(Parte 1 de 3)

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 31, n. 1, 1301 (2009) w.sbfisica.org.br

Artigos Gerais

Orbitas fechadas e o potencial harmonico de Manev (Closed orbits and the harmonic Manev potential)

1Grupo de Gravitacao e Cosmologia, Departamento de Fısica, Universidade Federal do Espırito Santo, Vitoria, ES, Brasil 2Fakultat fur Physik, Universitat Bielefeld, Bielefeld, Alemanha 3Grupo de Fısica Aplicada, Departamento de Fısica, Universidade Federal do Espırito Santo, Vitoria, ES, Brasil Recebido em 12/9/2008; Aceito em 24/1/2008; Publicado em 30/4/2009

Estudamos condicoes para a existencia de orbitas fechadas em tres potenciais distintos. Primeiramente, confirmamos condicoes ja conhecidas para o problema de Manev. Em um segundo passo, inspirados pelo teorema de Bertrand, construımos o potencial harmonico de Manev substituindo o termo do oscilador harmonico no lugar do termo Newtoniano no potencial de Manev. Assim como no potencial de Manev, encontramos condicoes similares para a existencia de orbitas fechadas que sao relacionadas com valores restritos do momento angular. Analisamos tambem um potencial Newtoniano corrigido com o termo harmonico. Palavras-chave: potencial de Manev, teorema de Bertrand, orbitas fechadas.

We study conditions for the existence of closed orbits in three distinct potentials. Firstly, we confirm well known conditions for the Manev problem. In a second step, inspired by the result of Bertrand’s theorem, we construct a harmonic Manev potential with a harmonic oscillator term instead of the Newtonian one. As in the original Manev potential we find similar conditions for closed orbits that are correlated with restrict values of angular momenta. We analyse also a harmonic corrected Newtonian potential. Keywords: Manev potential, Bertrand’s theorem, closed orbits.

1. Introducao

Conhecer a trajetoria de uma partıcula em um campo de forca central e um problema extremamente importante em dois ramos bem diferentes da fısica, como por exemplo, o movimento de corpos celestes e certos tipos de situacoes em mecanica quantica. Muitos tipos de potenciais tem sido estudados nos ultimos quatro seculos desde o comeco da era moderna do estudo da mecanica com o Principia de Newton [1]. O potencial Newto- niano VN ∝ r−1 e o potencial do oscilador harmonico

VH ∝ r2 ja foram exaustivamente aplicados em diversas situcoes fısicas dentro da mecanica classica [2]. Entre-

tanto, e importante notar que, como e bem conhecido, esses potenciais tambem sao importantes em mecanica quantica [3]. Alem do que, esses potenciais sao tambem importantes sob um ponto de vista semi-classico [4]. Outro resultado que compreende estes potenciais e o teorema de Bertrand [5]. Este resultado, nos diz que somente forcas centrais do tipo V (r) ∝ rn, que resultam em orbitas fechadas para todas as partıculas radialmente ligadas, sao o potencial Newtoniano n = −1 (ou problema de Kepler) e o potencial do oscilador harmonico simples n = 2 (ou Lei de Hooke). Diferentes provas do teorema de Bertrand podem ser encontradas nas Refs. [6, 7].

Dentro do estudo da mecanica celeste, com o advento da relatividade geral, temos uma nova maneira de descrever processos fısicos gravitacionais. No limite de campos fracos da relatividade geral um corpo de prova orbitando sob um campo gravitacional e governado pelo potencial VR ∝ (r−1+r−3). Esse resultado explica com grande precisao as observacoes da precessao do perihelio de Mercurio. No entanto, uma tentativa classica de reproduzir os resultados da relatividade geral foi feito pelo fısico bulgaro Georgi Manev a partir da segunda decada do seculo passado, quando este introduziu um potencial da forma [8]2 onde A e o produto da constante gravitacional pela massa do corpo (A = GM), B e uma constante e c e a velocidade da luz. A partir do potencial de Manev (1) obtemos o potencial newtoniano com o limite nao relativıstico B << c2. Devemos fazer referencia que mesmo Newton ja havia considerado este potencial e

1E-mail: velten@cce.ufes.br.

2Como as publicacoes de Manev eram em frances ou em alemao se diz Maneff. Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

1301-2 Velten e Sampaio descoberto que para um corpo orbitando neste campo gravitacional sua trajetoria seria uma elıpse que precessiona em torno do plano de movimento. No entanto, nenhum outro trabalho foi realizado com este potencial por Newton ou pelos que lhe sucederam, ate a epoca de Manev.

Podemos dizer que tudo comecou quando Max

Planck, em 1908, verificou que o princıpio de acao e reacao Newtoniano nao condizia com a relatividade especial. Para isso Planck reformulou o princıpio de acao e reacao, utilizando o conceito de quantidade de movimento eletromagnetico, introduzido por M. Abraham em 1903. O trabalho de Manev consistiu em mostrar que aplicando a formulacao de Planck para o princıpio de acao e reacao a mecanica classica, o potencial A/r + B/r2 surge naturalmente e a partir disso passou a considerar que esse modelo poderia substituir a teoria relativista. Os calculos de Manev mostram novos resultados, principalmente em mecanica celeste, que nao sao encontrados com o potencial Newtoniano. Pelo menos em nıvel de sistema solar, as previsoes teoricas de Manev sao igualmente condizentes com as observacoes, assim como a relatividade geral tambem o e. No entanto, e fundamental perceber que com o potencial de Manev sempre estaremos trabalhando dentro da mecanica classica, ganhando assim em transparencia e simplicidade. Ao passo que, para utilizarmos o poten- cial relativıstico VR, devemos primeiramente analisar se realmente o problema se encontra no limite de campo fraco da relatividade geral. Alem do que, o potencial

VR e apenas uma primeira aproximacao, negligenciando termos de ordens superiores.

Apos 1930, ano da ultima publicacao de Manev sobre o assunto, seus trabalhos permaneceram desconhecidos por mais de meio seculo ate que seu modelo voltou a ser fonte de estudo no final do seculo passado. Recentes resultados mostraram que o potencial de Manev e o analogo classico do modelo de Schwarzschild [9]. Alguns problemas em astrofısica podem ser modelados com o potencial de Manev, como o colapso de uma esfera homogenea [10]; estudos nao perturbativos da precessao de orbitas elıpticas [1] e singularidades nuas em relatividade geral [12]. Essa redescoberta do potencial de Manev levou a uma serie de novos resultados que colocam o potencial de Manev como uma ponte entre a mecanica Newtoniana e a relatividade geral. Vale ressaltar que a ideia de se trabalhar com variacoes do potencial Newtoniano tambem se aplica em muitas teorias mais recentes, como no contexto de dinamicas modificadas [13] ou em teorias com dimensoes superiores [14].

Na Ref. [15] diversos resultados sobre a dinamica do potencial de Manev foram encontrados. Entre estes resultados, existem condicoes explıcitas para as quais sao permitidas orbitas fechadas em trajetorias classicas governados pelo potencial de Manev (1). Estes autores encontraram que existem orbitas fechadas para o problema de Manev somente quando o momento angular do corpo teste assume valores muito especıficos. No entanto, o teorema de Bertrand nao julga situacoes onde o potencial possui mais do que um termo. Dessa forma, os resultados obtidos com o potencial de Manev introduzem novas condicoes para a existencia de orbitas fechadas nao tratadas pelo teorema de Bertrand.

Neste artigo buscamos resolver a equacao para orbitas numericamente, tanto para o potencial de Manev quanto para variantes deste. Para isso seguimos o seguinte roteiro: na segunda secao estudamos o formalismo classico para o estudo de orbitas. Para o potencial de Manev confirmamos as condicoes conhecidas na literatura, relacionadas ao momento angular, que determinam a existencia de orbitas fechadas. Na terceira secao, motivados pelo teorema de Bertrand, construımos o potencial harmonico de Bertrand, substituindo o termo (r−1) no potencial original de Manev (1) pelo termo do oscilador harmonico (r2). Na quarta secao, fazemo-nos a seguinte pergunta: se os potencias Newtoniano e harmonico separadamente resultam em orbitas fechadas, sera que juntos tambem reproduziriam tal resultado? Finalmente, apresentamos nossas conclusoes na quinta secao.

2. Descricao do movimento

Uma importante classe de campos centrais e caracterizada por uma energia potencial inversamente proporcional a r. Isto inclui o potencial gravitacional Newtoniano e o potencial eletrostatico Coulombiano. E fato que estes potenciais contem apenas um termo. Porem, ha diferentes situacoes em que existem mais de um termo no potencial. Por exemplo, em mecanica celeste, ao estudarmos o movimento de planetas em nosso sistema solar, experamos que, por causa de perturbacoes introduzidas pela existencia dos demais planetas, a forca experimentada por um corpo nao varie exatamente como 1/r2, onde r e a distancia medida a partir do Sol [16].

Nesta secao queremos estudar o movimento de um corpo de teste submetido ao potencial de Manev (1). Para encontrar as equacoes de movimento construımos a lagrangiana do sistema

Se restringirmos o movimento ao plano θ = const = pi2, obteremos equacoes de movimento em coordenadas po-lares ( r − r φ2) onde F (r) e a forca por unidade de massa. A Eq. (4) pode ser imediatamente integrada, o que leva a

Orbitas fechadas e o potencial harmonico de Manev 1301-3

Essa equacao expressa a conservacao do momento angular sobre o eixo z e fornece uma das integrais de movimento. Esta lei de conservacao possui uma simples interpretacao pois esta conectada com a segunda lei de Kepler para o movimento planetario. Para ir adiante, usamos a Eq. (5) para substituir o tempo t pelo angulo φ como variavel independente na Eq. (4). Uma vez que (5) implica em dt = lφ r2 d dφ

r2 d dφ r2 dr dφ

esta equacao pode ser simplificada pela substituicao

que coloca (7) na forma

Esta forma para a equacao da orbita e particularmente util se queremos encontrar a lei de forca que fornece uma orbita particular u = u(φ). Se a equacao para a orbita e conhecida na forma r (φ), podemos entao resolver a equacao acima e obter a lei de forca F (r). Da mesma maneira, para qualquer forca particular, a equacao para a orbita pode ser obtida integrando a equacao diferencial (9). Este procedimento sera realizado nesta e nas secoes seguintes para resolvermos o casos sob investigacao. Inserindo a forca

d2uM

onde introduzimos as seguintes definicoes:

Se B = 0 temos novamente o potencial Newtoniano e a Eq. (10) possui solucoes bem conhecidas. A correcao

3B 2c r produz somente uma modificacao no coeficiente do termo linear desta equacao. A partir disso, devemos

Para encontrar a solucao geral neste caso, a Eq. (10) pode ser reescrita como dφ2

De uma maneira direta podemos mostrar que a solucao da equacao acima e onde ² e a ecentricidade da orbita. A solucao acima caracteriza uma orbita aberta como pode ser observado na Fig. 1.

Nesta situacao especial o termo com a constante B no potencial de Manev possui um papel atrativo (B < 0), uma vez que o modulo do momento angular e sempre uma quantidade positiva. A equacao para a trajetoria

Podemos mostrar sem dificuldades que onde b1 e c1 sao constantes de integracao e podem ser encontradas a partir das condicoes iniciais para u(φ) e u′ (φ). Para uma visualizacao qualitativa das orbitas podemos tomar valores arbitrarios para estas constantes. A orbita resultante e mostrada no lado direito da Fig. 1 e representa uma espiral fechada, enquanto a orbita estudada no caso anterior, onde β2 < 0, representa um espiral aberta.

Figura 1 - A figura de cima e a orbita para a solucao (13). Na figura inferior mostramos a orbita para a solucao (15). Em cada figura, a intersecao entre as linhas horizontal e vertical representa a origem da trajetoria.

3uM e a equacao para a orbita para o potencial de Manev.

1301-4 Velten e Sampaio

A partir das definicoes (1) uma restricao nos valores de β2 implica que devemos considerar solucoes de (10) tanto para o caso de interacoes repulsivas quanto atrativas do potencial Newtoniano. Isto depende do sinal de B uma vez que B > −l2φ. A solucao geral para este caso e

No caso limite β = 1 temos novamente a equacao de orbita para o potencial Newtoniano. Na Fig. 2 mostramos varias orbitas para distintos valores de β. Vemos que para determinados valores de β e, consequentemente, determinados valores do momento angular (1), obtemos orbitas fechadas. Aparentemente, este resultado mostra que, no caso de potenciais combinados, a existencia de orbitas fechadas requer que o momento angular assuma valores restritos. Verificamos que as orbitas mostradas na Fig. 2 sao fechadas, confirmando que r (0) = r (2pi) e r′ (0) = r′ (2pi) para os casos onde β = 1,2,3. Para β = 0.5,1.5,2.5 as orbitas se fecham somente apos duas revolucoes quando r (0) = r (4pi) e r′ (0) = r′ (4pi). Observamos ainda, que existem outros valores para β que produzem orbitas fechadas. Na verdade, estes valores estao conectados com o valor do angulo apsidal que sera calculado na proxima secao.

2.4. Estabilidade da orbita

Em uma orbita ligada e nao circular, a distancia radial entre a origem da trajetoria e a partıcula esta sem- pre dentro dos limites rmin ≤ r ≤ rmax. Estes pontos de mınimos e maximos sao chamados de apsides e, consequentemente, a separacao angular entre duas apsides consecutivas e o angulo apsidal Ψ. Por exemplo, o angulo apsidal para uma orbita elıptica e pi/2. A exigencia para termos uma orbita fechada e que o angulo apsidal seja uma fracao racional de 2pi [2]. Se Ψ nao for uma fracao racional de 2pi, a partıcula nao retornara a sua posicao original apos ela completar um certo numero de revolucoes.

Existem duas condicoes para a estabilidade das orbitas, a saber [17]

dVeffdr

b =2.0 b =2.5 b =3.0 Figura 2 - Orbitas para o potencial de Manev com diferentes valores de β.

Orbitas fechadas e o potencial harmonico de Manev 1301-5 termo centrıfugo l2φ/2r2 e para uma orbita estavel ambas as condicoes (17) devem ser satisfeitas simultanea- mente. A partir da primeira das condicoes acima obtemos o valor de r, que e o raio tıpico de uma orbita circular estavel. Para responder a questao se uma orbita e fechada ou nao, precisamos primeiramente calcular o angulo apsidal Ψ. A partir das condicoes (17) e analisando o comportamento de uma orbita quando pequenas perturbacoes sao introduzidas, e possıvel encontrar

Se calcularmos a forca FM (r) derivada a partir do potencial de Manev (1) e introduzirmos na relacao acima, obteremos

(Parte 1 de 3)

Comentários