ) 1 + λ g0 (a, a) − λ g0 (0, a)g0 (a, x ) [1 + λg0 (0, 0)] [1 + λ g0 (a, a)] − λ λg0 (0, a)g0 (a, 0)

.

(17)

De forma an´loga, usamos (15) para eliminar g(0, x ) na Eq. (16), a g(a, x ) = g0 (a, x ) [1 + λg0 (0, 0)] − λg0 (a, 0)g0 (0, x ) . [1 + λg0 (0, 0)] [1 + λ g0 (a, a)] − λ λg0 (0, a)g0 (a, 0) 1 κx e 2κ
)

(18)

Queremos, agora, encontrar os valores de g0 (0, 0), g0 (a, a), g0 (0, a) e g0 (a, 0). Para isso devemos resolver a Eq. (9), ∂ − g0 (x, x ) + κ2 g0 (x, x ) = 0, ∂x2 cuja solu¸˜o ´ ca e 1 −κ|x−x | g0 (x, x ) = e =  2κ    
1 −κ(x −x) , 2κ e 1 −κ(x−x ) , 2κ e 2

g0 (x, 0) =

x<x,

(26)

g0 (a, x ) = (19) g0 (x, a) = x<x x>x

1 −κ(a−x e 2κ 1 −κ(a−x) e 2κ

x>x,

(27)

x<x.

(28)

Substituindo os valores acima nas Eqs. (22) e (23), a ca . (20) obtemos uma express˜o para a fun¸˜o de Green reduzida nos pontos x = 0 e x = a g(0, x ) = eκx 2κ∆ 1+ λ 2κ e2κa − λ , 2κ (29)

A partir da Eq. (20), podemos obter os valores de g0 (0, 0), g0 (a, a), g0 (0, a) e g0 (a, 0) g0 (0, 0) = 1 , 2κ g0 (a, a) = 1 , 2κ

1 −κa 1 −κa g0 (0, a) = e , g0 (a, 0) = e . 2κ 2κ

(21)

g(a, x ) =

eκ(x +a) 2κ∆

1+

λ 2κ



λ . 2κ

(30)

Substituindo os valores acima nas Eqs. (17) e (18) obtemos uma express˜o para a fun¸˜o de Green reduzida nos a ca pontos x = 0 e x = a g(0, x ) = g0 (0, x ) 1 + λ
1 2κ

Dos resultados anteriores podemos obter uma express˜o a expl´ ıcita para a fun¸˜o de Green reduzida (14) na regi˜o ca a x, x < 0, dada por 1 −κ|x−x | 1 κ(x+x ) e − e × 2κ 2κ∆ λ λ λ 1− + 1+ e2κa . 2κ 2κ 2κ

−λ

1 −κa g0 (a, x 2κ e

)

g(x, x ) = , (22) × λ 2κ

∆e−2κa

(31)

g(a, x ) = onde

1 1 g0 (a, x ) 1 + λ 2κ − λ 2κ e−κa g0 (0, x ) , (23) ∆e−2κa

b) Para a regi˜o 0 < x, x < a, obtemos os a seguintes valores 1 −κx e 2κ 1 −κx e 2κ
)

λ ∆= 1+ 2κ

λ λλ 1+ e2κa − . 2κ (2κ)2

(24)

g0 (0, x ) =

x<x,

(32)

Para encontrarmos os valores de g0 (0, x ), g0 (x, 0), g0 (a, x ) e g0 (x, a), devemos ser cuidadosos e analise o armos a solu¸˜o (20) nas trˆs regi˜es: x, x < 0 ; ca 0 < x, x < a e a < x, x . a) Para a regi˜o x, x < 0, obtemos os valores: a g0 (0, x ) = 1 κx e 2κ x>x, (25)

g0 (x, 0) =

x>x,

(33)

g0 (a, x ) =

1 −κ(a−x e 2κ 1 −κ(a−x) e 2κ

x>x,

(34)

g0 (x, a) =

x<x.

(35)

For¸a de Casimir para potenciais delta de Dirac c

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Substituindo novamente os valores acima nas Eqs. (22) e (23), obtemos outra express˜o para a fun¸˜o de Green a ca reduzida nos pontos x = 0 e x = a g(0, x ) = 1 2κ∆ 1 2κ∆ 1+ λ 2κ eκ(2a−x ) − λ eκx 2κ , (36)

Desta maneira, calculamos as express˜es para a fun¸˜o o ca de Green reduzida nas trˆs regi˜es. e o Podemos observar que, no limite de acoplamento forte, isto ´, para λ, λ → ∞ (veja Apˆndice), restabee e lecemos os resultados j´ conhecidos na literatura [11]. a Por exemplo, para a regi˜o 0 < x, x < a, temos a sinh κx< sinh κ(x> − a) −− . g(x, x )− − → − λ,λ →∞ κ sinh κa (46)

g(a, x ) =

1+

λ 2κ

eκ(a+x ) −

λ κ(a−x e 2κ

)

. (37)

Dos resultados anteriores, podemos obter uma express˜o expl´ a ıcita para a fun¸˜o de Green reduzida (14) ca na regi˜o 0 < x, x < a, dada por a g(x, x ) = × − 1 −κ|x−x | 1 e × + 2κ 2κ∆ 2λλ λ λ cosh κ|x − x | − 1+ (2κ)2 2κ 2κ 1+ λ 2κ e2κa e−κ(x+x ) .

Evidentemente, como esper´vamos, esta fun¸˜o de a ca Green reduzida (46) ´ nula em x = 0 e em x = a. e

2.2.
κ(x+x )

For¸a de Casimir c

e

1 λ 2κ∆ 2κ

A determina¸˜o da fun¸˜o de Green nos permite calcuca ca lar a for¸a em uma das fronteiras (em um dos pontos c da fun¸˜o-δ) fazendo uso do valor esperado no v´cuo ca a do tensor energia momento T µν = lim 1 ∂ µ ∂ ν − g µν ∂ λ ∂λ 2 × (47)

(38)
t,x→t ,x

c) Para a regi˜o a < x, x , obtemos os seguintes a valores g0 (0, x ) = g0 (x, 0) = g0 (a, x ) = g0 (x, a) = 1 −κx e 2κ 1 −κx e 2κ
−a)

× Assim,

1 G(t, x; t , x ) . i

x<x, x>x, x<x, x>x.

(39) (40) (41)

T 00 = Txx =
t,x→t ,x

lim

1 −κ(x e 2κ

1 ∂0 ∂0 + ∂x ∂x G(t, x; t , x ) .(48) 2i

Definindo o tensor energia-momento reduzido como. (42) T µν := teremos txx = lim 1 2 (ω + ∂x ∂x )g(x, x ; ω) . 2i (50) dω µν t , 2π (49)

1 −κ(x−a) e 2κ

Como nos casos anteriores, substituindo os valores acima nas Eqs. (22) e (23), obtemos mais outra express˜o para a fun¸˜o de Green reduzida nos pontos a ca x=0ex=a eκ(2a−x g(0, x ) = 2κ∆ g(a, x ) = e2κa λ 1+ 2κ∆ 2κ
)

λ 1+ 2κ

λ − , 2κ

x→x

(43) Note que fizemos t = t . Para o caso em que a fun¸˜o de Green reduzida ca encontra-se na regi˜o 0 < x, x < a, temos a . (44) ω 2 g(x, x )|x=x = × − (45) 2λλ λ − 2 (2κ) 2κ λ 2κ 1+ λ 2κ ω2 ω2 + × 2κ 2κ∆ λ 1+ e−2κ(x−a) − 2κ (51)

e−κ(x

−a)



λ −κ(x e 2κ

+a)

Por fim, dos resultados anteriores, podemos obter uma express˜o expl´ a ıcita para a fun¸ao de Green reduzida c˜ (14) na regi˜o a < x, x , dada por a g(x, x ) = × 1 −κ(x+x −2a) 1 −κ|x−x | e − e × 2κ 2κ∆ λ λ λ λ 1+ e2κ + 1− . 2κ 2κ 2κ 2κ

e2κx ,

e, al´m disso, temos e

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Carrillo e Nogueira

∂x ∂x g(x, x )|x=x = −

κ2 κ2 2λλ λ − + 2κ 2κ∆ (2κ)2 2κ

1+

λ 2κ

e−2κ(x−a) +

λ 2κ

1+

λ 2κ

e2κx .

(52)

Substituindo (51) e (52) na Eq. (50), obtemos
(ω 2 − κ2 ) 4iκ∆ λ 2κ λ 2κ e2κa + λλ (2κ)2 ω 2 + κ2 4iκ∆ λ 2κ λ 2κ e−2κ(x−a) + λ 2κ λ 2κ e2κx .

txx =

1+

1+



1+

1+

(53)

Finalmente, lembrando que κ2 = µ2 − ω 2 , temos: txx = (2ω 2 − µ2 ) 4iκ∆ 1+ λ 2κ 1+ λ 2κ e2κa + λλ (2κ)2 − µ2 4iκ∆ λ 2κ 1+ λ 2κ e−2κ(x−a) + λ 2κ 1+ λ 2κ e2κx . (54)

Tomando agora o limite de masa nula, µ = 0, a rela¸ao (53) fica c˜ txx = −κ 2i∆ 1+ λ 2κ 1+ λ 2κ e2κa + λλ (2κ)2 = −κ 2i
2κ λ 2κ λ

+1 +1

2κ λ 2κ λ

+ 1 e2κa + 1 + 1 e2κa − 1

(55)

Assim a componente txx do tensor energia-momento reduzido no limite ` esquerda do ponto x = a ´ a e txx |x=a− = − κ 2i 1+2 2κ +1 λ 2κ + 1 e2κa − 1 λ
−1

.

(56)

Agora devemos subtrair o tensor energia-momento no limite ` direita do ponto x = a. Este ´ obtido substituindo a e o resultado (45) na Eq. (50). Portanto, obtemos 1 µ2 −2κ(x−a) µ2 − 2κ2 − e 4iκ ∆ λ 2κ λ 2κ λ 2κ λ 2κ

txx =

1−

+

1+

e2κa

.

(57)

Fazendo µ = 0 e tomando o limite x → a pela direita, temos κ txx |x=a+ = − . (58) 2i Note que (58) justamente cancela o primeiro termo de (56). A for¸a no ponto x = a devido `s flutua¸˜es c a co quˆnticas do campo escalar ´ dada por a e F = Txx |x=a− − Txx |x=a+ ∞ 1 1 , (59) =− dyy y 4πa2 0 ( λa + 1)( λya + 1)ey − 1 onde fizemos y = 2κa. No limite λ, λ → ∞, (61) se reduz ao conhecido resule tado de L¨scher [13, 14], isto ´, u π . F =− (60) 24a2 N´s podemos eliminar a dependˆncia de a (a o e distˆncia entre as placas) na integral da Eq. (59), faa zendo λ = F =−
α a

A dependˆncia da distˆncia entre as placas ´ complee a e tamente eliminada multiplicado-se ambos os lados da Eq. (61) por a2 . Veja o gr´fico para α = α . a

Figura 1 - Gr´fico de F a2 x α. a

eλ =


α a

. Assim, 1 . y y ( α + 1)( α + 1)ey − 1 (61)

1 4πa2

dyy
0

Note que a for¸a de Casimir ´ sempre negativa, porc e tanto de atra¸˜o entre as placas, para quaisquer vaca lores positivos de α e α ( α e α > 0 ). No caso em que α = α = 0, a integral (61) tem uma divergˆncia logar´ e ıtmica, como pode ser visto expandindose a Eq. (61) em potˆncias de α. Isto j´ era espere a

For¸a de Casimir para potenciais delta de Dirac c

2311-7

ado, pois reflete a divergˆncia infravermelha existente e no c´lculo dos diagramas de Feynman da teoria de um a ´ campo escalar de massa nula em 1+1 dimens˜es. E o claro que se mantiv´ssemos a massa diferente de zero e e tom´ssemos o limite α = α → 0, a for¸a de Casimir se a c anularia, pois n˜o existiria intera¸˜o entre os materiais a ca das fronteiras e as flutua¸˜es do campo. co No caso simples de massa nula, o c´lculo da dena sidade de energia ´ idˆntico, devido a que txx = t00 e e (Eq. (54) com µ = 0). A densidade de energia renormalizada ´ obtida pela subtra¸˜o da parte independente e ca de a que ´ a densidade de energia se o potencial n˜o e a ´ est´ presente.6 E facil vermos que, como esperavamos, a e F = − ∂E , onde E ´ a energia total. ∂a

3.

Considera¸oes finais c˜

A crescente melhoria nas medidas experimentais do efeito Casimir tem levado ` obten¸˜o de altas precis˜es. a ca o Isto, aliado ao tamb´m crescente desenvolvimento dos e micro e nano-dispositivos, obriga um tratamento mais realista do efeito Casimir. As previs˜es te´ricas obtidas o o na abordagem tradicional de se trocar ”ab initios”as intera¸˜es das flutua¸˜es dos campos com os materiais de co co que s˜o feitas as fronteiras por condi¸˜es de contorno, a co j´ n˜o est˜o de acordo com os experimentos. Portanto, a a a uma abordagem mais realista e rigorosa ´ necess´ria. e a Fronteiras que podem ser consideradas superf´ ıcies s˜o representadas por fun¸˜es delta de Dirac. O c´lculo a co a das fun¸˜es de Green envolvidas nestes casos n˜o, ou dico a ficilmente, ´ encontrado na literatura. A demonstra¸˜o e ca expl´ ıcita e detalhada de como obter tais fun¸˜es de co Green s˜o de grande interesse, n˜o s´ `queles que esa a o a tudam o efeito Casimir, mas sim tamb´m a todos cue jos trabalhos envolvam equa¸˜es diferenciais de segunda co ordem que al´m da fun¸˜o delta ordin´ria, δ(x−x ), tee ca a nham duas outras, δ(x) e δ(x − a). Nesse trabalho, consideramos um campo escalar em

1+1 dimens˜es na presen¸a de duas fronteiras parcialo c mente transparentes, descritas por potenciais delta de Dirac, e usando o tensor energia-momento, calculamos detalhadamente a for¸a de Casimir entre as fronteiras. c Sobre o resultado da for¸a de Casimir, ´ interessante c e fazermos alguns observa¸˜es: co i) Embora tomarmos a massa nula facilite em muito os c´lculos, isto torna a for¸a (61) divergente para a c α = α = 0 ou λ = λ = 0. Isto ´ uma conseq¨ˆncia da e ue divergˆncia infravermelha existente em uma teoria de e campo escalar de massa nula em 1+1 dimens˜es (tomar o α = α = 0 ou λ = λ = 0 significa eliminar a intera¸˜o ca entre o campo e as fronteiras). ii) Por fim, se mantiv´ssemos a massa diferente de zero e para evitar o problema da divergˆncia infravermelha e, e ent˜o, tom´ssemos o limite λ = λ → 0 ou α = α → 0, a a a for¸a de Casimir se anularia, refletindo o fato que c nesse limite as intera¸˜es s˜o eliminadas e a teoria seco a ria aquela de um campo em um espa¸o livre. c ´ E claro que, embora o objetivo final fosse a determina¸˜o da fun¸˜o de Green para o c´lculo da for¸a de ca ca a c Casimir, o trabalho serve como referˆncia a qualquer e situa¸˜o que envolva equa¸˜es diferenciais com fun¸˜es ca co co delta de Dirac.

Agradecimento
Os autores agradecem ao CNPq e ` FAPES pelo apoio a financeiro.

Apˆndice e
Neste apˆndice ´ demonstrada a rela¸˜o e e ca sinh κx< sinh κ(x> − a) −− g(x, x )− − → − . λ,λ →∞ κ sinh κa A fun¸˜o de Green (38), na regi˜o 0 < x, x < a, pode ca a ser expressa da seguinte forma

g(x, x ) =

1 −κ|x−x | λλ e + 2κ 2κ∆ λλ 1 2κ∆ 2κa 1 1 + λ 2κa

2 1 cosh κ|x − x | − 2 (2κa) 2κa e2κa e−κ(x+x ) ,

1 1 + λ 2κa

eκ(x+x

)

− (62)

onde ∆ = λλ 1 1 + λ 2κa 1 1 + λ 2κa e2κa − 1 . (2κa)2 (63)

Substituindo (63) na fun¸˜o de Green (62) e tomando o limite quando λ, λ → ∞, temos ca lim g(x, x ) = 1 −κ|x−x | 1 e + 2 cosh κ|x − x | − eκ(x+x ) − e2κa e−κ(x+x 2κ 2κ (e2κa−1 )
)

λ,λ →∞

,

(64)

6 Este resultado difiere daquele encontrado nas Refs. [15, 16, 17]. A origem dessa diferen¸a est´ na existˆncia da contribui¸ao de um c a e c˜ termo de superf´ ıcie, n˜o considerado em nossos c´lculos. Para mais detalhes veja a Ref. [18]. a a

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Carrillo e Nogueira

ou
λ,λ →∞

lim

g(x, x ) =

1 −κ|x−x | 1 e + eκ|x−x | + e−κ|x−x | − eκ(x+x ) − e2κa e−κ(x+x 2κ 2κ (e2κa−1 )

)

.

(65)

A express˜o acima, ap´s algumas manipula¸˜es, toma a forma a o co lim g(x, x ) = 1 2κ (e2κa−1 ) eκ(x+x ) − eκ|x−x
|

λ,λ →∞

e2κa

e−κ|x−x | −1 . eκ(x+x )

(66)

Agora, se x > x , a express˜o acima fica a lim g(x, x ) = − sinh κx< sinh κ(x> − a) , κ sinh κa (67)

λ,λ →∞

conforme quer´ ıamos demonstrar.

Referˆncias e
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