Topicos em Teoria Quantica de Campos, Manuais, Projetos, Pesquisas de Física

Baixe Topicos em Teoria Quantica de Campos e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física, somente na Docsity! TÓPICOS EM TEORIA QUÂNTICA DOS CAMPOS 1 N. F. Svaiter Centro Brasileiro de Pesquisas F́ısicas - CBPF Rua Dr. Xavier Sigaud 150, Rio de Janeiro-RJ, 22290-180, Brasil 1Curso apresentado na VI Escola do Centro Brasileiro de Pesquisas F́ısicas 1 Prefácio Neste curso apresentaremos alguns aspectos importantes da teoria quântica dos campos. Quero enfatizar que grande parte do material apresentado está bastante influenciado pelas linhas de pesquisa que segui nestes últimos vinte anos. Entendo que não somente é mais fácil falar daquele tópico onde obtivemos algum resultado, mas também que se existe a possibilidade de se conhecer algum assunto e realmente saber do quê e sobre o quê estamos falando, este assunto deve fazer parte da própria linha de pesquisa. Apesar do conhecimento ser sempre incompleto, neste simples fato esta fundamentada a fonte do progresso cient́ıfico. Gostaria de agradecer especialmente a alguns colaboradores, B. F. Svaiter, L. H. Ford, M. Novello, A. P. C. Malbouisson, V. de Lorenci, R. de Paola, G. Anãnos e G. Flores Hidalgo por terem compartilhado comigo as preocupações cient́ıficas que me acompanharam durante todos estes anos. 2 Introdução : os triunfos e as limitações da teoria quântica dos campos A teoria dos campos quantizados, desenvolvida por Dirac, Fermi, Fock, Heisenberg, Jordan, Wigner e outros, é uma fusão da mecânica quântica com a teoria da relatividade especial. Os pilares desta teoria são o prinćıpio de superposição dos estados quânticos com a interpretação probabiĺıstica dos valores esperados e o prinćıpio de localidade que descarta as influências acausais. Campos, que são distribuições que tomam valores num espaço de operadores (”operator-valued distributions”), definidas num domı́nio denso com um espaço de Hilbert, comutam para distâncias do tipo-espaço [Φ(x),Π(x)]|x0=x0 ′ = i δ3(~x− ~x ′), onde Π(x) é o operador momento canonicamente conjugado ao campo Φ(x). Apesar de seu grande sucesso inicial, uma dificuldade fundamental foi apontada ainda na década de trinta do século passado. No cálculo de amplitudes de transição de processos, encontramos resultados divergentes. Este problema foi resolvido após a segunda grande guerra, devido a esforços de Dyson, Feynman, Salam, Schwinger, Tomonaga, Wick e muitos outros [1], onde a teoria de perturbação num regime de acoplamento fraco para o cálculo de amplitudes de transição de processos foi desenvolvida e os resultados divergentes foram controlados por um esquema de regularização e renormalização. 2 em espaços curvos e em coordenadas curviĺıneas, no espaço-tempo de Minkowski, apareceram na literatura. O mais famoso destes resultados foi obtido por Hawking [7] e posteriormente rederivado por Hawking e Hartle [8]. Estes autores demonstraram que, devido a efeitos quânticos, um buraco negro é capaz de emitir radiação térmica. Na verdade as análises de Hawking mostram que a temperatura β−1 de um buraco negro, medida por observadores no infinito espacial, é igual à superf́ıcie de gravidade do horizonte (”surface gravity of the horizon”) dividida por 2π. Para um buraco negro de Schwarzschild de massa M , teremos que no infinito espacial β = 8πM . Desta forma a temperatura medida por observadores no infinito espacial é dada por β−1 = 1 8πM . Não é dificil perceber que este mecanismo torna o sistema termodinamicamente instável. Esta instabilidade aparece pois se, por flutuações, o buraco negro absorve radiação térmica do ambi- ente, sua massa aumenta e conseqüentemente sua temperatura diminui. O sistema evolui numa direção onde o buraco negro esfria absorvendo cada vez mais radiação térmica do ambiente. Com este mecanismo, a massa do buraco negro aumenta sem limite. Ou se existe um limite, qual é este limite? Como veremos, existe um efeito não análogo ao efeito Hawking, mas com muitos pontos em comum, só que num espaço-tempo sem curvatura, isto é, no espaço-tempo de Minkowski. Na ver- dade este resultado, que um buraco-negro pode emitir radiação térmica devido a efeitos quânticos, apareceu após um intenso estudo de campos quantizados em espaços-tempo curvos. Alguns anos antes Fulling, estudando a quantização de campos em referenciais não-inerciais, sob a orientação de Wightman, obteve um importante resultado [9]. Ele demonstrou que no espaço-tempo de Minkowski, um observador uniformemente acelerado é capaz de construir uma adequada repre- sentação da álgebra dos operadores onde a definição de part́ıcula associada ao campo quantizado pode ser implementada [10]. Em outras palavras, para observadores uniformemente acelerados, o conceito de part́ıcula associada ao campo quantizado está operacionalmente bem definido. Lembre- mos que a teoria dos campos quantizados foi desenvolvida como uma fusão da mecânica quântica com a teoria da relatividade especial. Desta forma, a prinćıpio a quantização canônica pode ser implementada apenas por observadores inerciais. O resultado de Fulling estende a validade da quantização para observadores genéricos, inerciais ou não. É claro que esta representação da álgebra dos operadores, com o seu espaço de Hilbert dos estados não é unitariamente equivalente a uma outra representação, distinta desta, constrúıda por observadores inerciais. O resultado acima descrito está simplesmente baseado no fato de que no espaço-tempo de Minkowski existe um número infinito de representações unitariamente não-equivalentes da álgebra dos operadores, que postulamos para implementarmos a quantização dos campos clássicos. A situação é ı́mpar, e ocorre somente quando tratamos de sistemas que necessitam ser descritos por um número infinito de graus de liberdade. Para sistemas que são descritos por um número finito de graus de liberdade (N <∞, onde N é o número de coordenadas generalizadas do sistema) todas as representações irredut́ıveis de uma algebra A são unitariamente equivalentes [11]. Assim, vemos claramente que para N <∞ a descrição f́ısica de um sistema não depende da representação, que 5 pode ser escolhida por conveniência. Para N = ∞ podemos ter duas representações irredut́ıveis de A que não são unitariamente equivalentes. Este problema é conhecido na literatura como o problema da representação em teoria quântica dos campos (”representation problem in quantum field theory”). Na verdade, esta é a grande cŕıtica que von Neumann faz á teoria quântica dos campos, a saber, de ter que conviver com número infinito de representações unitariamente não- equivalentes da álgebra dos operadores [12]. Como a quantização canônica de qualquer campo clássico está apoiada nas equações de movi- mento, na álgebra dos operadores e finalmente na construção do espaço de Hilbert dos estados f́ısicos, as part́ıculas associadas a um campo quantizado passam a ser dependentes do estado de movimento do observador que implementa a quantização canônica. Uma outra forma de inter- pretar o resultado obtido por Fulling é o seguinte: para um observador uniformemente acelerado, que constrói uma representação da álgebra dos operadores adequada à sua situação, o estado fun- damental (”ground state”) associado a um campo quantizado não é o vácuo de Minkowski. Este estado de mais baixa energia é chamado de vácuo de Rindler, e tem uma energia mais baixa que a do vácuo de Minkowski. Desta forma o observador uniformemente acelerado percebe o vácuo de Minkowski com um estado de energia mais alta do que seu estado fundamental, isto é, o vácuo de Rindler. Esta situação pedia um minucioso exame cŕıtico. Vamos rapidamente discutir como a existência de uma temperatura caracteŕıstica associada a esta diferença foi operacionalmente clarificada por Unruh [13]. Um aprofundamento no entendimento do problema acima exposto exigiu a introdução de um aparato experimental (”measurement device”). Desta forma Unruh, dando prosseguimento a esta linha de investigações, introduziu um modelo simplificado de um detector acoplado a um campo escalar neutro, e obteve um importante resultado que tem uma ligação direta com o resul- tado de Fulling, Hawking e Hartle. Aquele autor demonstrou que, no espaço-tempo de Minkowski, um detector que percorre uma linha de universo com aceleração própria constante, isto é, está uni- formemente acelerado, tem o seguinte comportamento: se for preparado no estado fundamental, e está interagindo com o campo escalar no estado de vácuo de Minkowski, tem uma probabilidade assintótica não-nula de ser encontrado num estado excitado. A situação de equiĺıbrio, entre o detector uniformemente acelerado e o campo no estado de vácuo de Minkowski, é a mesma que a de um detector inercial interagindo com um banho térmico a temperatura β−1, se a identificação β−1 = σ 2π for feita, onde σ é a aceleração própria do detector. Em outras palavras, a função resposta do detector nas duas situações é a mesma. Este resultado é conhecido na literatura como teorema da termalização, e simplesmente expressa o fato de que para um observador uniforme- mente acelerado o vácuo de Minkowski não é um estado puro, mas um estado misto térmico no qual a temperatura é proporcional à aceleração própria do observador. Este resultado obtido por Unruh também pode ser visto pela ótica de processos estocásticos, onde a densidade espectral associada a uma variável randômica é dada pela transformada de 6 Fourier da função de correlação de dois pontos, resultado conhecido na literatura como relações de Wiener-Khintchine. É claro que o fato do detector medir um espectro térmico está associado à existência de horizonte de eventos pelo observador que percorre uma linha de universo com ace- leração própria constante. O fato do buraco negro emitir radiação térmica também está associado à existência de um horizonte de eventos presente na máxima extensão anaĺıtica da métrica de Schwarzschild, conhecida como métrica de Kruskal [14]. Dois fatos que merecem ser mencionados são os seguintes: o primeiro é que em espaços-tempo de dimensão ı́mpar ocorre o fenômeno da inversão de estat́ıstica [15], entretanto este resultado não é importante para as discussões posteriores. O segundo é o fato de que apesar de cada linha de universo com aceleração própria constante ter a sua temperatura associada, se construirmos um fluido de detectores percorrendo distintas linhas de universo, estes detectores estarão em equiĺıbrio termodinâmico, apesar destes detectores medirem diferentes temperaturas. Para que dois corpos estejam em equiĺıbrio térmico em dois diferentes pontos num campo gravitacional, que chamare- mos de P1 e P2 respectivamente, não necessitamos necessariamente que eles tenham a mesma temperatura. Para garantirmos o equiĺıbrio, devemos pedir que a razão entre as temperaturas seja igual ao desvio gravitacional para o vermelho (”gravitational red shift”) que uma part́ıcula do banho sofre, desde a sua emissão pelo detector em P1 até a sua absorção pelo detector em P2 [16]. Gostaŕıamos de enfatizar que existem algum resultados matemáticos importantes que se conec- tam com algum dos problemas acima discutidos. O sistema de coordenadas naturalmente adaptado a um observador acelerado é chamado sistema de coordenadas de Rindler [17]. Num interessante artigo, Kalnins [18] demonstrou que, no espaço-tempo de Minkowski bidimensional, existem dez sistemas de coordenadas nos quais a equação de Klein-Gordon é solúvel pelo método de separações de variáveis. Neste conjunto, o dos sistemas de coordenadas que são naturalmente adaptados a referenciais f́ısicos realizáveis, teremos interesse em efetuar a quantização canônica de um campo qualquer. Não obstante a tarefa não é tão simples, pois aparecem problemas na definição do estado de vácuo associado à quantização canônica de um campo genérico. Conseqüentemente, a definição do estado de n-part́ıculas que são geradas a partir do estado de vácuo tambem é proble- mática. Como apenas dois destes sistemas de coordenadas estudados por Kalnins são estáticos, nos outros existe a possibilidade de criação de part́ıculas, via o mecanismo estudado por Parker [19]. O cálculo dos coeficientes de Bogoliubov [20] entre modos ”in” e ”out” nos fornece a taxa de produção de part́ıculas medida por um detector que percorre uma determinada linha de universo. É posśıvel a prinćıpio comparar dois diferentes estados de vácuo associados a um campo escalar quantizado no sistema de coordenadas de Milne, entre si e com o vácuo de Rindler [21]. Podemos também comparar estes estados de vácuo com aquele definido assintoticamente para observadores que têm uma aceleração variável. Pode-se mostrar que existe um sistema de coordenadas adap- tado a um observador com uma aceleração variável. Em outras palavras, no infinito passado a 7 escalar livre no sistema de coordenadas de Milne [29] [30], onde se utiliza uma idéia, formulada há bastante tempo por Dirac [31], onde postulamos as relações de comutação entre os operadores de campo e os operadores canonicamente conjugados a estas quantidades, sobre a hipersuperf́ıcie xµxµ = cte. Na verdade, no processo de quantização canônica temos três diferentes hipersuperf́ıcies onde podemos a prinćıpio postular as relações de comutação. Estas são respectivamente: primeiramente a tradicional hipersuperf́ıcie t = cte, em seguida as coordenadas nulas u ou v definidas respecti- vamente por u = t − x e v = t + x, e finalmente a alternativa acima descrita. Quero ressaltar que existem importantes trabalhos na literatura utilizando tal construção [32] [33] [34]. Como o sistema de coordenadas utilizado é não-estacionário, temos as mesmas dificuldades encontradas em quantização de campos em modelos cosmológicos dependentes do tempo. A dificuldade em definir freqüências positivas e negativas nos leva à perda do significado f́ısico do conceito de part́ıcula associada a um campo quantizado. Para entendermos as dificuldades que encontramos para operacionalmente definirmos part́ıculas em espaços-tempo que não são estacionários, temos que entender o seguinte ponto essencial: se o espaço-tempo tem uma geometria estacionária, teremos um vetor de Killing do tipo tempo K que gera um grupo de Lie uniparamétrico de isometrias. Os modos normais que satisfazem LKu = −iλu, onde LK é a derivada de Lie com respeito a K, serão identificados como modos de freqüência positiva. Temos assim uma forma trivial de definir modos de freqüência positiva e negativa, e o vácuo associado a esta escolha é chamado vácuo de Killing ou vácuo trivial. Como o elemento de linha de Milne é não-estacionário, e as linhas de universo associadas a observadores em repouso em relação ao sistema de coordenadas não são curvas integrais de um vetor de Killing do tipo-tempo, a definição de modos normais de freqüência positiva e negativa se torna problemática. Diferentes soluções para este problema foram apresentadas na literatura por di Sessa [33] e Sommerfield [34]. As quantizações de di Sessa e Sommerfield podem ser comparadas. É posśıvel apresentar os coeficientes de Bogoliubov entre os modos de di Sessa e ondas planas, e os modos de Sommerfield e ondas planas. Temos que para um observador de Milne que utiliza a definição de di Sessa de freqüências positivas e negativas, o vácuo de Minkowski é um estado térmico de part́ıculas, com uma certa temperatura associada. Entretanto para um observador que utiliza a definição de Sommerfield de freqüências positivas e negativas, o vácuo de Minkowski é um estado de zero part́ıcula. Outra linha de pesquisa que foi bastante estudada na segunda metade do século passado está associada ao estudo de técnicas de regularização e renormalização em teoria quântica dos campos formuladas num espaço-tempo com curvatura e na presença de estruturas macroscópicas clássicas. 10 Até o presente momento, não existe uma teoria local quântica da gravitação consistente. Na ausência desta teoria, uma linha de pesquisa que foi considerada bastante promissora, a partir dos anos setenta do século passado, foi tratar o campo gravitacional classicamente, enquanto que os campos de matéria são tratados como operadores quânticos. Esta situação não era nova na f́ısica, e já foi bastante explorada em outros modelos. Num sistema descrevendo campos eletromagnéticos e campos fermiônicos, a seguinte aproximação é bastante semelhante, e é conhecida na literatura como eletrodinâmica semi-clássica [35]. Na eletrodinâmica semi-clássica, o campo eletromagnético é tratado como um campo clássico, acoplado ao valor esperado do operador corrente 〈0|jµ(x)|0〉, onde jµ(x) é constrúıdo com o produto de campos fermiônicos no mesmo ponto do espaço-tempo. É claro que apenas os campos fermiônicos estão sendo quantizados nesta aproximação. Fazendo uma analogia com a situação acima discutida, podemos chegar às equações de Einstein na aproximação semi-clássica, onde o tensor momento-energia é dado pelo valor esperado no vácuo do operador momento-energia, isto é, 〈0|T µσ|0〉. As equações de Einstein na aproximação semi- clássica ficam escritas na forma Rµσ − 1 2 Rgµσ + ΛBgµσ = −8π GB〈0|Tµσ| 0〉, onde o ı́ndice B que aparece na constante cosmológica e na constante gravitacional nos indica que devemos trabalhar com estas quantidades nuas (”bare”). É amplamente sustentada pela comunidade de fisicos teóricos a idéia que esta aproximação co- nhecida como aproximação a ńıvel de um laço (”one-loop level”) é bastante razoável. Entretanto, a pergunta que fica no ar é se esta aproximação é consistente. No caso de uma resposta negativa, podeŕıamos restaurar a consistência, pelo menos a ńıvel de um laço, e teŕıamos que incluir o gráviton nos campos de matéria e calcular a contribuição destes no ńıvel de um laço (”one-loop level”). Desta forma a primeira extensão posśıvel da aproximação semi-clássica das equações de Einstein é considerar as flutuações do campo gravitacional [36]. Como já foi bastante enfatizado na literatura, as flutuações do campo gravitacional podem ter duas origens. A primeira está li- gada à natureza quântica do campo gravitacional. A segunda está ligada às flutuações quânticas dos campos de matéria. O tratamento de flutuações do campo gravitacional nos oferece uma posśıvel extensão da aproximação semi-clássica. Flutuações do espaço-tempo nos levam ao fato de que part́ıculas testes que percorreriam geodésicas tenham desvios nas trajetórias, como se fossem part́ıculas brownianas. Se aplicarmos este racioćınio para fótons, não podemos escapar do fato que flutuações do campo gravitacional nos levam a flutuações do cone de luz. A própria noção de um horizonte de eventos ŕıgido deve ser revista nesta nova situação. Um maneira tratável de estudarmos as flutuações do espaço-tempo consiste em assumirmos que os grávitons estão num estado comprimido (”squezeed state”). Os grávitons fariam com que o cone de luz flutuasse, e exis- tiriam efeitos mensuráveis para este fato. No caso de um horizonte de eventos, teŕıamos também 11 flutuações devido às flutuações do espaço-tempo. Outra pergunta que fica é se as flutuações do horizonte de eventos na métrica de Kruskal podem alterar de forma apreciável o efeito Hawking [37] . Neste momento a literatura ainda não tem uma resposta definitiva para esta pergunta. 4 O problema da energia divergente do ponto-zero Voltando ao problema das quantidades nuas, este procedimento de introduzir as quantidades nuas é necessário, pois o lado direito das equações de Einstein na aproximação semi-clássica é mal definido, envolvendo o produto de operadores no mesmo ponto do espaço-tempo. Como os operado- res de campo são distribuições, por exemplo, se estudamos um campo escalar, 〈0|ϕ2(x)| 0〉 não está bem definido. Desta forma, o valor esperado no vácuo do tensor momento-energia de campos de matéria é divergente, e um procedimento de regularização e renormalização deve ser desenvolvido a fim de se obter resultados f́ısicos satisfatórios. Trabalhar com as quantidades nuas é fundamen- tal para implementarmos um procedimento de regularização e renormalização. Gostaŕıamos de enfatizar que este problema não ocorre apenas numa teoria semi-clássica da gravitação. Mesmo na ausência de campos gravitacionais, o valor esperado no vácuo dos tensores momento-energia associados aos campos escalares, eletromagnéticos ou espinoriais, também são divergentes. Se nos restringirmos ao estudo da componente (00) do tensor momento-energia associado a qualquer um destes campos, temos o problema da energia do ponto-zero. O valor esperado do operador energia associado a qualquer campo quantizado, no estado de vácuo, é divergente. Vamos analisar este problema detalhadamente. Por simplicidade, vamos trabalhar a prinćıpio com um campo escalar neutro. Desta forma, supondo um campo escalar sem massa, uma das formas de definir a energia do vácuo é E = ∫ ∞ 0 dω ( 1 2 ω)N(ω), onde N(ω) é o número de modos com energia entre ω e ω+ dω. A quantidade acima é claramente divergente e é um exemplo bastante simples das dificuldades matemáticas que encontramos quando insistimos em construir teorias onde distribuições são multiplicadas no mesmo ponto do espaço- tempo. A forma mais simples de contornar o problema gerado pela energia do ponto-zero é impor o ordenamento normal de Wick. Apesar deste procedimento ser justificável no espaço-tempo de Minkowski, ele é bastante drástico e afasta a possibilidade de um efeito surpreendente conhecido como efeito Casimir, que passamos a discutir. Em 1948 Casimir mostrou como é posśıvel obter um resultado finito para a energia do vácuo, 12 É importante salientar que o argumento acima não é uma prova de que o tensor momento- energia renormalizado diverge quando nos aproximamos das fronteiras, mas se isto não ocorre, é devido ao fato de um delicado cancelamento estar ocorrendo. Como este cancelamento ocorre para um campo escalar conformemente acoplado, enquanto que não ocorre para um campo escalar minimamente acoplado, temos diferentes resultados para a energia do vácuo renormalizada se utilizamos o método das funções de Green ou a soma de modos. Isto ocorre pois, usando a soma de modos para definirmos a energia do vácuo renormalizada, o campo escalar minimamente acoplado e o campo escalar conformemente acoplado dão o mesmo resultado. Entretanto temos diferentes resultados para a energia do vácuo renormalizada se utilizamos o método das funções de Green, devido aos diferentes comportamentos na fronteira dos campos escalares minimamente acoplados e dos campos escalares conformemente acoplados. Neste momento se coloca a sutil questão: qual é a energia f́ısica? Como já discutimos, uma primeira resposta seria a energia obtida a partir da soma da energia dos modos. Uma segunda possibilidade seria a energia obtida a partir de uma integral na seção espacial da componente (00) do tensor momento-energia. Vamos assumir que a soma renormalizada da energia do ponto- zero de cada modo nos fornece a energia f́ısica do sistema. Desta forma estamos dando ênfase aos métodos globais. Para uma detalhada discussão acerca do problema, veja por exemplo o importante trabalho de Deutsch e Candelas [54]. Na verdade, este problema de obtermos diferentes resultados para a energia do vácuo renormalizada associada a um campo escalar, se utilizamos o método das funções de Green, só se resolve se permitimos que a estrutura macroscópica, onde impusemos as condições de contorno clássicas, flutue [55]. Num artigo bastante interessante Actor e Bender [56] estudaram o efeito Casimir sem assumir condições de contorno de Dirichlet ou Neumann para um campo escalar. A situação investigada por estes autores é a de potenciais substituindo as condições de contorno clássicas. Esta linha de investigação foi desenvolvida por varios autores. Veja por exemplo o trabalho [57], onde foi estudado o efeito Casimir também sem assumir condições de contorno de Dirichlet ou Neumann para um campo escalar. As placas foram substitúıdas por potenciais e foram investigadas diferentes situações e a energia de Casimir de um campos escalar interagindo com estes potenciais. Foram investigadas as situações de fronteiras moles (”soft”) e também semi-duras (”semi-hard”). O efeito Casimir devido a férmions sem massa confinados entre placas num espaço-tempo D- dimensional também já foi bastante estudado. No trabalho [58] foi introduzido na literatura o conceito de sacola achatada (”slab-bag”). Neste trabalho foi assumida a seguinte condição de contorno sobre a corrente fermiônica: ηµψ̄γµψ = 0, onde ηµ é um vetor unitário normal às superf́ıcies. Desta forma não há fluxo de corrente fermiônica através das paredes. A energia de Casimir do sistema foi encontrada e foi mostrado o comporta- 15 mento da energia de Casimir com a dimensão do espaço-tempo. A generalização destes resultados para férmions com massa seria bem vista. Vale a pena lembrar que neste caso temos um forte resultado que pode influenciar os cálculos. É fato conhecido que se confinamos espinores de Dirac num espaço-tempo com fronteiras aparecem modos fermiônicos sem massa, com quiralidade bem definida, propagando-se sobre as fronteiras. Desta forma, na generalização destes resultados para férmions com massa, o resultado acima deve ser levado em consideração. Entretanto, outras questões ficam no ar. Por exemplo, seria posśıvel generalizar o método do corte exponencial (”exponential cut-off”) para um espaco-tempo D-dimensional ainda traba- lhando com a configuração proposta por Casimir? Pode-se mostrar que sim. Estudando um campo neutro sem massa num espaço-tempo D-dimensional na presença de um par de hiperplacas perfeitamente refletoras [59], i.e., assumindo condições de contorno de Dirichlet sobre as placas, estas se comportam como espelhos (”mirrors”). Introduzindo um corte regularizador exponencial (e−λω) na soma divergente das autofreqüências, mostra-se que a energia regularizada tem dois termos divergentes. O primeiro, que é proporcional ao volume e é dado por volume λD . O segundo, que é proporcional à área das hiperplacas e é dado por area λD−1 . Este resultado é apenas uma manifestação do teorema de Weyl [60] [61] [62], que diz que a dis- tribuição assintótica dos autovalores associados a um operador eĺıptico tem um termo dominante proporcional ao volume, outro termo proporcional à área e outros termos proporcionais a invari- antes geométricos associados à variedade onde os campos estão definidos. Sendo mais espećıfico, temos que a distribuição assintótica dos autovalores associados ao operador laplaciano é dada por N(ω) = V ω2 2π ± Sω 8π + 1 2π2 ∫ ∂M χdS + 0(ω−2), onde o sinal positivo ou negativo está ligado à condição de contorno que escolhemos aos campos de serem Neumann ou Dirichlet. A quantidade V é o volume da variedade, S é sua área e χ é o traço da curvatura extŕınseca. Desta forma, é fácil entender o procedimento de renormalização utilizado por Casimir, Fierz, Boyer e outros, e a razão deste ser utilizado a fim de eliminarmos a parte polar da energia do vácuo regularizada. Devemos efetuar subtrações de energias regularizadas associadas a configurações que têm o mesmo volume e mesma área. Estudando a mesma configuração num espaço-tempo D-dimensional, Ambjorn e Wolfram encontram um resultado coincidente, utilizando o método da regularização dimensional. É importante salientar que, utilizando-se a regularização dimensional, a energia do vácuo é obtida automaticamente, sem necessidade de uma renormaliza- ção. Uma questão que merece ser levantada é a seguinte: seria posśıvel mostrar que estes diferentes procedimentos de se obter a energia de Casimir, isto é, regularização e renormalização com sub- trações de energias regularizadas associadas a configurações, são analiticamente equivalentes? Esta pergunta já havia sido formulada por Birrel e Davies [63]. Estudando o caso D = 2 e interpretando 16 o método zeta como um corte mais suave do que o corte exponencial, isto é, um corte algébrico, é posśıvel unificar o método da extensão anaĺıtica da zeta e o método do corte exponencial neste caso bastante particular. Outra questão ainda hoje em aberto, associada à energia renormalizada do vácuo, diz respeito ao sinal desta energia. É bem conhecido o fato de que Casimir tentou explicar as tensões de Poincaré (”Poincaré stress”) assumindo que o elétron seria constitúıdo por uma casca esférica. Casimir encontrou um modelo bastante simples para estabilizar uma estrutura de casca esférica constitúıda de uma densidade de carga negativa. Se temos um campo eletromagnético no estado de vácuo no interior e no exterior, a seguinte situação ocorre. Se a energia de Casimir da configuração fosse negativa, como no caso das placas paralelas, a força de Casimir seria capaz de estabilizar o sistema. Foram precisos mais de dez anos para que se provasse que a idéia de Casimir não funcionava. Isto foi feito por Boyer [64] [65] e Davies [66]. Estes autores mostraram que no caso da con- figuração esférica a energia renormalizada é positiva, de forma que a força é repulsiva. Isto dá uma contribuição que desestabiliza o sistema. Como a energia de Casimir depende das condições de contorno impostas sobre o campo quantizado, da dimensionalidade do espaço-tempo, do spin do campo e da geometria da cavidade, não podemos descartar a possibilidade das tensões de Poincaré terem sua origem quântica, se o espaço-tempo tiver mais do que quatro dimensões [67]. Uma outra situação bastante estudada, onde o sinal da energia de Casimir não concorda com os experimentos, diz respeito à contribuição dos gluons e quarks para a energia do ponto-zero renormalizada do modêlo de sacola do MIT (”MIT bag-model”). Neste modelo, os hadrons seriam compostos de campos de gluons e quarks confinados. A energia do ponto-zero da sacola deve conter um termo da forma −Z R , onde R é o raio da sacola e Z é uma constante que deve ser obtida fenomenologicamente. Este termo é uma manifestação da energia do ponto-zero dos campos bosônicos e fermiônicos confinados. Estudos sistemáticos mostraram que a energia do ponto-zero renormalizada contém o termo 1 R , porém com fator Z negativo (Z ≈ −0, 7), dando um efeito repulsivo, em lugar de se obter uma força atrativa que estaria de acordo com a espectroscopia hadrônica. Uma interesante proposta para se obter o sinal correto foi apresentada recentemente por Oxman e colaboradores [68], onde foi investigada a contribuição para a energia de Casimir devida aos campos bosônicos com um propagador modificado na região infravermelha. Voltando ao problema da comparação entre diversos métodos para se obter a energia de Casimir, pode-se também generalizar a prova da equivalência anaĺıtica entre o método do corte ex- ponencial e o método da continuação anaĺıtica da função zeta de Riemann, para espaços-tempo de maior dimensionalidade. A prova original da equivalência foi obtida apenas para um espaço-tempo bidimensional, isto é, para D=2. Para que seja feita uma comparação entre estes dois métodos, Svaiter e Svaiter [69] continuaram a estudar um campo escalar sem massa. Assumiram que este campo escalar sem massa está 17 refletoras, chamadas de espelhos (”mirrors”) [79]. Utilizando o método das imagens, é posśıvel estudar o comportamento do átomo assumindo que o campo escalar está em equiĺıbrio com um reservatório térmico a temperatura β−1. Processos radiativos nas vizinhanças de uma corda cósmica também foram estudados na lite- ratura. Esta linha de pesquisa está associada a várias idéias de matéria condensada e fenômenos cŕıticos, que passaram a ser utilizadas em teoria quântica de campos após a formulação das teorias de calibre não-abelianas. Nos modelos de unificação, é fato conhecido que se o universo se encontra numa temperatura abaixo de uma certa temperatura cŕıtica, o campo de Higgs adquire um valor esperado no vácuo diferente de zero. Isto levou Kibble [80] a especular a existência de estruturas cósmicas topológicas, como paredes ou cordas. No entanto, foi mostrado que as paredes são incompat́ıveis com os modelos cosmológicos conhecidos. Desta forma, apenas as cordas cósmicas teriam interesse em modelos cosmológicos e poderiam ser encontradas no estágio atual do nosso universo. É importante lembrar que uma solução das equações de Einstein com simetria ciĺındrica foi derivada por Marder há bastante tempo [81]. Neste trabalho, Marder mostrou que a solução exterior a uma distribuição homogênea de matéria com simetria ciĺındrica é localmente plana, isto é, o tensor de Riemann se anula, no entanto a seção t = cte, z = cte, tem uma topologia não-trivial, e define uma estrutura cônica. Dois resultados interessantes que valeria a pena comentar são os seguintes: o primeiro obtido por Linet [82], onde uma carga colocada nas vizinhanças de uma corda cósmica sofre a ação de seu próprio campo devido à topologia não-trivial da 2-superf́ıcie t = cte, z = cte. O segundo, obtido por Aliev e Gal’tsov [83]. Estes autores demonstraram que uma carga inercial movendo-se neste espaço-tempo que tem uma topologia não-trivial na seção t = cte, z = cte irradia. No entanto, para determinados valores da densidade linear da corda, a radiação cessa. Fazendo uma analogia com o eletromagnetismo, estes autores postularam a quantização da densidade linear da corda. Utilizando este resultado, pode ser estudado o comportamento do detector de Unruh nas vizinhanças de uma corda cósmica. Devido ao fato de que, com o detector de Unruh, processos virtuais estão sendo levados em consideração, é interessante investigar como a topologia não-trivial, que define uma estrutura cônica no espaço-tempo, modifica processos radiativos. Esta linha de pesquisa foi desenvolvida nos trabalhos [84] [85]. Para finalizar esta seção gostaŕıamos de apresentar o problema o detector girante. Já hav́ıamos discutido o modelo de detector proposto por Unruh e DeWitt. O detector operacionalmente nos ajuda na definição de part́ıculas? A questão parece trivial, mas não é, devido ao seguinte fato. Na verdade temos duas quantidades que devemos examinar para descrever o número de part́ıculas associadas a representações unitariamente não-equivalentes da álgebra dos operadores num determinado estado conectado a outra representação. A primeira baseia-se nos coeficientes de Bogoliubov e a segunda na função resposta do detector, como já discutimos detalhadamente. Podemos mostrar que para observadores com aceleração própria constante levando um detector 20 de Unruh e DeWitt estas duas respostam coincidem. Em outras palavras: os coeficientes de Bogoliubov entre os modos inerciais e os modos de Rindler nos dizem que o vácuo de Minkowski é um estado térmico quando visto pelo observador com aceleração própria constante. Da mesma forma, um detector de Unruh e DeWitt preparado no estado fundamental, interagindo com o campo escalar no estado de vácuo de Minkowski, tem uma probabilidade assintótica não-nula de ser encontrado num estado excitado. A função resposta do detector é a mesma que a de um detector inercial interagindo com um banho térmico a temperatura β−1, se a seguinte identificação for feita: β−1 = σ 2π , onde σ é a aceleração própria do detector. A situação se complica quando Letaw [90] e Padmanabhan [91], estudando o modelo de De- Witt de detector, exibem resultados onde os coeficientes de Bogoliubov são zero, mas a função resposta do detector não é zero, e também situações onde os coeficientes de Bogoliubov não são zero, entretanto a função resposta do detector é zero. A primeira situação ocorre justamente quando colocamos um detector para girar uniformemente em relação a um eixo. Como esta primeira situação pode ser facilmente implementada experimentalmente, vamos nos deter mais neste problema. A situação pode ser resumida da seguinte forma. Vamos a principio assumir que as tans- formações de coordenadas definidas por Landau e Lifshitz [86], são aquelas que conectam um referencial inercial a um referencial em rotação uniforme. Para a construção do espaço de Hilbert dos estados f́ısicos da teoria, associados a observadores que giram uniformemente em relação a um eixo, devemos primeiramente resolver a equação de Klein-Gordon num sistema de coordenadas curviĺıneas. Não é dif́ıcil encontrar um conjunto completo de funções base, no espaço das soluções da equação de Klein-Gordon nesta situação [87] [88] [89]. Podemos utilizar esta base de funções para efetuar a expansão do operador de campo. Está claro que os coeficientes de Fourier da ex- pansão do operador de campo serão os operadores de criação e aniquilação de quanta do campo, desde que possamos identificar os modos de freqüências positivas e negativas. O estado de mais baixa energia deste espaço de Hilbert chamaremos de vácuo girante. Para compararmos os dois espaços de Hilbert, devemos calcular os coeficientes de Bogoliubov entre os modos inerciais e os modos girantes. Estes coeficientes são zero, de forma que o vácuo girante e o vácuo de Minkowski coincidem. Vamos assumir um campo escalar quantizado interagindo com um sistema de dois ńıveis. Pode- se mostrar que, se preparamos o sistema de dois ńıveis no estado fundamental e o campo no estado de vácuo de Minkowski, existe uma probabilidade não-nula de encontrarmos o detector no estado excitado, se este tem uma velocidade de rotação constante não nula em relação a um eixo. Como já enfatizamos, os coeficientes de Bogoliubov entre os modos inerciais e os modos girantes são zero, de forma que o vácuo girante e o vácuo de Minkowski coincidem. O detector que gira uniformemente em relação a um eixo mede part́ıculas associadas ao campo escalar, entretanto o campo está no estado de vácuo de Minkowski que coincide com o vácuo girante. Após a absorção de uma 21 part́ıcula pelo detector o campo se encontrará num estado de mais baixa energia, de forma que o vácuo de Minkowski não pode ser o verdadeiro vácuo da teoria. Uma outra forma de formularmos este problema é a seguinte: seja um detector que tem uma velocidade de rotação constante não nula em relação a um eixo, preparado no estado fundamental, interagindo com o campo no vácuo girante. Nossa intuição f́ısica nos diz que o detector deve ficar no estado fundamental. Como o vácuo girante coincide com o vácuo de Minkowski, podemos substituir o vácuo girante pelo vácuo de Minkowski, e a taxa de excitação não é mais zero. Temos um resultado contraditório. Com o intuito de resolver este problema Davies, Dray e Manogue, num interessante artigo, apresentaram a seguinte solução para o problema [92]. Estes autores assumem que o campo escalar só está definido no interior de um cilindro de raio a, de forma que o vetor de Killing K = ∂t − Ω ∂θ é sempre do tipo-tempo, onde Ω é a velocidade de rotação. Desta forma pode-se mostrar que os coeficientes de Bogoliubov entre os modos inerciais e os modos girantes definidos dentro do cilindro ainda são zero, e que a função resposta do detector também é zero. O resultado f́ısico profundo da construção de Davies e seus colaboradores é que o vácuo de Minkowski coincide com o vácuo girante. Entretanto toda a discussão fica restrita ao interior do cilindro. Neste momento podemos nos perguntar se é posśıvel definir um referencial girante sem a res- trição imposta por Davies, Dray e Manogue. Usando as idéias de Hill [93] podemos definir um referencial girante sem a restrição acima discutida. A prinćıpio devemos definir um referencial girante como aquele em que a velocidade de um ponto não pode ser uma função linear do raio, pois teŕıamos pontos com velocidade acima da velocidade da luz. Desta forma a velocidade deve ser uma função não-linear do raio. Usando estas idéias, Trocheries [94] e Takeno [95] encontraram a transformação de coordenadas entre um referencial inercial e aquele com rotação constante. Está claro que estas coordenadas estão naturalmente adaptadas aos dois referenciais respectiva- mente. Usando as transformações de Trocheries-Takeno foi posśıvel definir um vácuo girante que não coincide com o vácuo de Minkowski. Este vácuo é conhecido na literatura como vácuo de Trocheries-Takeno [96] [97] [98]. Neste momento estamos em condições de discutir o problema dos elétrons que se movem em órbitas circulares. Temos dados experimentais que nos mostram que um feixe de elétrons que a prinćıpio não têm polarização, gradualmente se polariza, quando estes percorrem trajetórias circulares. Este mecanismo leva à emissão de radiação śıncroton do tipo ”spin-flip”. Esperaŕıamos que assintoticamente todos os elétrons do feixe fossem para o estado fundamental. Entretanto isto não acontece, e a pergunta que fica é: por que a polarização não se completa, mesmo depois do sistema atingir o equiĺıbrio? Esta pergunta foi formulada há bastante tempo por Jackson [99]. Bell e Leinaas usaram as idéias associadas ao efeito Unruh para responder esta pergunta [100] [101]. Um elétron num acelerador circular é a versão magnética do detector de Unruh-DeWitt, 22 s, onde s é o parâmetro regularizador, mostra que a contribuição para a massa e para a constante de acoplamento têm sinais opostos. Em outras palavras; a contribuição térmica e topológica para a massa é positiva mas a contribuição térmica e topológica para a constante de acoplamento é negativa. Em suma temos o seguinte resultado. A constante de acoplamento renormalizada para bósons com auto-interação é sempre maior de que a constante de acoplamento do mesmo sistema a temperatura finita. Já hav́ıamos discutido o fato de que quando tratamos de sistemas que necessitam ser descritos por um número infinito de graus de liberdade, no espaço-tempo de Minkowski, existe um número infinito de representações unitariamente não-equivalentes da álgebra dos operadores. Como a teoria quântica de campos tem um número infinito de espaços de Hilbert dos estados que são unitariamente não-equivalentes, a escolha de um determinado espaço de Hilbert fixa também um determinado vácuo. Este vácuo difere de um outro posśıvel vácuo, e o significado profundo deste fato é que esta diferença aparece como um condensado de part́ıculas. Quando este condensado de part́ıculas num determinado vácuo viola uma simetria da hamiltoniana, dizemos que a simetria está espontâneamente quebrada (”spontaneous symmetry breaking”). Se nesta situação o sistema tem um vácuo degenerado, aparecem part́ıculas sem massa chamadas de bósons de Nambu-Goldstone [112] [113]. Na descrição de um sistema qualquer, uma forma bastante natural de passarmos de uma fase onde a simetria está espontaneamente quebrada para outra onde a simetria é restaurada se dá por meio de efeitos térmicos. Decorre da discussão acima que existe um importante programa de investigar como quantidades renormalizadas dependem da temperatura. Este programa se fundamenta no simples fato de que nas teorias de campo que são perturbativamente renormalizáveis devemos efetuar um procedimento de regularização, como por exemplo regularização dimensional, e em seguida eliminar os pólos das quantidades regularizadas por meio de um procedimento de renormalização. A correção térmica para a massa e constante de acoplamento deve ser dada pela parte regular das extensões anaĺıticas nas vizinhança de pólos no plano complexo do parâmetro regularizador [114]. Vamos assumir o modelo de Landau e Ginzburg, isto é, uma teoria escalar λϕ4 em equiĺıbrio com um reservatório térmico. Se não estamos interessados em investigar a transição de fase de segunda ordem que pode ocorrer neste modelo, vamos assumir que o coeficiente do termo quadrático a temperatura zero é uma quantidade positiva. Estudando o potencial efetivo no ńıvel de um laço (”one-loop effective potential”) pode-se mostrar como é posśıvel regularizar esta quantidade utilizando um método de regularização anaĺıtica. Estudando a estrutura polar da continuação anaĺıtica do potencial efetivo no plano complexo s, onde s é o parametro regularizador, pode-se mostrar que a contibuição para a massa e constante de acoplamento têm sinais opostos. Num espaço euclideano D-dimensional, 25 temos que a correção térmica para a massa é dada por m2(β) = m2 + g (2π)D/2 ∞∑ n=1 ( m βn )D 2 −1 KD 2 −1(mnβ), enquanto que a correção térmica para a constante de acoplamento é dada por λ(β) = g − 3 2 g2 (2π)D/2 ∞∑ n=1 ( m βn )D 2 −2 KD 2 −2(mnβ), onde Kν(z) é a função de Macdonald’s ou função de Bessel de argumento imaginário. Vemos que a contribuição térmica para a massa é positiva mas a contribuição térmica para a constante de acoplamento é negativa. Vemos então como facilmente podemos gerar uma estrutura de transição de fase de segunda ordem se assumimos que o coeficente do termo quadrático a temperatura zero é uma quantidade negativa. Lembremos que uma transição de fase ocorre se a energia livre ou suas derivadas que descrevem um sistema tem um comportamento singular. Em um espaço euclideano D-dimensional, a constante de acoplamento renormalizada para bósons com auto-interação na teoria λϕ4 é sempre maior do que a constante de acoplamento do mesmo sistema a temperatura finita. É importante salientar que estes resultados estão sendo obtidos na aproximação de um laço. Sistemas fermiônicos também podem facilmente ser estudados na aproximação de um laço [115] [116]. Assumindo que temos equiĺıbrio com um banho térmico pode-se usar o formalismo de Matsubara para se investigar o modelo de Yukawa onde bósons e férmions interagem, e também o modelo de Gross-Neveu a temperatura finita. Com relação ao modelo de Yukawa, integrando os modos fermiônicos no funcional gerador das funções de Schwinger a temperatura finita, pode ser encontrado como os modos fermiônicos contribuem para o potencial efetivo associado ao campo escalar a ńıvel de um laço. Esta quantidade contém divergências e é posśıvel regularizar esta quantidade utilizando um método de regularização anaĺıtica. Pode-se encontrar a estrutura polar da continuação anaĺıtica do potencial efetivo no plano complexo s, onde s é o parâmetro regular- izador. Já o modelo de Gross-Neveu [117] consiste de N férmions com auto-interação. Pode-se mostrar que efeitos de temperatura fazem com que este modelo tenha duas fases. Uma fase a baixas temperaturas, onde a simetria quiral está quebrada, e outra a altas temperaturas, onde a simetria quiral é restaurada. Já comentamos o resultado de que na teoria (λϕ4)D, a contribuição térmica para a massa é positiva enquanto que a contribuição térmica para a constante de acoplamento é negativa. Quere- mos ressaltar que estes resultados são associados às correções térmica no ńıvel de um laço. Desta forma temos o seguinte resultado. A constante de acoplamento renormalizada para bósons com 26 auto-interação na teoria λϕ4 é sempre maior do que a constante de acoplamento do mesmo sis- tema a temperatura finita. Com este resultado fica no ar o seguinte pergunta: será que é posśıvel encontrar uma temperatura na qual a constante de acoplamento se anula? Indo um pouco mais longe, acima desta temperatura a constante de acoplamento ficaria negativa e o sistema ficaria instável. Teŕıamos por conseguinte uma situação anômala. Desta forma, nos parece que temos duas possibilidades. Ou a temperatura onde a constante de acoplamento se anula é infinita, ou a constante de acoplamento diminui com a temperatura até atingir um mı́nimo diferente de zero. Outra forma que ver o problema pode ser resumida na seguinte pergunta: como generalizar estes resultados para o ńıvel de dois laços (”two-loop level”) ou até mesmo estender os resultados para uma região não-perturbativa? É posśıvel ir além de um laço após um procedimento de somar toda uma classe de diagramas de Feynman [118]. Esta aproximação é também conhecida na literatura como Hartree-Fock [119] [120]. De qualquer modo, esta linha de pesquisa já aponta numa direção. A constante de acopla- mento deve diminuir com a temperatura até atingir um mı́nimo diferente de zero. Utilitizando o formalismo desenvolvido por Cornwall, Jackiw e Tomboulis [121], conhecido como formalismo CJT, é posśıvel conseguir resultados não-perturbativos sobre as correções térmicas para a massa e constante de acoplamento numa teoria escalar. Se queremos obter resultados não-perturbativos sobre a correção térmica para a massa e a correção térmica para a constante de acoplamento numa teoria escalar, podemos utilizar as equações de Dyson-Schwinger (DSE). Estas equações formam um conjunto infinito de equações acopladas para as funções de n-pontos da teoria em questão. Uma forma de tratar o problema é truncar este sistema de equações. Isto pode ser feito assumindo um acoplamento fraco, e pode se mostrar que as equações de Dyson-Schwinger contêm a teoria perturbativa, pois estas equações geram todos os diagramas da expansão perturbativa. Outra forma de se obter um resultado não-perturbativo é considerar um gerador funcional generalizado Z(J,K) na presença de uma fonte local J(x), e de uma fonte não-local K(x, y), onde J(x) se acopla ao campo, isto é, Φ(x), enquanto que K(x, y) se acopla a 1 2 Φ(x)Φ(y). É evidente que este objeto Z(J,K) é um gerador funcional generalizado das funções de Green euclideanas do modelo. Este formalismo é conhecido na literatura como formalismo CJT. Pode-se mostrar que o formalismo CJT reproduz os resultados obtidos via as equações de Dyson-Schwinger [122] [123] [124]. 7 As teoria efetivas e a redução dimensional Apesar de já termos discutido a teoria de campos a temperatura finita, seria interessante rever alguns conceitos já discutidos para apresentarmos a idéia da redução dimensional. A redução 27 contém os modos associados aos campos dos quarks. Esta teoria é conhecida na literatura como EQCD, isto é, QCD eletrostática (”electrostatic QCD”), e consiste de uma teoria de Yang-Mills em três dimensões mais um campo escalar associado ao modo estático do campo cromoelétrico. Nesta teoria os modos magnetostáticos permanecem sem massa e a massa efetiva do campo es- calar é proporcional a gT . Usando o teorema de desacoplamento (AC) podemos construir uma segunda teoria efetiva onde o campo escalar agora desacopla. Nesta situação o sistema é descrito por uma teoria de Yang-Mills tridimensional com os modos magnetostáticos da QCD e é chamada de QCD magnetostática (”magnetostatic QCD” ou MQCD). Os parâmetros f́ısicos desta teoria estão associados a escala gT . Uma propriedade importante das teorias efetivas é o fato de que estas são não-renormalizáveis. Neste contexto, a teoria de campos passou a ser vista como uma teoria efetiva onde devemos afrouxar o critério de renormalizabilidade [138] [139] [140] [141]. 8 O problema da somabilidade da série perturbativa e a expansão perturbativa para o acoplamento forte Vamos agora discutir outros problemas da teoria dos campos quantizados, que não estão as- sociados a efeitos perturbativos, i.e., são efeitos que não devem ser investigados utilizando a série perturbativa definida por Dyson, Feynman, Tomonaga, Schwinger e outros. O ponto fundamental da renormalização perturbativa é o seguinte: as funções de Green de qualquer teoria que não seja livre podem ser escritas como uma série formal na constante de acoplamento. Uma pergunta natural é se esta série converge. No caso de uma resposta afirmativa, a sua soma define as funções de Green da teoria em questão. No caso de uma resposta negativa, temos que lançar mão de novos conceitos matemáticos para darmos sentido a esta série divergente. É claro que o antigo conceito de convergência deve ser estendido para darmos conta de séries divergentes. Uma série divergente pode ser somável. Pode-se mostrar que diferentes métodos de somabilidade dão o mesmo resul- tado. Um método bastante usado em teoria de campos é o método de Borel. Alguém pode se perguntar se a somabilidade de Borel é um método geral e efetivo para obtermos as soluções de uma teoria com interação, quando nos baseamos na série perturbativa. A resposta a esta pergunta não é positiva, devido à existência de instantons e renormalons, que são singularidades da trans- formada de Borel da série perturbativa, que aparecem no eixo positivo real do plano de Borel. Desta forma, a inversão de Borel não pode ser aplicada. Conseqüentemente o seguinte problema se coloca: uma teoria de campos pode parecer correta num regime perturbativo, todavia se torna 30 sem sentido no regime não-perturbativo. Desta discussão aparece uma direção que podemos seguir para aprofundarmos o nosso conheci- mento das teoria de campos. Devemos conhecer o comportamento das teorias no espaço complexo das constantes de acoplamento [142]. Consequentemente, vamos investigar a estrutura de singu- laridade na vizinhança da origem, no plano complexo da constante de acoplamento, na teoria λϕ4 [143]. Para isto vamos analisar um modelo zero-dimensional. Em resumo, temos que a função geratriz z(m0, g0;h) do modelo zero-dimensional é dada por z(m0, g0;h) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ dϕ exp ( −1 2 m20 ϕ 2 − g0 4! ϕ4 + hϕ ) . A função geratriz na ausência de fonte externa é definida por z(m0, g0;h)|h=0 ≡ z0(m0, g0). Nosso intuito é analisar a função de partição zero-dimensional z0(m0, g0), dada por z0(m0, g0) = 1√ 2π ∫ ∞ −∞ dϕ exp ( −1 2 m20 ϕ 2 − g0 4! ϕ4 ) . Pode-se mostrar que a integral acima pode ser expressa em termos de funções conhecidas. Temos que a função de partição do modelo zero-dimensional z0(m0, g0) é dada por z0(m0, g0) = ( 3 2g0 ) 3 4m20 Ψ ( 3 4 , 3 2 ; 3m40 2g0 ) , onde Ψ(a, c ; z) é a função hipergeométrica de segundo tipo, e estamos usando o ramo principal (”principal branch”) desta função. Da expressão acima temos que existe um ponto de ramificação (”branch-point”), mas uma singularidade essencial não foi encontrada, apesar da literatura enfa- tizar a existência de uma singularidade essencial. Vamos agora mostrar como este modelo zero-dimensional pode nos trazer informações sobre a estrutura de singularidades do funcional gerador das funções de Schwinger. Para isto, va- mos discutir as vantagens de efetuarmos uma expansão perturbativa do funcional gerador das funções de Schwinger não-convencional, conhecida na literatura como expansão perturbativa para o acoplamento forte (”strong-coupling expansion”) [144] [145], onde não é efetuada a expansão perturbativa em torno da teoria gaussiana. A idéia básica é tratarmos a contribuição gaussiana na ação como uma perturbação com respeito aos outros termos. A diferença fundamental entre esta expansão perturbativa não-convencional e a usual é que neste caso o funcional gerador das funções de Schwinger fica escrito formalmente como uma série de potências negativas da constante de acoplamento. Desta forma estamos efetuando a expansão perturbativa em torno do gerador funcional de valor independente (”independent-value functional”) [146] [147] [148] [149] [150] [151]. 31 Campos definidos em diferentes pontos do espaço euclidiano estão desacoplados em primeira ordem de aproximação, pois a contribuição que contém o gradiente aparece apenas como perturbação. Vamos continuar a discutir as vantagens de efetuarmos uma expansão perturbativa não con- vencional do funcional gerador (”Schwinger functional”), conhecida na literatura como expansão perturbativa para o acoplamento forte (”strong-coupling expansion”), onde não é efetuada a ex- pansão perturbativa em torno da teoria gaussiana. A idéia básica é tratarmos a contribuição gaussiana na ação como uma perturbação com respeito aos outros termos. Uma representação formal para o funcional de Schwinger (”Schwinger functional”) Z(h) é dada por Z(h) = exp ( −1 2 ∫ ddx ∫ ddy δ δh(x) K(m0;x− y) δ δh(y) ) Q0(h), onde Q0(h) define o gerador funcional de valor independente (”independent-value generating func- tional”), h(x) é uma fonte externa e K(m0;x − y) = (−∆ + m20) δd(x − y). É fácil mostrar que Q0(h) é dado por Q0(h) = N ∫ [dϕ] exp (∫ ddx (−g0 4! ϕ4(x) + h(x)ϕ(x)) ) , onde novamente N é um fator de normalização. Em resumo: é um fato bastante conhecido que o comportamento da expansão perturbativa convencional em potências da constante de acoplamento para os termos de altas ordens está rela- cionado à estrutura anaĺıtica das funções de Schwinger no plano complexo da constante de acopla- mento, nas vizinhanças da origem [152] [153] [154]. Conseqüentemente, um importante problema a ser investigado diz respeito ao comportamento das funções de Schwinger no plano complexo da constante de acoplamento, em diferentes modelos [155] [156]. Como neste problema de encontrar a estrutura anaĺıtica das funções de Schwinger no plano complexo da constante de acoplamento, nas vizinhanças da origem, entram em jogo efeitos não-perturbativos como instantons e renormalons, a expansão perturbativa convencional não nos pode ser muito útil. Nesta expansão perturbativa para o acoplamento forte (”strong-coupling expansion”) podemos facilmente encontrar a estru- tura anaĺıtica do funcional gerador das funções de Schwinger no plano complexo da constante de acoplamento. Está claro que esta informação está contida no termo de mais baixa ordem, conhe- cido na literatura como gerador funcional de valor indepedente (”independent-value functional”). Gostaŕıamos de ressaltar que a inclusão de termos de mais altas ordens da série perturbativa não deve modificar esta estrutura anaĺıtica, ou apenas criar singularidades adicionais [158] [159]. Den- tro deste contexto, recentemente foi estudado um oscilador com um termo quártico, na presença de um banho térmico, assumindo que este termo domina sobre o termo quadrático. Dizemos que estamos numa situação onde o acoplamento λ é forte. Utilizando-se a expansão perturbativa para 32 Por outro lado, a teoria quântica de campos deve ser descrita por um número infinito de graus de liberdade. Uma linha de pesquisa bastante promissora é o estudo de campos quantizados definidos num volume finito, desde que tenhamos um mecanismo consistente de confinar o campo, como por exemplo objetos macroscópicos clássicos onde os campos devem satisfazer determinadas condições de contorno. Se não levarmos em conta condições de contorno periódicas, que já foram bastante investigadas na literatura e que não nos trazem nada de novo, vemos que existe uma necessidade fundamental de se entender a dinâmica de campos quantizados na presença de objetos macroscópicos, de forma tal que a invariância translacional da teoria tenha ficado perdida. É bastante importante saber, como se implementa a renormalização perturbativa em modelos que são perturbativamente renormalizáveis, se assumimos que temos quebra de invariância translacional. Lembremos que uma teoria é perturbativamente renormalizável se apenas um número finito de parâmetros da teoria necessitam ser renormalizados. Segundo esta linha de raciocinio, Fosco e Svaiter [162], investigaram um modelo escalar ani- sotrópico num espaço euclidiano d-dimensional, onde uma das dimensões foi compactificada, com perda de invariância translacional. Nesta situação, para se implementar o programa de renorma- lização, dentro da teoria de perturbações, encontramos uma dificuldade que não aparece quando trabalhamos num espaço sem fronteiras. A presença de restrições geométricas tornam a avaliação dos diagramas de Feynman uma tarefa muito mais dif́ıcil do que aquela efetuada num espaço sem fronteiras. Para sistemas onde temos a invariância translacional, podemos passar de uma repre- sentação de coordenadas para uma representação de momentos, onde fica mais simples a análise das divergências da teoria. Como no modelo estudado se perdeu a invariância translacional numa das direções, devemos trabalhar com as funções de Schwinger de n-pontos numa representação mista. Neste trabalho o programa de renormalização foi implementado a ńıvel de um laço para a função de dois pontos associada a campos que satisfazem condições de contorno de Dirichlet e Neumann respectivamente. A estrutura das divergências foi cuidadosamente analisada e foi mostrado que para estas duas condições de contorno temos apenas uma troca de sinal, na parte polar, na vizinhança das placas. O programa de renormalização implementado a ńıvel de um laço para a função de dois pontos e quatro pontos associadas a campos que satisfazem condições de contorno de Dirichlet foi finalizado po Caicedo e Svaiter [129]. A introdução de temperatura não apresenta nenhuma dificuldade. Recentemente Svaiter [163] investigou modelos escalares da teoria quântica de campos a temperatura finita e também efeitos de superf́ıcie. Sendo mais espećıfico, foi estudado um campo escalar num espaço euclidiano d-dimensional, onde uma das dimensões foi compactificada, com perda de invariância translacional. Na verdade foi generalizada parte dos resultados anteriores, pois foi assumida uma teoria escalar λϕ4 em equiĺıbrio com um reservatório térmico. Nesta situação, como já discutimos, a presença de restrições geométricas tornam os diagramas de Feynman muito mais complicados do que aqueles calculados num espaço 35 sem fronteiras, com o agravante que temos também que somar sobre as freqüências de Matsubara. O programa de renormalização pode ser implementado a ńıvel de um laço para a função de dois pontos e de quatro pontos, e a estrutura das divergências também pode ser analisada. Cálculos a dois laços foram efetuados recentemente por Aparicio Alcalde e colaboradores [164]. 10 O método de quantização estocástica de Parisi-Wu Na versão euclideana da teoria de campos estamos interessados em calcular as funções de Schwinger da teoria em questão. Em 1981 Parisi e Wu [167] introduziram a quantização es- tocástica como uma alternativa às quantizações canônica ou por integrais de trajetória. Em linhas gerais podemos descrever o método de quantização estocástica, da seguinte forma. Por simpli- cidade discutiremos um campo escalar. A prinćıpio efetuamos uma continuação anaĺıtica para tempo complexo. Desta forma obtemos a teoria de campos euclidiana. Em seguida introduzimos um parâmetro de Markov τ , chamado na literatura de tempo fict́ıcio. Assumimos que o campo euclidiano depende das coordenadas euclidianas, e deste parâmetro de Markov. Introduzimos um rúıdo branco gaussiano (”a noise random field”) e assumimos que o campo euclidiano satisfaz uma equação de Langevin markoviana: ∂ ∂τ ϕ(τ, x) = − δ S δ ϕ(x) | ϕ(x)=ϕ(τ, x) + η(τ, x), onde S é a ação euclideana do sistema. Devemos assumir também as relações de Einstein, a saber 〈 η(τ, x) 〉η = 0, e também 〈 η(τ, x) η(τ ′, x′) 〉η = 2δ(τ − τ ′)δd(x− x′), onde 〈 ...〉η significa média estocástica. Pode-se mostrar que as funções de Schwinger da teoria em questão podem ser obtidas no limite assintótico, isto é, τ → ∞, onde calculamos médias estocásticas 〈ϕ(τ1, x1)ϕ(τ2, x2)...ϕ(τn, xn) 〉η. Desta forma temos que: lim τ→∞ 〈ϕ(τ1, x1)ϕ(τ2, x2)...ϕ(τn, xn) 〉η = ∫ [dϕ]ϕ(x1)ϕ(x2)...ϕ(xn) e −S(ϕ)∫ [dϕ] e−S(ϕ) , onde S(ϕ) = S0(ϕ)+SI(ϕ) é a ação d-dimensional. Este resultado nos leva a considerar a medida funcional como a distribuição estacionária associada a um processo estocástico. Note que a solução 36 da equação de Langevin necessita de uma condição inicial, como por exemplo: ϕ(τ, x)|τ=0 = ϕ0(x). Queremos enfatizar que a quantização estocástica introduz uma nova forma de se regularizar teorias de campo, que preserva todas as simetrias da teoria original. Existem duas formas distintas de se introduzir a regularização estocástica. A primeira é suavisar o rúıdo branco no funcional original [168] [169]. A outra possibilidade é modificar a equação de Langevin markoviana para uma equação de Langevin não-markoviana [170]. Recentemente Menezes e Svaiter, no trabalho [171], investigaram esta modificação. Posśıveis continuações nesta linha de pesquisa são por exemplo o estudo da quantização estocástica de Parisi-Wu em teoria topológicas [172], e o estudo da equação de Langevin de Parisi-Wu em variedades riemannianas compactas sem ou com horizonte de eventos [173]. 11 Conclusões Que direções podemos esperar para a teoria quântica dos campos? Inicialmente a teoria quântica dos campos foi formulada no espaço-tempo de Minkowski, para a descrição de pro- cessos envolvendo part́ıculas elementares, e estava bastante presa às idéias de Wigner, onde os campos aparecem como objetos no espaço das representações irredut́ıveis do grupo de Poincaré. A construção de modelos de campos com interação estava bastante presa também ao critério de renormalizabilidade dos modelos descrevendo as interações fundamentais. A predicabilidade da teoria quântica de campos, conectada à renormalizabilidade, fez com que constrúıssemos um modelo de unificação que é renormalizável. Importantes resultados em teoria quântica de cam- pos em espaços curvos e em coordenadas curviĺıneas, no espaço-tempo de Minkowski, também apareceram, e o critério de renormalizabilidade ainda estava presente neste peŕıodo. Entretanto a pergunta fundamental é a seguinte: para quê a renormalizabilidade se não existe somabilidade? Basta controlarmos as nossas aproximações para termos predicabilidade. Hoje sabemos que as séries que obtemos de uma expansão perturbativa em torno da teoria livre são séries assintóticas [159]. Vale a pena lembrar que o uso de expansões assintóticas levanta os seguintes problemas. O primeiro é a questão se uma função determinada possui uma expansão assintótica, que é conhecido na literatura como o problema da expansão (”the expansion prob- lem”). O segundo, que é conhecido na literatura como o problema da somação (”the summation problem”), diz respeito a encontrar a função F (x) cuja expansão assintótica está representada por uma série divergente. Note que se a série converge, a função F (x) é definida pela própria série. 37 [12] J. von Neumann, in ”Foundations of Quantum Physics”, M. Rédei and M. Stölzner (eds.), (pp. 249-268). [13] W. G. Unruh, Phys. Rev. D14, 870 (1976). [14] M. D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960). [15] S. Takagi, Progr. Theor. Phys. 88, 1 (1986). [16] D. W. Sciama, P. Candelas and D. Deutsch, Adv. Phys. 30, 327 (1980). [17] W. Rindler, Am. J. Phys. 34, 1177 (1966). [18] G. Kalnins, Siam Math. Ann. 6, 341 (1975). [19] L. Parker, Phys. Rev. Lett. 21, 562 (1968). [20] N. N. Bogoliubov, Sov. Phys. Jept, 7, 51 (1958). [21] I. Costa and N. F. Svaiter, Rev. Bras. F́ıs. 19, 271 (1989). [22] I. Costa, J. Math. Phys. 30, 888 (1989). [23] A. A. Grib, S. G. Mamayev and V. Mostepanenko, Gen. Rel. Grav. 7, 535 (1976). [24] A. A. Grib, S. Mamayev and V. M. Mostepanenko, Fort. der Phys. 28, 199 (1980). [25] C. N. Yang and D. Feldman, Phys. Rev. 79, 972 (1950). [26] M. Novello and J. Salim, Phys. Rev. D20, 377 (1979). 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