Aula Teo03

Aula Teo03

4/Mar/2009 –Aula 2

9/Mar/2009 –Aula 3

ExpansãoTérmicade Sólidose Líquidos

ExpansãoLinear e coeficientede expansãotérmica Expans ão Volumétrica Expans ão da Água

DescriçãoMacroscópicados Gases Ideais(cont.)

Teoria Cinética dos Gases TeoriaCinéticae Equaçãodos Gases Ideais GásIdeal num Campo Gravitacional Distribuiçãode Boltzmann; distribuiçãode velocidadesde Maxwell e Boltzmann Velocidades mais provável, média e quadrática média Livre caminho médio e frequência das colisões

DescriçãoMacroscópicados Gases Ideais Equaçãodos Gases Ideais

Se a expansãofor suficientemente pequenacomparadacom as dimensõesiniciaisdo objecto, a variaçãoem qualquerdimensãoé, aproximadamente, linearmente proporcional à variação de temperatura:

ExpansãoLinear e coeficientede expansão

Temperatura=T0 +ΔT

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Expansão Volumétrica

Quandoum objectoéaquecido, expande-se nas3 dimensões(considerandoo mesmo coeficientede expansãolinear):

O volume aumentapara:

Coeficiente de expansão volumétrica térmica ( β) :

cLei de Boyle:(n, Tconstantes)
dLei de Charles:(n, Pconstantes)
ePrincípiode Avogadro:(P, Tconstantes)

Equaçãodos gases ideais

Tn V ∝

Constantedos Gases Ideais

P V = n R T P V = n R T

Nota: constantede Boltzmann k Eq. dos gases ideais

(simu lação)

GásIdeal Qualquergásquepossaser descritopelaequaçãodos gases ideais.

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Teoria Cinética dos Gases

Relação entre as grandezas microscópicas (velocidades moleculares) e macroscópicas (pressão, temperatura)

AplicaçãodasLeis de movimentode Newton a um grande número de partículas (aproximação estatística)

Teoria cinética dos gases

(Rudolf Clausius, 1857) ¯°

TeoriaCinéticados Gases Explicaporqueéqueosgases se comportamde acordocom a equaçãodos gases ideais cOs gases sãocompostosporum grandenúmerode moléculasem movimento aleatório ( movimento Browniano - simulação ).

dO volume de todasas moléculasédesprezávelcomparadocom o volume total disponível(a distânciamédiaentreas moléculasémuito grandecomparadacom as suasdimensões).

eAs moléculasnãointeragementresi, exceptoquandocolidem(as forças de atracção e repulsão são desprezáveis ).

fAs moléculascolidemelasticamenteentresie com as paredesdo contentor. A energiaétransferidaduranteas colisões.

g A energia cinética média é proporcional àtemperatura absoluta e não dependedo tempo.

Teoria Cinética dos Gases

Consideremosum contentorcúbicode volume Vcom Nmoléculas, cada umade massame com velocidadev.

Para simplificar, consideremos apenas uma direcção do movimento ( x positivo) e apenasumaparededo contentor(do ladodireito) de áreaA .

x y v x

A l

Antes da colisão

Após a colisão

Nã o colide co lid e

Num intervalode tempo Δt , as moléculasqueestiverema umadistância

(vx Δt) daparededo ladodireitoe quese dirijamparaelavãoincidirna parede.

O númerode moléculasdentrodestadistânciaéproporcionala vx e ao númerode moléculasporunidadede volume ( N / V ).

Considerandoapenasumamoléculaa colidircom a parede:

() Atv x Δ cMomentoantes dacolisão: + m v x dMomentoapósa colisão:-m v x eVariaçãono momentodamolécula: -2 m v x fVariaçãono momentodaparede:Δpx=+2m v x

Admitindoque, em média, sómetadedasmoléculasse dirigeparaa parede, o númerototal de moléculasqueatingea paredenum intervalo Δt seráiguala

Antes da colisão

Após a colisão

Variaçãototal do momento:

() ΔtAmv

N mv2AΔtv

Pressão causada por esta variação : 2 x mv

ΔpA1A F x mvNVP =

Como as moléculasdo gásnãose movemtodascom a mesmavelocidade, substituamos o quadrado da velocidade pelo seu valor médio : 2x2 x v → x mv

Da equação dos fases ideais (PV=Nk B T):

1 mv

Generalizandoparaas trêsdirecções(x, ye z) :

3 mv

1 mv

1 mv xcin

A cada grau de liberdade corresponde uma energia Tk

A energia cinética média de cada molécula é então Tk

Energiacinéticade um gáscompostoporN moléculas:

nRT 2

3 mv

NE B2 cin

A energia cinética média dum gás é proporcional àtemperatura do sistema

Medição da relação entre a Pressão e a Temperaturapara um gás ideal

Modelosimples de umgásideal simulação simulação

TeoriaCinéticae Equaçãodos Gases Ideais cA pressãoécausadapelascolisõesdasmoléculasdo gáscom as paredesdo contentor. A forçatotal dessascolisõesdependedo número de colisõese daforçamédiaporcolisão d O aumento datemperatura a volume constante confere maior energia cinética às moléculas e, portanto, maiores velocidades. Devido ao aumentodavelocidademédia, ocorremmaiscolisõese a pressão exercida pelo gás aumenta eO aumentodo volume a temperaturaconstanteprovocauma diminuiçãodo númerode moléculasporunidadede volume e, portanto, do númerode colisões. Como resultado, a pressãoexercidapelogás diminui(Lei de Boyle)

TnR P

GásIdeal num Campo Gravitacional

Seja P a pressão atmosférica para a altura z e consideremos uma camada atmosféricade espessuradze áreaA, ondea temperaturaéconstante.

d z

Númerode moléculasde ar por unidade de volume

P A = m g n( z) A dz+ (P +dP) A

P V = N kB T

P V = N kB T

B z

P = kT =n kT V

Massade uma moléculade ar

dP =- mgn dz A diferençaentreas pressõesparaas alturas ze z+dzéiguala :

Admitindo que para dz suficientemente pequeno:

nnz ≈

B z mg n dz dP dn mg

Pn n k T k T

P0 B dP mg =- dz

Pk T 0B

Pk T Integrando a equação :

Tk zgm ePP −

Energia potencial gravitacionalde uma molécula

Pressãoa z = 0

Dependência da pressãocom a alturaaosolo :

Tk zgm ePP −

= Pressão em função da altitude simulação

Boltzmann: a diminuiçãoda densidademolecular com a alturapodeser explicadaem termos da distribuição das velocidades das moléculas nos níveis mais baixos

Tk zgm enn −

Dependência da densidade molecular com a alturaaosolo:

Energia potencial gravitacionalde uma molécula

Distribuição de Boltzmann

Densidade de moléculas com energia ε:

Densidadede moléculasno nível de energiamaisbaixo, (T= 0).

enεn −

Para um gás monoatómico a energia ésimplesmente cinética. O número de moléculas cuja velocidade estácompreendida entre ve v+dv

(ou seja, entre v x e vx+dvx , vy e vy+dvy e entre vz e vz+dvz ) de acordo com a distribuição de Boltzmanné zyx dvdvdve.dn B

=const

Constantea determinarsabendoqueo nºtotal de moléculaséNe que zyx dvdvdve Tkπ2

Ndn B

2 -x

Distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann Selector de velocidades:

() dvvfNdn =

T2k mv ev Tkπ2 m π4f(v)

Distribuição de velocidades simulação

Fonte

dN: númerode moléculascom velocidadesentreve v + dv N: númerototal de moléculasno gás.

Velocidade mais pr ovável (vmp )

T2k mv ev Tkπ2 m π4f(v)

0 dv df(v) =

() dvvfNdn =

T2k v B

Velocidade média

A velocidade média pode ser calculada integrando f(v) v dventre 0 e ∞e dividindo por N :

e como f(v)vd v v= v = N

Tkπ2 m Nπ4 v B bx3 a dxeax

Velocidade quadrática média (vrms ) f(v )v dv v= N e como bx4 bπ8 3a dxeax rm s

3k T k T π

8m m m

2k T

Relaçãoentreas várias velocidades:

Velocidades moleculares simulação

Determine a velocidade quadrática média (rms)duma molécula de

N 2 àtemperatura de 25 ºC.

3R T v= v =

== rm s v

Dados:

M= 28,0 g/mol = 28,0 x 10-3 kg/mol

R= 8,314 J/mol K = 8,314 kg m 2/s 2 mol K

A velocidade de escape em Marte éde 5 km/s e a temperatura à superfície éde cerca de 0 ºC. Considerando que se a velocidade quadrática média (rms) das moléculas dum gás for maior do que 20% da velocidade de escape elas saem da atmosfera do planeta, determine se as moléculas de H 2, O2e CO2 poderão existir na atmosfera de Marte.

rm s

3RT v= rm s, H 3 rm s, O 3

Livre caminho médio λ λ= distância média entre colisões:

Semcolisão: Limite:

Colisão:

Colisão equiva- lente Colisão rea l

v: velocidade da “molécula”de tamanho 2d

Número de colisões em t= nºde moléculas no cilindro = nv πd2 vt vt1 λ== nπdv t nπd

Correcção (as moléculas pontuais também se movem)

2n πd

Valorestípicos(araoníveldo mar): λ= 0,1μm = 10-4 m

Frequência das colisões Númerode colisõesporunidadede tempo:

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