cap9 v5

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Capıtulo 9 Problemas Tridimensionais I

Neste capıtulo vamos estudar alguns problemas tridimensionais, a saber, a partıcula livre e o espectro discreto de hamiltonianas envolvendo potenciais centrais. Devido a simetria de rotacao destes problemas, os autoestados da hamiltoniana serao escolhidos de modo a serem tambem autoestados do momento angular, i.e. de Lz e L2 estudados no ultimo capıtulo.

9.1 Problema de dois corpos quantico

A exemplo do que ocorre em Mecanica Classica, o problema quantico de dois corpos pode ser separado no movimento do centro de massa e no relativo, desde que o potencial de interacao dependa apenas da coordenada relativa entre as partıculas. Consideremos a hamiltoniana

a qual apresenta seis graus de liberdade (r1, r2). A transformacao

146 Capıtulo 9. Problemas Tridimensionais I permite separar a hamiltoniana H em duas partes com Hcm dependendo apenas das variaveis do centro de massa (P,R), enquanto Hrel depende apenas da coordenada relativa das duas partıculas (p, r):

onde M = m1 +m2 e a massa total do sistema e µ e a massa reduzida, µ = m1m2/(m1 +m2). A separacao do sistema e realmente completa dado que r, p, R e P satisfazem as seguintes relacoes de comutacao

[Ri, Pj] = ihδij . (9.12) E importante salientar os seguintes pontos:

• Classicamente a transformacao (9.2)–(9.5) e canonica, i.e. ela preserva os colchetes de Poisson. No caso quantico, os comutadores sao preservados, como era de se esperar. Este fato possibilita representar os momentos segundo p = hi∇r, P = hi∇R, e os operadores posicao pela simples multiplicacao por r e R.

• Note que R e uma coordenada cıclica, o que acarreta que P e conservado, ja que [H,P] = 0.

9.1.1 Separacao das variaveis

Uma vez que [Hcm,Hrel] = 0, podemos aplicar o metodo de separacao de variaveis para resolver o problema de autovalores de H

Dado que H e a soma de dois operadores que dependem de variaveis diferentes, vide (9.6), e natural procurar solucoes da forma

Esta ultima expressao nada mais e do que a afirmacao de que a energia total do sistema e a soma da energia interna (Erel) com a energia cinetica do sistema como um todo (Ecm). Vamos agora revisitar o problema de uma partıcula livre em tres dimensoes, ja este esta associado ao centro de massa do sistema, bem como analisar diversos exemplos de movimento internos, para os quais o potencial de interacao e central.

9.2 Partıcula livre

Encontremos os autoestados e autovalores de uma partıcula livre, cuja hamiltoniana e dada por Hcm = P2/2M. Para tanto vamos procurar o maior numero possıvel de operadores que comutem entre si e com esta hamiltoniana, visando requerer que os autoestados da hamiltoniana tambem sejam autoestados destes operadores. Este procedimento permite rotular os autoestados atraves dos autovalores (numeros quanticos) associados aos diversos operadores. Devido a simplicidade desta hamiltoniana e possıvel fazer varias escolhas distintas do conjunto de operadores a serem diagonalizados simultaneamente.

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9.2.1 Autoestado do momento linear

Uma vez que a hamiltoniana deste sistema comuta com o momento linear (P) podemos diagonalizar simultaneamente estes operadores:

onde A e uma constante. Substituindo esta solucao em (9.19) temos que os autovalores da hamiltoniana sao

Note que neste caso os autoestados da hamiltoniana e seus correspondentes autovalores sao completamente especificados fixando tres nume- ros quanticos, a saber, kx, ky e kz. A constante de normalizacao A depende do esquema utilizado, como discutimos anteriormente. Caso suponhamos que o sistema esta contido numa caixa de lados L temos que A = 1/L3/2, e que o espectro e discreto, dado por k = (nxi + nyj + nzk)2pi/L, onde nx, ny e nz sao inteiros. Por outro lado, se o espaco for infinito, podemos normalizar os autoestados utilizando um delta de Dirac, resultando que o espectro e contınuo e que A = 1/(2pih)3/2.

9.2.2 Como autoestado do momento angular

Podemos tambem diagonalizar Hcm simultaneamente com os operadores Lz e L2,1 uma vez que 2

1Usamos aqui que L = R∧P. 2Exercıcio: mostre estas relacoes de comutacao.

Neste caso podemos exigir que os autoestados satisfacam

A maneira natural de tratar este problema e resolve-lo em coordenadas esfericas (R, θ, ϕ). Como estudamos anteriormente no capıtulo 8, a solucao para as ultimas duas equacoes e conhecida e consequentemente podemos escrever que onde os harmonicos esfericos Ym sao autoestados de Lz e L2 com autovalores hm e h2(+1) respectivamente. Substituindo (9.25) em (9.2), e usando que em coordenadas esfericas sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂

obtemos que

dREm

com k2 = 2ME/h2. Esta ultima equacao implica que REm e E nao depende de m. Por esta razao nao usaremos mais o subscrito m para

R. Agora, tudo que resta para fazer e resolver a equacao diferencial (9.27). Faremos isto em quatro passos3:

1. Inicialmente mudamos a variavel R para ρ = kR.

dRE`

3Alternativamente poderıamos reconhecer que as solucoes de (9.27) sao dadas pelas funcoes de Bessel esfericas.

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2. Agora notamos que para = 0 as solucoes linearmente independentes sao dadas por sinρ ρ e cosρ

3. A seguir extraımos o comportamento assintotico de R para ρ indo a zero. E facil mostrar que neste limite4 as solucoes do problema sao

Portanto, definimos onde χE satisfaz dχE`

dχE`

ou seja, 1ρ dχE`

Esta ultima relacao (9.3) permite-nos obter todos os χE a partir das solucoes χE0 (9.29).

1ρ d dρ

4Exercıcio: Mostre este fato.

Solucoes padronizadas e suas propriedades E tradicional padronizar as solucoes atraves de

1ρ d dρ

1ρ d dρ

2ρJ+1/2(ρ)) e a funcao de Bessel esferica, enquanto que

2piN+1/2(ρ)) e a funcao de Neumann esferica. E tambem usual definir as funcoes de Hankel esfericas atraves de

As funcoes de Bessel esfericas de ordem mais baixa sao dadas por

Uma propriedade importante das funcoes de Bessel esfericas e o seu comportamento no limite de ρ → 0:

onde (2 + 1)!! ≡ 1 · 3 ·· (2 + 1). Por outro lado, o comportamento

destas funcoes para ρ → ∞ e dado por

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