cap5 v6

cap5 v6

(Parte 1 de 5)

Capıtulo 5

Mecanica Quantica e a Algebra Linear

Neste capıtulo faremos uma recordacao de alguns fatos basicos de Algebra Linear, sem preocuparmos com o rigor matematico. Tambem formularemos os postulados da Mecanica Quantica de uma forma mais geral utilizando como base a Algebra Linear.

5.1 Espacos vetoriais

Consideremos um conjunto V e um corpo K, que pode ser (numeros reais) ou (numeros complexos). V e um espaco vetorial sobre K se existirem duas operacoes

as quais satisfazem as seguintes propriedades, onde x e y pertencem a V e α e β a K,

80 Capıtulo 5. Mecanica Quantica e a Algebra Linear

Exemplos1:

1. Seja V o conjunto das n-uplas (x1,...,xn) de numeros complexos. Definindo-se a soma de duas n-uplas e a sua multiplicacao por um complexo atraves de

(x1,, xn) + (y1, ..., yn) ≡ (x + y1, ..., x + yn) , (5.1)
α(x1,, xn) ≡ (αx1, ..., αxn) , (5.2)

e facil verificar que V e um espaco vetorial sobre os complexos.

Este espaco vetorial e chamado de n.

2. Consideremos o conjunto V de todas as funcoes contınuas de quadrado integravel, i.e. as que satisfazem ∫ dnx|Ψ(x)|2 < ∞.

Definindo as operacoes de soma e multiplicacao por um numero complexo atraves de podemos verificar que V e um espaco vetorial sobre . Lembre-se que o palco da acao em Mecanica Quantica e um espaco vetorial ja que o princıpio da superposicao implica que os estados de um sistema formam um espaco vetorial.

1Mostre que estes exemplos sao de espacos vetoriais.

5.2. Operadores lineares 81

5.2 Operadores lineares

Consideremos dois espacos vetoriais V e W sobre o corpo K. Uma funcao

Quando V coincide com W chamamos esta funcao linear de operador linear.

Exemplos:

1. Mostre que se V = W = n, entao, o operador definido atraves

T((x1,, xn)) = (y1, ..., yn) (5.4)

com

e linear se os Tij forem numeros complexos.

2. Para o caso de V e W serem o espaco das funcoes de quadrado integravel, temos que os operadores d dx e multiplicacao por x sao lineares.

5.2.1 Representacao Matricial

Uma propriedade util dos operadores lineares e que podemos representa-los atraves de uma matriz de dimensao igual a dimensao do espaco vetorial. Consideremos o operador linear O que atua no espaco vetorial

82 Capıtulo 5. Mecanica Quantica e a Algebra Linear

V e seja {ei} uma base deste espaco. Tendo em vista que Oei e um vetor de V podemos escreve-lo na base {ej} como

onde os coeficientes da expansao definem uma matriz Oji. A acao de

O sobre qualquer vetor x = ∑ i xiei de V e entao dada por

i xiei = xiOei = ∑ xi

Ojiej = ∑j

Ojixi) ej , ou seja, a componente j do vetor Ox e dada por∑

Note que dada uma base de V podemos representar os vetores de V por matrizes colunas (x1,x2,...) enquanto que os operadores lineares sao dados por matrizes Oji. Mais ainda, a operacao dos operadores O sobre os vetores x e dada por (5.8) que e exatamente a multiplicacao matricial de Oji por xi. No caso em que a dimensao de V e finita temos que este espaco vetorial e equivalente a n. E importante notar que as componentes xi dos vetores, bem como as matrizes Oji dependem da base escolhida para V .

5.3 Produto escalar

Seja V um espaco vetorial sobre o corpo dos numeros complexos. Um produto escalar (ou interno) e uma funcao

satisfazendo

5.3. Produto escalar 83

2. Para quaisquer x, y1 e y2 em V e dois numeros complexos arbitrarios α e β tem-se

3. 〈x|x〉 ≥ 0, sendo a igualdade valida se e somente se x = 0.

Note que as propriedades acima implicam que i.e. o produto escalar e anti-linear na sua primeira entrada enquanto e linear na segunda.

Exemplos:

1. Para V = n podemos definir o produto escalar de x por y atraves

〈x|y〉 = 〈(x1,, xn)|(y1, ..., yn)〉 ≡

Deixamos para o leitor mostrar que a definicao acima satisfaz todas as propriedades requeridas para um produtor escalar.

2. Para o espaco vetorial das funcoes contınuas de quadrado integravel e natural introduzirmos o produto escalar atraves de

o qual e uma generalizacao natural do exemplo 1 acima para o caso do ındice i tornar-se contınuo. Note que este este tipo de integral apareceu com muita frequencia nos capıtulos anteriores. Mais ainda, dizemos que dois vetores x e y sao ortogonais se 〈x|y〉 = 0, o que coincide com a definicao adotada anteriormente.

84 Capıtulo 5. Mecanica Quantica e a Algebra Linear

5.4 Operador hermitiano conjugado

Dado um operador linear A podemos associar a este um outro operador A†, chamado conjugado hermitiano (ou adjunto) de A, o qual satisfaz a seguinte igualdade para quaisquer vetores x e y:

Se desejassemos ser mais cuidadosos deverıamos provar a existencia de A† bem como estudar o seu domınio. Isto e facilmente feito para espacos de dimensao finita ou para operadores A limitados, todavia e necessario um cuidado maior no caso de operadores nao limitados.

Exemplos:

(Parte 1 de 5)

Comentários