cap10 v5

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Capıtulo 10

Problemas Tridimensionais I: Espalhamento

No capıtulo anterior estudamos os estados ligados de sistemas tridimensionais. Apesar de toda a importancia destes estados, eles nao esgotam todas as possibilidades. Neste capıtulo estudaremos o espalhamento em Mecanica Quantica, o qual e muito utilizado para o estudo de sistemas em todas as areas da Fısica. Atraves do espalhamento aprendemos muito sobre a estrutura maisıntima da materia e suas interacoes, desde os cristais, moleculas, atomos, nucleos ate as partıculas elementares.

Consideremos uma hamiltoniana cujo potencial seja esfericamente simetrico e satisfaca 1

O espectro desta hamiltoniana possui duas partes distintas:

1. Espectro discreto (E < 0) que e caracterizado pelos valores discretos dos autovalores E e tambem por seus autoestados serem nor- malizaveis (∫ d3x |Ψ|2 < ∞). Estes estados representam partıculas ligadas ao potencial V , e foram analisados no capıtulo anterior.

2. Espectro contınuo (E ≥ 0) cujos autovalores E formam um conjunto nao enumeravel e as correspondentes autofuncoes sao nao

1Como discutido no capıtulo 9, podemos separar um problema de dois corpos no movimento do centro de massa e no movimento relativo das partıculas. Estudaremos o ultimo em detalhe, sendo a conexao entre o espalhamento no centro de massa e o mais geral a mesma que conhecemos da Mecanica Classica.

172 Capıtulo 10. Problemas Tridimensionais I: Espalhamento localizadas, i.e. nao sao normalizaveis. Estes estados descrevem o espalhamento de partıculas pelo potencial V .

As condicoes de contorno empregadas nestes dois casos sao muito distintas tendo em vista que

1. Para o espectro discreto requeremos que a funcao de onda Ψ seja de quadrado integravel (∫ d3x |Ψ|2 < ∞), e consequentemente esta deve ir a zero suficientemente rapido no limite r → ∞. Lembre-se que na resolucao de problemas unidimensionais empregamos o mesmo criterio (normalizabilidade) para inferir qual a condicao de contorno que deverıamos usar.

2. Para o espectro contınuo, a exemplo do que foi feito nos problemas unidimensionais, a condicao de contorno depende do problema fısico que desejamos analisar. A nossa escolha sera que Ψ deve representar o espalhamento de uma partıcula de momento linear bem definido pelo potencial V e portanto, deve conter uma onda livre incidente bem como uma onda emergente a grandes distancias do potencial espalhador.

No estudo do espectro contınuo imporemos que os autoestados da hamiltoniana do sistema satisfazem a

no limite r → ∞. O primeiro termo desta expressao representa uma partıcula livre incidente de momento linear bem definido a qual e espalhada pelo potencial V , resultando a onda emergente descrita pelo segundo termo em (10.2). A amplitude de espalhamento f e obtida a partir da autofuncao da hamiltoniana que satisfaz o comportamento (10.2). Note que para (10.2) poder ocorrer o potencial V deve ser de curto alcance, uma vez que tanto exp(ik · r) como exp(ikr)/r representam partıculas livres no limite r → ∞. Na realidade, esta condicao de contorno so pode ser utilizada para potenciais que se anulem no infinito mais rapidamente que 1/r. Por exemplo, no espalhamento por um potencial coulombiano ha o aparecimento de uma fase adicional proporcional a ln(2kr).

10.1. Cinematica: secao de choque diferencial 173 θ espalhada incidente centro espalhador θcone definido por Figura 10.1: Definicao da geometria considerada num espalhamento.

10.1 Cinematica: secao de choque diferencial

Vamos agora definir a secao de choque diferencial, a qual descreve a distribuicao angular das partıculas espalhadas por um centro de forcas, bem como mostrar a sua relacao com a forma assintotica (10.2) dos autoestados da hamiltoniana. Para tanto vamos considerar que o fluxo de partıculas incidentes e paralelo ao eixo z e que o centro espalhador encontra-se em r = 0, como mostra a figura 10.1. Em geral, o numero de partıculas espalhadas por unidade de tempo

(Nesp) que atravessam um pequeno angulo solido ∆Ω e proporcional a ∆Ω e ao fluxo incidente F. Logo, podemos escrever2

Nesp = dσ

onde a constante de proporcionalidade dσ/dΩ e a secao de choque diferencial deste processo, a qual possui dimensao de area. A secao de choque total e entao definida por

2Note que esta expressaoe valida tanto em Mecanica Classica como em Quantica!

174 Capıtulo 10. Problemas Tridimensionais I: Espalhamento

Para que dσ/dΩ independa das condicoes experimentais e necessario assumir que a densidade do feixe incidente seja suficientemente baixa para podermos desprezar as interacoes entre as partıculas incidentes e tambem para que estas nao interajam simultaneamente com o centro espalhador. Se isto nao for satisfeito, deveremos resolver um problema de muitos corpos interagindo entre si e com o potencial espalhador V . Da definicao acima temos que

= Nesp

Para obter F e Nesp e conveniente escrever a condicao de contorno (10.2) na forma onde

Ψinc = eikz e Ψesp = f eikr

E natural identificar Ψinc com a onda incidente enquanto que Ψesp descreve a onda espalhada. Agora basta utilizar a corrente de probabili- dade

para calcular Nesp e F. Devido ao significado fısico de J, estas quantidades podem ser escritas como3 onde Jinc (Jesp) e a corrente de probabilidade incidente (espalhada) obtida substituindo-se Ψ em (10.8) por Ψinc (Ψesp). Logo, temos que a corrente incidente e dada por

Jinc = h

3Aqui estamos desprezando a interferencia entre a onda incidente e a espalhada.

Num tratamento mais cuidadoso, alem do escopo deste livro, pode-se mostrar que os resultados obtidos abaixo estao corretos.

10.2. Potenciais centrais: ondas parciais 175 ao passo que a corrente de probabilidade espalhada e

Jesp = h f∗e−ikr r ∇f eikr

onde conservamos apenas os termos mais importantes no limite r → ∞. Portanto, temos que

e tambem

Nesp = hk

Isto permite-nos obter a secao de choque diferencial deste processo, a qual e dada por por dσ

Exercıcio:

Mostre que este resultado independe da normalizacao adotada em (10.2), i.e. se multiplicarmos esta por uma constante A nao alteraremos o resultado (10.15).

Resumindo, o programa que devemos seguir para obter a secao de choque diferencial de um dado processo e resolver a equacao de Schrodinger independente do tempo sujeita a condicao de contorno de espalhamento (10.2). Feito isto extraımos f da solucao obtida, e assim obtemos dσ/dΩ. A seguir faremos estes passos formalmente, visando encontrar uma expressao para f, a qual dependera do comportamento dos autoestados da hamiltoniana no limite r → ∞.

10.2 Potenciais centrais: ondas parciais

Quando o potencial V (r) responsavel pelo espalhamento e esfericamente simetrico, o momento angular e uma quantidade conservada visto que

176 Capıtulo 10. Problemas Tridimensionais I: Espalhamento comuta com a hamiltoniana. Portanto, autoestados correspondendo a diferentes valores do momento angular sao espalhados independentemente, sendo conveniente trabalhar-se na base em que o momento angular e diagonal. No que segue escreveremos os autoestados da hamil- toniana na forma ul(r)r Ylm, o permite reduzir o problema de autovalores de H a seguinte equacao radial

onde E e o autovalor associado a este autoestado. No limite r → ∞ esta equacao toma a forma

onde assumimos que V tende a zero suficientemente rapido neste limite. A solucao geral desta equacao e

lpi onde E = h2k2/2µ, e Al e δl sao constantes. Uma vez que Al e uma constante multiplicativa, ja que este e um problema de autovalores, podemos determinar a fase δl impondo apenas uma condicao de con- torno, a qual deve ser ul(0) = 0. Lembre-se que esta condicao de contorno foi motivada no capıtulo 9 e que a sua justificativa nao envolvia a funcao de onda ser normalizavel. Um fato importante acerca de (10.18) e que este comportamento acarreta que o autoestado da hamiltoniana Ψ = ulr Ylm nao satisfaz a condicao de contorno de espalhamento (10.2)! Isto ocorre porque o seno em (10.18) contem uma onda espalhada (eikr) bem como uma onda incidente (e−ikr). Logo, esta solucao descreve uma onda incidente de momento angular bem definido que e espalhada pelo potencial V . Neste caso a onda espalhada possui o mesmo momento angular da incidente, uma vez que este e conservado.

Tendo em vista que os autoestados com energia E sao degenerados, e natural fazer uma superposicao linear destes visando que esta obedeca

10.2. Potenciais centrais: ondas parciais 177 a condicao de contorno deste problema (10.2).4 Logo, escrevemos

Clm ul(r)

onde desejamos obter os Clm de modo que (10.2) seja satisfeita. Uma vez que o potencial e central e que Ψinc = eikz, temos que Ψ nao depende de φ, por causa da simetria de rotacao em torno do eixo z que este processo exibe. Logo, Clm = 0 para m 6= 0, o que nos conduz a

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