cap8 v5

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Capıtulo 8 Momento Angular

Neste capıtulo vamos estudar os autovalores e autovetores do momento angular. Este problema tambem pode ser analisado com o uso do metodo de operadores, o que faremos na primeira parte deste capıtulo. Por outro lado, tambem e muito instrutivo estudar o problema de autovalores para o momento angular orbital ja que isto nao so fornece maiores informacoes sobre a solucao obtida pelo metodo de operadores, mas tambem prepara o terreno para o estudo de problemas tridimensionais.

8.1 Algebra do Momento Angular

O momento angular orbital e uma quantidade importante para a analise de problemas classicos e quanticos que contem potenciais centrais, dado que ele e uma quantidade conservada. O momento angular orbital e definido por L ≡ x ∧ p , (8.1) sendo que esta expressao nao apresenta problema de ordenamento em Mecanica Quantica. As componentes do momento angular orbital sao dadas por

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Daqui podemos obter as seguintes relacoes de comutacao:

as quais podem ser resumidas usando-se o tensor de Levi-Civita ( kjn), onde as componentes 1, 2 e 3 representam x, y e z respectivamente. Tambem e util definir o quadrado do momento angular orbital

componentes do momento angular orbital, i.e.[

Como veremos logo abaixo, e conveniente definir as seguintes combinacoes dos operadores Lx e Ly

as quais estao ligadas atraves de L†+ = L−. Mais ainda, podemos expressar L2 em termos dos operadores L± utilizando as seguintes relacoes:

onde o util termo destas equacoes origina-se do comutador de Lx com Ly. E tambem facil mostrar, usando as relacoes de comutacao (8.5) a

8.2 Solucao Algebrica

Vamos agora determinar os autovalores do momento angular orbital utilizando apenas as relacoes obtidas na secao anterior, em analogia com a solucao do oscilador harmonico apresentada no capıtulo 6. Tendo em vista as relacoes de comutacao (8.8) e (8.10), podemos encontrar autovetores simultaneos apenas de L2 e uma componente de L a qual escolhemos ser Lz. Em princıpio podemos encontrar os autovetores de L2 (ou Lz) apenas. Ao fazermos isto, em geral, podemos obter autovetores de L2 que nao sao autovetores de Lz uma vez que os autovetores escolhidos podem ser uma superposicao linear de autoestados de Lz associados a autovalores distintos. Uma vantagem de encontrar-se o conjunto de autovetores comuns a L2 e Lz e que estes autovetores estao completamente determinados, a menos de fases, uma vez que saibamos a que autovalores eles estao associados.

Resolvamos o seguinte problema de autovalores:1

onde explicitamos fatores de h para que e m sejam adimensionais e escrevemos de forma conveniente os autovalores de L2. Visando simpli- ficar as expressoes, admitiremos que as autofuncoes Φm estao propria- mente normalizadas, i.e. 〈Φm|Φm〉 = 1. Para esta analise, utilizaremos os seguintes fatos:

onde utilizamos que L†+ = L− e a relacao (8.13). 2. Analogamente, considerando o vetor L+Φm temos que

1Se utilizassemos a notacao de Dirac os autovalores de L2 e Lz seriam denotados por |m〉 ≡ Φm.

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3. O operador L+ aplicado a Φm e um autoestado de Lz com auto- valor h(m + 1), ou seja o operador L+ e analogo ao operador de criacao a† do oscilador harmonico. De fato,

4. Analogamente, o operador L− aplicado a Φm e autovetor de Lz com autovalor h(m−1), mostrando que L− e analogo ao operador de aniquilacao a do oscilador harmonico.

5. Uma vez que L± e L2 comutam os vetores L±Φm sao autoestados de L2 com autovalor h2( + 1), i.e.

Autovalores

Obtenhamos os possıveis valores de e m a partir destes fatos. As desigualdades (8.19) e (8.20) permitem-nos concluir que

|m| ≤(8.24)

Visto que a acao de L+ aumenta de uma unidade o autovalor m, vide (8.21), e que m ≤ , temos que deve existir um mmax tal que para que o vınculo (8.24) nao seja violado. Dado que o vetor L+Φmmax tem modulo nulo, usando (8.20) para este vetor segue que

( + 1) − mmax(mmax + 1) = 0 =⇒ mmax =(8.26)

Analogamente, o fato de L− abaixar de uma unidade o autovalor m juntamente com − ≤ m de (8.24) conduzem a conclusao de que deve existir um valor mınimo para m (mmin) tal que L−Φmmin = 0. Pode-se mostrar utilizando (8.19) que mmin = −. Logo,

Uma vez que acoes sucessivas de L+ devem eventualmente levar ao vetor nulo para que (8.24) nao seja violada, sucessivas aplicacoes L+ a Φ− devem produzir a um estado proporcional a Φ. Portanto, 2` deve ser um numero inteiro: o de aplicacoes de L+ que conduzem de

Φ− a Φ. Com isso, temos que os valores possıveis de sao inteiros e semi-inteiros.

enquanto que m e inteiro ou semi-inteiro conforme o seja e satisfaz − ≤ m ≤ .

Autovetores

Analogamente a solucao por operadores do oscilador harmonico do capıtulo 6, podemos determinar os autoestados do momento angular partindo da equacao (8.27) ou de (8.28), substituindo a forma explıcita do operador L+ ou L− respectivamente. Este procedimento conduz a uma equacao simples que fornece como resultado Φ ou Φ−. De posse de um destes vetores, sucessivas aplicacoes de L+ ou L− permitem-nos construir todos os autoestados com |m| ≤ dado um valor de .

Uma vez que assumimos que os autovetores Φm estao normalizados e que L±Φm e um autoestado de Lz com autovalor h(m±1), as relacoes (8.19) e (8.20) permitem-nos escrever que

A seguir obteremos os autoestados do momento angular orbital resolvendo explicitamente as equacoes de autovalores em vez de utilizar o metodo descrito acima. Todavia, recomendamos fortemente ao leitor que obtenha alguns autoestados do momento angular orbital utilizando o metodo acima.

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8.3 Solucao Explıcita

A solucao explıcita do problema de autovalores e autovetores do momento angular orbital e mais direta quando escolhemos coordenadas esfericas (r,θ,ϕ). Neste sistema de coordenadas o operador momento angular orbital e dado por

onde

r sinθ ∂ ∂ϕ

Os versores do sistema de coordenadas esfericas estao relacionados com os versores cartesianos usuais (i,j,k) atraves de

Portanto, temos que sinθ ∂ ∂ϕ o que nos permite obter as seguintes expressoes explıcitas:

sinθ ∂ ∂θ sin θ ∂

∂θ ± i cotan θ ∂

Substituindo as expressoes acima no problema de autovetores simultaneos de L2 e Lz (8.17) e (8.18) obtemos as seguintes equacoes diferenciais acopladas[ 1

sinθ ∂ ∂θ sin θ ∂

onde os autoestados Φm sao dados pelas funcoes Ym(θ,ϕ). Para facilitar a analise, usaremos o resultado da secao anterior que |m| ≤ va- riando em passos de uma unidade. Para especificarmos completamente o problema devemos adotar uma condicao de contorno. Neste pro- blema e natural impor que o valor de Ym seja o mesmo para (θ,ϕ = 0) e (θ,ϕ = 2pi), uma vez que estas duas escolhas representam o mesmo ponto do espaco.

A solucao de (8.41) pode ser facilmente obtida, sendo dada por onde H e um funcao apenas de θ. Impondo a condicao de contorno (8.42) temos que m deve ser um inteiro, ou seja, a condicao de contorno nao e compatıvel com valores semi-inteiros para m. Com isso, temos que m e podem apenas ser inteiros no caso do momento angular orbital. Para maiores informacoes, veja a proxima secao.

Para determinarmos H(θ) substituımos (8.43) em (8.40), resultando em

sin θ d dθ sin θ dH

E conveniente neste ponto fazer a substituicao de variaveis ξ = cosθ, que nos permite escrever

d dξ

Esta e a equacao diferencial de Legendre cujas solucoes bem comportadas (nao divergentes) no intervalo |ξ| ≤ 1 sao as funcoes associadas de Legendre Pm (ξ).

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