Propagação das ondas maritimas e dos tsunami

Propagação das ondas maritimas e dos tsunami

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Propagação das ondas marítimas e dos tsunami

CCADERNOADERNO B BRASILEIRORASILEIRO DEDE E ENSINONSINO DEDE F FÍSICAÍSICA, , V. 2, . 2, N. 2: . 2: P. 190-215, 2005. 190-215, 2005

Fernando Lang da Silveira - Instituto de Física da UFRGS Maria Cristina Varriale – Instituto de Matemática da UFRGS

Resumo. Neste artigo tratamos da propagação das ondas marítimas em geral (ondas de gravidade) e dos tsunami em especial. Mostra-se que, a partir de alguns resultados básicos da teoria, importantes aspectos qualitativos e práticos podem ser entendidos e previstos.

Palavras-chave: ondas marítimas, tsunami.

Abstract. The propagation of ocean waves, particularly of tsunami, is analyzed in this paper. We show that, starting from some basic results of the theory, many important qualitative and practical features can be understood and predicted.

Keywords: ocean waves, tsunami.

I. - Introdução

Tsunami é uma palavra japonesa que designa ondas geradas em oceanos, mares, baías, lagos, a partir ou de movimentos sísmicos, ou de vulcanismo, ou de deslizamento de terra submarino, ou de impacto de meteorito, ou até de fenômenos meteorológicos (BRYANT, 2001). O que distingue os tsunami1 de outras ondas na superfície da água são os períodos das oscilações da água. Enquanto em uma onda marítima “normal” podem ocorrer períodos de até algumas dezenas de segundos, em um tsunami este tempo atinge alguns minutos ou até meia-hora. Desta forma, os tsunami são ondas longas, que em alto-mar possuem entre 10 km e 500 km de comprimento de onda. Esta característica torna os tsunami muito diferentes das outras ondas, mesmo daquelas que podem ser observadas durante as tempestades. Eles necessariamente são ondas gigantes em comprimento de onda.

1 - Em japonês tsunami designa uma ou mais ondas produzidas em maremotos. Neste trabalho adotaremos a palavra tsunami, sem o s final, tanto para designar uma quanto mais de uma onda.

Os tsunami, apesar de em alto-mar apresentarem pequenas amplitudes (da ordem de metro), podem se agigantar quando atingem as águas rasas nas proximidades da costa. Um dos raros tsunami no Oceano Atlântico aconteceu em 1o de novembro de 1755, quando Lisboa foi destruída por um terremoto (TUFTY, 1978). Cerca de 50 min após o tremor que devastou a cidade, as águas no porto baixaram e, alguns minutos depois2, uma onda com 15 m de altura atingiu as docas e a cidade, matando inúmeros sobreviventes do terremoto. Em 15 de junho de 1896, em Sanriku no Japão, um tsunami com cerca de 30 m de altura matou 27.0 pessoas, feriu 9.0 pessoas, destruindo 13.0 casas (BRYANT, 2001). O maior tsunami já registrado ocorreu no Alasca, em 9 de julho de 1958, quando 90 milhões de toneladas de rocha e gelo desabaram dentro de uma baía – Lituya Bay –, gerando uma onda com cerca de 50 m de altura3, elevando a água até 524 m – quinhentos e vinte e quatro metros (BRYANT, 2001) – no outro lado da baía (a altura foi avaliada pelas marcas na floresta das montanhas que circundam a baía).

O tsunami que ocorreu em 26 de dezembro de 2004, vitimando cerca de 300.0 pessoas, infelizmente constituiu-se em apenas um novo evento entre mais de 1.500 registros históricos existentes. Em 2 de maio de 1782 um tsunami vitimou cerca de 50.0 pessoas em Taiwan. Em 26 de agosto de 1882, como conseqüência da grande erupção do vulcão Krakatoa na Indonésia, um tsunami matou 36.417 pessoas. Somente na região do Oceano Pacífico foram registrados mais de 1.100 tsunami nos últimos vinte séculos, sendo que os quinze mais terríveis (anteriores a 26 de dezembro de 2004) produziram aproximadamente 330.0 mortes (BRYANT, 2001). Um dos primeiros registros de tsunami remonta ao século XIV a.C. quando a cidade de Knossos, capital de Creta, teria sido destruída por uma onda gigante originada da erupção do vulcão de Santorini no Mar Egeu (TUFTY, 1978). Evidências geológicas de tsunami em épocas remotas são encontradas em diversas regiões da Terra (BRYANT, 2001).

O objetivo deste artigo é o de apresentar algumas características básicas que permitam uma compreensão elementar sobre a propagação de ondas marítimas e, especialmente, a propagação dos tsunami.

2 - O recuo das águas é comum, mas nem sempre acontece (BRYANT, 2001), antes da chegada das grandes ondas. Segundo relato do navegador João Sombra, que estava com seu veleiro em Phuket na Tailândia em 26 de dezembro de 2004 a “grande baía de acesso ao estaleiro começou a secar de forma espantosa; os peixes pulavam no seco. (...) Isso durou cerca de 20 minutos e de repente no horizonte algo começou a crescer. Uma grande onda principiava. Era algo monstruoso!” (Jornal Zero Hora, Porto Alegre, RS, 28/12/2004; p. 10). 3 - O barco de 12 m de um casal de navegadores foi apanhado pela onda, “surfou” durante alguns minutos, e, finalmente, foi deixado ileso em alto-mar. Os navegadores relataram que durante a “surfagem” viam, abaixo deles (!!), as árvores da floresta que circundava a baía (TUFTY, 1978).

I. – Velocidade de propagação das ondas marítimas

As ondas que se propagam na interface líquido-gás, devido à influência do campo gravitacional, são denominadas ondas de gravidade4 (gravity waves). Exemplos deste tipo de ondas são as ondas marítimas. Durante a propagação das ondas, as partículas do líquido oscilam. É facilmente perceptível a oscilação da água na direção do campo gravitacional, perpendicularmente à direção de propagação da onda. Entretanto também ocorre uma oscilação das partículas do líquido na própria direção de propagação da onda. Assim as ondas marítimas possuem uma componente oscilatória transversal (na direção do campo gravitacional) e uma componente oscilatória longitudinal (na direção de propagação), determinando que uma partícula do meio descreva uma elipse (ou em um caso particular, uma circunferência) enquanto a onda marítima passa por ela (na seção I trataremos com detalhes das trajetórias das partículas d’água).

Segundo ELMORE e HEALD (1985, p. 187) a velocidade de propagação – v – das ondas na superfície de líquidos é dada por:

λ dπ2λ λ dπ2λ π2 λgλ dπ2 tanh λg v onde d é a espessura da lâmina de líquido, λ é o comprimento de onda e g é a intensidade do campo gravitacional.

O gráfico da figura 1 mostra como a velocidade de propagação de ondas marítimas varia com o comprimento de onda, para diversas espessuras da lâmina d’água5. Em altomar a profundidade máxima chega a 5.0 m e, excepcionalmente, a cerca de 10.0 m. Neste gráfico conseguimos abranger um grande intervalo de comprimentos de onda (desde ondas com pequeno comprimento até aqueles atingidos pelos tsunami) e um grande intervalo de espessuras da lâmina d’água (desde as águas rasas próximas ao litoral até as águas profundas do alto-mar), pois o construímos em escala logarítmica, tanto para as abscissas, quanto para as ordenadas (escala log-log).

4 - Na interface líquido-gás há também a possibilidade de ondas de tensão superficial. No entanto, efeitos de tensão superficial são totalmente desprezíveis para as ondas marítimas, pois eles somente se fazem sentir na velocidade de propagação das ondas na água se o comprimento de onda for inferior a centímetro. 5 - Na equação (1) tem-se que a velocidade de propagação de ondas de gravidade na interface líquido-gás independe da densidade do líquido porque, na sua dedução, supõe-se que a densidade do líquido seja muito maior do que a densidade do gás.

Figura 1 – Variação da velocidade de propagação de ondas marítimas em função do comprimento de onda, para diversas espessuras da lâmina d’água.

Observa-se na figura 1 que, independentemente da espessura da lâmina d’água, a velocidade de propagação – v – cresce com o aumento do comprimento de onda , tendendo a um certo valor limite, próximo do qual v praticamente não se altera. A velocidade de propagação já está muito próxima deste limite máximo quando λ = 10 d. Outro comportamento limite, que nos chama atenção na figura 1, está relacionado à reta inclinada; retas em gráficos log-log identificam leis de potência6 relacionando a variável dependente com a independente. A seguir estudaremos melhor tais comportamentos assintóticos.

Observamos que, se 2dλ , a função tangente hiperbólica envolvida na equação (1) pode ser aproximada pelo seu valor limite superior, 1, pois neste caso

6 - Uma lei de potência é uma função do tipo y = a xb.

A velocidade de propagação é, portanto, com excelente aproximação, dada pela lei de potência

cujo expoente 1/2 (na potência λ1/2) é a inclinação da reta que se vê , no gráfico da figura 1, para pequenos valores de λ (quando comparados com d).

Por outro lado, se dλ vale a aproximação

λ dπ2λ que, após substituída na equação (1), fornece para a velocidade de propagação como boa aproximação para os valores máximos observados na figura 1. Visto que a velocidade de propagação independe do comprimento de onda, concluímos que as ondas se propagam sem dispersão7.

A equação (3) permite calcular a velocidade de propagação de ondas marítimas “normais” em alto-mar, onde a espessura da lâmina d’água é da ordem de quilômetro e o comprimento de onda é da ordem de algumas centenas de metros. Se λ = 300 m, a equação (3) resulta em v = 2 m/s = 79 km/h; o período desta onda é 300 m 2 m/s = 14 s.

Os tsunami, por terem comprimento de onda de até centenas de quilômetros8, mesmo em alto-mar, onde a espessura da lâmina d’água é cerca de 5 km, satisfazem a condição λ >> d e, portanto, suas velocidades são dadas pela equação (5). Eles se propagam com velocidades muito maiores do que as ondas marítimas “normais” pois se d = 5.0 m, a equação (5) resulta em v = 221 m/s = 800 km/h.

Quando um tsunami se aproxima da costa, atingindo a plataforma continental, a espessura da lâmina d’água – d – diminui, e a velocidade de propagação – v – do tsunami, de acordo com a equação (5), também diminui. Para uma lâmina d’água com espessura de 50 m, obtém-se uma velocidade de cerca de 80 km/h. O período do tsunami não se altera e,

7 - Para ondas de qualquer natureza, denomina-se de dispersão a dependência da velocidade de propagação com o comprimento de onda ou com a freqüência. Uma conseqüência da dispersão é a decomposição da luz branca ao atravessar um prisma. 8 - Os tsunami se constituem em pacotes ondas (às vezes um único pulso). É bem sabido que de acordo com o teorema de Fourier uma onda com forma arbitrária pode ser obtida da superposição de ondas senoidais. Assim sendo, os comprimentos de onda de um tsunami devem ser entendidos como os comprimentos de onda das suas componentes.

portanto, uma redução por um fator de 10 na sua velocidade de propagação implica em uma redução pelo mesmo fator no seu comprimento de onda.

A figura 2 representa, de maneira esquemática, as frentes de onda (linhas que ligam pontos na crista da onda) planas de um tsunami que passa do alto-mar (espessura da lâmina d’água de 5.0 m) para o mar raso da plataforma continental (espessura da lâmina d’água de 50 m).

Figura 2 – Redução na velocidade de propagação e no comprimento de onda de um tsunami que passa do alto-mar para o mar raso.

I. – As oscilações transversal e longitudinal em ondas marítimas

Conforme já comentado no início da seção I, as ondas marítimas possuem duas componentes oscilatórias: uma transversal e outra longitudinal. A teoria que embasa a dedução da equação (1), também permite obter interessantes resultados para as oscilações transversal e longitudinal das partículas de água (no Apêndice são apresentadas as equações que dão suporte teórico ao que discutiremos a seguir):

– Ambas as oscilações necessariamente acontecem com o mesmo período e suas amplitudes estão relacionadas entre si. Mostra-se que as amplitudes da oscilação transversal e da oscilação longitudinal são funções dos mesmos parâmetros (vide equações (A.3) e (A.4) no Apêndice).

– Quando a condição 2dλ está preenchida, e portanto uma onda marítima “normal” (ou até uma onda marítima produzida por tempestade) se propaga em alto-mar, as trajetórias das partículas de água são aproximadamente circulares (vide equação (A.5) do Apêndice), com raio que diminui exponencialmente com a profundidade9.

– Quando se verifica a condição λ >> d (condição preenchida por ondas marítimas “normais” próximas do litoral e pelos tsunami inclusive em alto-mar), a trajetória das partículas de água assume a forma elíptica. A amplitude da componente longitudinal é sempre muito maior do que a amplitude da componente transversal10, sendo que a primeira é independente da profundidade11 e a segunda decai linearmente com a profundidade, anulando-se junto ao leito oceânico (vide equações (A.6) e (A.7) do Apêndice).

A figura 3 representa as trajetórias das partículas de água em diferentes profundidades nas duas condições.

Figura 3 – Trajetórias das partículas de água na região de propagação de ondas marítimas em duas condições específicas.

É importante destacar, de acordo com o representado na figura 3, que nas duas situações (λ >> d e 2dλ ), quando uma partícula de água atinge o ponto mais alto da sua

9 - Assim se entende como é que, mesmo com mar agitado, um submarino pode navegar em mar calmo quando suficientemente submerso. Em grandes profundidades o ambiente marinho não sofre a influência das ondas, inclusive aquelas produzidas em tempestades. 10 - O fato de que a amplitude longitudinal é muito maior do que a amplitude transversal implica em um movimento da água na direção de propagação da onda perceptível pelo banhista suficientemente afastado da linha litorânea (além da zona de rebentação das ondas). Como este movimento transversal é oscilatório, o banhista se sentirá arrastado para dentro do mar depois que uma crista de onda passou por ele; a expressão popular para tal ocorrência é repuxo. Adiante retomaremos este efeito com mais detalhes. 1 - O leito do oceano, em águas rasas próximas da costa, é constantemente agitado pela passagem das ondas marítimas. Há evidências de que as ondas marítimas de tempestade possam agitar a areia do fundo do oceano em profundidades de até 200 m e, excepcionalmente, nas costas da Escócia até 400 m (GORSHKOV E YAKUSHOVA, 1967).

trajetória, ela se desloca no mesmo sentido da propagação da onda. Ao atingir o ponto mais baixo da sua trajetória, uma partícula de água se desloca em sentido contrário ao sentido da propagação da onda.

Mesmo que as duas componentes oscilatórias sejam senoidais (presunção assumida para se traçar as trajetórias representadas na figura 3), o perfil senoidal das ondas marítimas é perdido quando a condição λ >> d estiver preenchida e, adicionalmente, a amplitude da componente transversal máxima – H – for da mesma ordem de grandeza da espessura da lâmina d’água (ver o final do Apêndice). A figura 4 – construída a partir das equações (A.1) e (A.2) – representa os perfis de uma onda (inclusive em níveis inferiores à da interface com o ar) com período de 10 s, com amplitude vertical de 2 m, propagando-se em uma região onde a espessura da lâmina d’água é 5 m; sua velocidade de propagação – dada pela equação (5) – é 7 m/s e o seu comprimento de onda é 70 m.

Conforme se observa na figura 4, o perfil da onda difere de uma senóide (apesar das componentes longitudinal e transversal serem oscilações senoidais no tempo). A parte do perfil situada acima do nível não perturbado da água (representado pela reta horizontal superior) é mais estreita do que uma senóide e a parte inferior mais larga12, assumindo a forma de calha.

Figura 4 – Perfil não-senoidal de uma onda marítima, com comprimento de 70 m e amplitude transversal máxima de 2 m, propagando-se em uma região rasa.

Ainda é importante notar outros aspectos das ondas marítimas quando a condição dλ estiver preenchida e, adicionalmente, a amplitude da componente transversal

12 - A teoria que fundamenta tais resultados é uma teoria linear, onde na equação de Bernoulli o termo dependente do quadrado da velocidade é desprezado; todos os resultados até aqui apresentados são válidos para ondas de pequena amplitude (ELMORE e HEALD, 1988). Desta forma, na situação agora tratada, onde certamente ocorrem efeitos não-lineares, os resultados constituem uma aproximação grosseira da realidade. Tais efeitos não-lineares são responsáveis por acentuar mais ainda o perfil não-senoidal da onda, tornando a região superior ao nível normal da água mais estreita e alargando a calha inferior. Estes efeitos se acumularão conforme a espessura da lâmina d’água diminui, levando à rebentação da onda. Mais adiante traremos da rebentação.

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