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Capıtulo 12 Partıculas Identicas

Ate este ponto estudamos sistemas que contem apenas uma partıcula. Todavia, um grande numero de sistemas reais apresenta mais de uma partıcula e muitas dessas sao iguais. Por exemplo, um atomo de helio apresenta dois eletrons e um nucleo, enquanto que uma molecula de hidrogenio possui dois eletrons e dois protons. Neste capıtulo vamos analisar as consequencias de um sistema quantico possuir partıculas identicas. Uma diferenca grande entre sistemas classicos e quanticos apresentando partıculas identicas e que classicamente estas sao distinguıveis ao passo que o mesmo nao ocorre no contexto quantico.

Em Fısica Classica, duas partıculas identicas sao distinguıveis ja que suas trajetorias podem ser bem determinadas e com isso podemos segui-las e distingui-las. O mesmo nao ocorre em Mecanica Quantica: como bem sabemos o conceito de trajetoria nao faz sentido quanticamente e alem disso nao existe nenhum aparato experimental que possa identificar qual das partıculas identicas encontra-se em um dado estado. Lembre-se que o simples fato de observarmos uma partıcula, i.e. fazermos medidas sobre ela, faz com que suas propriedades sejam alteradas de maneira nao controlada, nao permitindo assim a sua identificacao precisa. O fato de partıculas identicas serem indistinguıveis leva a existencia de novos fenomenos os quais nao tem analogos classicos.

2 Capıtulo 12. Partıculas Identicas

12.1 Estados de partıculas identicas

Para entendermos quais as consequencias da existencia de partıculas indistinguıveis, consideremos um sistema com duas partıculas identicas, e.g. dois eletrons. A densidade de probabilidade de encontrarmos o primeiro eletron na posicao x1 e o segundo em x2 e

Todavia, os dois eletrons sao indistinguıveis e com isso essa densidade de probabilidade deve ser igual a de encontrar o primeiro eletron na posicao x2 e o segundo em x1.

|Ψ(x1,x2)|2 = |Ψ(x2,x1)|2 Portanto, o fato dos eletrons serem indistinguıveis implica que

onde α e um numero real a ser determinado. Em outras palavras, quando trocamos as coordenadas de duas partıculas indistinguıveis a funcao de onda modifica-se apenas por uma fase. Para determinarmos os valores possıveis de α troquemos duas vezes as coordenadas das duas partıculas.

Logo, os valores possıveis de α sao 0 e π. Para α = 0, temos que as funcoes de onda sao simetricas

ΨS(x1,x2) = ΨS(x2,x1) , (12.4) ao passo que α = π esta associado a funcoes de onda anti-simetricas

Ate este ponto consideramos apenas que o unico grau de liberdade como sendo a coordenada da partıcula. Como sabemos, partıculas com

12.1. Estados de partıculas identicas 223 spin nao nulo possuem um grau de liberdade adicional associado ao spin o qual deve ser considerado quando analisamos a simetria do estado. Neste caso devemos impor que onde denotamos coletivamente por Si (xi) os numeros quanticos associados ao spin (posicao) da partıcula. E importante salientar que a simetria da funcao de onda (estado) nada mais e do que um vınculo cinematico, o qual pode ter consequencias dinamicas como veremos mais tarde.

Neste ponto e importante saber quando os estados sao simetricos ou anti-simetricos. No contexto da Mecanica Quantica nao relativıstica esta escolha deve ser postulada, porem ela e determinada na teoria relativıstica. E possıvel mostrar1 que partıculas de spin semi-inteiro (inteiro) sao descritas por estados anti-simetricos (simetricos) em teorias locais e covariantes por transformacoes de Lorentz possuindo um unico estado fundamental. Chamamos as partıculas de spin inteiro de bosons e as de spin semi-inteiro de fermions.

Aparentemente, a obrigacao do uso de funcoes de onda simetricas ou anti-simetricas poderia tornar qualquer problema intratavel ja que deverıamos construir funcoes de onda envolvendo todas as partıculas de um dado tipo no universo! Por exemplo, quando analisamos um atomo de hidrogenio nao levamos em conta outros eletrons, tais como aqueles que estao no Sol. Logo, e natural questionarmos quando podemos esquecer a obrigatoriedade do uso de funcoes de onda simetricas ou anti-simetricas. Consideremos duas partıculas identicas que estao nos estados Ψ1 e Ψ2. A funcao de onda simetrizada e dada por

Analisemos esta expressao para o caso em que as duas funcoes Ψ1(x) e Ψ2(x) sao tais que nao existe nenhum ponto em que as duas funcoes

224 Capıtulo 12. Partıculas Identicas sejam nao nulas simultaneamente. Por exemplo, Ψ1 poderia descrever um eletron na Terra enquanto que Ψ2 representaria um eletron no Sol. Matematicamente, escrevemos que Ψ1(x) 6= 0 somente se x ∈ A ao passo que Ψ2(x) 6= 0 somente se x ∈ B, onde A e B sao regioes do espaco tais que A ∩ B = ∅. Nesta situacao os dois ultimos termos de (12.8) anulam-se e podemos esquecer a necessidade de simetrizar a funcao de onda ja que

12.2 Evolucao temporal e estatıstica

Ja que as interacoes de duas partıculas identicas sao iguais, a hamiltoniana que governa a dinamica destas partıculas deve ser invariante pela troca das mesmas:

pois V (x1,x2) = V (x2,x1). Uma consequencia deste fato e que a evolucao temporal preserva a simetria ou anti-simetria da funcao de onda. Para mostrar isto, basta notar que

Logo, as variacoes temporais da funcao de onda exibem a mesma simetria desta, com isto preservando a sua simetria na evolucao temporal.

12.3 Alguns efeitos devidos a indistinguibilidade

Analisemos algumas consequencias do fato de termos que simetrizar (anti-simetrizar) a funcao de onda de partıculas identicas. Consideremos inicialmente o impacto da simetrizacao sobre os nıveis de energia e sua degenerescencia.

12.3. Alguns efeitos devidos a indistinguibilidade 225

Efeito nos nıveis de energia

Seja um sistema unidimensional com duas partıculas confinadas em uma caixa de lado a as quais nao interagem entre si. A hamiltoniana governando este sistema e dada por

com 0 ≤ x1(2) ≤ a. No caso de uma unica partıcula na caixa temos que os nıveis de energia e seus respectivos autoestados sao dados por

a sin

Analisemos inicialmente o caso das duas partıculas serem distinguıveis. Pode-se demonstrar (faca-o) que os autoestados da hamiltoniana e seus respectivos autovalores sao dados por

onde os estados un estao definidos em (12.1). Os primeiros quatro nıveis de energia e suas degenerescencias sao estado energia autoestados degenerescencia

No caso de termos bosons de spin zero, isto e, da funcao de onda ser simetrica temos que os quatro primeiros nıveis de energia e respectivas

226 Capıtulo 12. Partıculas Identicas autofuncoes sao estado energia autoestados degenerescencia

Portanto, para bosons os nıveis de energia sao os mesmos que no caso de partıculas indistinguıveis de mesma massa, porem todos os estados dos bosons sao nao degenerados. Vemos aqui claramente que o vınculo da funcao de onda ser simetrica diminuiu as degenerescencias que existem no caso de partıculas distinguıveis.

A situacao e mais complicada no caso de fermions, ja que devemos levar em conta a parte do estado associada ao spin. Para sermos mais concretos, consideremos que as partıculas tem spin 1/2. Visto que a hamiltoniana do sistema nao depende do spin, temos que os autoestados desta sao da forma onde Ψn1n2 descreve a parte espacial e ξ esta associada ao spin. Neste ponto e mais conveniente escrever a parte de spin do estado na base acoplada; vide capıtulo 1. Assim sendo, temos que o momento angular total pode assumir dois valores j = 0 e 1. No caso j = 0 existe apenas um estado dado por

onde αi (βi) e o estado de spin para cima (baixo) da partıcula i. Note que este estado e anti-simetrico na troca das partıculas. Para j = 1 temos tres estados ξs(m) dados por

12.3. Alguns efeitos devidos a indistinguibilidade 227 os quais sao simetricos pela troca das partıculas.

Ha duas maneiras de obter que o estado (12.13) seja anti-simetrico quando trocamos as duas partıculas: podemos ter a parte espacial simetrica e a de spin anti-simetrica, ou a parte de spin simetrica e a espacial anti-simetrica. Isto implica que os quatro primeiros nıveis de energia sao estado energia autoestados degenerescencia

Se nao tivessemos que anti-simetrizar o estado, os nıveis de energia das duas partıculas deveriam ser os mesmos do caso de partıculas indistinguıveis, porem a sua degenerescencia deveria ser 2 × 2 vezes maior ja que ha quatro estados de spin possıveis. Quando impomos que o estado deve ser anti-simetrico vemos que os nıveis de energia ainda sao os mesmos, porem as degenerescencias sao bastante alteradas. O estado fundamental continua sendo nao degenerado, exibindo momento angular total nulo. Por outro lado, os outros estados sao degenerados, mas a degenerescencia nao e quatro vezes maior que a esperada para partıculas indistinguıveis.

Correlacao espacial entre as partıculas

Uma outra consequencia interessante da simetrizacao dos estados e que a correlacao entre a posicao das partıculas depende fortemente delas serem distinguıveis, bosons ou fermions. Para ver este fato, avaliemos a distancia quadratica media entre duas partıculas que podem ocupar os estados ua e ub os quais sao ortogonais e normalizados.

228 Capıtulo 12. Partıculas Identicas 1. Partıculas Indistinguıveis: neste caso o estado e dado por

onde denotamos pelo subscrito a o estado usado para calcular a media. Analogamente, obtemos que

a(b)(x) x ua(b)(x). Logo, juntando os resultados parciais acima temos que

2. Bosons ou fermions: aqui vamos considerar o efeito da funcao de onda espacial ser simetrica ou anti-simetrica, a qual e dada por

onde o fator 1/√ 2 garante que o estado esteja propriamente norma- lizado se ua e ub o estiverem. Visando que esta funcao de onda nao seja nula quando utilizamos o sinal negativo, restingiremo-nos ao caso em que a 6= b. Note que no caso de bosons (fermions) devemos usar a funcao de onda espacial simetrica (anti-simetrica) caso o estado de spin seja simetrico. Para estados de spin anti-simetricos, a parte espacial para bosons (fermions) deve ser anti-simetrica (simetrica).

12.3. Alguns efeitos devidos a indistinguibilidade 229

Utilizando esta funcao de onda temos que

o que conduz a

Analogamente podemos obter que

onde definimos

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