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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 30, n. 3, 3312 (2008) w.sbfisica.org.br

Um metodo numerico para a solucao de problemas em fısica quantica de poucos corpos (A numerical method to solve quantum few-body problems in physics)

M.T. Yamashita1

Campus Experimental de Itapeva, Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”, Itapeva, SP, Brasil Recebido em 20/2/2008; Aceito em 16/5/2008; Publicado em 8/10/2008

Neste artigo e apresentado um metodo numerico que pode ser utilizado por alunos de graduacao para a solucao de problemas em fısica quantica de poucos corpos. O metodo e aplicado a dois problemas de dois corpos geralmente vistos pelos estudantes: o atomo de hidrogenio e o deuteron. O metodo porem, pode ser estendido para tres ou mais partıculas. Palavras-chave: problemas de poucos-corpos, metodo variacional.

In this paper it is presented a numerical method that can be used by undergraduate students to solve quantum few-body problems in physics. The method is applied to a couple of two-body problems that are usually seen by students: the hydrogen atom and the deuteron. However, the method can be extended to three or more particles. Keywords: few-body problems, variational method.

1. Introducao

O estudo do riquıssimo campo denominado “fısica de poucos corpos” pode ser encontrado em diversos contextos da fısica: sistemas subnucleares (quarks), sistemas nucleares (nucleos exoticos), estudo de moleculas, e mais recentemente o estudo dos atomos no interior de armadilhas atomicas. Todavia, e difıcil precisar exatamente a quantidade a que se refere a palavra “poucos”. Esta pode ser definida levando-se em conta as limitacoes atuais (tanto computacionais como tambem em relacao as tecnicas para a resolucao dos problemas), desta forma podemos considerar como “poucos corpos” os sistemas constituıdos por ate 5 partıculas.

Obviamente a complexidade para a resolucao dos problemas aumenta com o numero de partıculas: podemos ir de um problema completamente soluvel analiticamente, como e o caso de alguns problemas envolvendo dois corpos, ate problemas complicadıssimos envolvendo tres ou mais corpos. Nestes sistemas e imprescindıvel a utilizacao de metodos numericos para resolve-los.

Existem inumeras tecnicas numericas que podem ser utilizadas. A utilizacao delas varia conforme a conveniencia para o problema que se esta tentando resolver: calculo do estado fundamental ou excitado, espaco dos momentos ou configuracoes, etc.

Neste trabalho apresentamos uma tecnica numerica bastante poderosa que pode ser utilizada para resolver alguns problemas de poucos corpos no espaco das configuracoes. Ela funciona razoavelmente bem tanto para os estados fundamentais como excitados. Uma descricao mais detalhada deste metodo (e nao tao acessıvel a alunos de graduacao) pode ser encontrada na Ref. [1]. Este trabalho esta organizado da seguinte maneira: na secao 2 fazemos uma descricao do metodo, nas secoes 3 e 4 mostramos a aplicacao do metodo para o atomo de hidrogenio e o deuteron. Finalmente, na secao 5 apresentamos as conclusoes.

Considere a equacao de Schroedinger HΨ = EΨ. A utilizacao de um metodo numerico e geralmente necessaria quando nao sabemos como diagonalizar o hamiltoniano H exatamente. O metodo descrito a seguir utiliza uma expansao da funcao de onda Ψ para resolver a equacao de Schroedinger

Podemos demonstrar que a energia E e dada por (a demonstracao pode ser encontrada em livros de mecanica

1E-mail: yamashita@itapeva.unesp.br.

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quantica. Ver, por exemplo, Ref. [2, p. 1148] ou Ref. [3, p. 203])

ij cicjbij , (2) onde

De acordo com a Eq. (2) temos agora um problema de autovalor e autovetor do tipo hc = Ebc

A solucao do problema pode ficar mais ou menos complicada de acordo com a base φ escolhida, pois teremos que calcular os elementos de matriz dados pela Eq. (3). Desta forma, a utilizacao de uma base do tipo gaussiana e conveniente, pois os elementos de matriz podem ser calculados analiticamente. Assim, considerando um problema em 3 dimensoes que dependa somente de uma componente radial, podemos utilizar uma funcao do seguinte tipo onde os parametros ai podem ser calculados utilizandose uma progressao geometrica ai = a0pi−1. O parame- tro a0 e a razao da progressao p devem ser escolhidos de acordo com o problema a ser resolvido, pois ambos

estao diretamente relacionados com o tamanho do sistema, ou em outras palavras, com a extensao da funcao de onda.

Os resultados abaixo para as integrais gaussianas podem ser uteis para o calculo dos elementos de matriz∫ +∞

√ pi

Utilizando as Eqs. (6) e (7) acima os elementos de matriz dados pela Eq. (3) podem ser facilmente calculados

ai + aj

r2 d dr r2 d dr e− a r dr =

2m aiaj

3. O atomo de hidrogenio

O atomo de hidrogenio e formado por um proton e um eletron interagindo pelo potencial coulombiano dado por

Utilizando as Eqs. (6) a (10), temos que os elementos de matriz para o atomo de hidrogenio sao dados por

2µ aiaj ai + aj bij − 4pie2 ai + aj ai + aj onde µ e a massa reduzida do sistema. Devido a dife- renca entre as massas do proton (mp) e do eletron (me) temos que µ ≈ me. Aqui e interessante discutirmos um pouco sobre o aparecimento da massa reduzida. Geralmente, quando consideramos os problemas de poucos corpos estamos interessados somente no movimento relativo entre as partıculas, ou seja, nao levamos em conta o movimento do centro-de-massa. Suponha duas partıculas sujeitas a um potencial v. Assim, o hamiltoniano para esse sistema pode ser escrito como onde k1 e k2 sao os momentos das partıculas 1 e 2 de massas m1 e m2. Introduzindo o momento relativo p e o momento do centro-de-massa k dados por na Eq. (14), conseguimos separar o movimento referente ao centro-de-massa m2 ≡ me. As energias para o atomo de hidrogenio calculadas analiticamente sao dadas por

men2

Um metodo numerico para a solucao de problemas em fısica quantica de poucos corpos 3312-3

A resolucao do problema de autovalores e autovetores pode ser resolvido utilizando-se qualquer sub-rotina de diagonalizacao de matrizes. A Tabela 1 compara os valores das energias obtidos pela Eq. (18) e pelo metodo numerico. Os parametros utilizados para o metodo numerico foram a0 = 9 e p = 0,25, a escolha desses parametros, assim como o tamanho da base esco- lhida, esta relacionada diretamente com a extensao da funcao de onda do sistema, conforme podemos observar na Eq. (5). Todavia, a escolha destes parametros pode ser otimizada (para se conseguir um resultado igual ou melhor com uma base menor) utilizando-se, por exemplo, um metodo variacional [1] (os valores 9 e 0,25 foram escolhidos arbitrariamente somente para ilustrar o metodo).

Tabela 1 - Tabela comparativa entre as energias do atomo de hidrogenio calculadas atraves da Eq. (18) e numericamente. A primeira coluna mostra o estado que se esta calculando. Todas as energias estao em eV. Os numeros entre parenteses indicam o tamanho da base utilizada.

n Analıtica Numerica

O deuteron consiste em um sistema de dois corpos formado por um neutron e um proton. Em fısica nuclear os nucleos costumam ter isotopos. Isotopos sao nucleos formados pelo mesmo numero de protons, mas que possuem um numero diferente de neutrons. O deuteron e um isotopo do nucleo de hidrogenio, o qual e constituıdo por apenas 1 proton. Alem do deuteron, o nucleo de hidrogenio tambem possui outro isotopo chamado de trıtio que e constituıdo por 1 proton e 2 neutrons. Todos esses isotopos podem ser nucleos do atomo de hidrogenio eletricamente neutro. No caso do deuteron o hamiltoniano e dado por proton e neutron. Para V (r) adotaremos o seguinte potencial

Geralmente em livros-texto de fısica nuclear [4] o potencial utilizado para se calcular a energia de ligacao do deuteron e um poco quadrado. Isso nos permite simplificar bastante o problema e extrair tambem varias conclusoes qualitativas do problema. Na Fig. 1 o poco quadrado esta representado pela linha traco-ponto (a profundidade do poco e a largura sao, respectivamente, 35 MeV e 2,1 fm).

Figura 1 - A linha traco-ponto mostra o potencial (poco quadrado) usualmente utilizado nos livros de fısica nuclear para descrever o deuteron. A linha tracejada mostra o potencial dado pela Eq. (19) utilizado neste trabalho. A linha pontilhada mostra a energia do deuteron.

Todavia, qualquer potencial pode ser sempre melhorado no sentido de reproduzir os dados provenientes de experimentos (podemos, por exemplo, introduzir termos no potencial que dependam de spin, ou uma parte tensorial). Experimentos de espalhamento nucleonnucleon mostram uma mudanca no sinal do deslocamento de fase para onda-s de positivo para negativo em energias da ordem de 300 MeV. Isso sugere que o potencial nuclear deve ser repulsivo a curtas distancias e atrativo para distancias maiores, o potencial dado pela Eq. (19) satisfaz essas exigencias, sendo portanto, um pouco melhor que o poco quadrado. A forma do potencial (19) e mostrado na Fig. 1 com linha tracejada.

A linha pontilhada na Fig. 1 mostra a energia de ligacao do deuteron (-2,20 MeV). Podemos ver que ela encontra-se bem proxima do zero. Isso mostra como a fısica nuclear pode ser tratada como um problema de baixas energias. Podemos ir mais longe ainda e dizer que toda a vida no nosso planeta se deve em parte a essa pequena energia de ligacao, pois a formacao do deuterio a partir do hidrogenio e uma das etapas para a producao de energia pelo Sol [4]. O elemento de matriz do potencial e dado agora por

A energia obtida atraves do programa e -2,18 MeV para uma base de tamanho 6. Aqui vale um comentario a respeito da diferenca de tamanho entre as bases utilizadas para o atomo de hidrogenio e o deuteron. Em- bora ambos os potenciais dados pelas Eqs. (1) e (19) se anulem para r → ∞, o potencial coulombiano nao e um potencial de curto alcance (podemos chamar de curto alcance um potencial que satisfaz a condicao

muito maiores que o potencial do deuteron, isso faz com que tenhamos que utilizar uma base muito maior para descrever o atomo de hidrogenio.

5. Conclusao

Atraves dos exemplos utilizados pudemos ver que o metodo e relativamente simples de ser utilizado e bastante eficiente. Obviamente, a complexidade do problema aumenta bastante quando consideramos mais partıculas ou ondas superiores, ou ainda potenciais mais complicados (com termos dependentes de spin, por exemplo). Dependendo da sub-rotina de diagonalizacao que se utiliza, este metodo tambem ja fornece as funcoes de onda do sistema das quais podemos extrair outros observaveis importantes como, por exemplo, o raio quadratico medio dos sistemas, isto porem, esta alem do objetivo deste trabalho que e apenas a apre- sentacao do metodo.

6. Agradecimentos

Gostaria de agradecer a FAPESP e ao CNPq pelo apoio financeiro recebido. Gostaria de agradecer ao Prof. Suzuki, da Universidade de Niigata, e seus estudantes pela ajuda na extensao deste metodo para tres e mais partıculas. O compuscrito foi baseado nas notas de aula (em japones) do Prof. Suzuki.

Referencias

[1] Yasuyuki Suzuki and Kalman Varga, Stochastic Variational Approach to Quantum-Mechanical Few-Body Problems (Springer, Berlin, 1998).

[2] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu and Franck

Laloe, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, Nova York, 1977), v. 2.

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