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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 29, n. 1, p. 79-8, (2007) w.sbfisica.org.br

O tratamento classico do interferometro de Mach-Zehnder: uma releitura mais moderna do experimento da fenda dupla na introducao da fısica quantica

(The optical Mach-Zehnder interferometer in classical regime: a more modern version of the double-slit experiment in the introduction of quantum physics)

Trieste Freire Ricci1, Fernanda Ostermann e Sandra Denise Prado

Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil Recebido em 2/6/2006; Aceito em 21/8/2006

Neste trabalho, analisamos detalhadamente o fenomeno ondulatorio da luz em um interferometro de Mach-

Zehnder (IMZ) operando em regime classico. Um dos principais objetivos do trabalho e dar suporte a futuras transposicoes para o IMZ em regime quantico. O IMZ e um arranjo experimental que apresenta uma releitura, mais moderna em termos tecnologicos, do experimento das duas fendas de Young [1] e tem sido extensivamente explorado em artigos da area de computacao quantica e criptografia quantica [2] – areas que se alicercam nos fenomenos de superposicao e de interferencia quanticas - e em artigos de ensino de fısica para disciplinas introdutorias de fısica quantica (FQ) – area que propoe naturalmente uma reflexao sobre o problema conceitual da escolha dos caminhos pelo foton [3-10]. Os resultados analıticos aqui apresentados foram utilizados na elaboracao de um software educacional que simula a interferencia nos regimes classico e quantico e que estae m plena utilizacao em cursos introdutorios de FQ no IF-UFRGS. Palavras-chave: optica ondulatoria, interferometro de Mach-Zehnder, dualidade onda-partıcula.

In this paper, the optical Mach-Zehnder Interferometer (MZI) in classical regime is fully analysed. One of our main goals is to supply the basis for future transpositions to the quantum regime. The MZI is a device totally analogous to the double-slit experiment [1] but a more modern version in technological terms. It has been used extensively in papers related to quantum computation and quantum cryptography [2]. Those are fields grounded on quantum superposition and quantum interference phenomena. It has also appeared in papers related to the teaching of introductory quantum physics where the conceptual problem of which path a given photon goes through arises more naturally [3-10]. The analytical results shown here were used in the production of an educational software to simulate the classical and quantum interference phenomena. The software has been widely used in introductory quantum physics courses in IF-UFRGS. Keywords: optical physics, Mach-Zehnder interferometer, wave-particle duality.

1. Introducao

OI MZ e um arranjo relativamente simples de espelhos e semi-espelhos que demonstra claramente o fenomeno da interferencia da luz pela divisao de um feixe luminoso. Este e dividido em um primeiro semi-espelho e entao recombinado em um segundo semi-espelho (Fig. 1) onde, dependendo da fase relativa adquirida pelos feixes ao longo dos caminhos, exibirai nterferencia construtiva com eficiencia entre 0 e 100%. Com esse aparato, idealizado independentemente por Ludwig Zehnder (1854- 1949) [1] e Ludwig Mach (1868-1951) [12] em 1891/92, pode-se, por exemplo, monitorar alteracoes mınimas no ındice de refracao e na compressibilidade de um fluxo de gas, sendo muito utilizado em aerodinamica. Exceto por citacoes de aplicacoes em areas especıficas, o IMZ parece nao ser nem mesmo mencionado nos livros de fısica amplamente adotados no nıvel de graduacao –e indiscutıvel a preferencia pelo arranjo da fenda dupla, tanto em abordagens da optica ondulatoria quanto da fısica moderna [13-15]. A originalidade deste trabalho consiste em apresentar o tratamento classico do IMZ de forma a se constituir em material didatico de apoio, tanto para o estudante quanto para o professor, em cursos introdutorios de FQ.

A primazia do arranjo da fenda dupla para o caso da luz pode ser facilmente entendida, uma vez que, alem de mencoes historicas que remetem a Young nos

1E-mail: ricci@if.ufrgs.br.

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80 Ricci et al.

primordios de 1800, a geometria da fenda dupla e matematicamente mais acessıvel aos estudantes no nıvel das Fısicas Gerais do que a de aberturas circulares, que e o caso do IMZ. Na FQ, por outro lado, o arranjo da fenda dupla para eletrons foi consagrado por Feynman em sua serie de livros publicada em 1963 [16], tornandose, assim, frequentemente usada em livros-texto e em discussoes em sala de aula - principalmente quando o ponto de partida para a introducao aos conceitos da FQ ea optica ondulatoria [3-10 e 13-15]. Curiosamente, o editorial da revista Physics World de setembro de 2002 chama a atencao para o fato de que o primeiro experimento de interferencia de eletrons foi feito quase 10 anos antes da serie de aulas de Feynman, nos primordios de 1950, por Ladislaus Laszlo Marton, nos Estados Unidos e usando um IMZ em vez da fenda dupla [17]. As razoes pelas quais a interferometria eletronica e pouco citada nos livros-texto nao-tecnicos, assim como questoes pertinentes ao seu desenvolvimento tecnologico, estao alem do objetivo deste artigo, mas a interferometria atomica tem sido tema de muitos artigos em periodicos importantes [18]. O IMZ, por sua vez, tem sido tema frequente em artigos nas areas de computacao e criptografia quantica [1,2], sendo, portanto, um tema extremamente atual.

Nosso objetivo neste artigo e mostrar que o IMZ em regime classico ef actıvel de ser abordado por ocasiao do primeiro contato dos estudantes com a optica ondulatoria. Apesar do uso de funcoes especiais para a descricao dos aneis de interferencia, como a funcao de Airy, mostramos que o IMZ e, do ponto de vista geometrico, totalmente analogo ao arranjo de uma fenda dupla. Se bem explorada tal analogia (explicada na primeira parte da secao 2), permite que o estudante interessado apenas em usar o simulador do IMZ evite a segunda parte dessa secao, onde os calculos detalhados sao apresentados.

Alem disso, esse material didatico vem fornecer subsıdios ao uso do software livre Interferometro Virtual de Mach-Zehnder [18-20], que e uma bancada virtual disponibilizada em Portugues, Espanhol e Ingles, operando nos regimes classico e quantico, dependendo da opcao do usuario, e com ampla utilizacao de polaroides (em ambos os regimes) e de detectores (em regime quantico). Bancadas virtuais que exploram o IMZ em regimes classico e quantico para o ensino da FQ introdutoria sao temas relativamente recentes na literatura voltada ao ensino de FQ, como por exemplo, oI MZ de Muller e Wiesner [6, 7]. Desenvolvemos uma versao mais completa do IMZ em relacao ad o software de Muller e Wiesner, com correcoes de alguns bugs de programacao que havia no software citado e importantes generalizacoes do arranjo considerado, alem de inumeras possibilidades novas de uso de polaroides e de detectores, tanto em regime classico quanto em regime quantico. Ressaltamos que o IMZ em regime classico pode servir como excelente ponto de partida para a discussao da dualidade onda-partıcula na FQ, gracas ao fato de que perguntas tais como por qual braco rumou o foton? [3-10] sao mais naturalmente provocadas por esse arranjo.

No que segue, na secao 2, analisamos o IMZ com uma fonte polarizada, em regime classico e com todos os detalhes de calculo que permitem uma compreensao mais profunda dos resultados observados nas simulacoes, com e sem a presenca de filtros polaroides. Na secao 3, dentre uma gama de possibilidades de utilizacao do simulador operando no regime classico, escolhemos algumas situacoes que reforcam os conceitos acerca do carater ondulatorio da luz e tambem as condicoes necessarias para que ocorra o fenomeno da interferencia. Finalmente, apresentamos nossas consideracoes finais na secao 4.

2. O IMZ sob o ponto de vista da optica ondulatoria

Vamos iniciar considerando o IMZ esquematizado na

Fig. 1. Sob condicoes idealizadas, os espelhos M1 e M2 sao considerados perfeitamente refletores e tambem se considera que os semi-espelhos SM1 eS M2 refletem e transmitem exatamente 50% da luz neles incidente.

Cada braco do interferometro tem um mesmo comprimento L (medido entre os pontos centrais de um espelho e de um semi-espelho, ao longo do eixo de simetria central de cada braco); e D e a distancia entre o ponto central de SM2 ao centrod oa nteparo 1o ud oa nteparo 2.

Figura 1-E squemad eu mi nterferometro de Mach-Zehnder.

Quanto a fonte, vamos considerar inicialmente que ela seja, simplesmente, uma fonte puntiforme de luz monocromatica (comprimento de onda igual a λ) polarizada na direcao horizontal (eixo x) e de intensidade igual a 2I0 - de maneira que I0 sera a intensidade lumi-

Ot ratamentoc lassico do Interferometro de Mach-Zehnder 81 nosa do feixe que entra em cada braco, apos o primeiro semi-espelho. Apos o segundo semi-espelho, o feixe proveniente de cada braco sera dividido novamente em dois feixes, cada qual de intensidade I0/2. Inicialmente, por se tratar de uma fonte puntiforme, nao precisaremos nos preocupar com efeitos de difracao, como os que ocorrem na saıda de uma fonte luminosa real e naopuntiforme (mais adiante, consideraremos o caso mais realıstico em que a fonte nao e puntiforme e introduz efeitos de difracao nos padroes que se observam nos anteparos).

Aa nalise do funcionamento do IMZ e bastante simplificada quando nos damos conta de que, do ponto de vista dos dois raios luminosos que chegam a um ponto qualquer de um dos anteparos, o interferometro de IMZ e fisicamente equivalente a um arranjo de fenda dupla em que as “fendas” sao duas fontes puntiformes, coerentes, monocromaticas, de mesma frequencia e de in- tensidades iguais a I0/2. Para o caso mais simples de um raio luminoso emitido pela fonte puntiforme real do IMZn ad irecao do eixo central do mesmo e que, portanto, atinge o centro do anteparo 1, ef acil verificar que o interferometro e fisicamente equivalente a um arranjo de duas fontes puntiformes, coerentes e monocromaticas (comprimento de onda λ), que emitem dois raios luminosos a partir de uma mesma localizacao, a uma distancia 2L+D do anteparo. Neste caso, ef acil se convencer de que esses raios chegam em fase ao ponto central do anteparo. A diferenca de fase nula se deve a dois fatores: (i) nao existe diferenca de fase devido a uma diferenca de caminho entre os raios luminosos que seguiram pelos bracos 1 e 2 do IMZ, pois ambos percorreram a distancia ro =2 L + D; (i) cada reflexao da luz em um espelho ou semi- espelho introduz uma diferenca de fase correspondente a λ/4, ou seja, uma diferenca de fase igual a π/2[21]. Dessa maneira, os raios de luz que seguem pelos dois bracos do IMZ e que chegam ao centro do anteparo 1 sofrem, ambos, duas reflexoes pelo caminho, de maneira que a diferenca de fase final entre eles segue sendo nula.

Por outro lado, para os raios correspondentes e que chegam ao centro do anteparo 2, o IMZ equivale ao mesmo arranjo descrito acima, mas com uma das fontes emitindo luz com diferenca de fase inicial de π radianos em relacao a outra. Essa diferenca de fase nao nula expressa o fato de que, para chegar ao ponto central do anteparo 2, o raio que vai pelo braco 1 sofre tres reflexoes, enquanto o que vai pelo braco 2 sofre apenas uma. Isso resulta em uma diferenca de fase lıquida e adicional de π radianos entre os dois raios que chegam ao centro do anteparo 2. (Como para o caso de um ponto central do anteparo 1, nenhuma diferenca de fase e originada por diferenca de caminhos, pois os compri- mentos dos caminhos seguidos pelos raios atraves dos dois bracos continuam sendo exatamente iguais.)

Chegamos a conclusao, portanto, de que, no ponto central do anteparo 1, ocorre interferencia construtiva entre os dois raios (ponto luminoso no centro do anteparo), enquanto no ponto central do anteparo 2 ocorre interferencia destrutiva entre os raios luminosos (ponto nao-iluminado no centro do anteparo). Agora prossigamos a analise considerando pontos nao-centrais dos dois anteparos. Novamente, usaremos um arranjo de duas fontes puntiformes fisicamente equivalente ao IMZ para este caso. Vamos considerar um raio luminoso emitido pela fonte real segundo um angulo θ com o eixo central do IMZ. Depois do raio se dividir em dois, no primeiro semi-espelho, os raios resultantes seguem pelos bracos do interferometro e chegam ao anteparo 1 em um ponto

P1 nao central, situado a uma distancia ρ do centro do mesmo. O leitor pode se convencer disso fazendo um desenho do IMZ que mostre o caminho seguido pelo raio central (chegando ao centro do anteparo) e os caminhos seguidos pelo raio nao central que se dividiu e seguiu atraves dos dois bracos (chegando a P1 nao central), fazendo uso da lei da reflexao em cada reflexao em espelho ou semi-espelho. Os caminhos percorridos pelos dois raios, r1 e r2,s ao diferentes entre si (e ambos maiores do que ro), resultando em uma diferenca de fase entre dois. O arranjo de fenda dupla equivalente esta mo- strado na Fig. 2 (que nao esta em escala!). A distancia d entre as fontes fictıcias F1 eF 2 pode ser calculada aproximadamente e de maneira muito simples quando o ponto P1 pertence as primeiras franjas nao centrais do padrao de interferencia no anteparo, o que corresponde a situacao em que o angulo θ e muito pequeno. Este e o caso de interesse pratico, de fato, uma vez que, se tais angulos nao forem muito pequenos, os raios correspondentes nao chegarao ao anteparo, seja por incidirem fora do mesmo ou fora de algum dos espelhos e semi-espelhos do IMZ. Existe uma razao adicional para considerarmos apenas os primeiros maximos nao centrais do padrao de interferencia: na situacao mais realıstica em que uma fonte luminosa extensa en ao puntiforme e usada no IMZ, os efeitos de difracao se manifestam atraves da diminuicao progressiva da intensidade maxima de cada maximo lateral de interferencia, em relacao a intensidade do maximo central. Dessa maneira, na pratica, apenas os primeiros maximos nao centrais do padrao serao perceptıveis ao olho humano. Sendo assim, os angulos θ2 e θ1 da Fig. 2, embora diferentes entre si, e tambem de θ, tambem sao muito pequenos, de modo que o ponto P1 deve estar ligeiramente acima do ponto do anteparo situado diretamente a frente de luz fictıcia

F1. Ou seja, a distancia ρ deste ponto ao centro do anteparo e, com boa aproximacao, igual d/2, portanto,

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Figura 2 - Arranjo de duas fontes equivalente ao IMZ para o caso de um P1 ponto nao central do anteparo 1. A figura nao estae m escala, uma vez que se considera sejam satisfeitas as condicoes ro =2 L + D d e ro ρ,d em aneira queo sangulos assinalados sao, em realidade, muito pequenos.

Como antes, as fontes puntiformes fictıcias F1 e F2 sao consideradas puntiformes, monocromaticas (e de mesmo comprimento de onda), coerentes entre si e polarizadas na direcao horizontal. Mas agora existe uma diferenca de fase entre os dois raios que chegam a P1 devido a diferenca dos caminhos, Δr = r2 – r1, seguidos pelos raios, pois as fontes fictıcias agora nao emitem a partir de um mesmo lugar. Para raios luminosos que chegam a um ponto P2 nao central do anteparo 2, o IMZ tambem equivale a um arranjo de duas fendas como o da Fig. 2, mas onde, alem da diferenca de fase devido a diferenca de caminhos, existe uma diferenca de fase adicional de π radianos devido ao numero diferente de reflexoes nos espelhos e semi-espelhos dos bracos. A diferenca de fase correspondente sera dada por

λ Δr.

As diferencas de fase Δφ1 eΔ φ2 entre os raios luminosos que chegam a um ponto P1 nao central do an- teparo1eau mp onto P2 nao central do anteparo 2, ambos situados a uma mesma distancia ρ dos respecti-

vos centros dos anteparos, sao dadas, respectivamente, por

λ Δr eΔ φ2 =Δ φ1 +π.

Para a situacao discutida antes, em que os angulos θ1, θ2 e θ da Fig. 2 sao muito pequenos, a diferenca de caminho para os dois raios luminosos e dada aproxima- damente por [13]

de modo que

onde a =4 π/λ(2D + L)e uma constante.

Assim, em um ponto P1 nao central do anteparo 1,

os campos eletricos instantaneos E1(P1,t)e E2(P1,t) das ondas luminosas que ali chegam, provenientes dos bracos 1 e 2 do IMZ, se propagam em direcoes muito parecidas, dadas respectivamente pelos vetores de onda k1 e k2.A lem disso, esses campos tem praticamente a mesma amplitude E0 em P1, pois saıram das duas fontes com a mesma amplitude inicial e percorreram distancias praticamente iguais ateP 1, de modo que sofreram praticamente a mesma diminuicao (relacionada a diminuicao da intensidade luminosa). Finalmente, uma vez que a luz emitida pela fonte tem polarizacao horizontal (eixo x), seu campo eletrico tem a direcao do vetor unitario ex. Portanto, podemos representar matematicamente esses campos eletricos, em um ponto nao central do anteparo 1 e em um instante de tempo t, pelas expressoes onde E0 e a amplitude do campo na entrada de cada braco do interferometro, de modo que I0 ∝ E20/2 [13].

Ar azao do fator 1/√ 2 nas expressoes acima e que elas descrevem os campos apos o segundo semi-espelho – que divide a intensidade de cada feixe pela metade e, portanto, reduz a amplitude do campo correspondente pelo fator √ 2. O sinal de aproximacao usado na ex- pressao para E2(P1,t) se deve ao fato de que efetuamos a aproximacao k2 ∼= k1,v alida para o caso de interesse em que os angulos sao muito pequenos. Para um ponto

P2 nao central do anteparo 2, os correspondentes campos eletricos instantaneos das ondas eletromagneticas que seguiram pelos bracos 1 e 2 sao, respectivamente, representados pelas expressoes

Ot ratamentoc lassico do Interferometro de Mach-Zehnder 83

A intensidade luminosa I1(P1)e mu mp onto P1 qualquer do anteparo 1 e proporcional ao valor medio do modulo ao quadrado do campo eletrico resultante naquele ponto do anteparo:

onde o sımbolo <...> corresponde uma media temporal realizada durante um perıodo (T) de oscilacao dos campos eletricos; ou seja

Ef acil mostrar que a primeira e a terceira das integrais do lado direito dessa expressao sao iguais a T/2. Para encontrar o resultado da segunda integral, usamos a identidade trigonometrica

com a qual se demonstra que a segunda integral e igual a T cos Δφ1. Com isso,

de onde segue que

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