cap7 v6

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Capıtulo 7

Representacao de Heisenberg e Simetrias

Quando apresentamos os postulados da Mecanica Quantica definimos de forma arbitraria que os estados evoluem no tempo ao passo que os observaveis sao constantes. Esta maneira de analisar a evolucao temporal de um sistema e chamada de representacao de Schrodinger. Neste capıtulo vamos mostrar que podemos reformular a Mecanica Quantica de forma a ter os estados constantes no tempo enquanto que os observaveis apresentam uma dependencia temporal, o que define a representacao de Heisenberg.

O uso de simetrias e leis de conservacao permite-nos compreender melhor muitos problemas em Fısica, seja no domınio classico ou no quantico. Neste capıtulo tambem analisaremos os conceitos de simetria e de leis de conservacao em Mecanica Quantica. Estudaremos ainda qual a relacao entre degenerescencia e simetrias.

7.1 Representacao de Heisenberg

Na representacao de Schrodinger que adotamos ate agora, os estados evoluem com o tempo obedecendo a equacao de Schrodinger

118 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias a qual deve ser suplementada com uma condicao inicial |ψ(t = 0)〉 =

|ψ0〉. Vimos no capıtulo anterior que a solucao formal deste problema e dada por onde U(t) e operador evolucao temporal. E importante lembrar neste ponto que os estados (funcoes de onda) nao sao diretamente observaveis, sendo que eles se manifestam, por exemplo, atraves de valores medios. Tendo em vista que os valores medios dependem tanto dos estados como dos operadores associados aos observaveis, podemos considerar que sao os operadores, e nao os estados, que evoluem no tempo sem alterar os resultados dos valores medios.

De fato, o valor esperado de um observavel A no instante t e dado por onde utilizamos (7.2). A partir desta expressao definimos o operador na representacao de Heisenberg AH(t) atraves de sendo que no instante t = 0 o operador na representacao de Heisenberg coincide com o operador na representacao de Schrodinger. Note que

AH(t) e dependente do tempo a menos que A comute com a Hamiltoniana. Com isso temos que a media de um observavel pode ser escrita como

Esta igualdade demonstra que podemos escolher, sem alterar o valor dos observaveis, os operadores evoluindo no tempo segundo (7.4) ao passo que os estados sao constantes. Logo, definimos a representacao de Heisenberg como sendo aquela na qual os estados sao constantes no tempo, ao passo que os operadores obedecem (7.4). Note que para t = 0 os estados na representacao de Schrodinger e na de Heisenberg sao iguais, o mesmo acontecendo para os operadores. Mais ainda, para sistemas cuja Hamiltoniana na representacao de Schrodinger independe do tempo temos que U e H comutam e consequentemente

7.1. Representacao de Heisenberg 119 i.e. a hamiltoniana e independente do tempo. Por simplicidade assumimos que este e sempre o caso.

E importante salientar que apenas a evolucao temporal e modificada na representacao de Heisenberg, ficando os postulados cinematicos da Mecanica Quantica inalterados, bem como as suas consequencias. Por exemplo, consideremos os seguintes fatos:

• Os operadores na representacao de Heisenberg associados a operadores hermitianos na representacao de Schrodinger tambem sao hermitianos. Com isto, fica garantido que os valores medios de observaveis sao reais. De fato,

• Vimos anteriormente que os resultados possıveis de medidas sao os autovalores do operador A associado a grandeza fısica. Na representacao de Schrodinger estes autovalores nao dependem do tempo visto que os operadores sao constantes. Para garantir que as representacoes de Heisenberg e Schrodinger prevejam os mes- mos resultados de medidas devemos mostrar que AH e A possuem os mesmos autovalores. Isto de fato ocorre:

onde multiplicamos por U† a primeira equacao para obter a segunda e tambem introduzimos o operador unidade U† na se- gunda. Logo, AH e A possuem os mesmos autovalores. Mais ainda, sabemos que os autovetores de AH no instante t sao dados por |an;t〉 = U†|an〉. Note que a base gerada pelos autovetores de AH depende do tempo, podendo ser diferente a cada instante, enquanto seus autovalores sao constantes.

• Dado um estado |ψ(t)〉 na representacao de Schrodinger sabemos que a probabilidade de uma medida do observavel A ter como

120 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias resultado o seu autovalor an e dada por

Devemos, portanto, verificar se esta probabilidade e a mesma na representacao de Heisenberg. Para tanto basta notar que

onde utilizamos que |an〉 = U|an;t〉. Note que na representacao de Heisenberg a dependencia temporal destas probabilidades origina- se no fato de que a base de autovetores de AH muda com o tempo enquanto que o estado e constante!

Em aplicacoes e comum termos observaveis que sao formados a partir do produto de outros. Isto posto, e util saber que o operador de Heisenberg associado ao produto C = AB e dado por ou seja, pelo produto dos operadores de Heisenberg correspondentes. Em particular, este resultado aplica-se para comutadores:

7.1.1 Equacoes de Movimento de Heisenberg

Da definicao do operador na representacao de Heisenberg, equacao (7.4), segue que

= −HeiHt h Ae−iHt h + eiHt h Ae−iHt h H

7.1. Representacao de Heisenberg 121 que e a equacao de movimento de Heisenberg para o operador AH(t). E instrutivo comparar a equacao (7.10) com a sua correspondente em

Mecanica Classica em para um observavel A(q,p).

onde (q(t),p(t)) e a trajetoria classica no espaco de fase, obedecendo a

A comparacao entre (7.10) e (7.1) remete-nos mais uma vez a regra de correspondencia

entre a Mecanica Classica e a Mecanica Quantica, a qual e usada como guia para a quantizacao de sistemas com analogos classicos.

Para os observaveis x(t) e p(t) de um sistema cuja Hamiltoniana e da forma

as equacoes de Heisenberg fornecem dxH

dpH

onde utilizamos (7.7) para obter que [pH,V (xH)] = hi V ′(xH). Note que estas equacoes sao formalmente identicas as de Hamilton na Mecanica

Classica.

Vejamos alguns casos, assim como em Mecanica Classica, nos quais estas equacoes podem ser integradas explicitamente.

Exemplo: partıcula livre No caso de uma partıcula livre (V ≡ 0) a equacao (7.16) reduze-se a dpH

122 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias cuja solucao e trivialmente dada por com p sendo o operador momento na representacao de Schrodinger, i.e. p = pH(0). Substituindo este resultado em (7.15) segue que dxH dt = p

de onde concluımos que

onde x = xH(0) e o operador posicao na representacao de Schrodinger. Tendo em maos esta solucao, e interessante notar que xH(t1) e xH(t2) nao comutam para t1 6= t2! De fato,

Exercıcio:

Interprete fisicamente a equacao acima, ou seja, discuta se e possıvel fazer duas medidas infinitamente precisas da posicao de uma partıcula em tempos distintos. Qual e o impacto da sua conclusao sobre o conceito classico de trajetoria? Re-analise este problema utilizando a representacao de Schrodinger.

Exemplo: oscilador harmonico

Inicialmente vamos obter a evolucao temporal de um oscilador harmonico unidimensional utilizando as variaveis xH e pH. Para este sistema o potencial e dado por

que substituıdo em (7.16) conduz a dpH

Note que as equacoes de movimento para este sistema (7.15) e (7.21) sao identicas as equacoes classicas. Por substituicao direta notamos que a solucao assume a mesma forma que a classica

contudo as constantes xH(0) = x e pH(0) = p sao de fato os operadores posicao e momento, respectivamente, na representacao de Schrodinger.

Podemos tambem obter a evolucao temporal de um oscilador harmo- nico simples utilizando os operadores de criacao (aH) e aniquilacao (a†H) definidos no capıtulo 6. Nestas variaveis a hamiltoniana do sistema toma a forma

Utilizando que [aH,a†H] = 1, as equacoes de Heisenberg sao daH

da† H

cujas solucoes sao

7.2 Leis de Conservacao

Leis de conservacao sao muito uteis em Fısica ja que nos permitem simplificar e entender melhor os fenomenos. Por exemplo, na colisao de

124 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias duas partıculas podemos obter a magnitude dos momentos finais utilizando a conservacao de energia e a de momento dado o angulo de espalhamento, mesmo que nao conhecamos a secao de choque diferencial do processo. As leis de conservacao possuem uma gama de aplicacoes muito mais vasta que essa, podendo ser usadas para saber se transicoes atomicas sao permitidas ou nao, para explicar a estabilidade de sistemas, etc.

Em Mecanica Classica uma quantidade observavel, digamos a energia, e conservada se o seu valor nao variar com o tempo. A situacao nao e tao obvia em Mecanica Quantica. Consideremos, a tıtulo de exemplo, um oscilador harmonico que se encontra no estado1

onde H|n〉 = hω(n + 1/2)|n〉. E natural considerarmos este sistema como sendo conservativo porem medidas da energia em tempos distintos podem fornecer hω/2 ou 3hω/2 ambas com probabilidade 1/2. Portanto, temos que o valor medido da energia pode variar com o tempo. Entao como podemos definir a conservacao de energia? A resposta e simples: o que se conserva em Mecanica Quantica e o valor medio do observavel. No exemplo acima o valor medio da energia e constante, valendo hω.

Em Mecanica Quantica existe um criterio muito simples para saber se uma dada quantidade e conservada ou nao, bastando avaliar o seu comutador com a hamiltoniana do sistema. De fato, a partir da equacao de Heisenberg (7.10) segue que o valor esperado de um observavel AH num estado |ψ0〉 e obedece

onde estamos trabalhando na representacao de Heisenberg, e consequen- temente a derivada em relacao ao tempo atua somente sobre AH. Portanto, o valor esperado de AH sera independente do tempo para qualquer estado |ψ0〉 se [AH,H] = 0, i.e. basta que AH comute com a

1Estamos aqui trabalhando na representacao de Heisenberg, mas as conclusoes sao identicas para a de Schrodinger.

hamiltoniana. Por exemplo, a hamiltoniana de uma partıcula livre tridimensional comuta com todas as componentes do momento linear, bem como as do momento angular, logo, este sistema exibe tanto conservacao de momento linear como de momento angular. Podemos tambem notar a partir de (7.30) que o valor medio de qualquer observavel AH e conservado se |ψ0〉 for um autoestado da hamiltoniana! De fato, se H|ψ0〉 = E|ψ0〉 entao

7.3 Simetrias

A existencia de leis de conservacao esta intimamente ligada as simetrias do sistema. Por exemplo, sabemos da Mecanica Classica que2

• sistemas exibindo simetria de translacao espacial, i.e. nao possuem pontos privilegiados do espaco, apresentam conservacao de momento linear;

• sistemas invariantes por translacoes temporais apresentam conservacao de energia;

• sistemas invariantes por rotacoes exibem conservacao de momento angular.

Em Mecanica Quantica tambem temos essa associacao de quantidades conservadas a simetrias do sistema. Para prosseguirmos, definamos mais precisamente o que e uma simetria: uma transformacao que leve uma solucao do um sistema a outra solucao e dita ser uma simetria, tanto em Mecanica Classica como em Mecanica Quantica. Note que as solucoes nao precisam ser necessariamente identicas. Por exemplo, o problema de Kepler classico exibe a simetria de rotacao: se tomarmos uma trajetoria elıptica e a rodarmos de um angulo θ teremos uma outra trajetoria possıvel, a qual em geral nao e igual a inicial.

2Para maiores detalhes veja a secao 1.1 do “Quantum Mechanics: Symmetries”, de W. Greiner e B. Muller.

126 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias Z r θ

Figura 7.1: Definicao da geometria do sistema bidimensional.

Vejamos em um exemplo simples, como as simetrias estao relacionadas as leis de conservacao em Mecanica Quantica. Consideremos um sistema bidimensional o qual e invariante por rotacoes ao redor do eixo z perpendicular ao plano. Utilizando coordenadas polares, vide Figura 1, os estados deste sistema sao dados por funcoes de onda ψ(r,θ,t). Se o sistema for invariante por rotacoes temos que

Nunca e demais destacar que estas duas solucoes nao sao necessariamente identicas.

A primeira licao que este exemplo nos fornece e que podemos relacionar ψ e ψ atraves de um operador unitario. Para tanto basta expandir ψ em serie de Taylor em torno de α = 0 e reescrever os termos

αn n! dnψ α d onde Lz e a terceira componente do momento angular. E facil mostrar, faca-o, que o operador U = exp(iαLz/h) e unitario. Neste exemplo e facil ver que a simetria de rotacao ao redor do eixo z esta associada a conservacao do momento angular na direcao z. De fato, substituindo (7.35) em (7.34) temos que eiαLz h ih

Agora aplicando e−iαLz h a esquerda nos dois membros desta equacao segue que

Visto que esta ultima equacao deve ser igual a (7.3) temos que que e valida para qualquer valor de α. Derivando esta ultima expressao com respeito a α e fazendo α = 0 conduz a

Portanto, temos que Lz e conservado ja que da ultima igualdade segue que

Neste ponto e interessante analisar como os estados e os observaveis mudam quando fazemos uma transformacao em um sistema, a qual

128 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias nao e necessariamente uma simetria. Iniciemos definindo quais sao as transformacoes que sao validas em Mecanica Quantica. Dada a estrutura da Mecanica Quantica desejamos que as transformacoes sobre um sistema sejam tais que

1. os valores esperados nao sejam modificados pois estes estao associados a possıveis resultados de medidas;

2. os modulos de produtos escalares tambem devem ficar inalterados ja que estes estao associados a probabilidades; onde denotamos com uma linha os estados e observaveis apos a transformacao.

Representemos uma transformacao sobre os estados de um sistema por U tal que |α′〉 = U|α〉 . (7.43)

Para que esta transformacao nao altere os autovalores de um observavel A temos que

onde utilizamos que o operador U e linear com respeito a constantes reais, que sao os autovalores de A. Da ultima igualdade podemos concluir que os autoestados do operador A sao transformados em

|a′〉 = U|a〉 , (7.46) ao passo que o operador associado ao observavel A e transformado em A′ = UAU−1 . (7.47)

Estas leis de transformacao sao as mesmas que obtemos quando fazemos uma mudanca de base em um espaco vetorial. Tendo em vista que desejamos que a estrutura da Mecanica Quantica seja preservada o operador U deve ser tal que U−1 = U†. Ha varias maneiras de ver que isto e verdade. Usando que as medias de observaveis nao devem ser modificadas temos que o que nos conduz a U−1 = U†. Esta mesma conclusao poderia ser obtida requerendo que o operador A′ seja hermitiano, para qualquer A hermitiano,

Exercıcio: Obtenha este resultado a partir de |〈α′|β′〉| = |〈α|β〉|.

Teorema de Wigner

Quando consideremos transformacoes de um sistema (7.43) e (7.47) e exigimos que a estrutura da Mecanica Quantica seja preservada e possıvel demonstrar que existem duas possibilidades para o operador U:

Esta possibilidade acontece quando consideramos a simetria por reversao temporal.

130 Capıtulo 7. Representacao de Heisenberg e Simetrias

Neste ponto e interessante dar alguns exemplos de transformacoes associadas a operadores unitarios, sugerindo fortemente que o leitor prove que suas expressoes estao corretas.

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