2007 cte cosmologica

2007 cte cosmologica

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Uma Análise sobre a Constante Cosmológica

Marina von Steinkirch 19 de novembro de 2007

Resumo

A Relatividade Geral tem sido a teoria mais adequada para a descrição dos fenômenos gravitacionais em escala astrofísica. Ela é aplicada com sucesso em uma vasta classe de situações, desde a descrição de estrelas isoladas, até a cosmologia (que lida com as maiores distâncias possíveis observadas). Uma das questões mais importantes na cosmologia contemporânea envolve a possível existência de uma constante cosmológica nas equações de Einstein.

A constante cosmológica (λ) foi proposta por Albert Einstein como uma modificação da teoria original da Relatividade Geral para implementar um universo estacionário (eterno e imutável). Ela é um termo que equilibra a força de atração da gravidade tomando a forma de uma força gravitacional repulsiva. Foi adicionada quase como uma "constante de integração"às equações de Einstein. Após a descoberta do deslocamento para o vermelho (redshift), por Edwin Hubble em 1929, e a introdução do paradigma do universo em expansão, Einstein abandonou o conceito declarando que teria sido o pior erro de sua carreira.

Hoje em dia, com a descoberta da expansão acelerada do universo, na década de 1990, implicando em uma λ diferente de zero, renovou-se o interesse na constante cosmológica, de forma que ela aparece nas equações de campo modificadas de Einstein como um fator que tem o mesmo efeito de um densidade de energia intrínseca do vácuo.

Esse trabalho tem como objetivo introduzir os conceitos matemáticos da Relatividade Geral, e em seguida, aplicá-los no desenvolvimento das equações de Einstein e na inclusão da constante cosmológica, ressaltando as implicações nos modelos cosmológicos vigentes.

Sumário 1 Advertência 2

2.1 Relatividade Restrita3
2.1.1 As Transformações de Lorentz3
2.1.2 Energia e Momento4
2.1.3 Densidades de Corrente e de Cargas5

2 Introdução à Relatividade Geral 3 1

2.2 Tensor Energia-Momento7
2.2.1 Spin10
2.3 Análise Tensorial10
2.3.1 Vetores e Tensores10
2.3.2 A Conexão Afim (Affine Connection)1
2.3.3 Derivada Covariante12
2.4 O Princípio de Equivalência14
2.4.1 A Formulação do Princípio de Equivalência14
2.4.2 Forças Gravitacionais15
2.4.3 O Limite Newtoniano16
2.5 Curvatura18
2.5.1 Definição do Tensor de Curvatura18
2.5.2 Propriedades Algébricas de Rλµνκ19
2.5.3 As Identidades de Bianchi20
3.1 Derivação das Equações de Campo20
3.2 Teoria de Brans-Dike24
3.3 Condições de Coordenadas27
3.4 O Problema de Cauchy29

3 As Equações de Einstein 20

4.1 O Princípio Cosmológico30
4.2 A Métrica Robertson-Walker31
4.3 O Redshift32
4.4 Contagem de números de fontes no Universo34
4.5 O Estado Cosmológico Estacionário35
4.6 O Modelo Padrão da Cosmologia e seus Dilemas36

4 O Modelo Padrão da Cosmologia 30

5.1 O Problema da Falta de Energia no Universo38
5.2 Modelos com uma Constante Cosmológica41
5.3 Constante Cosmológica Forte - Modelo de De Sitter45
5.4 Constante Cosmológica Fraca47
5.5 Outros Modelos: Lemaître e Eddington-Lemaître47
5.6 Qual é o modelo (a equação de estado) do universo?48

1 Advertência

O seguinte capítulo, Introdução à Relatividade Geral, (capítulo 2), fornece a base instrumental para o estudo das Equações de Einstein (capítulo 3), do Modelo Padrão da Cosmologia (capítulo 4) e, finalmente, do desenvolvimento de Constante Cosmológica (capítulo 5), de forma que os tópicos escolhidos em 2 estão diretamente relacionados com as citações e os raciocínios desenvolvidos em 3, 4 e 5. Todos esses quatros capítulo são baseados em [1].

Finalmente, o capítulo final, Conclusão, (capítulo 6) tece uma ampla análise sobre a Constante Cosmológica e os modelos cosmológicos, envolvendo várias outras referências. 1

2 Introdução à Relatividade Geral

2.1 Relatividade Restrita 2.1.1 As Transformações de Lorentz

O princípio da relatividade restrita afirma que as leis da natureza são invariantes sob um grupo de transformações de coordenadas do espaço-tempo, chamadas de transformações de Lorentz. Essas caracterizam-se por uma mudança de um sistema de coordenadas do espaço-tempo xα para outro sistema x′α , tal que onde aα e λα β são constantes, restritas às condições λαγλβδηαβ ≡ ηγδ (2) com

Os índices gregos tomam valores de 1,2,3 (coordenadas cartesianas) e 0 (coordenada temporal) e, usando unidades naturais (tal que a velocidade da luz é igual a um), tem-se que xα tem dimensão de comprimento. Qualquer índice que aparecer repetido na forma covariante (embaixo) e contravariante (em cima) é entendido como uma soma (notação de Einstein). Como por exemplo, a equação (1) não contraída:

Uma outra importante propriedade é a invariância do tempo próprio dτ, definida por

Em um novo sistema de coordenadas x′α , as coordenadas diferenciais são

1 Esse trabalho está no sistema natural de unidades, onde a velocidade da luz é 1.

dx′α ≡ λαγdxγ (5) e o tempo próprio neste novo sistema

= −ηαβλαγλβdxγdx = −ηγdxγdx tem-se portanto

Por fim, a velocidade da luz é constante em todos os referenciais inerciais, de forma que seu tempo próprio é sempre zero.

2.1.2 Energia e Momento Na forma quadrivetorial, pode-se definir o quadrivetor energia-momento como pα ≡ m dxα dτ (8)

De forma que a segunda lei de Newton fica dpα

Mas da equação (4) tem-se que onde v ≡ dx dt . Logo, as componentes espaciais de pα são na forma do vetor

A componente no tempo é a própria energia p0 = E = mγ (12) Onde γ é o fator de Lorentz dado por γ ≡ dt dτ

Manipulando-se (1) e (12), elimina-se a velocidade, de forma que se obtém a relação entre energia e momento

A razão de (1) e (12) dá a útil relação para todas as partículas:

Por fim, para partículas sem massa, como o fóton, tem-se (em unidades a razão (15), tal que

2.1.3 Densidades de Corrente e de Cargas

Supondo-se um sistema de partículas com posição xn(t) e cargas en. As densidades de carga e de correntes são definidas por

Onde δ3 é a função delta de Dirac em três dimensões. Une-se J e ρ em um quadrivetor Jα fazendo

Ou seja,

dt (20)

Uma propriedade importante é a derivação da equação de continuidade,

ou, eu uma linguagem quadri-dimensional

Onde fica evidente a invariância de Lorentz. Sempre que qualquer corrente

Jα(x) satisfaz a lei de conservação dada por (2), pode-se escrever a carga total como

E essa quantidade é independente do tempo, já que, pelo teorema de Gauss, tem-se

2.1.4 Eletrodinâmica

As equações de Maxwell no vácuo para os campos elétrico e magnéticos, E e B, produzidos por uma dada densidade de carga ρ e uma densidade de corrente J são (em S.I.):

As propriedades das transformações de Lorentz em E e B ficam evidentes quando se introduz uma matriz Fαβ , definida por

Dessa maneira, as equações (25) e (26) podem ser escritas como

E, da mesma forma, as equações (27) e (28) ficam

onde Fγδ é definido por

Fγδ ≡ ηγαηδβFαβ (31) e εαβγδ é o símbolo de Levi-Civita dado por εαβγδ = +1 se αβγδ é permutação par de 0123 εαβγδ = -1 se αβγδ é permutação ímpar de 0123 εαβγδ = 0 se outro caso

Como Jα é um quadrivetor, conclui-se que Fαβ é um tensor, tal que

F′αβ = λαγλβδFγδ (32)

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