ricardo teles

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Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Matemática

Mecânica dos Fluidos

Disciplina: Trabalho de Graduação A e B Responsável: Prof. Dr. Artur Darezzo

Aluno: Ricardo de Sá Teles Orientador: Prof. Dr. José Antonio Salvador

São Carlos, 15 de dezembro de 2003.

Page 2 Resumo

A lista de aplicações dos princípios da mecânica dos fluidos é bastante extensa e estudamos algumas delas nos Trabalhos de Graduação A e B. O nosso objetivo principal é chamar a atenção para o fato da mecânica dos fluidos não ser estudada por interesse puramente acadêmico; ao contrário, é um assunto de larga importância nas nossas experiências diárias e ela obteve um grande avanço com o uso das modernas tecnologias.

Page 3 0. Introdução

A mecânica dos fluidos lida com o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento. É lógico começar com uma definição informal de fluido: uma matéria que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial), não importa quão pequena ela possa ser.

Assim, os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado sólido da matéria é clara quando você compara os seus comportamentos. Um sólido deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente.

Por que estudar mecânica dos fluidos? O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos da mecânica dos fluidos são essenciais para analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio produtor de trabalho.

Durante a realização do Trabalho de Graduação A revisamos os seguintes tópicos: o Teorema Fundamental do Cálculo, Teorema de Green, Teorema da Divergência, Teorema de Stokes, Espaço Euclidiano, Produto Escalar, Produto Vetorial, Bases, Álgebra Tensorial e Cálculo Tensorial, ferramentas indispensáveis ao estudo de Mecânica dos Fluidos.

Em seguida, estumos Cinemática do Contínuo que compõe um ramo da mecânica em que materiais são tratados como contínuos e constituídos de volumes infinitesimais de matéria.

Na segunda parte do trabalho, TG B, foi estudado os seguintes tópicos:

Tensão, Fluidos, Fluidos compressíveis e incompressíveis, Fluido Newtoniano Viscoso, Escoamento de Fuidos, Equação de Energia e Escoamento Irrotacional.

O trabalho está sendo desenvolvido no software MAPLE V e no WORD.

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1.Cinemática do Contínuo

1.1Descrição de Movimentos de um Contínuo

Suponha que um corpo no instante t = t0 ocupa uma certa região do espaço. A posição espacial de uma partícula pode ser descrita pelo vetor posição X, medido a partir de um ponto fixo. Seja x o vetor posição da partícula no instante t. Então, temos e essas equações descrevem o caminho de qualquer partícula que em t = t0 está na posição X (diferentes X's para diferentes partículas).

A terna (X1,X2,X3) serve para identificar as diferentes partículas do corpo e é conhecida como coordenada material.

1.2 Descrições Material e Espacial

ou descrição Lagrangiana

Quando tratamos do movimento no contínuo, as quantidades físicas associadas com as partículas do corpo (temperatura, velocidade, etc) mudam com o tempo. Descrevemos estas mudanças como: 1 - Seguindo as partículas. Tal descrição é conhecida como descrição material 2 - Observando as mudanças em locais fixos. Tal descrição é dita espacial ou

Euleriana. A terna (x1,x2,x3) que situa as posições fixas de pontos no espaço físico é conhecida como coordenada espacial.

1.3 Derivada Material

A taxa de variação com o tempo de uma quantidade (tal como velocidade ou temperatura, etc) de uma partícula material é chamada de derivada material.

Denotaremos a derivada material por Dt D .

i) Quando a descrição material de uma quantidade é usada, θ = θ(X1,X2,X3),

então

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θθθ gradv

1.4 Tensão Principal

Assumindo que o tensor tensão E é simétrico, então diremos que existem três direções mutuamente perpendiculares em relação as quais a matriz de E é diagonal.

De um determinado E, as tensões principais são achadas pela equação característica de E, isto é,

1.5 Equação da Conservação de Massa

Se seguirmos uma partícula durante o seu movimento, seu volume pode variar, porém sua massa total continuará inalterada. Na forma invariante, a equação da conservação de massa fica

2. Tensão

Na teoria clássica do contínuo as forças internas de um corpo são introduzidas

Consideramos agora a descrição de forças que atuam no interior de um corpo. por meio dos conceitos de forças de corpo e forças de superfície. Exemplos de forças de corpo são a gravidade e a eletrostática. Vamos supor que é adequado descrever as forças de superfície através da definição de vetor tensão no ponto.

2.1Vetor Tensão O vetor tensão tn num ponto P interno a um corpo é definido como o limite da

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O princípio da Tensão de Cauchy diz que se n é a normal unitária externa a um

pequena área ∆A contendo o ponto P. plano tangente, então o vetor tensão é dado por t = t(x,t,n) onde o escalar t denota o tempo. Aqui a dependência de n é linear, isto é,

= ()t,,xtn()T,xtn, onde T é uma transformação linear, denominada de tensor tensão.

2.2 Tensões Principais

Supondo que o tensor normal é, em geral, simétrico, há três direções principais que são mutuamente perpendiculares (autovetores de T). Os planos tendo essas direções como vetores normais são ditos planos principais. Sobre esses planos, o vetor tensão é normal ao plano (isto é, não há tensões de cisalhamento) e as tensões normais são ditas tensões principais. As tensões principais são obtidas pela equação característica de T que é dada por

2.3Tensão de cisalhamento máxima

A intensidade máxima da tensão de cisalhamento é dada pelo maior dos

A tensão de cisalhamento máxima é igual a metade da diferença entre as tensões principais máxima e mínima e atua sobre o plano que divide o ângulo entre as direções das tensões máxima e mínima. valores

2.4Equação do movimento - Princípio do Momento Linear

Na forma invariante, a equação do movimento é dada por

Page 7 = + divTρBρa

Se a aceleração for nula, então a equação (5.1) se reduz a equação do

equilíbrio

= + divTρB0.

3. Fluido Newtoniano Viscoso 3.1 Fluidos

Estudaremos um modelo especial de fluido em que a tensão de cisalhamento é
Quando um fluido está em movimento de corpo rígido, o vetor tensão sobre

Definimos um fluido como uma classe de materiais que não suporta uma tensão de cisalhamento sem que se deforme continuamente. Exemplos de fluidos são a água, ar e outros. diretamente proporcional à taxa de deformação. Esse modelo de fluido é chamado fluido Newtoniano. qualquer plano é normal ao plano. Assim, todo plano é principal.

3.2 Fluidos compressíveis e incompressíveis

Para um fluido incompressível temos

Dt0(3.2)
Então segue da equação da conservação de massa que

D t

3.3 Equações da Hidrostática

Com = Tij−pδij, as equações do equilíbrio

TijρBi0, (3.3)

onde Bi são as componentes do corpo de forças por unidade de massa, tornam-se

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pρBi(3.4)

Exemplo: Um tanque contendo um fluido homogêneo move-se horizontalmente para a direita com uma aceleração constante a, ache o ângulo θ de inclinação da superfície livre.

Solução: As equações do movimento para o fluido são p, (i)

p, (i)

pρg. (i)

De (i), p independe de x2. Da equação (i)

f = ρg.

Assim

= ()fx3 + ρgx3cte isto é,

Sobre a superfície = pp0, a superfície é um plano dado por

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= ()tgθdx3 dx1

= a g .

3.4 Fluido Newtoniano

Assumindo que o estado de tensão para um fluido sob movimento de corpo

Um material é dito isotrópico se suas propriedades mecânicas independem do referencial. Um tensor com as mesmas componentes em relação a qualquer base retangular unitária é dito um tensor isotrópico. rígido é dado por um tensor isotrópico, então considerando um fluido em movimento geral, é natural decompor o tensor tensão em duas partes

= Tij− + pδijTij´ (3.5)

Definimos agora uma classe de materiais chamados "Fluidos Newtonianos"

em que os valores de Tij dependem da taxa de deformação. como segue:

I. Para um ponto material, os valores de Tij num instante t dependem linearmente das componentes do tensor taxa de deformação

= Dij naquele instante e não de qualquer outras quantidades cinemáticas. I. O fluido é isotrópico.

Temos que para um fluido Newtoniano, a forma mais geral de Tij` é, com
Tij = + λ∆∆ij2µDij(3.7)

= ∆ + + D11D22D33 = Dkk, onde λ e µ são constantes com dimensão de (força)(tempo)/(comp)(comp). O

Page 10 tensor tensão Tij é chamado de tensor "tensão viscoso". Assim, o tensor tensão total é

O escalar p nas equações acima é chamado de pressão.

= Tij− + + pδijλ∆δij2µDij, (3.8)

3.5 Interpretação de λ e µ

Considere o cisalhamento dado pelo campo velocidade

Para esse escoamento

= T13T23 = 0 e

(3.9)

Assim, µ é a constante de proporcionalidade relacionando a tensão de

Da equação (3.7), temos para um campo velocidade geral,

cisalhamento com o gradiente da velocidade.

3)∆(3.10)

3Tii = ( + λ2µ

Ou seja, ( + λ2µ 3) é a constante de proporcionalidade relacionando a tensão normal viscosa principal com a taxa de variação de volume. A tensão normal principal total é dada por

3)∆(3.1)

3Tii = -p + ( + λ2µ

Para um fluido incompressível, temos = ∆0 em todo instante. Assim a

3.6 Fluido Newtoniano Incompressível equação constitutiva para um tal fluido torna-se

= Tij− + pδij2µDij (3.12)

Desde que

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vj(3.13)

onde vi são as componentes da velocidade, as equações constitutivas podem ser escritas como

vj,(3.14)

Substituindo a equação constitutiva (eq. 3.14) na equação do movimento, obtemos

vgradvv − + ρBgradpµdivgradv(3.15)

Essas são é a chamada equação de Navier-Stoves do movimento para um fluido Newtoniano incompressível.

3.8 Equação de energia

Dt( + UKE) = + PQ(3.19)

A partir da equação acima podemos chegar na equação do calor unidimensional

= utc2uxx, onde ()u,xt representa a temperatura numa posição x e num instante de tempo t

constante c2 é determinado pelo material do qual o fio é feito
Supondo também que a distribuição inicial de temperatura no fio é dada por:

num fio de comprimento 1 com extremos perfeitamente isolados. O valor da = ()u,x0()sinπx

Podemos plotar o seguinte gráfico que representa a variação da temperatura com o tempo e com o espaço.

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4. Considerações Finais

O resumo aqui apresentado é parte do que foi desenvolvido para as disciplinas de Trabalho de Graduação A e B no primeiro e segundo semestre de 2003 e no segundo semestre de 2003, respectivamente.

No primeiro semestre estudamos toda a parte de pré-requisitos, indispensáveis para um melhor entendimento do projeto, tais como, conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Álgebra Tensorial e Cálculo Tensorial.

No segundo semestre estudamos o Tensor Tensão e um modelo especial de fluidos chamado de Fluido Newtoniano. Vimos também algumas aplicações.

Durante a realização desse trabalho foi feita intensa pesquisa bibliográfica e procuramos utilizar o MAPLE como ambiente para simular alguns problemas.

Esse trabalho permite ao leitor conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos da mecânica dos fluidos.

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5. Bibliografia

[1] LAI, M., RUBIM. E. & KREMPL, E.. Introduction to Continuum Mechanics, Pergamon Press, 1988.

[2] LIU, I-SHIH, Continuum Mechanics, Springer Verlag, 2001.

[3] FOX, ROBERT W. & DONALD, ALAN T.. Introdução a Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro – RJ, Livros Técnicos e Científicos S.A., 1998.

[4] COIMBRA, A.L.. Lições e Exercícios de Mecânica do Contínuo, vol. 1 e 2. Rio de Janeiro – RJ, Núcleo de Publicações da COPPE, 1988.

[5] MELO, SEVERINO T. & MOURA NETO, F.. Mecânica dos Fluidos e Equações Diferenciais, IMPA, 1991.

[6] GUIDORIZZI, H.L.. Um curso de cálculo, vol.3, Rio de Janeiro – RJ, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.

[7] SPIVAK, M.. Calculus. Berkeley, Califórnia. W.A. Benjamin, Inc., 1973.

[8] LIPSCHUTZ, S.. Álgebra Lienar, Mac-Graw Hill do Brasil, 1971.

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