Introdução à Relatividade Geral: Coordenações, Equações e Energia, Notas de estudo de Física

Baixe Introdução à Relatividade Geral: Coordenações, Equações e Energia e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Uma Análise sobre a Constante Cosmológica Marina von Steinkirch 19 de novembro de 2007 Resumo A Relatividade Geral tem sido a teoria mais adequada para a descrição dos fenômenos gravitacionais em escala astrofísica. Ela é aplicada com sucesso em uma vasta classe de situações, desde a descrição de estrelas isoladas, até a cosmologia (que lida com as maiores distâncias possíveis observadas). Uma das questões mais importantes na cosmologia contem- porânea envolve a possível existência de uma constante cosmológica nas equações de Einstein. A constante cosmológica (λ) foi proposta por Albert Einstein como uma modicação da teoria original da Relatividade Geral para implemen- tar um universo estacionário (eterno e imutável). Ela é um termo que equilibra a força de atração da gravidade tomando a forma de uma força gravitacional repulsiva. Foi adicionada quase como uma "constante de integração"às equações de Einstein. Após a descoberta do deslocamento para o vermelho (redshift), por Edwin Hubble em 1929, e a introdução do paradigma do universo em expansão, Einstein abandonou o conceito declarando que teria sido o pior erro de sua carreira. Hoje em dia, com a descoberta da expansão acelerada do universo, na década de 1990, implicando em uma λ diferente de zero, renovou-se o interesse na constante cosmológica, de forma que ela aparece nas equações de campo modicadas de Einstein como um fator que tem o mesmo efeito de um densidade de energia intrínseca do vácuo. Esse trabalho tem como objetivo introduzir os conceitos matemáticos da Relatividade Geral, e em seguida, aplicá-los no desenvolvimento das equações de Einstein e na inclusão da constante cosmológica, ressaltando as implicações nos modelos cosmológicos vigentes. Sumário 1 Advertência 2 2 Introdução à Relatividade Geral 3 2.1 Relatividade Restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 As Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Energia e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.3 Densidades de Corrente e de Cargas . . . . . . . . . . . . 5 1 2.1.4 Eletrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Tensor Energia-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Análise Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 Vetores e Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 A Conexão Am (Ane Connection) . . . . . . . . . . . . 11 2.3.3 Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.4 Derivadas Covariantes: Gradiente, Rotacional e Divergente 13 2.4 O Princípio de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.1 A Formulação do Princípio de Equivalência . . . . . . . . 14 2.4.2 Forças Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.3 O Limite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.1 Denição do Tensor de Curvatura . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.2 Propriedades Algébricas de Rλµνκ . . . . . . . . . . . . . 19 2.5.3 As Identidades de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 As Equações de Einstein 20 3.1 Derivação das Equações de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Teoria de Brans-Dike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Condições de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 O Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 O Modelo Padrão da Cosmologia 30 4.1 O Princípio Cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 A Métrica Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 O Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Contagem de números de fontes no Universo . . . . . . . . . . . . 34 4.5 O Estado Cosmológico Estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.6 O Modelo Padrão da Cosmologia e seus Dilemas . . . . . . . . . 36 5 A Constante Cosmológica 38 5.1 O Problema da Falta de Energia no Universo . . . . . . . . . . . 38 5.2 Modelos com uma Constante Cosmológica . . . . . . . . . . . . . 41 5.3 Constante Cosmológica Forte - Modelo de De Sitter . . . . . . . 45 5.4 Constante Cosmológica Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.5 Outros Modelos: Lemaître e Eddington-Lemaître . . . . . . . . . 47 5.6 Qual é o modelo (a equação de estado) do universo? . . . . . . . 48 6 Conclusão 48 1 Advertência O seguinte capítulo, Introdução à Relatividade Geral, (capítulo 2), fornece a base instrumental para o estudo das Equações de Einstein (capítulo 3), do Modelo Padrão da Cosmologia (capítulo 4) e, nalmente, do desenvolvimento 2 A razão de (11) e (12) dá a útil relação para todas as partículas: p E = v (15) Por m, para partículas sem massa, como o fóton, tem-se (em unidades naturais) v2 = 1 e m = 0, e (11) e (12) se tornam indeterminadas, mas valerá a razão (15), tal que E = |p| (16) 2.1.3 Densidades de Corrente e de Cargas Supondo-se um sistema de partículas com posição xn(t) e cargas en. As densi- dades de carga e de correntes são denidas por J(x, t) ≡ ∑ enδ 3(x− xn(t)) dxn(t) dt (17) ρ(x, t) ≡ ∑ enδ 3(x− xn(t)) (18) Onde δ3 é a função delta de Dirac em três dimensões. Une-se J e ρ em um quadrivetor Jα fazendo J0 ≡ ρ (19) Ou seja, Jα(x) ≡ ∑ enδ 3(x− xn(t)) dxαn(t) dt (20) Uma propriedade importante é a derivação da equação de continuidade, ∇.J(x, t) = ∑ en ∂ ∂xi δ 3(x− xn(t))dx i n(t) dt = − ∑ en ∂ ∂xin δ3(x− xn(t))dx i n(t) dt = − ∑ en ∂ ∂tδ 3(x− xn(t)) = − ∂∂tρ(x, t) (21) ou, eu uma linguagem quadri-dimensional ∂ ∂xα Jα(x) ≡ 0 (22) Onde ca evidente a invariância de Lorentz. Sempre que qualquer corrente Jα(x) satisfaz a lei de conservação dada por (22), pode-se escrever a carga total como Q ≡ ∫ d3xJ0(x) (23) 5 E essa quantidade é independente do tempo, já que, pelo teorema de Gauss, tem-se dQ dt = ∫ d3x ∂ ∂x0 J0(x) = − ∫ d3x∇.J(x) = 0 (24) O resultado é zero porque tem-se que J −→ 0 se |x| −→ ∞. 2.1.4 Eletrodinâmica As equações de Maxwell no vácuo para os campos elétrico e magnéticos, E e B, produzidos por uma dada densidade de carga ρ e uma densidade de corrente J são (em S.I.): ∇.E = ρ (25) ∇.B = 0 (26) ∇×E = −∂B ∂t (27) ∇×B = ∂E ∂t + J (28) As propriedades das transformações de Lorentz em E e B cam evidentes quando se introduz uma matriz Fαβ , denida por F 12 = B3 F 23 = B1 F 31 = B2 F 01 = E1 F 02 = E2 F 03 = E3 Fαβ = - Fαβ Dessa maneira, as equações (25) e (26) podem ser escritas como ∂ ∂xα Fαβ = −Jβ (29) E, da mesma forma, as equações (27) e (28) cam εαβγδ ∂ ∂xβ Fγδ = 0 (30) onde Fγδ é denido por Fγδ ≡ ηγαηδβFαβ (31) e εαβγδ é o símbolo de Levi-Civita dado por 6 εαβγδ = +1 se αβγδ é permutação par de 0123 εαβγδ = -1 se αβγδ é permutação ímpar de 0123 εαβγδ = 0 se outro caso Como Jα é um quadrivetor, conclui-se que Fαβ é um tensor, tal que F ′αβ = λαγλ β δF γδ (32) Já que, se Fαβ é solução das equações (29) e (30), então (32) será a solução no sistema de coordenadas tranformado por Lorentz. Por m, a equação (30) permite representar Fγδ como o rotacional de um quadrivetor Aγ , tal que Fγδ = ∂ ∂xγ Aδ − ∂ ∂xδ Aγ (33) Esse último resultado é muito útil no eletromagnetismo. 2.2 Tensor Energia-Momento Semelhantemente à denição de densidade de carga elétrica, ρ, e corrente de carga elétrica, J, têm-se as denições de densidade e corrente de um quadrivetor de energia-momento pα. Considerando um sistema de partículas n, com quadrivetor pαn(t), dene-se a densidade de pα como Tα0(x, t) ≡ ∑ pαn(t)δ 3(x− xn(t)) (34) A corrente é dada por Tαi(x, t) ≡ ∑ pαn(t) dxin(t) dt δ3(x− xn(t)) (35) Essas duas denições são unidas em uma única equação dada por Tαβ(x) = ∑ pαn dxβn(t) dt δ3(x− xn(t)) (36) (onde x0n≡ t). Da relação (15) tem-se pβn = En dxβn dt (37) Assim, a equação (36) também pode ser escrita como Tαβ(x) = ∑ pαnpβn En δ3(x− xn(t)) (38) de forma que ele também é simétrico Tαβ(x) = T βα(x) (39) 7 2.2.1 Spin Uma importante uso do tensor energia-momento é para denir o spin e o mo- mento angular. Considerando-se, primeiramente, um sistema isolado para o qual o tensor total energia-momento é conservado (equação (41)), pode-se construir outro tensor Mγαβ ≡ xαT βγ − xβTαγ (54) Mas Tαγ é conservado e simétrico, logo, M é conservado: ∂ ∂xγ Mγαβ = T βα − Tαβ = 0 (55) E o momento angular total, que inclue o momento angular orbital (com respeito a algum centro de rotação) é dado por Jαβ = ∫ d3xM0αβ = −Jβα (56) Isolando-se a parte interna de Jβα, pode-se denir um quadrivetor de spin Sα ≡ 1 2 εαβγδJ βγU δ (57) onde εαβγδ é tensor antissimétrico de Levi Civita (na sessão "Eletrodinâmica") e Uα ≡ p α (−pβpβ) 1 2 (58) é quadrivelocidade so sistema. 2.3 Análise Tensorial 2.3.1 Vetores e Tensores O elemento mais simples de qualquer regra de transformação tensorial é o es- calar, que simplesmente não muda sob transformações gerais de coordenadas. Exemplos de escalares são os números reais ou o tempo próprio dτ (equações (4), (96), (99)). Os próximos elementos mais simples são os vetores contravariantes, V µ, que sob uma transformação de coordenada xµ → x′µ se transformam com V ′µ = V ν ∂x′µ ∂xν (59) E as regras de diferenciação parcial dão dx′µ = ∂x′µ ∂xν dxν (60) 10 Logo, a coordenada diferencial é um vetor contravariante. Para vetores covariantes, Uµ , a tranformação é semelhante U ′µ = ∂xν ∂x′µ Uν (61) Pode-se, agora, generalizar-se para tensores, tal que, para a transformação de coordenada xµ → x′µ, tem-se: T ′µν λ = ∂x′µ ∂xκ ∂xρ ∂x′ν ∂x′λ ∂xσ Tκρ σ (62) O exemplo mais importante é o tensor métrico (100) para um sistema geral de coordenadas xµ: gµν ≡ ηαβ ∂ξα ∂xµ ∂ξβ ∂xν Onde ξα é um sistema de coordenadas localmente inercial. Em outro sistema de coordenadas, x′µ, o tensor métrico é g′µν = ηαβ ∂ξα ∂x′µ ∂ξβ ∂x′ν = ηαβ ∂ξα ∂xρ ∂xρ ∂x′µ ∂ξβ ∂xσ ∂xσ ∂x′ν e assim, g′µν = gρσ ∂xρ ∂x′µ ∂xσ ∂x′ν (63) O inverso do tensor métrico é um vetor contravariante, tal que ambos são construídos sob a relação com o delta de Kronecker: gλµgµν = δλν (64) 2.3.2 A Conexão Am (Ane Connection) Juntamente com as propriedades da análise tensorial nas denições das leis físicas têm-se alguns elementos que são importantes e que não se apresentam como tensores, dando-se destaque à Conexão Am, que já foi introduzida em (45) e para um sistema de coordenadas localmente inercial, ξα é denida como: Γλνµ ≡ ∂xλ ∂ξα ∂2ξα ∂xν∂xµ (65) A Conexão não é um tensor e, passando xν para outro referencial x′ν , tem-se: Γ′λνµ = ∂x′λ ∂ξα ∂2ξα ∂x′ν∂x′µ = ∂x ′λ ∂ξα ∂2ξα ∂x′ν∂x′µ = ∂x ′λ ∂xρ ∂xρ ∂ξα ∂ ∂x′ν ( ∂xσ ∂x′ν ∂ξα ∂xσ ) = ∂x ′λ ∂xρ ∂xρ ∂ξα [ ∂xσ ∂x′ν ∂xτ ∂x′µ ∂2ξα ∂x′τ∂x′σ + ∂2xσ ∂x′µ∂x′ν ∂ξα ∂xσ ] (66) 11 Logo, Γ′λνµ = ∂x′λ ∂xρ ∂xτ ∂x′µ ∂xσ ∂x′ν Γρτσ + ∂x′λ ∂xρ ∂2xρ ∂x′µ∂x′ν (67) O termo da esquerda é o que se esperaria se Γλνµ fosse um tensor, mas percebe-se um segundo termo não homogêneo. Esse termo pode ser escrito de outra maneira, utilizando a identidade: ∂x′λ ∂xρ ∂xρ ∂x′ν = δλν (68) Diferenciando a equação acima com respeito a x′µ: ∂x′λ ∂xρ ∂2xρ ∂x′µ∂x′ν = − ∂x ρ ∂x′ν ∂xσ ∂x′µ ∂2x′λ ∂xρ∂xσ (69) A equação (67) pode então ser escrita como: Γ′λνµ = ∂x′λ ∂xρ ∂xτ ∂x′µ ∂xσ ∂x′ν Γρτσ − ∂xρ ∂x′ν ∂xσ ∂x′µ ∂2x′λ ∂xρ∂xσ (70) Essa equação também seria encontrada se fosse realizada primeiramente a transformação inversa x′ e depois resolvido para Γ′λνµ. 2.3.3 Derivada Covariante Primeiramente, seja V µ um tensor contravariante, cuja lei de transformação é: V ′µ = ∂x′µ ∂xν V ν (71) Derivando-se em relação à x′λ têm-se: ∂V ′µ ∂x′λ = ∂x′µ ∂xν ∂xρ ∂x′λ ∂V ν ∂xρ + ∂2x′µ ∂xν∂xρ ∂xρ ∂x′λ V ν (72) Conseqüentemente, ∂V µ ∂xλ não é um tensor, porém, utilizando a equação (70): Γ′µλκV ′κ = [ ∂x′µ ∂xν ∂xρ ∂x′λ ∂xσ ∂x′κ Γνρσ − ∂2x′µ ∂xρ∂xσ ∂xρ ∂x′λ ∂xσ ∂x′κ ] ∂x′κ ∂xη V η (73) Portanto: Γ′µλκV ′κ = ∂x′µ ∂xν ∂xρ ∂x′λ ΓνρσV σ − ∂ 2x′µ ∂xρ∂xσ ∂xρ ∂x′λ V σ (74) Somando-se (72) com (74) a parte não homogênea se cancela e obtêm-se: ∂V ′µ ∂x′λ + Γ′µλκV ′κ = ∂x′µ ∂xν ∂xρ ∂x′λ ( ∂V ν ∂xρ + ΓνρσV σ) (75) Segue então a denição de derivada covariante: 12 mN d2xN dt2 = mNg+ ∑ M F(xN − xM ) (92) Ante uma transformação não-Galileana do espaço e do tempo: x′ = x− 1 2 gt2 t = t (93) Cancela-se g através de uma "força"inercial: mN d2xN dt2 = ∑ M F (xN − xM ) (94) De maneira que as leis físicas serão iguais (isto é, equivalentes) nos dois refer- ências, a despeito do observador O dizer que sente um campo gravitacional g e O' dizer que não. O que o princípio de equivalência diz é que esse cancelamento da força gravitacional por uma força inercial ocorrerá em qualquer sistema físico em quedra-livre, mesmo que não se tenha uma descrição tão simples como na (92) (mas, por enquanto, esse é apenas os efeitos de um campo gravitacional estático e homogêneo, e a forma nal do princípio de equivalência ainda não pôde ser apresentada). O efeito de um campo gravitacional variável pode ser ilustrado pelo movi- mento de dois corpos em queda-livre nas proximidades do planeta. Eles se aproximariam durante o movimento de descida, tendendo a se encontrar no centro de massa da Terra. Apesar do campo gravitacional não ser realmente anulado por forças inerciais, o efeito ainda pode ser observado considerando apenas uma parcela muito pequena do espaço-tempo, tão pequena que se pode considerá-la como um referencial localmente inercial. Aqui é interessante notar a proximidade do que foi dito sobre Relatividade Geral e a geometria não-Euclideana, proposta por Gauss. Segundo Gauss, para qualquer ponto em uma curva, pode-se encontrar um sistema de coordenadas cartesiano, onde as leis da geometria plana de Euclides são satisfeitas. E, se- gundo o princípio de equivalência, em qualquer ponto do espaço-tempo é possível de se encontrar um referencial localmente inercial, onde as leis de Newton são satisfeitas. 2.4.2 Forças Gravitacionais Considera-se uma partícula movendo-se livremente sobre a inuência de forças gravitacionais. De acordo com o Princípio de Equivalência, há um sistema de coordenada em queda livre ξα em que a equação de movimento é uma linha reta no espaço-tempo, d2ξα dτ2 = 0 (95) com dτ o tempo próprio (denido em (4)) dτ2 = −ηαβdξαdξβ (96) 15 Supondo-se, agora, que um outro sistema de coordenadas xµ, e a equação (95) se torna 0 = d dτ ( dξα dxµ dxµ dτ ) = dξα dxµ d2xµ d2τ + ∂2ξα ∂xµ∂xν dxµ dτ dxν dτ Multiplicando por ∂xλ/∂ξα, tem-se a equação de movimento d2xλ dτ2 + Γλµν dxµ dτ dxν dτ = 0 (97) O elemento Γλµν é o coeciente de conexão am, denido em (65). O tempo próprio (96) pode ser também expresso em um sistema de coorde- nadas arbitrário, dτ2 = −ηαβ ∂ξα ∂xµ dxµ ∂ξβ ∂xν dxν (98) ou ainda, dτ2 = −gµνdxµdxν (99) onde gµν é o tensor métrico denido por gµν ≡ ∂ξα ∂xµ ∂ξβ ∂xν ηαβ (100) O tensor métrico, ou métrica, é um tensor simétrico que é usado para medir a distância e descrever a geometria de um espaço. Ou seja, ele transmite todas as informação sobre estrutura causal e geométrica do espaço-tempo. Usando a métrica pode-se denir noções como distâncias, volume, ângulos, passado, futuro e curvatura. Em outros termos, dada uma variedade plana, escolhe-se o tensor sobre os espaços tangentes à variedade. Em um ponto dado sobre a variedade, este tensor leva um par de vetores no espaço tangente ao ponto, e encontra um número real. Este conceito é exatamente como um produto pontual ou produto interno. No primeiro tópico desse capítulo, na denição de relatividade restrita, houve em (2) a introdução de um tensor métrico especial: ηαβ , chamado de tensor de Minkowski. 2.4.3 O Limite Newtoniano Para estabelecer o contato com a teoria de Newton, considera-se o caso de uma partícula movendo-se vagarosamente em um campo gravitacional fraco esta- cionário. A equação do movimento (97) era 0 = d2xλ dτ2 + Γλµν dxµ dτ dxν dτ 16 Se a partícula é sucientemente lenta, omite-se o termo dxdτ em comparação a dtdτ , e pode-se escrever d2xµ dτ2 + Γµ00( dt dτ )2 = 0 (101) Como o campo é estacionário, todas as derivadas temporais de gµν desapare- cem e, assim, Γµ00 = − 1 2 gµν ∂g00 ∂xν Finalmente, sendo o campo fraco, adota-se coordenadas cartesianas, tal que gαβ = ηαβ + hαβ |hαβ |  1 (102) De maneira que, em primeira ordem de hαβ , Γα00 = 1 2 ηαβ ∂h00 ∂xβ Utilizando-se de tais resultados nas equações de movimento, tem-se d2x dτ2 = 1 2 ( dt dτ )2∇h00 d2 dτ2 = 0 Na solução da segunda equação, dtdτ é igual a uma constante, então divide-se a equação para d 2x dτ2 por ( dt dτ ) 2, e é possível encontrar d2x dt2 = 1 2 ∇h00 (103) Finalmente, o resultado Newtoniano correspondente é d2x dt2 = −∇φ (104) onde φ é o potencial gravitacional que, a uma distância r do centro de um corpo esférico de massa M, toma a forma φ = −GM r (105) Comparando-se com as duas relações anteriores, conlclui-se que h00 = −2φ+ constante (106) Além disso, o sistema de coordenadas deve se tornar cartesiano a grandes distâncias, então h00 desaparece no innito e, denindo-se φ de modo a também desaparecer no innito, é possível concluir que a constante que resta é nula, então h00 = −2φ e, por m, retornando-se à métrica gαβ , g00 = −(1 + 2φ) (107) 17 2.5.3 As Identidades de Bianchi O tensor de curvatura obedece importantes identidades diferenciais. Dado um ponto x, adotando um sistema de coordenadas localmente inercial em que Γλµν vai a zero em x, pela equação (115) tem-se Rλµνκ;η = 1 2 ∂ ∂xη [ ∂2gλν ∂xκ∂xµ − ∂ 2gµν ∂xκ∂xλ − ∂ 2gλκ ∂xν∂xµ + ∂2gµκ ∂xν∂xλ ] Permuntando-se ν, κ e η ciclicamente, obtem-se as identidades de Bianchi Rλµν;η +Rλµην;κ +Rλµκη;ν = 0 (120) Essas equações são em geral covariantes e, dessa forma, se elas são ver- dade em sistemas inercias, elas são verdade em todos os casos gerais. Como as derivadas covariantes de gλν são nulas, tem-se tambén que (contraindo λ com ν): Rµκ;η −Rµη;κ +Rνµκη;ν = 0 (121) Contraindo-se novamente, resulta-se em R;η −Rµη;µ +Rνη;ν = 0 (122) ou ainda (Rµη − 1 2 δµηR);µ = 0 (123) E, em uma forma também útil, (Rµν − 1 2 gµνR);µ = 0 (124) 3 As Equações de Einstein 3.1 Derivação das Equações de Campo As equações de campo para a gravitação são bem mais complicadas do que as para o eletromagnetismo. As equações de Maxwell são lineares porque o campo eletromagnético não carrega carga em si, porém o campo gravitacional carrega energia e momento. Ou seja, as equações de campo gravitacionais serão equações diferenciais parciais não lineares e a não lineariedade representa o efeito da própria gravitação. Previamente foi visto que é possível lidar com os efeitos não-lineares pelo Princípio de Equivalência. Em qualquer ponto X em um campo gravitacional arbitrariamente forte, pode-se denir um sistema de coordenadas localmente inercial que respeite gαβ(X) = ηαβ (125) 20 ( ∂gαβ(x) ∂xγ )x=X = 0 (126) Para um x perto de X, o tensor da métrica gαβ pode se diferenciar de ηαβ apenas por termos quadráticos em x − X. Neste sistema de coordenadas, o campo gravitacional é fraco perto de X e só é possível descrevê-lo por equações diferenciais parciais lineares. E uma vez que é sabido quem são essas equações de campo-fraco, pode-se achar as equações gerais do campo revertendo as transfor- mações de coordenadas que fazem o campo fraco. Infelizmente, há muito pouca informação empírica sobre as equações de campo-fraco: a radiação gravitacional é tão fracamente gerada e absorvida pela matéria que ainda não foi detectada. Em um campo estático fraco produzido por uma densidade de massa não- relativística ρ, a componente tempo-tempo do tensor métrico é aproximada- mente dado por (106): g00 ' −(1 + 2φ), onde φ é o potencial Newtoniano, determinado pela equação de Poisson ∇2φ = 4πGρ (127) A densidade de energia T00 para matéria não-relativística é igual a sua den- sidade de massa, T00 ' ρ (128) Somando as equações (127) e (128) tem-se ∇2g00 = −8πGT00 (129) Essa equação de campo serve apenas para campos estáticos fracos gerados pela matéria não-relativística, e nem é sequer invariante de Lorentz. Porém (129) mostra que as equações de campo-fraco para uma distribuição geral Tαβ de energia e momento tomam a forma de Gαβ = −8πGTαβ (130) Onde Gαβ é uma combinação linear da métrica e suas primeiras derivadas. Segue-se do princípio de equivalência que as equações que governam os campos gravitacionais de uma força arbritária devem ter a forma Gµν = −8πGTµν (131) onde Gµν é um tensor que se reduz a Gαβ para campos fracos. Em geral, há uma variedade de tensores Gµν que podem ser formados dos tensores métricos e seus derivados, e que reduzem-se ao limite campo-fraco para um dado Gαβ . Exapandindo-se Gµν em uma soma de produtos de derivadas da métrica, pode-se classicar cada termo de acordo com o número total N de derivadas das componentes da métrica (por exemplo, um termo com N=3 pode- ria ser linear na terceira derivada da métrica, ou um produto de três primeiras derivadas). Assim, Gµν deve ter dimensões de uma segunda derivada, e cada termo do tipo N 6= 2 aparece multiplicado com uma constante de dimensão de comprimento na potência N - 2. Esses termos serão negligenciáveis para campos 21 gravitacionais de escalas de espaço-tempo sucientemente grandes ou pequenos, se N > 2 ou N < 2, respectivamente. Assim, para remover a ambigüidade em Gµν , assume-se que as equações do campo gravitacional são uniformes na escala, e, assim, apenas termos com N = 2 são permitidos. Finalmente, as propriedades necessárias para achar Gµν são tais que: (A) é um tensor (por denição). (B) tem apenas termos com N = 2 derivadas da métrica. (C) como Tµν é simétrico, então Gµν também é. (D) como Tµν é conservado, então Gµν também é (Gµν;µ = 0). (E) para um campo fraco estacionário produzido por matéria não relativística, a componente de (131) deve se reduzir para (129), e também no limite: G00 ∼= ∇2g00 (132) Já foi exposto, no capítulo anterior, que a maneira mais geral de construir um campo que satisfaça (A) e (B) é pela contração do tensor de curvatura Rλµνκ. A propriedade de anti-simetria de Rλµνκ diz que só há dois tensores que podem ser formados pela contração de Rλµνκ, que são o tensor de Ricci(118) e o escalar de curvatura (R = Rµµ). E, dessa forma, (A) e (B) fazem com que Gµν tenha a forma Gµν = C1Rµν + C2gµνR (133) onde C1 e C2 são constantes. Usando a identidade de Bianchi (equação (123)) encontra-se a divergência covariante de Gµν como Gµν;µ = ( C1 2 + C2)R;ν (134) e (D) permite duas possibilidades: ou C2 = −C12 ou R;ν vai a zero em qualquer lugar. Rejeita-se a segunda possibilidade, já que (133) e (131) dão Gµµ = (C1 + 4C2)R = −8πGTµµ (135) E se R;ν ≡ ∂R∂xν vai a zero, então ∂Tµµ ∂xν também deve ir a zero (que é o próprio caso da presença de matéria não-relativística inomogênea). Conclue-se que C2 = −C12 , e (133) se torna Gµν = C1(Rµν − 1 2 gµνR) (136) Finalmente, usa-se (E) para xar C1. Um sistema não-relativístico sempre tem |Tij |  |T00|, então, usando (136), tem-se 22 que é um resultado muito próximo do valor 1G = 1, 35 · 10 28g cm−1. Então, normalizando φ, < φ >' 1 G (153) É importante notar que λ deve ser uma grandeza adimensional, não muito diferente de 1, e adotando uma postura mais realista , Brans e Dike cogitaram a possibilidade de que as equações de campo gravitacional corretas deveriam ser obtidas substituindo G por 1/φ e incluindo o tensor de energia-momento Tµνφ para a nova fonte de gravidade, o campo φ: Rµν − 1 2 gµνR = 8π φ [TµνM + T µν φ ] (154) Porém, seguindo essa idéia, perde-se resultados muitos bons obtidos pelo Princípio de Equilavência, como, por exemplo, a igualdade das massas gravita- cional e inercial. Para não abrir mão disso, Brans e Dike colocaram a restrição de que apenas gµν e não φ deve entrar nas equações de movimento de partículas e fótons. Assim, a equação que descreve a troca de energia entre matéria de gravitação permanece a mesma da teoria de Einstein: TµM ν;µ ≡ ∂TµM ν ∂xµ + ΓµµρT ρ M ν − Γ ρ µνT µ M ρ = 0 (155) O lado esquerdo da equação (154) desaparece pela divergência covariante e, usando as identidades de Bianchi (122), então multiplicando por φ e tomando a divergência covariante (88), tem-se (Rµν − 1 2 δµνR)φ;µ = −8πT µ φ ν;µ (156) Com isso, determina-se completamente o tensor Tµφ ν . O tensor simétrico mais simples que pode ser construído com termos que envolvem uma ou duas derivadas do campo φ e do próprio φ é Tµφ ν = A(φ)φ µ ; φ;ν +B(φ)δ µ νφ;ρφ ρ ; + C(φ)φ µ ; ;ν + δ µ νD(φ) 2φ (157) Que resulta em Tµφ ν;µ = [A ′(φ) +B′(φ)]φµ; φ;νφ;µ + [A(φ) +D′(φ)]φ;ν2φ + [A(φ) + 2B(φ) + C ′(φ)]φµ; ;νφ;µ + D(φ)(2φ);ν + C(φ)2(φ;ν) (158) O primeiro termo da equação (156) é determinada pela equação (113) como φ;ρR σ ν = φ µ ; ;µ;ν − φµ;ν; ;µ = (2φ);ν −2(φ;ν) (159) 25 E tomando o traço da (154) e usando a (151), encontra-se R = 8π φ { 1 4πλ 2φ+ (A(φ) + 4B(φ))φµ; φ;µ(C(φ) + 4D(φ)) 2φ} (160) e, então, o lado esquerdo da (156) é (Rµν − 12δ µ νR)φ;µ = ( 2φ);ν −2(φ;ν)− 4π φ φ;ν{( 1 4φλ + C(φ) + 4D(φ)) 2φ+ (A(φ) + 4B(φ))φµ; φ;µ} (161) Comparando-se os coecientes de (2φ);ν e 2(φ;ν) e φ;ν2φ e φµ; φ;µφν e φµ; ;νφ;µ nas equações (159) e (161), tem-se que a (156) exige 1 = −8πD(φ) −1 = −8πC(φ) −4π φ { 1 4πλ + C(φ) + 4D(φ)} = −8π(A(φ) +D′(φ)) −4π φ (A(φ) + 4B(φ)) = −8π(A′(φ) +B′(φ)) 0 = A(φ) + 2B(φ) + C(φ) A única solução é A(φ) = ω 8πφ B(φ) = − ω 16πφ C(φ) = 1 8π D(φ) = − 1 8π onde ω é uma constante adimensional conveniente dada por ω = 1 λ − 3 2 ou λ = 2 3 + 2ω (162) As equações de campo (151) e (154) agora cam como 2φ = 8π 3 + 2ω TµM µ (163) Rµν− 1 2 gµνR = − 8π φ TMµν− ω φ2 (φ;µφ;ν− 1 2 gµνφ;ρφ ρ ; )− 1 φ (φ;µ;ν−gµν2φ) (164) 26 Como se quer que λ seja da ordem da unidade, espera-se, também, que ω também o seja. Mas se ω é muito maior que isso, então a (163) dá 2φ = 0(1/ω), e assim φ =< φ > +0( 1 ω ) = 1 G + 0( 1 ω ) (165) e por isso a (164) dá Rµν − 1 2 gµνR = −8πGTMµν + 0( 1 ω ) (166) Assim a teoria de Brans-Dike recai na de Einstein para ω tendendo a innito. 3.3 Condições de Coordenadas O tensor de Einstein Gµν tem 10 componentes independentes, logo, as equações de campo de Einstein (145) têm 10 equações algebricamente independentes. O tensor métrico desconhecido tem ainda 10 componentes independentes, e as equações de Einstein não são sucientes para determinar gµν univocamente. Apesar de algebricamente independentes, as 10 Gµν são relacionadas por 4 identidades diferenciais, as identidades de Bianchi Gµν;µ = 0 (equação (123)). Assim, não há 10 equações independentes, mas apenas 10 - 4 = 6, deixando quatro graus de liberdade em 10 valores desconhecidos de gµν . Esses graus de liberdades correspondem ao fato de que se gµν é uma solução da equação de Einstein, então g′µν também é, onde g ′ µν é determinado de gµν por uma trans- formação geral de coordenadas x → x′. E essa transformação de coordenadas envolve quatro funções arbritárias x′µ(x), dando as soluções de (145) apenas como graus de liberdade. A falha das equações de Einstein para a determinação de gµν univocamente é quase como o caso das equações de Maxwell em determinar o potencial vetor Aµ univocamente. Quando escrita em termos do potencial vetor, as equações de Maxwell, a partir de (29) e (33), dão 2Aα − ∂2 ∂xα∂xβ Aβ = −Jα (167) Há quatro equações para quatro variáveis, mas elas não determinam Aα univocamente, porque o lado esquerdo das igualdades são relacionados por uma identidade diferencial semelhante às identidades de Bianchi, ∂ ∂xα (2Aα − ∂ 2 ∂xα∂xβ Aβ) ≡ 0 (168) Ou seja, há apenas um grau de liberdade na solução para os quatro Aα e esse grau de liberdade corresponde à invariância de gauge (dada qualquer solução Aα, pode-se achar outra solução A′α ≡ Aα + ∂λ/∂xα) com um λ arbitrário. As ambigüidades nas soluções das equações de Maxwell e Einstein podem ser removidas usando "força bruta". No caso das equações de Maxwell, escolhe-se um gauge em particular, como o gauge de Lorentz. Da mesma forma, pode-se 27 de coordenadas harmônico discutido na sessão anterior, a segunda derivada de√ ggµ0 pode ser determinada derivando a (172) com respeito ao tempo: ∂2 ∂(x0)2 ( √ ggµ0) = − ∂ 2 ∂x0∂xi √ ggµi (178) e as 10 equações (177) e (178) são sucientes pra determinar todas as segun- das derivadas temporais de gµν . Quando o problema de valor inicial é resolvido dessa forma, as condições (176) precisam ser impostas uma vez. As identidades de Bianchi e a conservação da energia e do momento mostram que sendo ou não satisfeitas, as equações de Einstein devem apresentar (Gµν + 8πGTµν);ν = 0 (179) Aplicando-se isso em x0 = t, impondo-se (176) e determinando-se as se- gundas derivadas de (177), a quantidade entre parênteses será nula para todo x0 = t. Dessa maneira, tem-se ∂ ∂x0 (Gµ0 + 8πGTµ0) = 0 (180) e os campos calculados nos instantes posteriores x0 = t+ dt irão automati- camente satisfazer as condições (176). 4 O Modelo Padrão da Cosmologia 4.1 O Princípio Cosmológico A ciência moderna começa com a descoberta de que a Terra não está no centro do universo. O anti-antropocentrismo foi incorporado na mentalidade cientíca, de forma que, agora, não haveria mais quem sugerisse que a Terra, ou o sistema solar, ou a galáxia, ou o grupo local de galáxias, ocupassem qualquer posição privilegiada no cosmos. Grande parte da teoria cosmológica é construída sobre o Princípio Cos- mológico: a hipótese de que qualquer posição no universo é essencialmente equilavente, ou seja, em grandes escalas, o universo é considerado Homogêneo e Isotrópico. Ambos princípios são, certamente, uma conseqüência da uniformi- dade em que a matéria e a radiação estão distribuídas no universo. Um espaço isotrópico é tal que todas as direções são equivalentes para qual- quer lei fundamental da física como, por exemplo, a inércia de um corpo (que é independente das direões de movimento) ou o poder de atração de uma carga elétrica. Naturalmente, a homogeneidade do universo deve ser compreendida da mesma forma como a homogeneidade de um gás: isso não de aplica ao universo em detalhe, mas apenas a porções do universo de dimensões típicas de 108 ou 109 anos luz, que são grandes o suciente para comportar diversos aglomerados de galáxias. 30 Um espaço homogêneo é aquele em que todas as regiões são equivalentes, i.e. que todas as leis da física são a mesma em todas as partes dos cosmo. Matematicamente representa-se esse princípio pela covariância por translação dos eixos. Além disso, aparentemente, o universo tem simetria esférica e, pelo Princípio Cosmológico, o universo particionado é anisotrópico em torno de todo ponto. A questão sobre o porquê da simetria esférica do universo e de sua homogeneidade em todo o tempo ainda permanece e, talvez, esse seja apenas um estado tem- porário na sua história. Existe a sugestão de que o universo poderia ter sido al- tamente anisotrópico no começo, mas essas anisotropias foram sendo suavizadas pela ação da viscosidade de neutrinos e outros efeitos dissipativos. Entretanto, mesmo nesse tipo de teoria, o universo foi altamente isotrópico e homogêneo em toda sua história acessível à observações astronômicas. A verdadeira razão para o uso do Princípio Cosmológico não é a de que ele esteja inteiramente correto, mas que ele permite fazer uso das informações extremamente limitadas que se tem da observação astronômica. Se os dados não corresponderem às espectativas, pode-se, ao menos, concluir que tanto o Princípio de Equivalência quanto o Princípio Cosmológico estariam errados. Uma extensão desse princípio é utilizado na teoria do estado estacionário, chamado Princípio Cosmológico Perfeito (descrito em capítulo adiante), que arma que todos os observadores vêem a mesma estrutura do cosmo em todos os tempos. O dados observacionais refutam essa última teoria. 4.2 A Métrica Robertson-Walker A métrica de Robertson-Walker é dada por dτ2 = dt2 −R2(t){ dr 2 1−kr2 + r 2dθ2 + r2 sin2 θφ2} (181) onde R(t) é uma função desconhecida do tempo, e k é uma constante que, por uma escolha conveniente de unidades para r, pode ter o valor de +1, 0 ou -1 (espaço nito-fechado, innito-plano e innito-aberto, respectivamente). Uma visão mais clara acerca do comportamento da matéria sob a métrica de Robertson-Walker é obtida pela aplicação do Princípio Cosmológico nos ten- sores que descrevem o estado médio da matéria cósmica, como o tensor de energia-momento Tµν , e a corrente de galáxias JµG (denida de maneira comple- tamente análoga à corrente elétrica). Todos esses tensores devem ter sua forma invariante ante mudanças de coordenadas. Essas isometrias são puramente es- paciais, transformando J tG e T tt em 3-escalares, J iG e T it em 3-vetores e T ij em 3-tensores. Isto é, devem seguir as identidades abaixo: J tG = nG(t) J i G = 0 (182) Ttt = ρ(t) Tit = 0 Tij = gijp(t) (183) 31 onde nG, ρ e p são quantidades desconhecidas que podem depender de t, mas não das outras coordenadas. Pode-se escrever esses resultados de maneira mais elegante com JµG = nGU µ (184) Tµν = (ρ+ p)UµUν + pgµν (185) onde Uµ é uma quadrivelocidade (como em (58)), tal que U t ≡ 1 U i ≡ 0 (186) A equação (186) mostra que o conteúdo do universo, em média, está em repouso no sistema de coordenadas (r, θ, φ). A equação (185) mostra que o tensor energia-momento do universo tem a forma de um uido perfeito já que o tensor energia momento de um uido perfeito é dado por T β = pηαβ + (p+ ρ)UαUβ (187) Por m, sabe-se que o tensor de energia-momento do universo obedece a lei de conservação (equação (43)): 0 = Tµν;ν = ∂p∂xν g µν + g−1/2 ∂∂xν {g 1/2(ρ+ p)UµUν}+ Γµνλ(p+ ρ)UνUλ (188) Para µ = r, θ, φ, a equação é satisfeita de forma trivial, enquanto que para µ = t tem-se R3(t) dp(t) dt = d dt {R3(t)[ρ(t) + p(t)]} (189) E, se a pressão da matéria cósmica é negigenciável (e ela é!), então (189) dará R3(t)ρ(t) = constante (190) 4.3 O Redshift O redshift ocorre quando a radiação eletromagnética que é emitida ou reetida por algum objeto no universo é deslocada para um comprimento de onda (λ) menor (que, pela equaão de Planck, E = hν, é menos energética), como pode ser visto na gura (1). z = λobservado − λemitido λemitido (191) Um exemplo simples de redshift observável é devido ao efeito Doppler Rel- ativístico, que ocorre quando a luz se move em um referencial com velocidade diferente (υ) de outro referencial onde está o observador e deve respeitar as transformações de Lorentz (que denem γ, equação (13)), 32 N(< z, l >) = ∫ ∞ 0 dL ∫ t0 max(tz,t1(L)) 4πR2(t1)r2(t1)n(t1, L)dt1 (201) onde os limites inferiores, dados pelas condições no redshift e na luminosidade aparente, são denidos por R(tz) ≡ R(t0) (1 + z) (202) r2(tl) R2(tl) ≡ L 4πlR4(t0) (203) Se os redshifts não são observados, então a quantidade de interesse é o número N(>l) de fontes com luminosidade aparente maior que l, que podem ser calcu- lados com o limite inferior em (201) a ser exatamente tl(L). Se a luminosidade aparente não é observada, então a quantidade de interesse é o número N(<z) de fontes com redshift menor que z, que podem ser calculadas tomando o limite inferior em (201) para ser apenas tz. 4.5 O Estado Cosmológico Estacionário O trabalho desenvolvido até então teve como base o Princípio Cosmológico, de que o universo é homogêneo e simetricamente esférico. Hermann Bondi e Thomas Gold foram um passo além, propondo que o universo obedece a um Princípio Cosmológico Perfeito, ou seja, permanece o mesmo não só em todos os pontos e em todas as direções, como também em todos os tempos. Essa proposta leva ao modelo de Estado Estacionário do Universo (Steady State). A constante de Hubble (H0) em função do fator de escala (R(t)) é um parâmetro observável e, dessa maneira, deve ser independente do tempo atual (t0) no modelo em questão. Com H denotando o valor permanente da constante de Hubble, tem-se Ṙ(t) R(t) = H (204) e, assim, R(t) = R(t0)eH(t−t0) (205) Em geral, o parâmetro de desaceleração do universo é dado por q0 ≡ −R̈(t0) R(t0) Ṙ2(t0) (206) Nesse modelo, o parâmetro de desaceleração assume o valor permanente q q ≡ − R̈R Ṙ2 = −1 (207) 35 Para determinar k (contante que dene o formato do universo), usa-se a relação geral entre R(t) e a luminosidade-distância versus função red-shift dL(z) t0 − t = ∫ [eH(t0−t)−1] 0 1 1 + z [1− k R2(t0) 1 (1 + z)2 d2L(z)] 1 2 d dz [ 1 1 + z dL(z)]dz Como dL(z) é um observável, ele deve agora ser independente de t0. Assim, para que a integral dependa apenas de t − t0, não de t ou t0 separadamente, é necessário que k = 0 (208) E essa métrica, que é um caso especial de Robert-Walker, nalmente, resulta dτ2 = dt2 −R2(t0)e2H(t−t0){dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2} (209) 4.6 O Modelo Padrão da Cosmologia e seus Dilemas O modelo padrão da cosmologia é baseado no Princípio Cosmológico e nas Equações de Einstein. O comportamento do modelo derivado da métrica de Robertson-Walker (181) prediz o futuro do universo, que depende criticamente de sua curvatura (k). Se o universo for aberto (k = −1), expandirá-se para sempre e se for fechado (com volume nito, k = +1), em algum momento se contrairá. Além disso, a curvatura depende da relação entre a densidade de energia presente, ρ0, e a densidade de energia crítica 2, ρc = 3H2 8πG (210) Sendo que ρc ' 1.9 × 10−29gcm−3, e o universo é considerado aberto se ρ0 < ρc e fechado se ρ0 > ρc. Inicialmente, ρ0 deveria ser dado pela massa de repouso da matéria comum bariônica (Ωb). Se fosse assim, o universo seria aberto se o fator de desaceleração, q0 (equação (206)), fosse menor que 12 , ou fechado se ele fosse maior. Porém, as constatações observacionais garantem que q0 ≈ 1, criando um dilema com a densidade de massa observada nas galáxias, que é consideravelmente menor do que ρc. Fazendo-se que a densidade de massa atual do Universo seja escrita como [20], ρ0 = 1.9× 10−29Ωh0gcm−3 onde h0 = H0/100 (211) 2Essas são soluções generalizadas dos modelos de Friedmann-Lemaître, que serão intro- duzidos no próximo capítulo. 36 Figura 2: Universo fechado ou aberto [18]. Onde Ω indica a contribuição de todas as formas de matéria e energia do universo, e atribuindo-se as seguintes siglas: b = matéria bariônica e dm = matéria escura (dark matter), tem-se Ω = ρ0 ρc Ω = Ωb + Ωdm + Ωdesconhecido (212) A partir de observações, verica-se que a matéria visível no Universo, na forma de galáxias e seus constituintes (estrelas, gás, poeira) correspondem a so- mente Ω = 0.05 (gura 3 do próximo capítulo). Entretanto, há muita evidência da existência de matéria escura (Ωdm), principalmente através de efeitos grav- itacionais, que mostram, por exemplo: (1) que as galáxias espirais nas suas partes externas giram mais rapidamente do que o esperado se a matéria que as constituem fosse somente a visível; (2) que as galáxias dentro dos aglomerados também têm velocidades orbitais maiores do que a esperada se a massa total do aglomerado fosse somente a visível; (3) que aglomerados de galáxias se comportam como lentes gravitacionais com massa muito maior do que a estimada a partir da luz visível. Assim, estima-se que a matéria escura corresponda a Ωdm = 0.35. Para Ω = 1, ainda estariam faltando 0.6, o que poderia ser devido a uma constante cosmológica não nula, ou "energia escura", representado por Ωde, ou ainda uma "quintessência", cuja contribuição seria representada por ΩL, enquanto que a contribuição da matéria é representada por Ωm. Outro dilema importante que surge com o modelo padrão é que qualquer universo isotrópico, homogêneo e governado pelas equações de Einstein, deve ter se iniciado de uma singulariedade de densidade innita. Datando-se dessa 37 Figura 4: O diagrama mostra a provável evolução das componentes do universo desde o seu surgimento, no Big Bang, indicando que a força de repulsão (inverso à atração gravitacional) da energia escura aumento com a evolução do tempo do universo. [23]. cosmológica, ou energia de vácuo. Uma constante cosmológica λ, cuja pressão pλ = −ρλ = −λ/(8πG) causa a aceleração da expansão do universo, poderia dar conta dos 70% da densidade de energia faltantes, sem interferir com a formação de galáxias (já que se trata de uma constante cosmológica, ela não possui nem induz inomogeneidades nos outros campos de matéria). Entretanto, a constante cosmológica padece de graves diculdades [14, 15]: - o problema do ajuste no: a escala de energia de vácuo é dezenas de ordens (120!!!) de magnitude menor que as escalas conhecidas em física de partículas elementares. - o problema da coincidência: por que a constante cosmológica estaria se tor- nando dominante justamente nesta época (nos últimos cinco bilhões de anos) e não em qualquer outra? Se ela dominasse qualquer outra época, não se for- mariam estruturas [3] no universo. 40 Figura 5: O diagrama mostra como deveria ser o fundo de microondas do universo nos três casos possíveis, o primeiro, correspondente a um universo plano (conrmado pelas observações), de forma que o universo tem a densidade crítica. Caso a massa do universo fosse muito maior, ou muito menor, o tamanho das regiões de diferentes temperaturas, que aparecem em azul e amarelo pareceria maior ou menor, respectiva- mente. [21]. 5.2 Modelos com uma Constante Cosmológica Quando Einstein formulou a teoria da Relatividade Geral, em 1916, acreditava que o universo era estático. Considerando suas equações em uma métrica para um universo isotrópico e homogêneo, ou seja, a forma dada pela métrica de Robertson-Walker (181): gtt = −1, git = 0, gkj = R2(t)g̃ij(x) (213) Onde t é uma coordenada cósmica de tempo, i e j são as coordenadas espaci- ais comóveis (r,θ e ϕ), e g̃ij é a métrica para o espaço maximalmente simétrico: g̃rr = (1− kr2)−1 g̃θθ = r2 g̃ϕϕ = r2sen2θ g̃ij = 0, para i 6= j (214) com k igual a +1, -1 ou 0. Os únicos elementos que não vão a zero para essa métrica são Γtij = RṘg̃ij Γitj = Ṙ Rδ i j Γijk = 1 2 (g̃ −1)il(∂g̃lj ∂xk + ∂g̃lk∂xj − ∂g̃jk ∂xl ) ≡ Γ̃ijk (215) Seus tensores de Ricci (equação (118))têm os elementos 41 Rtt = 3R̈R Rti = 0 Rij = R̃ij − (RR̈+ 2Ṙ2)g̃ij (216) onde R̃ij é o tensor de Ricci espacial calculado da métrica g̃ij R̃ij = ∂Γ̃ki ∂xj − ∂Γ̃ij ∂xk + Γ̃kliΓ̃ l kj − Γ̃kijΓ̃lkl (217) Para não haver a necessidade de se calcular R̃ij diretamente (o que daria muito trabalho), basta lembrar que g̃ij é uma métrica de um espaço maximal- mente simétrico e, dessa forma, o tensor de Ricci toma a forma de: Rσρ = 1 N gσρR λ λ (218) E assim tem-se: R̃ij = −2kg̃ij (219) Juntamente com (216), tem-se as componentes do espaço - espaço de um tensor espaço - tempo de Ricci, Rij = −(RR̈+ 2Ṙ2 + 2k)g̃ij (220) Mas o tensor energia-momento deve ter, como foi visto em (187), a forma de um uido perfeito Tµν = pgµν + (p+ ρ)UµUν (221) Onde p e ρ são funções de t, e Uµ é dado por (186). O termo que representa uma fonte nas equações de Einstein é, então, Sµν ≡ Tµν − 1 2 gµνT λ λ Sµν = 1 2 (ρ− p)gµν + (p+ ρ)UµUν (222) E (213), (186) e (222) resultam em Stt = 1 2 (ρ+ 3p) (223) Sit = 0 (224) Sij = 1 2 (ρ− p)R2g̃ij (225) Finalmente, com as equações de Einstein (de (145)), Rµν = −8πGSµν 42 constante cosmológica se tornou uma possibilidade lógica para a dinâmica do universo. Pensando em modelos com pressão zero, tem-se que (229) resulta em ρR3 constante, e é conveniente expressar essa constante em termos do valor que se teria em um universo Estático de Einstein: ρR3 = α 4πG √ λ (242) E a equação dinâmica (228), com ρ substituida pela densidade modicada ρ̃ resulta em Ṙ2 = 1 R [ λR3 3 − kR+ 2α 3 √ λ ] (243) Assim, o comportamento de R(t) nessa última equação (gura 6) depende de várias maneiras do fator do lado direito, e há três casos de interesse: Figura 6: Escala de R(t) (distância média entre as galáxias, por exemplo), dependente do tempo, em vários cenários. Com H=H0 em t=t0 (tempo atual), com k = +1 o universo seria fechado e nito (e colapsaria em algum futuro), com k=-1, o universo seria aberto e innito, e com k=0, plano e innito. O universo de de Sitter é um cenário exponencial com uma grande [2]. 5.3 Constante Cosmológica Forte - Modelo de De Sitter Incluindo nas equações (226) e (228) (que são as equações de Friedmann) o termo da constante cosmológica, tem-se 45 R̈ R = −4πG 3 (ρ+ 3p) + λ 3 (244) onde, para p = ω3 ρ, pode-se escrever R̈ R = −4πG 3 ρ(1 + ω) + λ 3 (245) E, a segunda equação, H2 ≡ ( Ṙ R )2 = 8πG 3 ρ− k R2 + λ 3 (246) Supondo-se ρ = k = 0 (universo plano e sem matéria), tem-se que H2 = ( Ṙ R )2 = λ 3 (247) e também, R̈ R = λ 3 (248) Nesse caso, as duas equações (que representam a velocidade e a aceleração do fator de escala R(t)) têm o mesmo termo nos seus respectivos lados direitos e, ainda, a aceleração é positiva. Para descobrir que tipo de densidade daria o mesmo resultado, faz-se k = 0 apenas, H2 = ( Ṙ R )2 = 8πG 3 ρ (249) e R̈ R = 8πG 3 ρ (250) que é verdade apenas para ω = −3 ou p = −ρ. Da equação de conservação ρ̇ = −3H(ρ + p), isso só acontece se ρ = constante. Ou seja, uma densidade constante com a equação de estado p = −ρ age exatamente a uma Constante Cosmológica. A solução é automaticamente uma inação exponencial, chamada de modelo de de Sitter. Nesse modelo, o espaço é vazio e plano, tal que k = α = 0, e λ > 0 (na verdade, além disso, a constante cosmológica deve ter um valor muito grande, tal que λ  1, e chama-se de Constante Cosmológica Forte). A solução de (243) é simplesmente R ∝ eHt (251) H = ( λ 3 )1/2 (252) A métrica aqui é a mesma que em um modelo de estado estacionário com a diferença que, ao invés da matéria ser criada continuamente, apenas não há matéria. Assim, esse modelo não pode ser encarado como um modelo real- ista do universo, apesar de que, em última instância, todos os outros modelos cosmológicos tendem ao modelo de de Sitter para R tendendo ao innito. 46 5.4 Constante Cosmológica Fraca Em contrapartida ao modelo anterior, pode-se também haver densidades que dão uma aceleração positiva (i.e. inação) mas não dão a mesma velocidade e aceleração nos lados direitos de (246) e (245). A aceleração é garantida se ω < −1, o que dá p < −1/3ρ. Ou seja, pressão negativa resulta em inação, porém, a inação devido a ω < −1 não será exponencial, mas um pouco mais fraca, e esse modelo chama-se de Constante Cosmológica Fraca. Essa constante é mais legítima a ser a constante cosmológica real, já que, diferentemente da Forte, ela pode variar, ou seja, λ = 8πGρvacuo, pode variar. 5.5 Outros Modelos: Lemaître e Eddington-Lemaître No modelo de Lemaître, o espaço é positivamente curvado, λ é positivo e há mais matéria presente do que em um modelo estático de Einstein. Tem-se que k = +1, e α > 1. De acordo com a equação (243), o fator de escala R se expande a partir de t = 0 com t2/3, mas a expansão, então, vai lentamente, atingindo uma razão mínima em R = α1/3/ √ λ em que Ṙ tem seu mínimo. Durante esse período, a equação diferencial (243) com k= +1 toma a seguinte aproximação Ṙ2 ' α2/3 − 1 + ( √ λR− α1/3)2 E a solução é R = α1/3√ λ [1 + (1− α−2/3)1/2sinh( √ λ(t− tm))] (253) onde tm é o tempo em que Ṙ chega ao seu mínimo. Se α é quase igual a 1, então R será quase igual ao valor do universo estático de Einstein para um tempo grande, na ordem de 4t = λ−1/2[ln(1− α−2/3)] (254) O modelo de Eddington-Lemaître é o caso limite dos modelos de Lemaître. Tem a mesma curvatura e massa do modelo estático de Einstein (k= +1 e α = 1), e se comporta como um modelo de Lemaître com um período innitamente longo. Assim, se em t = 0, tem-se R = 0, então R se aproxima assintóticamente ao valor de Einstein 1/ √ λ para t → ∞. Por outro lado, se em t = 0 se tem R = 1/ √ λ, então R crescerá monotonicamente aproximando-se, no nal, ao crescimento exponencial de de Sitter (251), causando um modelo de Einstein instável, já que se ele está sujeito a uma expansão ou contração innitesimal, então R deve expandir ou contrair, com uma dependência no tempo dada pelo modelo de Eddington-Lemaître. 47 tividade Geral prediz que o conteúdo de energia e massa do universo cria uma curvatura no espaço-tempo. Porém, se o espaço-tempo tem curvatura na ausên- cia de fontes de massa e energia, e essa curvatura não é devida a energia de vácuo, então resta saber o que a gera. Considerando-se a constante cosmológ- ica, o espaço-tempo tem uma curvatura intrínsica constante. Assim, um dos grandes desaos cientícos da era atual é justamente con- rmar (ou refutar) e explicar esse cenário tão exótico, tornando, atualmente, a cosmologia uma área de pesquisa extremamente excitante. Referências [1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (1972). [2] M. Roos, An Introduction to Cosmology (2003). [3] J. Horvath et al., Cosmologia Física (2006) [4] J. W. Norbury, General Relativity and Cosmology for Undergraduates (2006) [5] Mustapha Ishak, Remarks on the formulation of the cosmological con- stant/dark energy problem, astro-ph/0504416v2. [6] S. White and M. Rees,Mon. Not. R. Astron. Soc. 183:311 (1978); C. Frenk, S. White and M. Davis, Nature 317: 595 (1985); 2dFGRS Team (Will J. Percival et al.), astro-ph/0206256. [7] J. Ostriker and P. Steinhardt, Nature 377: 600 (1995). [8] N. Bahcall, J. Ostriker, S. Perlmutter and P. Steinhardt, Science 284: 1481 (1999); L. Wang, R. Caldwell, J. Ostriker and P. Steinhardt, Astrophys. J. 530: 17 (2000). [9] S. Perlmutter et al, Nature 391: 51 (1998); A. Riess et al, Astron. J. 116: 1009 (1998). [10] I. Waga and J. Friemann, Phys. Rev. D62: 043521 (2000);A. Balbi et al., Astrophys. J. 547: L89-L92 (2001). [11] P. de Bernardis et al., Nature 404: 955 (2000); C. Nettereld et al., astro- ph/0104460. [12] S. Hanany et al., Astrophys. J. 545: 5 (2000). [13] A. Jae et al., Phys. Rev. Lett. 86: 3475-3479 (2001). [14] S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61:1 (1989). [15] S. Carroll, Living Rev. Rel. 4: 1 (2001), astro-ph/0004075. 50 [16] Página disponível em http://fma.if.usp.br/ steinkirch/lectures/ProjetoMestrado.pdf. [17] Página disponível em http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2001-1/index.html, último acesso em 18/11/2007. [18] Página disponível em http://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological-constant, último acesso em 18/11/2007. [19] Página disponível em http://www.lsst.org/Science, último acesso em 10/11/2007. [20] Página disponível em http://www.astro.queensu.ca/ dursi, último acesso em 10/11/2007. [21] Página disponível em http://www.if.ufrgs.br/ thaisa/s2003/darkenergy/darkenergy.html, úl- timo acesso em 19/11/2007. [22] Página disponível em http://cosmicvariance.com/2006/11/16/dark-energy-has-long-been-dark- energy-like/, último acesso em 19/11/2007. [23] Página disponível em http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2006/52/image/d/, úl- timo acesso em 19/11/2007. [24] Página disponível em http://arxiv.org/abs/astro-ph/0611572 , último acesso em 19/11/2007. 51