cap4 v6

cap4 v6

(Parte 1 de 3)

Capıtulo 4 Exemplos Unidimensionais

Neste capıtulo analisaremos exemplos unidimensionais com o intuito de esclarecer a estrutura geral da Mecanica Quantica, bem como desenvolver a nossa intuicao. Alem disso, desenvolveremos a representacao dos momentos e veremos como devemos tratar os estados nao normalizaveis associados ao espectro contınuo.

4.1 Espectro Discreto

Inicialmente vamos estudar alguns exemplos do problema de autovalores da hamiltoniana impondo que as autofuncoes sejam normalizaveis, isto e, elas sao tais que ∫ dx|u(x)|2 e finita. Neste caso o conjunto de autovalores, que chamamos de espectro, e discreto, isto e, nao e possıvel encontrar dois autovalores arbitrariamente proximos, existindo uma separacao entre eles. Apesar de nao demonstrarmos este fato, ele e geral, nao sendo uma peculiaridade dos exemplos a seguir.

4.1.1 Partıcula numa caixa

Nosso primeiro exemplo sera uma partıcula confinada numa caixa, sendo a hamiltoniana deste sistema dada por

46 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais onde

Uma vez que o potencial e infinito para x > L e x < 0 nao e possıvel a partıcula ser encontrada nessas regioes e consequentemente a autofuncao deve anular-se aı. Alem disso, dado que a autofuncao e contınua, ela anula-se para x = 0 e x = L. Explicitamente, o problema de autovalor para a hamiltoniana acima e dado por

onde esta equacao diferencial deve ser resolvida para a regiao 0 < x < L. Para especificarmos completamente o problema devemos impor a condicao de contorno acima u(0) = u(L) = 0.

Antes de resolvermos este problema e interessante notar que temos tres incognitas, a saber, duas constantes oriundas da solucao de equacao diferencial de segunda ordem e a energia E. Por outro lado, possuimos apenas duas equacoes dadas pelas condicoes de contorno. A constante arbitraria que sobrara da nossa solucao deve vir multiplicando a autofuncao, tendo em vista que um autovetor e determinado a menos de uma constante multiplicativa.

Para E ≤ 0 nao existem solucoes nao nulas de (4.3) que satisfacam as condicoes de contorno.1 Logo, concentremo-nos para valores posi- tivos de E (= h2k2 2m ), para os quais a equacao de Schrodinger indepen- dente do tempo pode ser escrita na forma

A solucao geral desta equacao e u = Aeikx + Be−ikx , (4.5) onde A e B sao constantes. Para que as condicoes de contorno sejam satisfeitas, devemos ter que( 1 1

eikL e−ikL

1Exercıcio: mostre que u = 0 e a unica solucao para E complexo e E ≤ 0.

4.1. Espectro Discreto 47

Uma vez que a autofuncao nao pode ser identicamente nula, podemos deduzir desta ultima expressao que o parametro k deve satisfazer

det ou seja, kn = nπ

onde n e um inteiro (n = 0,±1,±2,...). Portanto, os autovalores da hamiltoniana sao dados por

Utilizando a Eq. (4.6) podemos obter as autofuncoes, as quais sao dadas por

un(x) = An sin

( nπx onde An e uma constante. O valor n = 0 deve ser excluıdo ja que neste caso a autofuncao e identicamente nula. Mais ainda, sendo a funcao seno ımpar nao e necessario considerar n negativo ja que a autofuncao resultante nao e proporcional aquela associada ao inteiro positivo −n.

E conveniente normalizar estes estados, o que fixa An exceto por uma

fase arbitraria. ∫ L

Apresentamos na Fig. 4.1 as tres autofuncoes de energia mais baixa, bem como das respectivas densidade de probabilidade (Pn = |un|2). E importante ressaltar as seguintes propriedades deste conjunto de autovalores e autofuncoes:

• Para cada valor de En existe apenas uma autofuncao, i. e. o espectro nao e degenerado. O fato do espectro discreto ser nao degene- rado e uma propriedade geral de problemas unidimensionais.2

• Note que o estado fundamental, i. e. o de energia mais baixa, nao se anula na regiao 0 < x < L, ao passo que o n-esimo estado excitado

2Prove este resultado.

48 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais

Figura 4.1: Tres estados de energia mais baixa e suas respectivas densidades de probabilidade.

anula-se n vezes neste intervalo. Esta tambem e uma propriedade geral de problemas unidimensionais.

• A seguinte relacao de ortogonalidade e satisfeita

Como demonstramos no capıtulo anterior, este resultado nada mais e do que uma consequencia de H ser um operador hermitiano.

• Neste caso, podemos constatar que qualquer funcao de onda Ψ(x) satisfazendo as condicoes de contorno Ψ(0) = Ψ(L) = 0 pode ser ex-

4.1. Espectro Discreto 49 pressa como uma combinacao linear das autofuncoes do operador hermitiano H:

onde as constantes cp sao dadas por

A verificacao deste fato e imediata, bastando notar que a Eq. (4.12) nada mais e do que a serie de Fourier em seno para Ψ(x) ; lembre-se do curso de Fısica Matematica I.

Aplicacao

Uma vez que ja resolvemos o problema de autovalores da hamiltoniana, calculemos a evolucao temporal de um estado cuja condicao inicial e dada por

bem como as probabilidades de uma medida da energia ter como resul- tado Ep. Nosso primeiro passo e expandir o estado inicial na base das auto- funcoes da hamiltoniana como em (4.12). Uma vez que os estados up estao normalizados convenientemente, utilizando (4.13) temos que

p2π2 sin

Agora a solucao da equacao de Schrodinger que satisfaz esta condicao inicial e

Para visualizar a evolucao temporal deste estado somamos numericamente os 500 primeiros termos nao nulos desta serie para diversos valores de t. Estes resultados estao nas figuras 4.2 e 4.3, as quais foram feitas assumindo L = h = 2m = 1.

50 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais

Figura 4.2: |Ψ(x,t)|2, onde o eixo t (x) encontra-se a esquerda (direita).

Estando de posse da expansao de Ψ(x,t) em autoestados da hamiltoniana, e trivial obter a probabilidade de uma medida da energia ter como resultado Ep e

Este resultado indica que a probabilidade de encontrarmos este sistema no estado fundamental e de 96/π4 ≃ 0,986. Note tambem que estas probabilidades independem do tempo.

4.1. Espectro Discreto 51

4.1.2 Oscilador harmonico

Consideremos agora um oscilador harmonico cuja hamiltoniana e dada por

A equacao diferencial associada ao problema de autovalores Hu = Eu e

Para determinar completamente o problema fısico devemos agora fornecer as condicoes de contorno: Impondo que u seja normalizavel, i.e. que

52 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais

∫∞ −∞ dx |u|2 seja finita, implica que u deve se anular para x → ±∞.

Visando facilitar a notacao expressemos a Eq. (4.20) em termos das variaveis adimensionais

as quais nos permitem escrever que

O comportamento assintotico (y2 ≫ ǫ) das solucoes desta ultima equacao e governado por

cuja solucao aproximada e

Para levar em conta este comportamento e a condicao de contorno, bem como simplificar os calculos posteriores, escrevemos que

Apos substituir esta expressao na Eq. (4.23) obtemos que

Uma vez que u → 0 para y → ±∞, escolheremos h e ǫ tais que estas condicoes sejam satisfeitas.

Neste ponto aplicaremos o metodo de Frobenius para resolver a equacao diferencial (4.27), o que e feito expandindo h em serie de Taylor,

4.1. Espectro Discreto 53 a qual substituıda na equacao (4.27) fornece que ∞∑

Dado que os coeficientes dos yj devem se anular, obtemos a seguinte relacao de recorrencia

Como era de se esperar, obtemos duas solucoes linearmente independentes:

• Uma solucao par (hP) para a qual a0 6= 0 e a1 = 0. Note que esta escolha e a relacao de recorrencia acima garantem que a serie contem apenas as potencias pares de y.

hP(y) = a0 + a2y2 + a4y4 +
hI(y) = a1y + a3y3 + a5y5 +

Com o intuito de determinar qual e a solucao fısica, i.e. qual a que satisfaz as condicoes de contorno, precisamos obter o comportamento assintotico de hP(y) (hI(y)) para y → ±∞. Isto e feito analisando-se a serie (4.28) para grandes j’s. Neste caso temos que aj+2 ≃ 2jaj. E facil demonstrar3 que esta relacao de recorrencia implica que hP(y) ∼ y2ey2

(hI(y) ∼ yey2 ). Este comportamento nao e aceitavel ja que ele conduz a funcoes de onda (u) nao normalizaveis. Logo, para que tenhamos solucoes normalizaveis, a serie deve terminar, i.e. ǫ deve ser tal que a partir de um certo ponto todos os aj sao zero e a serie e na verdade um polinomio. Inspecionando (4.30) vemos que isto ocorre para

onde n = 0,1,2Alem disso, ainda a partir de Eq. (4.30), vemos

54 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais que para n par (ımpar) apenas a serie para hP (hI) termina enquanto que hI (hP) apresenta um comportamento indesejado para y → ±∞.

Portanto, a autofuncao e dada por hP para n par e por hI para nımpar. Visando usar uma notacao padrao para as solucoes do problema, adotaremos as seguintes convencoes:

• Para n par definimos o polinomio de Hermite Hn(y) = hP(y) com

• Para n ımpar definimos o polinomio de Hermite Hn(y) = hI(y) com a escolha

Note que Hn e um polinomio de ordem n. Listamos a seguir os cinco primeiros polinomios de Hermite.4

Finalmente, temos que os autovalores de H sao dados por

e as correspondentes autofuncoes sao

4Para maiores detalhes sobre os polinomios de Hermite vide o apendice deste capıtulo.

4.1. Espectro Discreto 5

E interessante notar que emsmo para o estado fundamental (n = 0) e energia do oscilador e nao nula; isto nada mais e do que uma simples consequencia da relacao de incerteza entre x e p. A figura 4.4 mostra o comportamento dos cinco primeiros autoestados e as respectivas densidades de probabilidades.

Propriedades das autofuncoes do oscilador harmonico

• Uma vez que a hamiltoniana (4.19) e hermitiana, seus autovalores

(En = hω(n + 1/2)) sao reais. Neste problema verificamos isso explicitamente, pois se E fosse complexo, ǫ tambem o seria e a serie (4.28) nao terminaria, e consequentemente, a condicao de contorno nao seria satisfeita.

• Para cada En existe apenas um un, i.e. o espectro nao e degenerado. Este e um fato “geral” do espectro discreto em problemas unidimensionais.

• Os autovalores da energia sao igualmente espacados. Esta e uma peculiaridade do oscilador harmonico que encontra muitas aplicacoes em sistemas de muitos corpos.

• Conforme esta demonstrado no apendice deste capıtulo, autofuncoes associadas a autovalores distintos sao ortogonais, como era esperado do fato de H ser hermitiano. De fato,

• Utilizando a Eq. (4.36) e facil ver que a autofuncao normalizada associada a En = hω(n + 1/2) e dada por

a qual satisfaz ∫ ∞

56 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais

Figura 4.4: Primeiros cinco autoestados do oscilador harmonico. A direita encontram-se os graficos de un(ξ) e a esquerda |un(ξ)|2, onde

4.1. Espectro Discreto 57

• Note que a autofuncao do estado fundamental nao se anula, ao passo que o n-esimo estado excitado anula-se n vezes.

• Supondo que o sistema se encontre no estado Ψn, podemos calcular ∆x e ∆p:

hi d dx

Isto permite verificar que

Note que a autofuncao do estado fundamental do oscilador harmonico minimiza o produto ∆p ∆x.

4.1.3 Poco de potencial Consideremos um sistema descrito pela hamiltoniana

onde

Estudemos o problema de autovalores desta hamiltoniana cujas auto- funcoes sao normalizaveis, i.e. ∫+∞ −∞ dx |u|2 e finita. Como nos exemp- los anteriores, estes autovalores formam um conjunto discreto. Cumpre salientar que este na verdade e um fato geral. A condicao de contorno que vamos utilizar e que u(x) → 0 para x → ±∞.

Para E > 0, a solucao do problema Hu = Eu para x > a e dada por A eikx + B e−ikx , (4.4) onde A e B sao constantes e escrevemos E = h2k2/2m. Como podemos ver, a unica escolha para A e B que satisfaz a condicao de contorno

58 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais u(x) → 0 para x → +∞ e A = B = 0 qualquer que seja o valor de k. Com isto temos que nao existe solucao nao nula para E > 0.5

Analisemos agora o caso −V0 < E < 0 para o qual a equacao de Schrodinger independente do tempo (Hu = Eu) reduz-se a

onde definimos

A solucao geral destas equacoes diferenciais e

onde A, B, C, D, α e β sao constantes a serem determinadas. Neste problema temos sete incognitas (A, B, C, D, α, β e E), ao passo que temos apenas seis equacoes, a saber, duas condicoes de contorno para x → ±∞ e quatro decorrentes da continuidade de u e du dx em x = ±a.

6 Em problemas de autovalores as autofuncoes sao determinadas a menos de uma constante multiplicativa, portanto, os autovalores E serao fixados. Uma vez que u → 0 para x → ±∞, devemos tomar C = D = 0.

Alem disso a continuidade de u(x) para x = ±a implica que( A

= eκa ( sinka coska

−sinka coska enquanto que a continuidade de du dx

= eκa( kcoska −k sinka k coska k sinka

5Mostre em detalhe este fato.

6E importante frisar que du dx e contınua sempre que V (x) nao contiver funcoes δ.

4.1. Espectro Discreto 59

Substituindo a Eq. (4.50) em (4.51) obtemos que( κsinka + k coska κcoska − k sinka

κsinka + k coska −κcoska + k sinka

Para que o sistema possua uma solucao nao trivial (nula) o determinante da matriz acima deve ser nulo, o que fornece

Logo, temos duas possibilidades k sinka = κcoska , (4.54)

Comecemos a nossa analise pela Eq. (4.54). Esta apresenta solucao para ka no primeiro e terceiro quadrantes, onde o seno e o cosseno possuem o mesmo sinal. Quadrando (4.54) para eliminar κ, e usando as Eqs. (4.47) e (4.48) obtemos que

Esta equacao nao pode ser resolvida analiticamante, contudo e facil a partir do seu grafico (linha contınua da figura 4.5) verificar que ela sempre possui uma solucao. Este tambem e um fato geral em problemas unidimensionais, a saber, se o potencial for atrativo, nao importando quao fraco ele seja, sempre existira um estado pertencente ao espectro discreto.

Para obtermos a autofuncao correspondente a esta energia, substituimos o valor de k que e a solucao da Eq. (4.56) em (4.50) e (4.52), obtendo que

Note que, como era de se esperar, a constante indeterminada (β) aparece multiplicando a solucao como um todo, como nos exemplos anteriores.

60 Capıtulo 4. Exemplos Unidimensionais

Mais ainda, podemos mostrar que a solucao com energia mais baixa (menor ka) nunca se anula, ao passo que a segunda solucao, se existir, anula-se duas vezes.

Para determinarmos a existencia do primeiro estado excitado devemos analisar a Eq. (4.5), uma vez que esta e que conduz a solucoes ımpares. Esta equacao possui solucao apenas para ka no segundo e quarto quadrantes onde o seno e o cosseno exibem sinais opostos. Mais uma vez, quadrando-se esta equacao e usando as expressoes (4.47) e (4.48), obtemos que

A partir do seu grafico (linha pontilhada da figura 4.5) podemos notar que para √ 8mV0a2 π2h2 ≤ 1 esta equacao nao possui solucoes. Nos casos em que existe ao memos uma solucao as Eqs. (4.50) e (4.52) conduzem a autofuncao

Exercıcio: Analisando a figura anterior detalhadamente verifique a seguinte propriedade geral de problemas unidimensionais: o estado fun-

4.1. Espectro Discreto 61 damental sempre existe para potenciais atrativos e nao possui zeros, enquanto que o n-esimo estado excitado, se existir, anula-se n vezes.

4.1.4 Potencial delta Analisemos agora o problema de autovalores da hamiltoniana

Mais uma vez vamos procurar autoestados normalizaveis, os quais obedecem a condicao de contorno u(x) → 0 para x → ±∞. A equacao diferencial associada a este problema e

a qual para x 6= 0 toma a forma

ja que a funcao delta anula-se nesta regiao. Para E = h2k2/2m positivo, as solucoes desta equacao diferencial nao sao normalizaveis e portanto devem ser descartadas. Resta-nos entao analisar o caso E = −h2κ2/2m negativo. Neste caso a solucao geral de (4.62) e

(Parte 1 de 3)

Comentários