Ondas em água

Ondas em água

(Parte 1 de 6)

1.13J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS

Outono, 2000 MIT Observações de C. C. Mei

1 Equações governantes para ondas na superfície do mar

Neste capítulo, tomaremos a água como exemplo de um fluido não-viscoso e incompressível e consideraremos as ondas de amplitude infinitesimal, de forma que a aproximação linear seja suficiente. Lembre-se de que, no primeiro capítulo, quando a compressibilidade é incluída o potencial de velocidade definido por u = ∇Φ é governado pela equação de onda:

(1.1)

onde é a velocidade do som. Considere a relação

Conforme mostrado anteriormente, a velocidade de fase da onda mais veloz é onde g é a aceleração gravitacional e h a profundidade do mar. Agora, h é no máximo 4.000m e a velocidade do som na água é c = 1.400m/seg2, de forma que a relação cima é no máximo

(1.2)

No entanto, aproximamos (1.1) através de

Permita que a superfície livre seja z = ζ(x, y, t). Então, para uma superfície livre suavemente inclinada a velocidade vertical do fluido na superfície livre deve ser igual à velocidade vertical da própria superfície, ou seja,

(1.3)

Tendo apenas a ver com a velocidade, ela é chamada de condição cinemática.

(1.4)

Para pequenos movimentos de amplitude, a equação de momentum linear indica Agora, permita que a pressão total seja dividida em partes estáticas e dinâmicas

(1.5)

onde p0 é a pressão estática

(1.6)

que satisfaz

(1.7)

Conclui-se que

(1.8)

de forma que

(1.9)

a qual relaciona a pressão dinâmica à velocidade potencial.

Vamos supor que o ar acima da superfície do mar é basicamente estagnado. Por causa de sua pouca densidade, ignoramos o efeito dinâmico do ar e supomos que a pressão do ar seja constante, o que pode ser aceito como zero sem perda de generalidades. Se a tensão da superfície for ignorada, a continuidade da pressão exige que

(1.10)

para a principal ordem de aproximação, temos, portanto,

Sendo uma afirmação sobre forças, ela é chamada de condição-limite dinâmica. As duas condições (1.3) e (1.10) podem ser unificadas para dar

(1.1)

Se a tensão da superfície também estiver incluída, então adotamos o modelo onde existe uma película fina que cobre a superfície da água com tensão T por unidade de comprimento. Considere um retângulo horizontal dxdy sobre a superfície livre. A força vertical líquida dos quatro lados é

A continuidade da força vertical em uma unidade da área de superfície exige

(1.12)

Dessa forma, que pode ser unificada à condição cinemática (1.3) para resultar em

(1.13)

Quando a viscosidade é desprezada, a velocidade do fluido normal desaparece no rígido leito do mar,

(1.14)

Permita que o leito do mar seja z = −h(x, y), então a unidade normal é

(1.15)

Então,

(1.16)

2 Ondas progressivas em um mar de profundidade constante

2.1 O potencial de velocidade

Considere o caso mais simples de profundidade constante e ondas senoidais com cristas infinitamente longas, paralelas ao eixo y. O movimento está no plano vertical (x, y). Vamos buscar

uma solução que represente um trem de ondas avançando ao longo da direção x com freqüência ω e número de ondas k,

(2.1)

A fim de satisfazer (1.2), (1.13) e (1.16), precisamos (2.2) (2.3) (2.4)

Obviamente, a solução para (2.2) e (2.4) é

(2.5)

indicando que A fim de satisfazer (2.3), necessitamos

(2.6)

que é a relação de dispersão entre ω e k. Com base em (1.3), obtemos

(2.7)

Por integração,

(2.8)

onde A significa a amplitude de onda de superfície, conclui-se que

(2.9)

2.2 A relação de dispersão

Vamos primeiro examinar a relação de dispersão (2.6), onde três comprimentos são apresentados: a profundidade h, o comprimento de onda λ = 2π/k e o comprimento λm = 2π/km em

(2.10)

Como lembrete, na interface ar-água observamos que T/ρ = 74cm3/s2, g = 980cm/s2, de forma que λm = 1,73 cm. A profundidade de interesse oceanográfico varia de O(10cm) a milhares de metros. O comprimento de onda varia de poucos centímetros a centenas de metros.

Vamos apresentar

(2.1)

então (2.6) é normalizado para

(2.12)

Considere primeiro as ondas de comprimento da ordem de λm. Para profundidades de interesse oceanográfico, h >> λ ou kh >> 1, tanh kh ≈ 1. Portanto,

(2.13)

ou em forma dimensional

(2.14)
(2.15)

A velocidade de fase é Definindo

(2.16)

a equação anterior assume a forma normalizada

(2.17)

Obviamente,

(2.18)

Figura 1: Velocidade de fase de ondas de gravidade capilar em água muito mais profunda que λm.

Dessa forma, para os comprimentos de onda bem mais curtos que 1,7 cm, a capilaridade sozinha é importante. Estas ondas são chamadas ondas capilares. Por outro lado,

(2.19)

Dessa forma, para os comprimentos de onda muito mais longos que 1,73 cm, a gravidade sozinha é importante. Estas ondas são chamadas ondas de gravidade. Já que em ambos os limites, c se torna maior, deve haver um mínimo para algum k intermediário. A partir de

(2.20)

o c mínimo ocorre quando

O menor valor de c é cm. Para a variação intermediária, onde tanto a capilaridade quanto a gravidade são de igual importância, a relação de dispersão é traçada na figura (1).

Em seguida, consideramos as ondas de gravidade mais longa onde os efeitos da profundidade são essenciais.

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