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TOPICOS EM TEORIA QUANTICA DOS CAMPOS1

N. F. Svaiter

Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas-CBPF Rua Dr. Xavier Sigaud 150, Rio de Janeiro-RJ, 22290-180, Brasil

1Curso apresentado na VI Escola do Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas

Neste curso apresentaremos alguns aspectos importantes da teoria quantica dos campos. Quero enfatizar que grande parte do material apresentado esta bastante influenciado pelas linhas de pesquisa que segui nestes ultimos vinte anos. Entendo que nao somente e mais facil falar daquele topico onde obtivemos algum resultado, mas tambem que se existe a possibilidade de se conhecer algum assunto e realmente saber do que e sobre o que estamos falando, este assunto deve fazer parte da propria linha de pesquisa. Apesar do conhecimento ser sempre incompleto, neste simples fato esta fundamentada a fonte do progresso cientıfico. Gostaria de agradecer especialmente a alguns colaboradores, B. F. Svaiter, L. H. Ford, M. Novello, A. P. C. Malbouisson, V. de Lorenci, R. de Paola, G. Ananos e G. Flores Hidalgo por terem compartilhado comigo as preocupacoes cientıficas que me acompanharam durante todos estes anos.

2 Introducao:os triunfos e as limitacoes da teoria quantica dos campos

A teoria dos campos quantizados, desenvolvida por Dirac, Fermi, Fock, Heisenberg, Jordan,

Wigner e outros, e uma fusao da mecanica quantica com a teoria da relatividade especial. Os pilares desta teoria sao o princıpio de superposicao dos estados quanticos com a interpretacao probabilıstica dos valores esperados e o princıpio de localidade que descarta as influencias acausais. Campos, que sao distribuicoes que tomam valores num espaco de operadores (”operator-valued distributions”), definidas num domınio denso com um espaco de Hilbert, comutam para distancias do tipo-espaco onde Π(x) e o operador momento canonicamente conjugado ao campo Φ(x). Apesar de seu grande sucesso inicial, uma dificuldade fundamental foi apontada ainda na decada de trinta do seculo passado. No calculo de amplitudes de transicao de processos, encontramos resultados divergentes. Este problema foi resolvido apos a segunda grande guerra, devido a esforcos de Dyson, Feynman, Salam, Schwinger, Tomonaga, Wick e muitos outros [1], onde a teoria de perturbacao num regime de acoplamento fraco para o calculo de amplitudes de transicao de processos foi desenvolvida e os resultados divergentes foram controlados por um esquema de regularizacao e renormalizacao.

Ate o presente momento a teoria quantica dos campos e o melhor formalismo matematico que temos em maos para a descricao de processos envolvendo a criacao e a destruicao de partıculas. Apesar desta teoria ter tido um desenvolvimento formidavel a partir dos anos quarenta do seculo passado, o interesse neste formalismo matematico foi decrescendo gradativamente e praticamente desapareceu nos anos sessenta, quando a teoria da matriz S dominou a fısica teorica por praticamente dez anos. Este desinteresse da maior parte da comunidade de fısicos teoricos pela teoria dos campos quantizados se originou na impossibilidade naquele momento do formalismo desenvolvido ate entao de resolver dois problemas fundamentais. O primeiro problema estava relacionado a descricao de sistemas fısicos onde o acoplamento entre diferentes campos que descrevem diferentes partıculas e forte, utilizando a teoria de perturbacoes desenvolvida por Dyson, Feynman, Tomonaga, Schwinger e outros. O segundo estava ligado a nao-renormalizabilidade da interacao fraca, que fez com que na descricao destes processos a predicibilidade da teoria quantica de campos fosse questionada. Desta forma, esforcos foram orientados na direcao do entendimento das propriedades estruturais da teoria quantica de campos, com o abandono dos metodos perturbativos e da formulacao lagrangiana, com diferentes tecnicas nao-perturbativas. Aparece tambem nesta epoca, como tentativa de sanar alguns problemas fundamentais, a teoria axiomatica e construtivista dos campos com os trabalhos de Haag, Kallen e Wightman. Uma exposicao moderna destes topicos pode ser encontrada na Ref. [2].

Ainda na decada dos cinquenta, Landau e colaboradores [3] [4] [5] notaram que na eletrodinamica quantica (QED) a carga renormalizada se anula quando um corte na regiao ultravioleta (”ultraviolet cut-off”), introduzido nas integrais divergentes que descrevem os processos fısicos de interacao entre fotons e eletrons, e retirado. Na verdade, o que Landau e colaboradores se depararam, foi com o fato de que apos efetuarem uma resomacao da serie perturbativa, levando em consideracao as contribuicoes logarıtmicas dominantes (”the leading logarithmic approximation”), a carga renormalizada se anula. A situacao associada a funcao de Green do foton e tambem bastante desagradavel. Para qualquer valor da carga renormalizada, o propagador do foton tem um polo para um determinado momento do tipo-espaco muito grande (”large spacelike momentum”). A presenca deste polo implica na existencia de partıculas de massa imaginaria conhecidas como taquions (”tachions”) na teoria. Desta forma a eletrodinamica, para ser matematicamente consistente, deve ser trivial. Neste contexto, trivialidade significa que nao existe interacao entre fotons e eletrons [6]. Este problema, conhecido na literatura como o problema de Moscou da carga zero (”Moscou zero charge problem”), teve um papel fundamental no abandono da teoria de campos no inıcio dos anos sessenta do seculo passado, e tambem teve uma grande importancia na evolucao das ideias que permearam a fısica teorica naquela metade de seculo.

Apos praticamente dez anos de esquecimento (1960/1970), enquanto a teoria da matriz S dominou a fısica teorica de altas energias, a teoria quantica de campos renasceu com a formulacao das teorias de calibre nao-abelianas (”non-abelian gauge field theories”). A construcao de mode- los onde a constante de acoplamento efetiva entre quarks e gluons se torna fraca para pequenas distancias, ou em outras palavras diminui com o aumento da energia envolvida nos processos, e tambem a introducao de varias ideias de materia condensada e fısica estatıstica, fizeram com que a comunidade de fısicos teoricos voltasse as atencoes novamente para a teoria dos campos quantizados. O problema da renormalizabilidade da interacao fraca ficaria resolvido com os modelos de unificacao das interacoes fundamentais, i.e., a interacao forte, fraca e eletromagnetica, enquanto que sistemas com interacao forte passaram a ser descritos pela cromodinamica quantica (QCD). Voltaremos a falar da cromodinamica quantica posteriormente, mas gostarıamos de enfatizar que a cromodinamica quantica nao pode ser facilmente harmonizada com a estrutura conceitual da teoria quantica de campos devido ao problema do confinamento (”confinement problem”), onde nao existe a nocao precisa de estados assintoticos ”in” e estados assintoticos ”out”.

3 A teoria dos campos em espacos curvos: o efeito Hawking e o efeito Unruh-Davies

Inicialmente a teoria quantica dos campos foi concebida e formulada num espaco-tempo sem curvatura, isto e, no espaco-tempo de Minkowski. Entretanto a comunidade de fısicos teoricos percebeu que o domınio de aplicabilidade da teoria quantica de campos deveria incluir tambem espacos-tempo curvos. E importante salientar que estaremos sempre assumindo um espaco-tempo classico onde os campos quantizados estarao definidos. Uma teoria quantica da gravitacao ainda nos coloca problemas insoluveis. Por exemplo, sabemos que uma quantidade fundamental na teoria dos campos e a matriz S, que nos da a amplitude do espalhamento entre estados assintoticos ”in” e estados assintoticos ”out”. Uma gravitacao quantica deveria descrever processos de espalhamento graviton-graviton, entretanto uma descricao de todo o universo dentro deste contexto e ainda bastante problematica. Esta incompatibilidade fundamental entre a teoria geral da relatividade e a mecanica quantica, que ate o presente momento e a melhor teoria que temos para descrever a realidade, ainda e um problema em aberto para todos nos. A origem profunda desta dificuldade de construir uma versao quantica da teoria de Einstein reside no fato que, para formularmos a teoria quantica de campos, somos obrigados a introduzir a priori o espaco-tempo e, mesmo que abandonemos o conceito do graviton e formulemos uma teoria das flutuacoes do espaco-tempo, esta teoria nao deve ser uma teoria local dos campos quantizados. No perıodo de 1970 a 1980, alguns importantes resultados em teoria quantica dos campos em espacos curvos e em coordenadas curvilıneas, no espaco-tempo de Minkowski, apareceram na literatura. O mais famoso destes resultados foi obtido por Hawking [7] e posteriormente rederivado por Hawking e Hartle [8]. Estes autores demonstraram que, devido a efeitos quanticos, um buraco negro e capaz de emitir radiacao termica. Na verdade as analises de Hawking mostram que a temperatura β−1 de um buraco negro, medida por observadores no infinito espacial, e igual a superfıcie de gravidade do horizonte (”surface gravity of the horizon”) dividida por 2pi. Para um buraco negro de Schwarzschild de massa M, teremos que no infinito espacial β = 8piM. Desta forma a temperatura medida por observadores no infinito espacial e dada por β−1 = 1 8piM .

Nao e dificil perceber que este mecanismo torna o sistema termodinamicamente instavel. Esta instabilidade aparece pois se, por flutuacoes, o buraco negro absorve radiacao termica do ambiente, sua massa aumenta e consequentemente sua temperatura diminui. O sistema evolui numa direcao onde o buraco negro esfria absorvendo cada vez mais radiacao termica do ambiente. Com este mecanismo, a massa do buraco negro aumenta sem limite. Ou se existe um limite, qual e este limite? Como veremos, existe um efeito nao analogo ao efeito Hawking, mas com muitos pontos em comum, so que num espaco-tempo sem curvatura, isto e, no espaco-tempo de Minkowski. Na verdade este resultado, que um buraco-negro pode emitir radiacao termica devido a efeitos quanticos, apareceu apos um intenso estudo de campos quantizados em espacos-tempo curvos. Alguns anos antes Fulling, estudando a quantizacao de campos em referenciais nao-inerciais, sob a orientacao de Wightman, obteve um importante resultado [9]. Ele demonstrou que no espaco-tempo de Minkowski, um observador uniformemente acelerado e capaz de construir uma adequada representacao da algebra dos operadores onde a definicao de partıcula associada ao campo quantizado pode ser implementada [10]. Em outras palavras, para observadores uniformemente acelerados, o conceito de partıcula associada ao campo quantizado esta operacionalmente bem definido. Lembremos que a teoria dos campos quantizados foi desenvolvida como uma fusao da mecanica quantica com a teoria da relatividade especial. Desta forma, a princıpio a quantizacao canonica pode ser implementada apenas por observadores inerciais. O resultado de Fulling estende a validade da quantizacao para observadores genericos, inerciais ou nao. E claro que esta representacao da algebra dos operadores, com o seu espaco de Hilbert dos estados nao e unitariamente equivalente a uma outra representacao, distinta desta, construıda por observadores inerciais.

O resultado acima descrito esta simplesmente baseado no fato de que no espaco-tempo de

Minkowski existe um numero infinito de representacoes unitariamente nao-equivalentes da algebra dos operadores, que postulamos para implementarmos a quantizacao dos campos classicos. A situacao e ımpar, e ocorre somente quando tratamos de sistemas que necessitam ser descritos por um numero infinito de graus de liberdade. Para sistemas que sao descritos por um numero finito de graus de liberdade (N < ∞, onde N e o numero de coordenadas generalizadas do sistema) todas as representacoes irredutıveis de uma algebra A sao unitariamente equivalentes [1]. Assim, vemos claramente que para N < ∞ a descricao fısica de um sistema nao depende da representacao, que pode ser escolhida por conveniencia. Para N = ∞ podemos ter duas representacoes irredutıveis de A que nao sao unitariamente equivalentes. Este problema e conhecido na literatura como o problema da representacao em teoria quantica dos campos (”representation problem in quantum field theory”). Na verdade, esta e a grande crıtica que von Neumann faz a teoria quantica dos campos, a saber, de ter que conviver com numero infinito de representacoes unitariamente naoequivalentes da algebra dos operadores [12].

Como a quantizacao canonica de qualquer campo classico esta apoiada nas equacoes de movimento, na algebra dos operadores e finalmente na construcao do espaco de Hilbert dos estados fısicos, as partıculas associadas a um campo quantizado passam a ser dependentes do estado de movimento do observador que implementa a quantizacao canonica. Uma outra forma de interpretar o resultado obtido por Fulling e o seguinte: para um observador uniformemente acelerado, que constroi uma representacao da algebra dos operadores adequada a sua situacao, o estado fundamental (”ground state”) associado a um campo quantizado nao e o vacuo de Minkowski. Este estado de mais baixa energia e chamado de vacuo de Rindler, e tem uma energia mais baixa que a do vacuo de Minkowski. Desta forma o observador uniformemente acelerado percebe o vacuo de Minkowski com um estado de energia mais alta do que seu estado fundamental, isto e, o vacuo de Rindler.

Esta situacao pedia um minucioso exame crıtico. Vamos rapidamente discutir como a existencia de uma temperatura caracterıstica associada a esta diferenca foi operacionalmente clarificada por Unruh [13]. Um aprofundamento no entendimento do problema acima exposto exigiu a introducao de um aparato experimental (”measurement device”). Desta forma Unruh, dando prosseguimento a esta linha de investigacoes, introduziu um modelo simplificado de um detector acoplado a um campo escalar neutro, e obteve um importante resultado que tem uma ligacao direta com o resultado de Fulling, Hawking e Hartle. Aquele autor demonstrou que, no espaco-tempo de Minkowski, um detector que percorre uma linha de universo com aceleracao propria constante, isto e, esta uniformemente acelerado, tem o seguinte comportamento: se for preparado no estado fundamental, e esta interagindo com o campo escalar no estado de vacuo de Minkowski, tem uma probabilidade assintotica nao-nula de ser encontrado num estado excitado. A situacao de equilıbrio, entre o detector uniformemente acelerado e o campo no estado de vacuo de Minkowski, e a mesma que a de um detector inercial interagindo com um banho termico a temperatura β−1, se a identificacao β−1 = σ 2pi for feita, onde σ e a aceleracao propria do detector. Em outras palavras, a funcao resposta do detector nas duas situacoes e a mesma. Este resultado e conhecido na literatura como teorema da termalizacao, e simplesmente expressa o fato de que para um observador uniformemente acelerado o vacuo de Minkowski nao e um estado puro, mas um estado misto termico no qual a temperatura e proporcional a aceleracao propria do observador.

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