Potenciais Clássicos: Orbitas Fechadas no Potencial de Manev, Notas de estudo de Física

Baixe Potenciais Clássicos: Orbitas Fechadas no Potencial de Manev e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, v. 31, n. 1, 1301 (2009) www.sbfisica.org.br Artigos Gerais Órbitas fechadas e o potencial harmônico de Manev (Closed orbits and the harmonic Manev potential) H.E.S. Velten1,2 e R.V. Sampaio3 1Grupo de Gravitação e Cosmologia, Departamento de F́ısica, Universidade Federal do Esṕırito Santo, Vitória, ES, Brasil 2Fakultät für Physik, Universität Bielefeld, Bielefeld, Alemanha 3Grupo de F́ısica Aplicada, Departamento de F́ısica, Universidade Federal do Esṕırito Santo, Vitória, ES, Brasil Recebido em 12/9/2008; Aceito em 24/11/2008; Publicado em 30/4/2009 Estudamos condições para a existência de órbitas fechadas em três potenciais distintos. Primeiramente, con- firmamos condições já conhecidas para o problema de Manev. Em um segundo passo, inspirados pelo teorema de Bertrand, constrúımos o potencial harmônico de Manev substituindo o termo do oscilador harmônico no lugar do termo Newtoniano no potencial de Manev. Assim como no potencial de Manev, encontramos condições similares para a existência de órbitas fechadas que são relacionadas com valores restritos do momento angular. Analisamos também um potencial Newtoniano corrigido com o termo harmônico. Palavras-chave: potencial de Manev, teorema de Bertrand, órbitas fechadas. We study conditions for the existence of closed orbits in three distinct potentials. Firstly, we confirm well known conditions for the Manev problem. In a second step, inspired by the result of Bertrand’s theorem, we construct a harmonic Manev potential with a harmonic oscillator term instead of the Newtonian one. As in the original Manev potential we find similar conditions for closed orbits that are correlated with restrict values of angular momenta. We analyse also a harmonic corrected Newtonian potential. Keywords: Manev potential, Bertrand’s theorem, closed orbits. 1. Introdução Conhecer a trajetória de uma part́ıcula em um campo de força central é um problema extremamente impor- tante em dois ramos bem diferentes da f́ısica, como por exemplo, o movimento de corpos celestes e certos tipos de situações em mecânica quântica. Muitos tipos de po- tenciais têm sido estudados nos últimos quatro séculos desde o começo da era moderna do estudo da mecânica com o Principia de Newton [1]. O potencial Newto- niano VN ∝ r−1 e o potencial do oscilador harmônico VH ∝ r2 já foram exaustivamente aplicados em diversas situções f́ısicas dentro da mecânica clássica [2]. Entre- tanto, é importante notar que, como é bem conhecido, esses potenciais também são importantes em mecânica quântica [3]. Além do que, esses potenciais são também importantes sob um ponto de vista semi-clássico [4]. Outro resultado que compreende estes potenciais é o teorema de Bertrand [5]. Este resultado, nos diz que somente forças centrais do tipo V (r) ∝ rn, que resul- tam em órbitas fechadas para todas as part́ıculas ra- dialmente ligadas, são o potencial Newtoniano n = −1 (ou problema de Kepler) e o potencial do oscilador harmônico simples n = 2 (ou Lei de Hooke). Diferentes provas do teorema de Bertrand podem ser encontradas nas Refs. [6, 7]. Dentro do estudo da mecânica celeste, com o ad- vento da relatividade geral, temos uma nova maneira de descrever processos f́ısicos gravitacionais. No limite de campos fracos da relatividade geral um corpo de prova orbitando sob um campo gravitacional é governado pelo potencial VR ∝ (r−1+r−3). Esse resultado explica com grande precisão as observações da precessão do perihélio de Mercúrio. No entanto, uma tentativa clássica de re- produzir os resultados da relatividade geral foi feito pelo f́ısico búlgaro Georgi Manev a partir da segunda década do século passado, quando este introduziu um potencial da forma [8]2 VM = A r + 3B 2c2r2 , (1) onde A é o produto da constante gravitacional pela massa do corpo (A = GM), B é uma constante e c é a velocidade da luz. A partir do potencial de Manev (1) obtemos o potencial newtoniano com o limite não relativ́ıstico B << c2. Devemos fazer referência que mesmo Newton já havia considerado este potencial e 1E-mail: velten@cce.ufes.br. 2Como as publicações de Manev eram em francês ou em alemão se diz Maneff. Copyright by the Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil. 1301-2 Velten e Sampaio descoberto que para um corpo orbitando neste campo gravitacional sua trajetória seria uma eĺıpse que pre- cessiona em torno do plano de movimento. No entanto, nenhum outro trabalho foi realizado com este potencial por Newton ou pelos que lhe sucederam, até a época de Manev. Podemos dizer que tudo começou quando Max Planck, em 1908, verificou que o prinćıpio de ação e reação Newtoniano não condizia com a relatividade especial. Para isso Planck reformulou o prinćıpio de ação e reação, utilizando o conceito de quantidade de movimento eletromagnético, introduzido por M. Abra- ham em 1903. O trabalho de Manev consistiu em mostrar que aplicando a formulação de Planck para o prinćıpio de ação e reação à mecânica clássica, o po- tencial A/r + B/r2 surge naturalmente e a partir disso passou a considerar que esse modelo poderia substituir a teoria relativista. Os cálculos de Manev mostram novos resultados, principalmente em mecânica celeste, que não são encontrados com o potencial Newtoniano. Pelo menos em ńıvel de sistema solar, as previsões teóricas de Manev são igualmente condizentes com as observações, assim como a relatividade geral também o é. No entanto, é fundamental perceber que com o po- tencial de Manev sempre estaremos trabalhando dentro da mecânica clássica, ganhando assim em transparência e simplicidade. Ao passo que, para utilizarmos o poten- cial relativ́ıstico VR, devemos primeiramente analisar se realmente o problema se encontra no limite de campo fraco da relatividade geral. Além do que, o potencial VR é apenas uma primeira aproximação, negligenciando termos de ordens superiores. Após 1930, ano da última publicação de Manev so- bre o assunto, seus trabalhos permaneceram desconhe- cidos por mais de meio século até que seu modelo voltou a ser fonte de estudo no final do século passado. Re- centes resultados mostraram que o potencial de Manev é o análogo clássico do modelo de Schwarzschild [9]. Alguns problemas em astrof́ısica podem ser modelados com o potencial de Manev, como o colapso de uma es- fera homogênea [10]; estudos não perturbativos da pre- cessão de órbitas eĺıpticas [11] e singularidades nuas em relatividade geral [12]. Essa redescoberta do poten- cial de Manev levou a uma série de novos resultados que colocam o potencial de Manev como uma ponte entre a mecânica Newtoniana e a relatividade geral. Vale ressaltar que a idéia de se trabalhar com variações do potencial Newtoniano também se aplica em muitas teorias mais recentes, como no contexto de dinâmicas modificadas [13] ou em teorias com dimensões superi- ores [14]. Na Ref. [15] diversos resultados sobre a dinâmica do potencial de Manev foram encontrados. Entre estes resultados, existem condições expĺıcitas para as quais são permitidas órbitas fechadas em trajetórias clássicas governados pelo potencial de Manev (1). Estes au- tores encontraram que existem órbitas fechadas para o problema de Manev somente quando o momento an- gular do corpo teste assume valores muito espećıficos. No entanto, o teorema de Bertrand não julga situações onde o potencial possui mais do que um termo. Dessa forma, os resultados obtidos com o potencial de Manev introduzem novas condições para a existência de órbitas fechadas não tratadas pelo teorema de Bertrand. Neste artigo buscamos resolver a equação para órbitas numericamente, tanto para o potencial de Manev quanto para variantes deste. Para isso seguimos o seguinte roteiro: na segunda seção estudamos o for- malismo clássico para o estudo de órbitas. Para o po- tencial de Manev confirmamos as condições conheci- das na literatura, relacionadas ao momento angular, que determinam a existência de órbitas fechadas. Na terceira seção, motivados pelo teorema de Bertrand, constrúımos o potencial harmônico de Bertrand, subs- tituindo o termo (r−1) no potencial original de Manev (1) pelo termo do oscilador harmônico (r2). Na quarta seção, fazemo-nos a seguinte pergunta: se os poten- cias Newtoniano e harmônico separadamente resultam em órbitas fechadas, será que juntos também repro- duziriam tal resultado? Finalmente, apresentamos nos- sas conclusões na quinta seção. 2. Descrição do movimento Uma importante classe de campos centrais é caracte- rizada por uma energia potencial inversamente propor- cional a r. Isto inclui o potencial gravitacional Newtoni- ano e o potencial eletrostático Coulombiano. É fato que estes potenciais contêm apenas um termo. Porém, há diferentes situações em que existem mais de um termo no potencial. Por exemplo, em mecânica celeste, ao es- tudarmos o movimento de planetas em nosso sistema solar, experamos que, por causa de perturbações intro- duzidas pela existência dos demais planetas, a força ex- perimentada por um corpo não varie exatamente como 1/r2, onde r é a distância medida a partir do Sol [16]. Nesta seção queremos estudar o movimento de um corpo de teste submetido ao potencial de Manev (1). Para encontrar as equações de movimento constrúımos a lagrangiana do sistema L = m 2 ( ṙ2 + r2θ̇2 + r2φ̇2 sin2 θ ) − A r − 3B 2c2r2 . (2) Se restringirmos o movimento ao plano θ = const = π2 , obteremos equações de movimento em coordenadas po- lares ( r̈ − rφ̇2 ) = F (r) , (3) ( r2φ̈ + 2rṙφ̇ ) = 0, (4) onde F (r) é a força por unidade de massa. A Eq. (4) pode ser imediatamente integrada, o que leva a r2φ̇ = constant = lφ. (5) Órbitas fechadas e o potencial harmônico de Manev 1301-5 O potencial efetivo Veff = VM (r)+l2φ/2r 2 contém o termo centŕıfugo l2φ/2r 2 e para uma órbita estável am- bas as condições (17) devem ser satisfeitas simultanea- mente. A partir da primeira das condições acima obte- mos o valor de r̄, que é o raio t́ıpico de uma órbita cir- cular estável. Para responder a questão se uma órbita é fechada ou não, precisamos primeiramente calcular o ângulo apsidal Ψ. A partir das condições (17) e anali- sando o comportamento de uma órbita quando peque- nas perturbações são introduzidas, é posśıvel encontrar Ψ = π [ 3 + r̄ F ′ (r̄) F (r̄) ]− 12 . (18) Se calcularmos a força FM (r) derivada a partir do po- tencial de Manev (1) e introduzirmos na relação acima, obteremos ΨM = π β . (19) Esta relação está em acordo com as órbitas mostradas na Fig. 2. Por exemplo, quando β = 2, o ângulo for- mado entre duas apsides consecutivas é π. Na verdade, verificamos que para órbitas fechadas β deve ser um número racional. No entanto, como podemos observar na Fig. 3, se β = nm , onde n e m são inteiros (que é a condição para órbitas fechadas), a trajetória retorna para seu ponto original após m revoluções. 3. Potencial harmônico de Manev Esta seção é dedicada ao potencial harmônico de Manev. Substituiremos o termo inversamente propor- cional ao raio do potencial (1) pelo termo do poten- cial do oscilador harmônico simples. Esta mudança não é arbitrária, uma vez que nos baseamos no resul- tado do teorema de Bertrand. Assim, investigaremos se ao substituirmos o termo r−1 pelo termo do oscilador harmônico simples r2 no potencial de Manev, encon- traremos órbitas fechadas assim como no potencial de Manev. Partimos do potencial harmônico de Manev VHM (r) = kr2 2 + 3B 2c2r2 . (20) Para obter a equação da órbita, calculamos a Eq. (9) com o potencial acima. Este procedimento nos leva a d2uHM dφ2 + β2uHM = Γ u3HM , (21) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b = 0.25 b = 1.0 b = 1.5 b = 2.0 b = 2.5 b = 3.0 Figura 3 - Órbitas para vários valores racionais de β para o potencial harmônico de Manev. Os valores para ² foram convenientemente escolhidos em cada trajetória. 1301-6 Velten e Sampaio onde Γ = k/l2φ e β 2 = 1 + 3B/c2l2φ. Como já conhece- mos as soluções no caso do potencial original de Manev nos restringiremos a analisar o caso β2 > 0. Assim, resolvendo esta equação para u (φ), obtemos 1 uHM (φ) = rHM (φ) = β√ 1 + ² cos (2βφ) . (22) Seguindo a análise na segunda seção, estudaremos as condições para a estabilidade das órbitas neste caso. Para o ângulo apsidal ΨHM encontramos ΨHM = π 2β . (23) Neste caso, órbitas fechadas são permitidas desde que β assuma valores racionais. Mostramos diferentes órbitas para o potencial harmônico de Manev VHM na Fig. 3. 4. Potencial newtoniano somado ao po- tencial do oscilador harmônico sim- ples Nas duas seções anteriores encontramos órbitas fechadas para o potencial de Manev e para o potencial harmônico de Manev desde que o momento angular as- suma valores restritos. A condição necessária para a existência de órbitas fechadas é muito simples. Basta que o parâmetro β seja um número racional. Do teo- rema de Bertrand sabemos que o potencial Newtoni- ano e o oscilador harmônico simples produzem órbitas fechadas. Temos até agora, que os mesmos potenciais tratados no teorema de Bertrand também produzem órbitas fechadas quando adicionamos a eles um termo proporcional a r−2. Basta saber agora se os potenciais Newtoniano e harmônico simples atuando simultanea- mente produzem órbitas fechadas também. Considera- mos então o potencial V3 V3 (r) = A r + kr2 2 . (24) Com este potencial a solução da Eq. (9) é uma integral eĺıptica4 ∫ u3du3√ −u43 + pu33 + qu23 + s = φ, (25) onde s = k/l2φ, q é uma constante e p = −2A/l2φ. Este tipo de integral é bem conhecida na literatura [18]. Para facilitar a sua resolução é importante definir a seguinte expressão integral Is = ∫ xsy−1dx, (26) onde y2 = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x1 + a4. Se inte- grarmos as derivadas de yxs obtemos uma fórmula de recurssão c (s + 2) a0Is+3 + 1 2 a1 (2s + 3) Is+2 + a2 (s + 1) Is+1 + 1 2 a3 (2s + 1) Is + sa4Is−1 = xsy. (27) Inserindo a definição (26) para s = 0, 1, 2, 3 e 4 na fórmula de recursão acima (27) obtemos para I1 I1 = (x− 1)xy 3a0x4 + ( 5a1 2 − 12a0 ) x3 + ( 2a2 − 15a12 ) x2 + ( 3a3 2 + 4a2 ) x + ( a4 − 3a32 ) . (28) d Calculando a integral no lado esquerdo da Eq. (25), obtemos a equação para a órbita para o potencial V3. A integral para s = 1 na relação (26) é similar a integral na Eq. (25). Substituindo a expressão para y em (28) temos o seguinte resultado para (25) (x− 1)x√−x4 + dx3 + cx2 + a −3x4 + ( 5d2 + 12 ) x3 + ( 2c− 15d2 ) x2 + 4cx + a = φ. (29) Lembrando que u ∝ x, o resultado acima nos fornece justamente a órbita para o caso do potencial V3. A Fig. 4 mostra o comportamento para esta órbta e revela que não obtemos um órbita fechada. A órbita mostrada na Fig. 4 representa apenas uma das quatro posśıveis soluções para u (φ) (u ∝ x) na Eq. (29). As outras soluções possuem o mesmo comportamento e também não descrevem órbitas fechadas. 5. Conclusões O potencial de Manev representa uma alternativa clássica de se reproduzir os resultados da relatividade geral no domı́nio da mecânica celeste. Neste trabalho nos concentramos em verificar as condições que levam à existência de órbitas fechadas. Nossa análise do poten- cial de Manev confirmou resultados já encontrados na literatura [15]. Partimos então para a construção do po- tencial harmônico de Manev. Ao substituirmos o termo Newtoniano pelo oscilador harmônico no potencial (1) temos em mente o resultado do teorema de Bertrand. Assim, para este novo potencial encontramos condições similares para a existência de órbitas fechadas às en- contradas no potencial original de Manev. Em ambos os casos, estas condições estão associadas a valores res- tritos do momento angular. 4u3 é a equação da trajetória para o potencial V3. Órbitas fechadas e o potencial harmônico de Manev 1301-7 0 0 0 0 Órbita para o potencial V3 Módulo do raio r3 r 3 f 500 p 1000 p Figura 4 - No quadro superior mostramos duas revoluções (0 < φ < 4π) para a órbita resultante do potencial V3. O quadro inferior mostra o módulo do raio r3. Devemos ter em mente que não apenas na mecânica quântica existe a discretização dos valores assumidos para quantidades como energia e momento angular, mas são também vastas as situações onde encontramos os mesmos tipos de restrições na mecânica clássica, como por exemplo em sistemas oscilantes. Para uma ex- posição sobre a existência destas situações em mecânica clássica, consultar [19]. O potencial harmônico de Manev que foi constrúıdo na terceira seção representa apenas uma correção no potencial para o oscilador harmônico simples e por esta razão todo sistema f́ısico que é estudado através da dinâmica do oscilador harmônico simples pode ser reestudado através do potencial harmônico de Manev em busca de novos resultados. Além do que, como o teorema de Bertrand cobre apenas situações onde o po- tencial contém apenas um termo, seria interessante ve- rificar uma extensão deste teorema para casos onde o potencial é composto por dois ou mais termos. Outro ponto que devemos ressaltar é que verifi- camos, escrevendo e resolvendo a equação de trajetória para o potencial VR ∝ (1/r+1/r3), que é o potencial re- sultante no limite de campo fraco da relatividade geral, a não existência de soluções que contemplem órbitas fechadas, para qualquer valor do momento angular. Por fim, constrúımos o potencial V3 motivados pelo resultado do teorema de Bertrand. Em um único poten- cial, reunimos os termos Newtoniano e harmônico sim- ples. Separadamente, estes termos produzem órbitas fechadas o que não necessariamente significa que juntos forneceram o mesmo resultado. E foi exatamente isto que encontramos na quarta seção. As órbitas para o potencial V3 são sempre abertas e não podem corres- ponder a trajetórias ligadas. 6. Agradecimentos Gostaŕıamos de agradecer a J.C. Fabris e W. Zimdahl pela leitura deste manuscrito e por valiosas sugestões. O trabalho de H.E.S. Velten é financiado pelo CNPq. Referências [1] I. 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