Intervalos Musicais: Definição, Escalas e Consonâncias, Notas de estudo de Física

Baixe Intervalos Musicais: Definição, Escalas e Consonâncias e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, v. 31, n. 2, 2307 (2009) www.sbfisica.org.br F́ısica e música em consonância (Physics and music in consonance) Mario Goto1 Departamento de F́ısica, Centro de Ciências Exatas, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, PR, Brasil Recebido em 15/10/2008; Revisado em 11/2/2009; Aceito em 18/2/2009; Publicado em 26/6/2009 São examinadas as condições f́ısicas e matemáticas da consonância das ondas sonoras, estabelecendo-se uma relação entre suas frequências fundamentais. Mostra-se que é independente de fases e amplitudes relativas além de ser válida para todas as suas componentes harmônicas, concluindo-se que esta relação de consonância assim definida depende apenas das frequências fundamentais. Por fim, examina-se como esta relação se manifesta na estrutura da escala musical. Palavras-chave: f́ısica e música, relação de consonância, escala musical. Physical and mathematical conditions of consonance of sound waves are examined and a relation between its fundamental frequencies is established. It is shown that it is independent from the relative phases and ampli- tudes as well as the validity for all the harmonic frequencies. At last, it is discussed how this consonance relation manifests itself in musical scales. Keywords: physics and music, consonance relations, musical scales. 1. Introdução A música é a arte dos sons e a consonância das on- das sonoras é o que torna posśıvel a música na nossa vida. As regras para se combinar sons consonantes são bem conhecidas, tendo sido estabelecidas ao longo da evolução da música. Os elementos básicos são as no- tas e os intervalos entre as notas, cujas propriedades principais são a frequência (da nota) e a consonância (do intervalo). Se duas notas musicais tem frequências f1 e f2, respectivamente, o intervalo entre estas no- tas é definido pela relação r = f2 : f1. Embora a frequência seja uma grandeza cont́ınua, a música é com- posta por sons consonantes, sendo que os intervalos de interesse musical se manifestam como frações de uma oitava, assim chamada por conter oito notas (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, Dó) dentro do intervalo de frequência f(Dó) : f(dó) = 2. Estas oito notas definem a escala musical básica conhecida como a escala de dó maior. Em relação à nomenclatura [1], as denominações das notas musicais estão relacionados com a ĺıngua domi- nante dos páıses, principalmente, conforme mostra a Tabela 1. Páıses de idiomas diferentes tendem a ado- tar a nomenclatura inglesa devido ao predomı́nio do inglês como linguagem universal. Neste texto os nomes das notas, exceto os da oitava central, serão em letras minúsculas, os acentos podendo ser omitidos. Quanto às oitavas, serão indicadas por ı́ndices inferiores varian- do de 0 a 8. A chamada música ocidental é baseada na escala de entonação justa, um conjunto de notas musicais no in- tervalo de frequências de f0 a f1 = 2f0 que define uma oitava, f0 uma frequência de referência. A audição hu- mana é senśıvel a frequências entre 20 Hz a 20.000 Hz, e um piano t́ıpico cobre 7 oitavas, das notas la0 a do8, com frequências de 27,5 Hz e 4.224 Hz, respectivamen- te, tendo como padrão de afinação a nota la4 (quarta oitava, central) com frequência atribúıda de 440 Hz [2, 3]. A Fig. 1 mostra o teclado do piano; a nota dó cen- tral, de referência, próxima à chave, é o do4. É claro que o teclado do piano contém muito mais notas do que as oito (por oitava) necessárias para a escala básica de dó maior. Esta questão será retomada adiante ao tratar das construções das escalas musicais. Tabela 1 - Denominações das notas musicais estão relacionados com a ĺıngua dominante dos páıses. Ĺınguas latinas em geral Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Francês ut rè mi fà sol là si Inglês e alemão C D E F G A B 1E-mail: mgoto@uel.br. Copyright by the Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil. 2307-2 Goto Figura 1 - Teclado t́ıpico de um piano. 1.1. Escala pitagórica A origem da escala musical remonta ao matemático grego Pitágoras que, usando um monocórdio com um suporte móvel entre as extremidades fixas da corda vi- brante, identificou as relações entre as frequências como os fatores preponderantes para a consonância dos sons. A Fig. 2 ilustra um monocórdio, o suporte móvel di- vidindo a corda tensionada em duas partes de com- primentos L1 e L2. Pitágoras percebeu que os sons produzidos pelas partes com relações de comprimentos L1/L2 iguais a 2/1, 3/2 e 4/3 eram particularmente agradáveis enquanto que quaisquer outras combinações arbitrárias resultavam desagradáveis. Dois sons re- sultando numa combinação agradável são ditos conso- nantes, de outro modo são dissonantes. Uma corda de comprimento L tensionada e fixa nas duas extremidades tem modos de vibração definidos por comprimentos de onda λn satisfazendo [4] λn = 2L n , para n assumindo valores inteiros 1, 2, 3, . . . , etc. Comprimento de onda e frequência se relacionam com a velocidade de propagação da onda sobre a corda, v = fn × λn, de modo que fn = v λn = nv 2L . Considerando apenas o modo fundamental (n = 1), as relações de frequência ficam f2/f1 = L1/L2. Em notação atual, as relações acima definem as notas do1, fa, sol e do2 com a relação de frequência 3/2 : 4/3 = 9/8 entre as notas fa e sol, que define o intervalo de um tom. A relação 2/1 corresponde ao intervalo de uma oitava, neste caso de do1 a do2. Figura 2 - O monocórdio (ou monocorda), corda tensionada e fixa nas duas extremidades, com um suporte móvel que permite variar o comprimento da corda. Tomando como referência a nota do1 definem-se as notas re um tom acima e mi outro tom acima do re. Com o mesmo procedimento, tendo como base a nota sol, definem-se as notas la e si, completando a escala de Pitágoras, na talela 2. A Tabela 3 mostra os inter- valos entre as notas adjacentes numa oitava, de do1 a do2. Os intervalos entre as notas mi − fa e si − do2 resultam 256/243, intervalo que define o meio tom ou semitom. Por um v́ıcio de linguagem é comum dizer que semi- tom é a metado do tom - assim seria se o intervalo fosse a diferença das frequências. O intervalo é a razão entre as frequências e, a rigor, espera-se que o intervalo de um tom contenha dois intervalos de semitons. Significa que se r for o intervalo de semitom, r× r = r2 deve cor- responder ao intervalo de um tom. Na escala pitagórica isto é satisfeito de forma aproximada, pois r2 = ( 256 243 )2 ' 1, 1099 e o intervalo de um tom é 9/8 = 1, 125. Significa, por exemplo, que meio tom acima de do e meio tom abaixo de re não são equivalentes. c Tabela 2 - Notas e os respectivos intervalos em relação à primeira nota do1, na escala pitagórica. do1 re mi fa sol la si do2 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 Tabela 3 - Notas e os intervalos entre duas notas consecutivas, na escala pitagórica. do1 − re re−mi mi− fa fa− sol sol − la la− si si− do2 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243 d 1.2. Escala de entonação justa Consonância e dissonância não são conceitos absolutos, e o astrônomo grego Ptolomeu adicionou às relações 3 : 2 : 1 de Pitágoras as relações 4 : 5 : 6, considerando- as tão consonantes quanto as anteriores. Tendo como referência a nota do, resulta o conjunto de intervalos {1, 5/4, 6/4 = 3/2} correspondente ao conjunto das notas {do, mi, sol}. Tomando a nota sol como re- ferência, o mesmo conjunto de intervalos multiplicados por 3/2 fica {3/2, 15/8, 9/4} que define o conjunto das notas {sol, si, re2}. Por fim, o mesmo conjunto ini- cial de intervalos deslocados abaixo de do2 resulta no conjunto {4/3, 5/3, 2} correspondente ao conjunto das F́ısica e música em consonância 2307-5 o intervalo do− sol, 3 2 = 6 4 = (5 + 1) (5− 1) , etc.. A Fig. 3 mostra as combinações de notas Dó e Lá no quadro (a), Dó e Mi no quadro (b) e Dó e Sol no quadro (c), casos t́ıpicos de intervalos que satisfazem a relação de consonância, Eq. (7). A Fig. 4 traz, nos quadros (a), (b) e (c) os padrões irregulares, com periodicidade não definida, que carac- terizam as combinações dissonantes. A Tabela 8 contém os intervalos entre todas as no- tas da escala de entonação justa mostrando que a maio- ria satisfaz a condição de consonância. O mesmo não ocorre na escala pitagórica, como mostra a Tabela 9, significando menos possibilidades para as construções de linhas melódicas ou de acordes. c (a) (b) (c) Figura 3 - Padrões regulares t́ıpicos de consonância, combinações de notas Dó e Lá em (a), Dó e Mi em (b) e Dó e Sol em (c). (a) (b) (c) Figura 4 - Padrões irregulares não periódicos caracterizam a dissonância, combinação de Ré e Lá nos quadro (a) e combinações arbitrárias nos quadros (b) e (c). Tabela 8 - Intervalos entre as notas, na escala de entonação justa. do re mi fa sol la si do do 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 re 8/9 1 10/9 32/27 4/3 40/27 15/9 16/9 mi 4/5 9/10 1 16/15 6/5 4/3 3/2 8/5 fa 3/4 27/32 15/16 1 9/8 5/4 45/32 3/2 sol 2/3 4/3 5/6 8/9 1 10/9 5/4 4/3 la 3/5 27/40 3/4 4/5 9/10 1 9/8 6/5 si 8/15 9/15 2/3 32/45 4/5 8/9 1 16/15 do 1/2 9/16 5/8 2/3 3/4 5/6 15/16 1 Tabela 9 - Intervalos entre as notas, na escala pitagórica. do re mi fa sol la si do do 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 re 8/9 1 9/8 32/27 4/3 3/2 27/16 16/9 mi 64/81 8/9 1 256/243 32/27 4/3 3/2 512/81 fa 3/4 27/32 243/256 1 9/8 81/64 729/512 3/2 sol 2/3 3/4 27/32 8/9 1 9/8 81/64 4/3 la 16/27 2/3 3/4 64/81 8/9 1 9/8 32/27 si 128/243 16/27 2/3 512/729 64/81 8/9 1 256/243 do 1/2 9/16 81/128 2/3 3/4 27/32 243/256 1 2307-6 Goto É de se esperar que quanto menor n mais simples é a relação numérica (7) e melhor se manifeste a con- sonância. O intervalo de semitom 16/15 satisfaz a relação (7) para n = 31 porém notas separadas por intervalo de semitom não são consideradas consonantes pelos músicos, em razão dos batimentos. Veja que das Eqs. (4) e (5) resultam f− = f0 (10) e f = f+ = nf0 , (11) garantindo um padrão regular de periodicidade para o som resultante. Quando as frequências dos sons primários são muito próximas, que implica n muito grande e f = nf0 ' f2 ' f1 , o sistema auditivo não consegue discriminar os dois sons como distintos, percebendo-os como um único som com modulação na amplitude (batimento), cos 2πf1t + cos 2πf2t = (2 cos 2πf0t) cos 2πnf0t , (12) a frequência de batimento f− = f0 abaixo do limiar de audição [7]. A Fig. 5 mostra a combinação das notas Dó e Si no quadro (a), cujo intervalo que não satisfaz a condição de consonância (7), a combinação das notas Si e do2 (intervalo de semitom) no quadro (b) que, embora sa- tisfaça a condição (7) o efeito do batimento é domi- nante e, no quadro (c) a combinação da nota Dó com outro alterado de um coma, que resulta num batimento lento. O coma corresponde à ”metade do semitom”e está próximo ao limiar da percepção humana. Se a frequência de batimento for muito pequeno em relação ao tempo envolvido, a modulação não será percebida e os dois sons serão confundidos como iguais. Este é o efeito prático que permite a escala de igual tempera- mento, os pequenos desvios nos intervalos entre as no- tas assim afinadas não sendo percebidos. Pela mesma razão, pequenos desvios da relação de consonância (7) não são percebidos. 2.1. Amplitudes e fases relativas Nas análises acima, foram considerados sons puros de mesma amplitude e mesma fase, o que dificilmente poderiam ser reproduzidos na prática. Sendo assim, se amplitudes diferentes forem usadas, a Eq. (3) deve ser modificada para A1 cos 2πf1t + A2 cos 2πf2t = A1 [cos 2πf1t + cos 2πf2t] + (A2 −A1) cos 2πf2t , onde a Eq. (7) pode ser aplicada para os termos de igual amplitude. Então, usando a relação inversa (8), o termo à parte é reincorporada, resultando na expressão mais geral A1 cos 2πf1t + A2 cos 2πf2t = A1 cos 2π(n− 1)f0t + A2 cos 2π(n + 1)f0t , (13) o que valida a relação de consonância (7) para condições mais gerais do mundo real, onde o controle fino da in- tensidade sonora nem sempre é posśıvel. A diferença de fase pode ser introduzida supondo que os sons primários sejam produzidos em instantes diferentes. Neste caso, no lado esquerdo da Eq. (13) pode ser reescrito como A1 cos 2πf1 (t− t1) + A2 cos 2πf2 (t− t2) = W [cos] + W [sen] , onde W [cos] = B1 cos 2πf1t + B2 cos 2πf2t e W [sen] = C1sen2πf1t + C2sen2πf2t são funções auxiliares contendo termos em cosseno e seno, respectivamente, com coeficientes B1 = A1 cos 2πf1t1, B2 = A2 cos 2πf2t2 c (a) (b) (c) Figura 5 - Combinações de notas Dó e Si em (a), Si e do2 em (b) e Dó e som um coma acima em (c). F́ısica e música em consonância 2307-7 e C1 = A1sen2πf1t1, C2 = A2sen2πf2t2. Supondo satisfeita a condição (7), pode-se usar o de- senvolvimento (13), resultando W [cos] = B1 cos 2π(n− 1)f0t + B2 cos 2π(n + 1)f0t. Para o termo em seno, usando relações trigonomé- tricas sen2πf1t + sen2πf2t = 2 cos 2π (f2 − f1) 2 t sen2π (f2 + f1) 2 t, o comportamento regular e periódico leva à mesma Eq. (7), resultando W [sen] = C1sen2π(n− 1)f0t + C2sen2π(n + 1)f0t. Revertendo os procedimentos, chega-se à expressão geral A1 cos 2πf1 (t− t1) + A2 cos 2πf2 (t− t2) = = A1 cos 2π(n− 1)f0 (t− t1) + A2 cos 2π(n + 1)f0 (t− t2) , (16) garantindo que a relação de consonância aplica-se inde- pendentemente de amplitudes e fases relativas dos sons primários. A independência de fase é o que garante a melodia e a harmonia numa mesma escala musical. 2.2. Combinações harmônicas Fontes sonoras são sistemas mecânicos postos em vi- bração, superposição linear de todos os modos nor- mais de oscilação permitidos pelo sistema [4]. O som resultante contém exatamente os mesmos modos de os- cilação da fonte, resultando num som caracteŕıstico que define a qualidade (timbre) do som, a altura definida pela frequência do modo fundamental. Assim sendo, os sons, ao propagarem-se no meio, são combinações harmônicas contendo o modos nor- mais defindos pelas fontes sonoras. Deste modo, a relação de consonância (7), além de independente das amplitudes e fases relativas dos sons primários, deve ser válido para as combinações harmônicas. Considerando os sons primários como combinações harmônicas cujas frequências fundamentais são f1 e f2, u1(t) = ∞∑ k=1 Ak cos 2πkf1t (17) e u2(t) = ∞∑ k=1 Bk cos 2πkf2t , (18) resulta na composição (considerando por enquanto Bk = Ak) u(t) = ∞∑ k=1 Ak (cos 2πkf1t + cos 2πkf2t) = 2 ∞∑ k=1 Ak cos 2πk |f1 − f2| 2 t cos 2πk (f1 + f2) 2 t . (19) Aplicando a condição (7), supondo f1 < f2, e rever- tendo a relação trigonométrica, Eqs. (8) e (13), chega- se à forma geral u(t) = ∞∑ k=1 Ak cos 2πk(n− 1)f0t + Bk cos 2πk(n + 1)f0t (20) para a série harmônica, atestando que a relação de con- sonância (7) continua aplicável. 3. Conclusões Embora consonância e dissonância sejam percepções com muita subjetividade, podendo variar entre indiv́ı- duos ou culturas, em termos gerais é de se esperar que a influência das condições f́ısicas expressas através de relações matemáticas sejam fundamentais. Isto porque o som é uma manifestação f́ısica que pode ser descrita, tanto na produção como na propagação, através de leis f́ısicas e equações matemáticas. Neste contexto é que se apresenta uma relação matemática exata para definir fisicamente as condições de consonância de ondas sono- ras. Sob estas condições a onda resultante mantem a estrutura harmônica, tendo a frequência de batimento como a fundamental, embora a mesma não esteja pre- sente, o que a diferencia das ondas primárias. A con- sonância é independente de fases e amplitudes relativas assim como das componentes harmônicas, e a relação de consonância proposta satisfaz a estas condições, depen- dendo apenas das frequências fundamentais das ondas primárias. Quando a frequência de batimento é próximo ao limiar da audição, o efeito de modulação da ampli- tude torna-se mais importante, quebrando a percepção de consonância, mesmo que a condição f́ısica de con- sonância esteja satisfeita. Para ondas primárias com frequências muito próximas, o efeito de batimento é suave e praticamente impercept́ıvel. A aplicação mais importante da consonância é na música, onde percebe- se que os intervalos entre as notas estruturadas numa escala musical são otimizadas para que satisfaçam mu- tuamente à condição de consonância.