Ondas super¯ciais de gravidade

Ondas super¯ciais de gravidade

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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 31, n. 2, 2306 (2009) w.sbfisica.org.br

Ondas superficiais de gravidade (Surface gravity waves)

Alcione S. Fernandes1 e Giselle M. Alves

Departamento de Fısica, Universidade Federal do Parana, Curitiba, PR, Brasil

Escola Tecnica da Universidade Federal do Parana, Curitiba, PR, Brasil Recebido em 16/7/2008; Revisado em 2/1/2009; Aceito em 6/2/2009; Publicado em 26/6/2009

Neste artigo discutimos a propagacao de ondas de pequena amplitude num lıquido de profundidade constante com base em uma equacao de ondas. A solucao geral mostra que a velocidade de propagacao e dependente do comprimento de onda de modo que ocorre o fenomeno da dispersao. Solucoes para os casos de pequena e grande profundidades sao tambem obtidas. Palavras-chave: ondas de gravidade, dispersao de ondas, ondas num lıquido.

In this article we discuss the propagation of small amplitude waves in a liquid of constant depth based on a wave equation. The general solution shows that propagation speed depends on the wavelength and consequently there is waves dispersion. Solutions for shallow and the deep water are shown. Keywords: gravity waves, wave dispersion, waves on the liquid.

1. Introducao

O estudo da propagacao de ondas e fundamental para a formacao dos alunos dos cursos de fısica, matematica e das engenharias. No seu desenvolvimento e possivel aplicar varias tecnicas matematicas como o emprego de uma teoria linearizada, ferramenta simples e extremamente util na resolucao de problemas complexos, bem como a obtencao da solucao de equacoes diferenciais com condicoes de contorno.

Neste artigo desenvolvemos, com base em conceitos acessıveis aos alunos dos cursos iniciais de calculo e fısica, alguns aspectos da teoria da propagacao de perturbacoes harmonicas na superfıcie de um lıquido de profundidade constante e inicialmente em repouso. Uma abordagem computacional deste tema foi desenvolvida recentemente [1]. Informacoes descritivas [2] ou mais avancadas [3, 4] sao encontradas na literatura.

Inicialmente, consideremos o escoamento de um fluido nao viscoso e sujeito a uma forca gravitacional. O movimento deste fluido ideal e descrito pela equacao de Euler [5]

e pela equacao da continuidade

Nestas equacoes %(r,t) representa a densidade do fluido, v(r,t) a velocidade, p(r,t) a pressao e f a forca gravitacional especıfica (forca por unidade de massa). Suponhamos que o fluido, inicialmente em equilıbrio com densidade e pressao dadas por zas de equilıbrio e seus gradientes sao pequenos de modo que seus produtos podem ser desconsiderados e somente os termos lineares sao mantidos. Alem disso, da Eq. (1) onde admitimos que a densidade de equilıbrio e aproximadamente uniforme de modo que pudemos descartar o termo de segunda ordem v · ∇%0. Se tomarmos o rotacional de ambos os membros da

Eq. (5) e tendo em conta que a forca gravitacional e

1E-mail: alcionesf@ig.com.br.

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2306-2 Fernandes e Alves conservativa, obtemos

Como ∇ × v e proporcional a velocidade angular em cada ponto do fluido e esta nao muda com o tempo, entao a solucao possıvel para a Eq. (7) e

de modo que o fluido e irrotacional em todos os pontos. Desta forma, podemos relacionar o campo de velocidades a um potencial escalar φ(r,t), atraves de

Se considerarmos que o fluido e incompressıvel, isto e, a densidade permanece constante, obtemos da Eq. (6) que ∇ · v = 0. (1)

Substituindo a Eq. (9) na anterior, resulta a equacao de Laplace ∇2φ = 0 ou, em coordenadas cartesianas

Portanto, um fluido irrotacional e incompressıvel pode ser descrito por uma funcao potencial escalar que e solucao da equacao de Laplace e com componentes da velocidade dadas pelas Eqs. (10).

2. Ondas superficiais de gravidade

Consideremos em seguida, a propagacao de uma perturbacao provocada na superfıcie livre de um lıquido com profundidade uniforme e sujeito a um campo gravitacional uniforme. Estas ondas progressivas longitudinais sao denominadas ondas superficiais de gravidade[3]. As amplitudes perturbativas sao consideradas pequenas em relacao as grandezas de equilıbrio, de modo que podemos reter apenas os termos lineares. Uma situacao adequada a estas condicoes e a de uma brisa suave ou a queda de uma pequena pedra na superfıcie de mar calmo.

Para estudar as ondas superficiais de gravidade num lıquido de profundidade uniforme h, vamos considerar que: (a) o lıquido e perturbado a partir do repouso, por exemplo, pela acao de um vento suave; assim as velocidades e os deslocamentos das partıculas sao pequenos o que nos permite desconsiderar os seus produtos; (b) o fluxo e irrotacional de modo que o campo de velocidades do lıquido deriva de um potencial escalar;

(c) a amplitude ζ0 das ondas e muito menor que o comprimento de onda (ζ0/λ ¿ 1); (d) nao sao considerados os efeitos de tensao super- ficial, viscosidade e condutividade termica.

Para ondas progressivas na direcao x do plano xz (veja Fig. 1) nao ha dependencia da coordenada y de modo que o nosso problema e bidimensional. Desta forma, temos da Eq. (12) que com as componentes das velocidades das partıculas do lıquido dadas por

0 c λ x(x,t)ζh

Figura 1 - Onda que se propaga na superfıcie de um lıquido com profundidade h

O primeiro passo e obter o potencial escalar φ(x,t) da Eq. (13) e que esta sujeito as seguintes condicoes de contorno: (a) no fundo a componente vertical da velocidade

(b) A superfıcie livre do lıquido e descrita por z(x,t) = ζ(x,t) e a velocidade para as partıculas da

Se expandirmos o primeiro membro desta equacao em serie de Taylor em torno de z = 0, concluimos que( ∂φ onde a aproximacao linear foi usada. Esta e uma condicao de contorno cinematica pois envolve a velocidade da superfıcie livre do lıquido. (c) Como a tensao superficial nao e levada em conta entao as pressoes em ambos os lados da superfıcie livre do lıquido sao iguais; alem disso, como a pressao atmosferica e constante ao longo da superfıcie livre podemos considera-la nula sem perda de generalidade, ou seja p(ζ,t) = 0, (18)

Ondas superficiais de gravidade 2306-3 e a equacao de Bernoulli (A.8) torna-se( ∂φ

Em resumo, o problema consiste em determinar o potencial escalar φ(x,z,t) para a equacao de Laplace

sujeito as condicoes de contorno

Apos obtermos a funcao φ(x,z,t) podemos determinar as componentes da velocidade do lıquido atraves das Eqs. (14). Para isso, entretanto, e necessario explicitar a forma para a superfıcie livre ζ(x,t).

3. A funcao φ(x,z,t) para perturbacoes periodicas

Consideremos as perturbacoes periodicas da superfıcie livre do lıquido na forma de uma onda progressiva na direcao x onde ζ0 e a amplitude constante da onda. Esta escolha pode ser justificada pelo fato de que uma perturbacao

arbitraria pode ser construıda adicionando componentes sinusoidais atraves de uma serie de Fourier.

Comparando a equacao anterior com as Eqs. (2) e (23) verificamos que o potencial escalar deve ser da forma φ(x,z,t) = Φ(z)sen(κx − ωt), (25)

onde a amplitude Φ(z) e a relacao de dispersao ω = ω(κ) devem ser determinadas.

Substituindo a Eq. (25) na (20), obtemos a equacao diferencial linear de segunda ordem para a amplitude

com solucao geral onde a e b sao constantes de integracao. Da Eq. (25) temos

Portanto, o potencial escalar (25) e dado por

Apos determinarmos o potencial escalar podemos passar para a obtencao das demais variaveis que caracterizam o movimento do lıquido como velocidades e posicoes das partıculas, frequencia angular e velocidade de propagacao da onda.

4. Resultados

4.1. Velocidades e trajetorias das partıculas, frequencia angular e velocidade de fase da onda

As componentes da velocidade das partıculas sao dadas, atraves das Eqs. (14) e (30), por

Consideremos que as partıculas de fluido oscilam com pequenas amplitudes em torno da posicao de equilıbrio (x0,z0) e que diferem pouco das coordenadas (x,z); assim, podemos integrar no tempo as equacoes

(31) para obtermos de modo que as trajetorias das partıculas sao elipses descritas por com semi-eixos maior e menor que dependem da profundidade de acordo com

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