20 teoria cinetica

20 teoria cinetica

(Parte 1 de 8)

Versão preliminar 23 de março de 2004

20. TEORIA CINÉTICA DOS GASES2
UMA NOVA MANEIRA DE VER OS GASES2
O NÚMERO DE AVOGADRO2
GASES IDEAIS2
Trabalho com temperatura constante3
CÁLCULO CINÉTICO DA PRESSÃO3
ENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO6
PERCURSO LIVRE MÉDIO6
DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES MOLECULARES7
CALORES ESPECÍFICOS MOLARES DE UM GÁS IDEAL9
A energia interna EINT9
Calor específico molar a volume constante – CV9
Calor específico molar a pressão constante – CP10
Relação entre CV e CP para um gás ideal10
TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA DE UM GÁS IDEAL1
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS13
1013
“10”13
115
1215
1516
1617
1717
1918
2318
“27”19
2820
320
3621
4321
4523
4723
5724

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 20 w.fisica.ufpb.br/~romero 2

20. Teoria Cinética dos Gases

Quando consideramos um gás contido em um recipiente podemos analisá-lo de uma maneira global usando a Termodinâmica, e calcular as suas propriedades macroscópicas tais como temperatura, pressão, volume e etc.

Por outro lado, se quisermos entender os porquês do comportamento macroscópico, devemos analisar os constituintes deste gás, como eles interagem entre si e como interagem com as paredes do volume que os contém.

Uma nova maneira de ver os Gases

Os gases são constituídos de pequenas entidades, que podem ser átomos, moléculas ou ambos. Ele será um gás monoatômico quando composto apenas de átomos (ou seja: moléculas monoatômicas) ou um gás poliatômico, dependendo das suas características moleculares.

As moléculas interagem entre elas, e essa interação acontece aos pares, ou seja elas interagem duas a duas. Se neste gás existirem N moléculas cada molécula interage com todas as outras N-1 moléculas. Cada molécula deve ter o seu movimento governado pela segunda lei de Newton, e portanto temos N equações referentes a aplicação dessa lei, uma para cada molécula. Como cada molécula interage com as restantes, o seu movimento irá interferir no movimento de todas as outras, e dizemos então que essas equações estão acopladas uma as outras.

O número de equações resultante deste modelo torna a sua solução numérica impossível, mesmo usando os melhores computadores contemporâneos.

O Número de Avogadro

Mas quantas moléculas existem em uma amostra macroscópica de uma dada substância? Vamos definir uma grandeza adequada para lidar com moléculas, é o mol. Um mol é o número de moléculas que existem em 12g de carbono-12. Experimentalmente se determina quantas moléculas existem em um mol, e esse é o chamado número de Avogadro NA , NA = 6,02x1023moléculas

Desse modo, já podemos relacionar número de moles µ e número de moléculas N , ou seja:

Gases ideais

Se considerarmos uma amostra com 12g de carbono-12 , teremos neste material

NA = 6,02x1023moléculas , e se desejarmos usar a segunda lei de Newton para calcular as trajetórias das moléculas, teremos que resolver NA equações acopladas. O que fazer nesta situação?

A aproximação mais drástica possível será considerar que as moléculas não

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Cap 20 w.fisica.ufpb.br/~romero 3 interagem, elas se ignoram, e desse modo elas interagem apenas com as paredes do recipiente que contém a mostra do gás. Apesar desta aproximação ser drástica, ela se aproxima da realidade em muitas situações práticas, quando a densidade do gás é suficientemente baixa. Nesta circunstâncias, uma amostra de um gás real se aproxima do modelo do gás ideal.

Trabalhos experimentais com gases ideais mostraram que a pressão, temperatura e volume se relacionam de tal modo que:

p V = µ R T onde µ é o número de moles do gás presentes na amostra considerada e R=8,31J/mol.K é a constante universal dos gases. A equação anterior é chamada equação dos gases ideais. Por outro lado, se ao invés de moles estivermos usando o número de moléculas, a equação tomará a forma p V = N kB T onde N é o número de moléculas do gás presentes na amostra considerada e kB=1,38x10-23J/K é a constante de Boltzmann. Pode-se notar que:

B NkRN RRN

Trabalho com temperatura constante

Vamos considerar um sistema em contato com um reservatório térmico. Nessas condições esse sistema pode sofrer mudanças de pressão e volume mas manterá sempre a mesma temperatura, que é a temperatura do reservatório térmico. O trabalho realizado pelo sistema é definido como:

fiV V if dVpW

p T1

T2 T3

Mas como o gás é ideal e a temperatura é mantida constante ao logo da transformação, temos que:

ifV V

Vif V VRTVVRTVRTV dVRTW f i i lnlnlnln µ

Cálculo cinético da pressão

Vamos considerar N moléculas um gás ideal em um recipiente em forma de um cubo de aresta L e considerar os eixos cartesianos paralelos as arestas, como na figura à seguir.

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As moléculas desse gás estão continuamente colidindo com as paredes do recipiente. Vamos analisar especificamente a colisão de uma molécula, que se dirige para colidir com a parede do recipiente paralela ao plano yz e que passa pela origem. Quando ela colide com a parede, não acon-

- mvx x

+mvx tecerá mudança nas componentes y e z do momento linear, mas a componente x do momento linear mudará de sinal, acontecerá uma reversão neste movimento. Estamos considerando que as colisões são perfeitamente elásticas. A variação do momento dever-se-á apenas a mudança da componente x .

∆p = pf – pi = mvx – (-mvx) = 2mvx

Sejam A1 e A2 as paredes do cubo perpendiculares ao eixo x . A molécula vai colidir com a face A1 e levar um intervalo

A2 A1

x

de tempo ∆t para colidir com a face oposta A2 e depois colidir novamente com A1 . O tempo t necessário para essa molécula ir de uma face até outra é dado por t=L/vx , e desse modo:

A variação do momento linear de uma molécula, num intervalo ∆t entre duas colisões com a mesma face do recipiente é dada por:

Lmv vLmvt p X

A equação anterior nos dá a força que uma molécula exerce na face considerada.

Para se encontrar a força total exercida por todas as moléculas, devemos considerar as contribuições de todas as N moléculas:

A pressão que essas moléculas exercerão dependerá da força média e será dada por:

onde estamos representando o valor médio de uma grandeza A por <A> . Como as moléculas não são distinguíveis, os valores médios das componentes x de cada uma das moléculas são iguais, ou seja:

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Considerando que neste cubo não existe direção privilegiada, os valores médios das diversas componentes serão iguais, ou seja:

e como temos N moléculas nesse gás ideal; onde consideramos que o volume do cubo é V = L3 . Podemos ainda dizer que:

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