Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar, Teses (TCC) de Física

Baixe Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar e outras Teses (TCC) em PDF para Física, somente na Docsity! Universidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Programa de Pós-Graduação em F́ısica Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar Damião Pedro Meira Filho Orientador: Prof. Dr. Lúıs Carlos Bassalo Crispino Belém Fevereiro de 2006 Universidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Programa de Pós-Graduação em F́ısica Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar Dissertação de Mestrado Belém Fevereiro de 2006 Agradecimentos Ao Prof. Lúıs Carlos Bassalo Crispino pela sua competente e segura orientação, pela solicitude e empenho ao longo da realização deste projeto. Agradeço também pela opor- tunidade de colaborar neste e em futuros projetos. Aos professores Sérgio Vizeu, Van Sérgio, Marcelo Lima, Danilo Alves, João Felipe, Petrus Agripino, Paulo de Tarso e José Bassalo, sempre soĺıcitos e dispostos a colaborar. Ao Prof. Jorge Castiñeiras pelas prof́ıcuas discussões em torno deste projeto e de temas diversos em F́ısica. Ao Prof. George Matsas pela atenção e solicitude dispensadas, por ocasião de minha primeira experiência como estudante visitante do IFT. Aos responsáveis técnicos do Programa de Pós-Graduação em F́ısica, Ângela Pacheco, Alzira Andrade e Anderson Viana, pela constante solicitude. A todos os amigos entre os quais posso destacar Francisco, Lucivaldo, Eleutério, Char- les, Tadeu, Renato, Edney, Fábio, Antônio e Nelson. Aos meus queridos pais, Damião Meira e Joelna Meira pelo empenho na transmissão dos conceitos de moral e ética elevad́ıssimos de nossa TORAH e pela enorme e permanente disposição em apoiar-me total e incondicionalmente em todos os âmbitos da vida. Aos meus estimados irmãos e às esferas familiares mais próximas por todo o incentivo. À estimada esposa Çelet Meira, por ser amiga e companheira fiel, por ser minha leǵıtima Eshet Chail. LEATA HASHEM, HAKADOSH BARUCH HU, por criar o universo e elaborar suas leis, por trazer a existência as realidades finitas e transcedentes, e especialmente por outorgar a TORAH. Resumo Neste trabalho determinamos, utilizando Teoria Quântica de Campos em ńıvel de árvore, a radiação escalar emitida por uma fonte em movimento circular uniforme no espaço-tempo plano de Minkowski, assumindo Gravitação Newtoniana, e no espaço-tempo curvo de um buraco negro sem carga e com momento angular nulo, assumindo Relatividade Geral. Efetuamos este cálculo analiticamente para o caso de Minkowski e numericamente no âmbito do espaço-tempo de Schwarzschild, sendo que neste espaço-tempo curvo obtivemos a forma anaĺıtica e a normalização dos modos nas regiões assintóticas. Verificamos que, para as órbitas circulares estáveis de acordo com a Relatividade Geral, a potência irradiada no caso de um buraco negro de Schwarzschild é menor do que a obtida no espaço-tempo de Minkowski assumindo a Gravitação Newtoniana. Obtemos também que apenas uma pequena parcela da radiação emitida é absorvida pelo buraco negro. Verificamos que a diferença entre as potências irradiadas em Schwarzschild e Minkowski diminui na medida em que aumentamos o valor da massa do campo. Em Schwarzschild, uma parcela cada vez maior da radiação emitida é absorvida pelo buraco negro na medida em que aumentamos o valor da massa do campo. Palavras chave: Teoria Quântica de Campos, espaços-tempos curvos, buraco negro, radiação escalar. Abstract In this work we determine, using Quantum Field Theory in tree level, the scalar radiation emitted by a source in uniform circular motion in Minkowski spacetime, assuming Newto- nian gravitation, and in the curved spacetime of a chargeless black hole with null angular momentum, assuming General Relativity. We perform this calculation analitically for the case of Minkowski spacetime and numerically for Schwarzschild spacetime. In the black hole case we obtain the analytic form and the normalization of the modes in the asymp- totic regions. We verify, for stable circular orbits acording to general relativity, that the emitted power in Schwarzschild spacetime is lower than the one obtained in Minkowski spacetime assuming Newtonian gravitation. We obtain that only a little amount of the emitted radiation is absorbed by black hole. We also verify that the difference between the emitted powers in Schwarzschild and Minkowski cases decreases if the mass of field is increased. In Schwarzschild spacetime, the amount of radiation absorbed by the black hole increases for higher values of the mass of the scalar field. Keywords: Quantum field theory, curved spacetimes, black hole, scalar radiation. 7 Caṕıtulo 1 Introdução A Teoria Quântica de Campos em Espaços Curvos (TQCEC) empenha-se em elaborar um formalismo capaz de investigar as conseqüências de se definir uma teoria quântica de campos para a matéria e suas interações sobre um espaço-tempo curvo subjacente. Não obstante a TQCEC se apresentar como teoria efetiva e portanto ser inapta para abordar determinados fenômenos quânticos na escala de Planck, esta vem promovendo predições releventes acerca de determinados efeitos tais como a radiação térmica medida por observadores acelerados (efeito Fulling-Davies-Unruh), a evaporação de buracos negros provocada por efeitos quânticos (radiação Hawking) e a criação de part́ıculas em universos em expansão [1, 2, 3]. Em virtude disso optamos por uma teoria capaz de relacionar coerentemente os ingredientes da Relatividade Geral, que prevêem a existência de buracos negros, com os ingredientes da Teoria Quântica de Campos, que descrevem interações entre fonte e campo. É particularmente importante e desafiador para astrof́ısica confirmar por meio de evidências diretas a existência de buracos negros, uma vez que existem várias evidências observacionais indiretas destes objetos [4]. Tais evidências deverão ser obtidas por meio de análises minuciosas da radiação proveniente dos discos de acreção de buracos negros. Com efeito, a observação de fenômenos relativ́ısticos acontecendo nas proximidades do horizonte de eventos de buracos negros e as alterações no processo de emissão de radiação devido aos efeitos gerados pela curvatura não-trivial dos mesmos são altamente relevantes 10 [5]. Neste sentido, é relevante investigar teórica e experimentalmente efeitos relacionados à presença de fontes em movimento circular uniforme, tais como fonte escalar e carga elétrica orbitando um buraco negro e interagindo na região próxima do horizonte de eventos do mesmo. Tem sido investigado na literatura o problema da radiação emitida por uma fonte escalar interagindo com um campo escalar não-massivo e por uma carga elétrica inte- ragindo com um campo eletromagnético, ambos considerando espaços-tempos plano e curvo [16, 22]. Neste trabalho, nos dedicamos a analisar o problema da radiação emi- tida por uma fonte escalar interagindo com um campo escalar massivo, considerando os espaços-tempos de Minkowski e Schwarzschild. A quantização do campo escalar massivo no espaço-tempo plano de Minkowski será revisitada no caṕıtulo 2. No caṕıtulo 3 reproduziremos a quantização do campo escalar massivo no espaço-tempo de um buraco negro sem carga e com momento angular nulo. No caṕıtulo 4 calcularemos a taxa de emissão e a potência irradiada por uma fonte acele- rada no espaço-tempo de Minkowski e em seguida determinaremos as mesmas grandezas para uma fonte orbitando um buraco negro de Schwarzschild. Serão apresentadas no caṕıtulo 5 a análise e comparação dos resultados obtidos por tratamento anaĺıtico e via método numérico [6]. No caṕıtulo 6 faremos os comentários finais e exibiremos as nossas conclusões. Adotaremos neste trabalho o sistema natural de unidades, no qual c = G = ~ = 1 , bem como a signatura (+, -, -, -). 11 Caṕıtulo 2 Quantização do campo de Klein-Gordon no espaço-tempo de Minkowski Neste caṕıtulo será reproduzido o procedimento de quantização do campo de Klein-Gordon no espaço-tempo de Minkowski. Para tanto, partiremos de uma formulação lagrangeana para o campo escalar massivo encontrando a equação de campo e obtendo então as soluções clássicas da equação de Klein-Gordon. Em seguida faremos a normalização das soluções clássicas e, finalmente, a partir da imposição de relações de comutação, efetuaremos a quantização do campo escalar massivo. 2.1 Soluções clássicas da equação de Klein-Gordon em Minkowski O espaço-tempo plano ou espaço-tempo de Minkowski, apresenta elemento de linha em coodenadas polares esféricas dado por [7] ds2 = ηµνdx µdxν = dt2 − dr2 − r2dθ2 − r2(sin θ)2dϕ2 , (2.1) 12 uωlp(x µ) = Rωl(r)Ylp(θ, ϕ)e −iωt . (2.12) Em seguida usamos (2.11) e (2.12) para reescrever (2.9) como [ − d 2 dr2 − 2 r d dr − (ω2 −m2) + l(l + 1) r2 ] Rωl(r) = 0, (2.13) ou, escolhendo Rωl(r) ≡ ψMω l(r)/r, escrevemos a expressão anterior como [ − d 2 dr2 + VM ] ψMω l(r) = ω 2ψMω l(r) , (2.14) com o potencial espalhador VM ≡ l(l + 1) r2 + m2 . (2.15) A equação diferencial (2.13) é a equação diferencial que define as funções de Bessel esféricas na variável r (√ ω2 −m2), i.e., jl ( r (√ ω2 −m2)) e nl ( r (√ ω2 −m2)). Podemos descartar a solução nl ( r (√ ω2 −m2)) pois os modos a ela associados não são norma- lizáveis pelo produto interno que adotaremos na seção seguinte, como consequência de seu comportamento divergente na origem [11, 12]. Podemos, desta forma, reescrever (2.12) como uωlp(x µ) = Cωjl ( r (√ ω2 −m2 )) Ylp(θ, ϕ)e −iωt (ω ≥ m) , (2.16) onde Cω é uma constante a ser determinada pela normalização de uωlp(x µ). 2.2 Normalização das soluções clássicas em Minkowski Para ortonormalizar os modos uωlp(x µ), que representam as soluções clássicas obtidas na seção anterior, fazemos uso do produto interno de Klein-Gordon [2], a saber σKG(φ, ψ) = i ∫ Σ(3) dΣ(3)nµ[φ∗(∇µψ)− (∇µφ∗)ψ] , (2.17) 15 onde aqui dΣ(3) = √ −η(3)d3x é o elemento de volume (em três dimensões) invariante da superf́ıcie de Cauchy Σ(3), nµ é o vetor unitário ortogonal à superf́ıcie tipo espaço Σ(3), direcionado para o futuro, e η(3) é o determinante da métrica restrita a Σ(3) (para o espaço-tempo em questão temos η(3) = −r4 sin2 θ ). Uma vez que (2.17) é independente de Σ(3), escolhemos a superf́ıcie Σ (3) t com t = constante. Desta forma, para o caso do espaço-tempo plano com coordenadas polares esféricas, temos que dΣ (3) t = √ −η(3)drdθdϕ = r2 sin θdrdθdϕ (2.18) e nµ = δµ0 . (2.19) A seguir, impomos as condições de ortonormalização dos modos uωlp(x µ) e seus com- plexos conjugados u∗ωlp(x µ) , a saber σKG(uωlp , uω′ l′p′ ) = δ(ω − ω ′ )δll′δpp′ , (2.20) σKG(u ∗ ωlp , uω′ l′p′ ) = 0 . (2.21) Utilizando o produto interno de Klein-Gordon, podemos normalizar os modos uωlp(x µ), determinando assim a constante Cω. De (2.16)-(2.20), obtemos σKG(uωlp , uω′ l′p′ ) = (ω + ω ′ )C∗ωCω′e i(ω−ω′ )t ∫ ∞ 0 drr2jl′ [ r √ (ω′)2 −m2 ] jl [ r √ ω2 −m2 ] × ∫ 2π 0 ∫ π 0 dθdϕ sin θ Y ∗lp(θ, ϕ)Yl′p′ (θ, ϕ) . (2.22) Sabemos que [11] ∫ 2π 0 ∫ π 0 dθdϕ sin θ Y ∗lp(θ, ϕ)Yl′p′ (θ, ϕ) = δll′δpp′ (2.23) 16 e ∫ ∞ 0 drr2jl′ [ r √ (ω′)2 −m2 ] jl [ r √ ω2 −m2 ] = π 2(ω2 −m2)δ [√ ω2 −m2 − √ (ω′)2 −m2 ] (2.24) e, ainda, usando uma das propriedades da delta de Dirac, a saber [11] δ [f(x)] = ∑ i δ(x− xi)∣∣ df dx |xi ∣∣ , obtemos δ [√ ω2 −m2 − √ (ω′)2 −m2 ] = √ ω2 −m2 ω [ δ(ω − ω′) + δ(ω + ω′) ] . (2.25) Substituindo as expressões (2.23)-(2.25) na expressão (2.22), temos σKG(uωlp , uω′ l′p′ ) = π√ ω2 −m2 |Cω| 2 [ δ(ω − ω′) + δ(ω + ω′) ] δll′δpp′ , (2.26) onde o termo contendo a função de distribuição δ(ω + ω ′ ) resulta em uma contribuição nula, uma vez que ω ≥ m e ω′ ≥ m impedem que ω = −ω′. Comparando (2.20) com (2.26), obtemos Cω = (√ ω2 −m2 π ) 1 2 (2.27) a menos de uma fase multiplicativa arbitrária. 2.3 Quantização do campo escalar massivo no espaço- tempo plano No procedimento de quantização canônica do campo escalar massivo, impõem-se relações de comutação a tempos iguais, a saber 17 De outro modo, utlizando a definição do produto interno de Klein-Gordon expressa em (2.17), o campo Φ̂ expresso em (2.33) e as condições dadas em (2.20) e (2.21), obtemos σKG(uωlp , Φ̂) = ∑ l′′p′′ âω l′′p′′ δll′′δpp′′ = âωlp , (2.39) e σKG(Φ̂ , uω′ l′p′ ) = ∑ l′′p′′ ↠ω′ l′′p′′ δl′ l′′δp′p′′ = â † ω′ l′p′ . (2.40) Com efeito, usando as expressões (2.39) e (2.40), obtemos uma forma alternativa para o comutador entre os produtos internos de Klein-Gordon, σKG(Φ̂, uωlp) e σKG(uω′ l′p′ , Φ̂) , a saber [ σKG(Φ̂, uωlp) , σKG(uω′ l′p′ , Φ̂) ] = [ â†ω lp , âω′ l′p′ ] . (2.41) Deduzimos das expressões (2.38) e (2.41) que [ â†ω lp , âω′ l′p′ ] = δll′δpp′ δ(ω − ω ′ ) . (2.42) Utilizando a expressão (2.36) podemos determinar o comutador entre σKG(uωlp , Φ̂) e σKG(uω′ l′p′ , Φ̂) , a saber [ σKG(uωlp , Φ̂) , σKG(uω′ l′p′ , Φ̂) ] = 0 , (2.43) podemos obter ainda o comutador entre σKG(Φ̂ , uωlp) e σKG(Φ̂ , uω′ l′p′ ) [ σKG(Φ̂ , uωlp) , σKG(Φ̂ , uω′ l′p′ ) ] = 0 . (2.44) Utilizando as expressões (2.39) e (2.40), podemos determinar resultados alternativos para as equações (2.43) e (2.44), respectivamente, a saber [ σKG(uωlp , Φ̂) , σKG(uω′ l′p′ , Φ̂) ] = [ âω lp , âω′ l′p′ ] , (2.45) e 20 [ σKG(Φ̂, uωlp) , σKG(Φ̂ , uω′ l′p′ ) ] = [ â†ω lp , â † ω ′ l ′ p ′ ] . (2.46) Efetuando comparações entre (2.43) e (2.45) e entre (2.44) e (2.46), obtemos [ âω l p , âω′ l′ p′ ] = 0 , (2.47) e [ â†ω l p , â † ω′ l′ p′ ] = 0 . (2.48) O estado quântico que, para os observadores inerciais, corresponde à ausência de part́ıculas é denominado vácuo de Minkovski [13, 14], |0〉M , sendo este estado aniquilado por todos os operadores âω l p , i.e.: âω l p |0〉M = 0 . (2.49) 21 Caṕıtulo 3 Quantização do campo de Klein-Gordon no espaço-tempo de Schwarzschild Neste caṕıtulo, a exemplo do caso no espaço-tempo plano, estudaremos as soluções clássicas do campo escalar massivo no espaço-tempo curvo de Schwarzschild, encontraremos as soluções clássicas no limite assintótico e faremos sua normalização. Em seguida apre- sentaremos o método numérico de determinação e normalização das soluções e por fim executaremos, assumindo determinadas relações de comutação, a quantização do campo escalar massivo em Schwarzschild. 3.1 Soluções clássicas da equação de Klein-Gordon em Schwarzschild O elemento de linha de Schwarzschild, que descreve um espaço-tempo exterior a um buraco negro com momento angular nulo e eletricamente neutro, em coordenadas polares esféricas, é dado por 22 Pelo fato de assumirmos um substrato espaço temporal estático e esfericamente simétrico, que é o caso do espaço-tempo de Schwarzschild, podemos escrever os modos unωlp na forma unωlp(x µ) = √ π ω Rnωl(r) Ylp(θ, ϕ)e −iωt (ω ≥ ωmin) , (3.10) onde √ π ω é uma constante arbitrada convenientimente. Em seguida usamos (3.9) e (3.10) para obtermos a equação diferencial a ser satisfeita pela função radial Rnωl(r), a saber [ − 1 r2 d dr ( r2f d dr ) − ω 2 f + l(l + 1) r2 + m2 ] Rnωl(r) = 0 , (3.11) ou, escolhendo Rnωl(r) ≡ ψn Sω l (r)/r , escrevemos a expressão anterior, como [ −f d dr ( f d dr ) + VS ] ψn Sω l (r) = ω 2ψn Sω l (r) , (3.12) com o potencial de espalhamento [15], dado por VS = ( 1− 2M r ) [ 2M r3 + l(l + 1) r2 + m2 ] . (3.13) Analisemos os extremos do potencial de espalhamento em Schwarzschild. Observamos que para l = 0 e mM < 1 4 , o potencial exibe dois pontos extremos (um ponto de máximo e outro de mı́nimo). Para l = 0 e mM > 1 4 , o mesmo não apresenta pontos extremos. Para l = 0 e mM = 1 4 , o potencial apresenta um ponto de inflexão [ver fig. 5.11] [18]. Fazendo uso da coordenada adimensional de Wheeler [16] x ≡ r 2M + ln ( r 2M − 1 ) , (3.14) podemos reescrever a expressão (3.12) como [ − d 2 dx2 + 4M2 VS(r) ] ψn Sω l (x) = 4M 2 ω2 ψn Sω l (x) (3.15) 25 3.2 Soluções clássicas em Schwarzschild no limite as- sintótico Ao analisarmos a equação diferencial expressa em (3.12), encontramos dificuldades ma- temáticas que nos impedem de obter sua solução geral em termos de funções especiais conhecidas. Não obstante a estas complicações, é posśıvel determinar suas soluções nor- malizadas na região espacial assintótica. Apresentaremos a forma anaĺıtica aproximada de ψn Sω l nas proximidades do horizonte de eventos e no infinito. Analizando o potencial de espalhamento (3.13), verificamos que este tende a zero (VS → 0) quando r se aproxima assintoticamente de 2M (r → 2M ou x → −∞). Ve- rificamos também que este tende a m2 (VS → m2) quando r se aproxima assintoticamente do infinito (r → ∞ ou x → ∞). Com efeito, os modos provenientes do infinito estão associados a part́ıculas com energias entre a massa de repouso e infinito enquanto que os modos provenientes do horizonte de eventos estão associados a part́ıculas dotadas de energias entre zero e infinito. Desta maneira, para as regiões assintóticas arbitrariamente próximas e distantes do horizonte de eventos a equação diferencial (3.15) para as funções ψn Sω l (x), apresentar-se-á, respectivamente, como [5, 16] [ − d 2 dx2 ] ψn Sω l (x) = 4M 2 ω2 ψn Sω l (x) (r & 2M) , (3.16) e [ − d 2 dx2 + 4M2 m2 ] ψn Sω l (x) = 4M 2 ω2 ψn Sω l (x) (r À 2M) . (3.17) Desta forma, os modos ψ→ ,Sω l (x) provenientes do horizonte passado H−(horizonte do buraco branco) (ω ≥ 0), e os modos ψ← ,Sω l (x) provenientes do infinito passado tipo tempo I− (ω ≥ m), podem ser expressos como [5, 16] 26 ψ→ ,Sω l (x) ≈    A→ω l ( ei2Mωx +R→ω le−i2Mωx ) (r & 2M) 2il+1A→ωlT →ωl Mx √ ω2 −m2h(1)l ( 2Mx √ ω2 −m2) (r À 2M) , (3.18) e ψ← ,Sω l (x) ≈    A←ω lT ←ωl e−i2Mωx (r & 2M) 2A←ωlMx √ ω2 −m2 [ (−i)l+1h(1)∗l ( 2Mx √ ω2 −m2) +il+1R←ω lh(1)l ( 2Mx √ ω2 −m2) ] (r À 2M) , (3.19) sendo h (1) l a função esférica de Hankel ou função esférica de Bessel modificada [16, 17] definida como h (1) l (x) = jl(x) + inl(x) . (3.20) Podemos escrever h (1) l (x), para x >> 1, como h (1) l (x) ≈ (−i)l+1 eix x (x À 1) . (3.21) Para ω ≥ m, os termos |R←ωl|2 , |R→ωl|2 e |T ←ωl |2 ,|T →ωl |2 podem ser vistos como os coe- ficientes de reflexão e transmissão, respectivamente [18, 19], satisfazendo as equações de conservação da probabilidade |R→ωl|2 + √ ω2 −m2 ω |T →ωl |2 = 1 , (3.22) e |R←ωl|2 + ω√ ω2 −m2 |T ← ωl |2 = 1 . (3.23) Os modos provenientes do horizonte associados a part́ıculas com energia inferior a massa de repouso são expressos como 27 Assumindo uma solução de (3.15), originária do infinito passado tipo tempo I−, com módulo unitário, expressa por χ← ,Sω l (xE) = e −i2Mω xE (xE ¿ −1) , (3.30) para um valor fixo de ω entre m e ∞, sendo χ← ,Sω l (xE) a condição inicial na região as- sintótica próxima ao horizonte de eventos futuroH+, onde x −→ −∞ (ou r −→ 2M). Em seguida evolúımos numericamente esta solução no sentido de x −→ +∞ (ou r −→ +∞), por meio da equação diferencial (3.15). O resultado para regiões suficientemente distantes do horizonte de eventos (para muito além do máximo do potencial (3.13)), é dado por [5, 15, 16] χ← ,Sω l (xD) ≈ C←ω l e−i2M √ ω2−m2xD + D←ω l e i2M √ ω2−m2xD (xD À 1) , (3.31) com |C←ω l|2−|D←ω l|2 = ω√ω2−m2 . Efetuando o cálculo da derivada de χ ← ,S ω l (x) (com respeito a x), no ponto xD À 1, obtemos dχ← ,Sω l dx (xD) ≈ i2M √ ω2 −m2 [ −C←ω l e−i2M √ ω2−m2xD + D←ω l e i2M √ ω2−m2xD ] . (3.32) Manipulando algebricamente (3.31) e (3.32), obtemos |C←ω l|2 = 1 4   ∣∣∣χ← ,Sω l (xD) ∣∣∣ 2 + 1 4M2(ω2 −m2) ∣∣∣∣∣ dχ← ,Sω l dx (xD) ∣∣∣∣∣ 2   + 1 2 ω√ ω2 −m2 , (3.33) e |D←ω l|2 = 1 4   ∣∣∣χ← ,Sω l (xD) ∣∣∣ 2 + 1 4M2(ω2 −m2) ∣∣∣∣∣ dχ← ,Sω l dx (xD) ∣∣∣∣∣ 2  − 1 2 ω√ ω2 −m2 . (3.34) Devemos lembrar que a função χ← ,Sω l não se apresenta normalizada. Vamos então multiplicá-la por uma constante de normalização K←ωl : 30 K←ωl χ ← ,S ω l (x) ≈    K←ωl e −i2Mxω (x ¿ −1) K←ωl ( C←ω l e −i2Mx√ω2−m2 + D←ω l e i2Mx √ ω2−m2 ) (x À 1) . (3.35) Sendo assim, determinaremos K←ωl requerendo que as condições de contorno assintóticas de (3.35) sejam compat́ıveis com (3.19). Usando a expressão (3.21), podemos reescrever (3.19) como ψ← ,Sω l (x) ≈    A←ω lT ←ωl e−i2Mωx (r & 2M) A←ωl [ e−2iMx √ ω2−m2 +R←ω le2iMx √ ω2−m2 ] (r À 2M) . (3.36) Desta forma, podemos determinar os coeficientes C←ω l, D ← ω l e K ← ω l: C←ω l = 1 T ←ωl , D←ω l = R←ωl T ←ωl , K←ω l = A ← ωlT ←ωl . Deduzimos, do tratamento realizado acima, a expressão normalizada de ψ← ,Sω l (x), a saber ψ← ,Sω l (x) = A ← ωl T ←ωl χ← ,Sω l (x) . (3.37) Efetuando procedimento análogo, podemos obter a função radial ψ→ ,Sω l (x), associada aos modos provenientes do horizonte de eventos passado H− . De (3.18) concluimos que, distante do horizonte de eventos (para muito além do máximo do potencial (3.13)), ψ→ ,Sω l (x) ∝ ei2Mx √ ω2−m2 (x À 1) . Assumindo uma solução de (3.15), originária do horizonte de eventos passado H−, com módulo unitário, expressa por 31 χ→ ,Sω l (xD) = e i2MxD √ ω2−m2 (xD À 1) , (3.38) para um valor fixo de ω entre m e ∞, sendo χ→ ,Sω l (xD) a condição inicial na região assintótica próxima ao infinito futuro tipo tempo I+, onde x −→ ∞ (ou r −→ ∞). Em seguida evolúımos numericamente esta solução no sentido de x −→ −∞ (ou r −→ 2M), por meio da equação diferencial (3.15). O resultado para regiões suficientemente próximas ao horizonte de eventos, é dado por [5, 15, 16] χ→ ,Sω l (xE) ≈ C→ω l ei2MωxE + D→ω l e−i2MωxE (xE ¿ −1) , (3.39) com |C→ω l|2−|D→ω l|2 = √ ω2−m2 ω . Efetuando o cálculo da derivada de χ→ ,Sω l (x) (com respeito a x), no ponto xE ¿ −1, obtemos dχ→ ,Sω l dx (xE) ≈ i2Mω [ C→ω l e i2MωxE −D→ω l e−i2MωxE ] . (3.40) Manipulando algebricamente (3.39) e (3.40), obtemos |C→ω l|2 = 1 4   ∣∣∣χ→ ,Sω l (xE) ∣∣∣ 2 + 1 4M2ω2 ∣∣∣∣∣ dχ→ ,Sω l dx (xE) ∣∣∣∣∣ 2   + 1 2 √ ω2 −m2 ω , (3.41) e |D→ω l|2 = 1 4   ∣∣∣χ→ ,Sω l (xE) ∣∣∣ 2 + 1 4M2ω2 ∣∣∣∣∣ dχ→ ,Sω l dx (xE) ∣∣∣∣∣ 2  − 1 2 √ ω2 −m2 ω . (3.42) Devemos lembrar que a função χ→ ,Sω l não se apresenta normalizada. Vamos então multiplicá-la por uma constante de normalização K→ωl : K→ωl χ → ,S ω l (x) ≈    K→ωl ( C→ω l e i2Mxω + D→ω l e −i2Mxω) (x ¿ −1) K→ωl e i2Mx √ ω2−m2 (x À 1) . (3.43) Sendo assim, determinaremos K→ωl requerendo que as condições de contorno assintóticas de (3.43) sejam compat́ıveis com (3.18). Usando a expressão (3.21), podemos reescrever (3.18) como 32 K→ω l = A → ωlT →ωl . Conclúımos, do tratamento realizado acima, a expressão normalizada de ψ→ ,Sω l (x), a saber ψ→ ,Sω l (x) = A → ωl T →ωl χ→ ,Sω l (x) (ω < m). (3.52) A partir da condição |C→ω l|2 = |D→ω l|2 podemos mostrar que |R→ωl|2 = 1 e, portanto, todos os modos provenientes do horizonte de eventos com ω < m são totalmente refletidos de volta para o horizonte. Verificamos, neste método, que o erro numérico será tanto menor quanto maiores os módulos de xE < 0 e xD > 0. Podemos padronizar este procedimento, para cada valor de ω, escolhendo xE e xD tais que o potencial VS, dado em (3.13), seja sempre menor ou igual a 5% de ω2, de forma que as funções ei2Mxω e ei2Mx √ ω2−m2 apresentem-se de fato como boas aproximações para ψ→ ,Sω l (x) e ψ ← ,S ω l (x) , respectivamente. O teste efetuado para garantir a confiabilidade de nossos métodos foi a verificação de que as equações 3.18 e 3.19 foram satisfeitas (com as relações apropriadas para Rnωl e T nωl ) ao longo do cálculo numérico. 3.5 Quantização do campo escalar massivo no espaço- tempo de um buraco negro estático e sem carga No processo de quantização canônica do campo escalar massivo, impõem-se relações de comutação a tempos iguais, a saber [ Φ̂(t,−→x ) , Φ̂(t,−→x ′) ] = [ Π̂(t,−→x ) , Π̂(t,−→x ′) ] = 0 , (3.53) [ Φ̂(t,−→x ) , Π̂(t,−→x ′) ] = i n0√−g δ (3)(−→x −−→x ′) , (3.54) 35 onde o momento Π̂ conjugado ao campo Φ̂ é defindo como Π̂ ≡ nµΠ̂µ ≡ nµ 1√−g ∂£̂ ∂(∇µΦ̂) . (3.55) Usando a expressão (3.3), podemos reescrever a expressão (3.55) como Π̂ = nµ∇µΦ̂ . (3.56) Para o espaço-tempo de Schwarzschild usamos que nµ = δµ0√ f , e que √−g = r2 sin θ . Assim, a expressão (3.54) pode ser reescrita como [ Φ̂(t,−→x ) , Π̂(t,−→x ′) ] = i ( √ f) r2 sin θ δ(3)(−→x −−→x ′) , (3.57) sendo −→x e −→x ′ representantes de todas as componentes espaciais de xµ e x′µ, respectiva- mente. Admitindo o caráter quântico-operatorial do campo Φ̂(xµ), podemos então expandi-lo em termos dos modos de freqüência positiva uωlp(x µ) e negativa u∗ωlp(x µ) , como Φ̂(xµ) = ∑ n=→,← ∞∑ l=0 l∑ p=−l ∫ ∞ ωmin dω[unωlp(x µ)ânωlp + u n∗ ωlp(x µ)ân†ωlp] , (3.58) sendo os coeficientes, ânωlp e â n† ωlp , respectivamente, operadores de aniquilação e criação. A partir de (3.56) e (3.58) temos Π̂µ(x µ) ≡ ∇µΦ̂ = ∑ n=→,← ∞∑ l=0 l∑ p=−l ∫ ∞ ωmin dω[(∇µunωlp) ânωlp + (∇µun∗ωlp) ân†ωlp ] . (3.59) 36 Podemos também definir o momento canônico Π̂C = √−g n0 Π̂(xλ), de tal maneira que [ Φ̂(t,−→x ) , Π̂C(t,−→x ′) ] = i δ(3)(−→x −−→x ′) . Devemos então obter as relações de comutação entre os operadores ânωlp e â n† ωlp definidos na expressão (3.58). Procedemos inicialmente exigindo que os modos uωlp satisfaçam σKG(u n ωlp , u n ′ ω ′ l ′ p ′ ) = M% %′ δ(ω − ω ′ ) (3.60) σKG(u n ∗ ωlp , u n ′ ω′ l′p′ ) = 0 , (3.61) sendo % o ı́ndice que representa os números quânticos n, l e p . Utilizando a definição de produto interno de Klein-Gordon apresentada na expressão (2.17) adaptada para o espaço-tempo de Schwarzschild podemos definir σKG(Φ̂, uω%) = i ∫ Σ(3) dΣ(3)nµ[Φ̂†(∇µuω%)− (∇µΦ̂†)uω%], (3.62) e σKG(uω′%′ , Φ̂) = i ∫ Σ(3) dΣ(3)nµ[u∗ ω′%′ (∇µΦ̂)− (∇µu∗ω′%′ Φ̂] . (3.63) Também podemos definir que o comutador entre os produtos internos de Klein-Gordon, σKG(Φ̂, uω%) e σKG(uω′%′ , Φ̂) é dado por [ σKG(Φ̂, uω%) , σKG(uω′%′ , Φ̂) ] = i ∫ Σ(3) dΣ(3)nµ [ u∗ω%(∇µuω′%′ )− (∇µu∗ω%) uω′%′ ] . Fazendo uso da definição do produto interno de Klein-Gordon expressa em (2.17), temos [ σKG(Φ̂, uω%) , σKG(uω′%′ , Φ̂) ] = σKG(uω% , uω′%′ ) . (3.64) Usando ainda a condição expressa em (3.60), reescrevemos a expressão anterior como 37 [ ân†ω l p , â n ′† ω ′ l ′ p ′ ] = 0 . (3.79) O estado quântico que, para os observadores estáticos fora do horizonte de eventos do buraco negro, corresponde à ausência de part́ıculas é denominado vácuo de Boulware [20], |0〉B, sendo este estado aniquilado por todos os operadores ânω l p , i.e.: ânω l p |0〉B = 0 . (3.80) 40 Caṕıtulo 4 Radiação emitida por uma fonte escalar girando ao redor de um objeto estelar Neste caṕıtulo analisaremos a radiação escalar emitida por uma fonte em movimento cir- cular uniforme, interagindo com o campo de Klein-Gordon. Inicialmente faremos esta análise para a fonte no espaço-tempo plano de Minkowski, assumindo Gravitação Newto- niana. Em seguida analisaremos a mesma fonte no espaço-tempo curvo de Schwarzschild, assumindo Relatividade Geral, sendo que em ambas as análises usaremos a abordagem da Teoria de Pertubação em Teoria Quântica de Campos em ńıvel de árvore. 4.1 Taxa de emissão e potência emitida usando Te- oria Quântica de Campos em Minkowski, assu- mindo Gravitação Newtoniana Nesta seção calculamos a taxa de emissão e a potência emitida por uma fonte em movi- mento circular uniforme no espaço-tempo plano de Minkowski, interagindo com o campo de Klein-Gordon. Para tanto, usamos a Teoria Quântica de Campos em ńıvel de árvore 41 e assumimos que a fonte é mantida em sua trajetória circular em torno de um objeto massivo localizado na origem do sistema de coordenadas devido à interação gravitacional, descrita pela Lei da Gravitação Universal de Newton. A corrente escalar associada a uma fonte puntual seguindo uma linha de mundo zµ(τ), com quadrivelocidade uµ[z(τ)] ≡ dzµ dτ , é dada por jM(xµ) = q√ −η(x) 1 u0(x) δ3[−→x −−→z (τ)] , onde η ≡ det(ηµν) é o determinante da métrica do espaço-tempo em questão, e a constante q determina a magnitude do aclopamento entre a fonte e o campo. Considerando o caso em que a fonte descreve uma trajetória circular no plano θ = π 2 , com raio RM e com velocidade angular constante Ω > 0 (assim como medida por obser- vadores estáticos neste espaço-tempo plano), temos que a linha de mundo e a quadrivelo- cidade da fonte são, respectivamente, dados por zµ = (t, RM , π 2 , Ωt) , e uµ = γ(1, 0, 0, Ω) . Assim, a corrente clássica associada a esta fonte é dada por jM(xµ) = q R2Mγ δ(r −RM)δ(θ − π 2 )δ(ϕ− Ωt) , (4.1) onde γ = 1√ (1−R2MΩ2) . A fonte escalar representada pela corrente (4.1) descreve um movimento circular uni- forme com aceleração (centŕıpeta) constante, com módulo dado por |−→a c| = Ω2RM . A corrente jM foi normalizada admitindo-se que ∫ dσ3jM(xµ) = q, onde dσ3 é o ele- mento de volume (em três dimensões) ortogonal à quadrivelocidade uµM da fonte clássica. 42 A taxa de emissão, assim como medida por observadores estáticos, para um valor fixo de momento angular, é dada por RM,emlp = ∫ ∞ m dω |AM,emωlp |2 T , (4.10) onde T ≡ 2πδ(0) = ∫ ∞ −∞ dt , é o tempo total medido por observadores inerciais estáticos. Usando (4.9) e (4.10) e somando sobre todos os números quânticos posśıveis, obtemos a taxa total de emissão RM,em = ∞∑ l=1 l∑ p=1 RM,emlp = ∞∑ l=1 l∑ p=1 2q2 √ p2Ω2 −m2 γ2 ∣∣∣jl ( RM √ (pΩ)2 −m2 )∣∣∣ 2 ∣∣∣Ylp (π 2 , Ωt )∣∣∣ 2 . (4.11) Notemos que [5, 16] Ylp ( π 2 , Ωt ) = 0 , para l + p ı́mpar e ∣∣∣Ylp (π 2 , Ωt )∣∣∣ 2 = 2l + 1 4π (l + p− 1)!!(l − p− 1)!! (l + p)!!(l − p)!! , (4.12) para l + p par. A expressão (4.12) torna notório que Ylp ( π 2 , Ωt ) não depende do tempo. Aqui n!! = n(n− 2)...1, se n for ı́mpar e n!! = n(n− 2)....2, se n for par. Vale ressaltar que o modo para o qual l = 0, não contribui para energia emitida, uma vez que tal modo está associado a part́ıculas com energia nula. Assumindo-se a Lei da Gravitação Newtoniana e usando a Lei de Kepler, RM(Ω) = ( M Ω2 ) 1 3 , obtemos RM,emN como função dos observáveis Ω, q e M , como sendo RM,emN = ∞∑ l=1 l∑ p=1 2q2 √ p2Ω2 −m2 (γNΩ ) 2 ∣∣∣∣∣jl (( M Ω2 ) 1 3 √ (pΩ)2 −m2 )∣∣∣∣∣ 2 ∣∣∣Ylp (π 2 , Ωt )∣∣∣ 2 , (4.13) onde 45 γNΩ ≡ 1√ 1− (MΩ) 23 . A potência emitida, assim como calculada por observadores estáticos, para um valor fixo de momento angular, é dada por WM,emlp = ∫ ∞ m dωω |AM,emωlp |2 T , (4.14) Fazendo um tratamento semelhante ao realizado para a potência emitida, obtemos a potência total iradiada WM,emN = ∞∑ l=1 l∑ p=1 2q2pΩ √ p2Ω2 −m2 (γNΩ ) 2 ∣∣∣∣∣jl (( M Ω2 ) 1 3 √ (pΩ)2 −m2 )∣∣∣∣∣ 2 ∣∣∣Ylp (π 2 , Ωt )∣∣∣ 2 . (4.15) Assumindo que a massa do campo seja nula m = 0 obtemos a expressão determinada via teoria clássica de campos [5, 16] WM,emN = q2 M2 Ω8/3 12π . 4.2 Taxa de emissão e potência emitida usando Teo- ria Quântica de Campos em Schwarzschild Nesta seção calculamos a taxa de emissão e a potência emitida por uma fonte em mo- vimento circular uniforme no espaço-tempo curvo de Schwarzschild, interagindo com o campo de Klein-Gordon. Para tanto, usamos a Teoria Quântica de Campos em ńıvel de árvore e assumimos que a fonte é mantida em sua trajetória circular em torno de um objeto massivo localizado na origem devido à interação gravitacional, descrita pela Relatividade Geral. A corrente escalar associada a uma fonte puntual seguindo uma linha de mundo zµ(τ), com quadrivelocidade uµ[z(τ)] ≡ dzµ dτ , é dada por 46 jS(xµ) = q√ −g(x) 1 u0S(x) δ3[−→x −−→z (τ)] , onde g é o determinante da métrica gµν do espaço-tempo em questão, e a constante q determina, a exemplo do caso plano, a magnitude do aclopamento entre a fonte e o campo. Considerando o caso em que a fonte descreve uma trajetória circular neste espaço- tempo de um buraco negro de Schwarzschild, no plano θ = π 2 , com raio RS e com veloci- dade angular constante Ω > 0 (assim como medida por observadores estáticos no infinito), temos que a linha de mundo e a quadrivelocidade da fonte são, respectivamente, dadas por zµS(Ω, RS) = [ t , RS, π 2 , Ωt ] , e uµS(Ω, RS) = [ 1 (f(RS)−R2S Ω2) 1 2 , 0, 0, Ω (f(RS)−R2S Ω2) 1 2 ] . Assim, a corrente clássica associada a esta fonte é dada por jS(xµ) = q R2Su 0 S δ(r −RS)δ(θ − π 2 )δ(ϕ− Ωt) . (4.16) A fonte foi normalizada requerendo-se que ∫ dσ(3)jS(xµ) = q , onde dσ(3) é o elemento diferencial de trivolume ortogonal a uµS , pela métrica de Schwarzschild. É importante mencionar que, de acordo com a Relatividade Geral [24], uma fonte em movimento circular uniforme ao redor de um buraco negro segue uma geodésica e portanto tem aceleração própria nula. A fonte orbitando um buraco negro de Schwarzschild, com momento angular L, executa órbitas circulares estáveis para RS > 6M , e órbitas circulares instáveis para 3M < RS ≤ 6M . No caso da fonte executar órbitas circulares estáveis, temos RS = ( M Ω2 ) 1 3 . 47 Caṕıtulo 5 Análise e comparação dos resultados Neste caṕıtulo, devotaremos especial atenção à análise e comparação dos resultados obti- dos no caṕıtulo 4, para a taxa de emissão e a potência emitida pela fonte em movimento circular uniforme ao redor do objeto estelar. Nossos resultados serão expressos em termos de grandezas medidas por observadores estáticos assintóticos (massa do objeto estelar e velocidade angular Ω). 5.1 Análise dos resultados no espaço-tempo plano (campo massivo e não massivo) Nesta seção realizamos comparações entre as taxas de emissão e as potências emitidas para o campo massivo e não massivo, ambas calculadas no espaço-tempo plano de Minkowski. Comparamos, na figura 5.2, o comportamento da taxa de emissão calculada para o campo massivo e não massivo. Observamos que a taxa de emissão para o campo massivo é sempre menor que para o campo não massivo, e na medida que aumentamos a massa do campo a diferença se acentua. Justificamos esta diferença argumentando que, enquanto para o campo não massivo as part́ıculas emitidas por unidade de tempo adimitem valores de energia entre zero e infinito, para o campo massivo as part́ıculas emitidas por unidade de tempo adimitem valores de energia entre a massa de repouso e infinito. Sendo assim, o 50 campo massivo deixa de emitir part́ıculas com energias entre zero e a massa de repouso e consequentemente a taxa de emissão do mesmo é inferior em relação a taxa de emissão do campo não massivo. Devemos ressaltar que devido à desigualdade pΩ ≥ m, apresentada na seção 4.1, para valores de momento angular magnético p maiores que 1, a fonte escalar orbita o objeto estelar com valor da velocidade angular Ω menor que o valor da massa de repouso m das part́ıculas do campo emitidas. Contudo, mostraremos nesta seção, na figura 5.1, que a contribuição dominante é gerada pelos modos com momento angular l = p = 1. Consequentemente, a probabilidade de da fonte emitir part́ıculas associadas a modos com valores de l = p superiores a 1 é baixa. Fazendo comparação análoga, agora para a potência emitida (figura 5.3), obtemos fundamentalmente as mesmas caracteŕısticas. Deve-se ressaltar que em ambas as análises arbitramos lmax = 3 (lmax é definido como o valor máximo para o número quântico l) e que a diferença entre as curvas, neste caso, é menor em relação as curvas das a taxas de emissão, assumindo os mesmos valores de massa. Isto se deve à presença de um termo multiplicativo ( freqüência ω) no integrando na expressão da potência emitida (cf. expressões (4.10) e (4.14)) [25]. Na figura 5.4 comparamos a potência total emitida obtida via teoria clássica de campos W class e a potência emitida obtida via teoria quântica de campos a ńıvel de árvore WM,emlp , para lmax = 1,2 e 3, assumindo m = 0. Verificamos que aumentando o valor do momento angular l mais WM,emlp se aproxima de W class. Fazendo a soma sobre todos os números quânticos l temos WM,emlp = W class [16]. Na figura 5.5 efetuamos a razão entre WM,emlp e W class assumindo m = 0, para lmax = 1, 2,3,4,5 e 6. Notamos que a referida razão tende a 1 na medida em que aumentamos o momento angular máximo lmax. Deve-se ressaltar que tanto a potência quanto a taxa de emissão são plotadas como uma função de MΩ cujo domı́nio está determinado entre 0 e 0.068 (associado com a órbita circular da fonte escalar em R = 6M). A escolha deste intervalo é motivada pelas futuras comparações entre os resultados obtidos nos espaços-tempos curvo e plano, efetuadas na seção 5.2. 51 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 2 4 6 8 10 12 14 W l p M , e m M 2 q - 2 1 0 6 Figura 5.1: WM,emlp é plotado como uma função de Ω para diferentes escolhas de l e p, com mM = 0 (linhas cont́ıınuas) e mM = 0.02 (linhas tracejadas). A contribuição de l = p = 1 é determinada pelo par de linhas tracejada (caso massivo) e cont́ınua (caso não- massivo) mais elevadas no gráfico, de l = p = 2 é determinda pelo par de linhas tracejada (caso massivo) e cont́ınua (caso não-massivo) intermediárias no gráfico, enquanto que l = p = 3 é determinada pelo par de linhas tracejada (caso massivo) e cont́ınua (caso não- massivo) menos elevadas no gráfico. A principal contribuição para a potência emitida é proveniente dos modos com momento angular l = p = 1. Quanto maior o valor de l, menor é a contribuição para a potência total emitida. 52 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 5 10 15 20 25 30 W NM , e m M 2 q - 2 1 0 6 ; W C l a s s M 2 q - 2 1 0 6 Figura 5.4: Neste gráfico plotamos as curvas referentes a potência total emitida obtida via teoria clássica de campos W class (curva cont́ınua) e a potência emitida obtida via teoria quântica de campos a ńıvel de árvore WM,emlp (curvas tracejadas), para lmax = 1, lmax = 2 e lmax = 3, respectivamente. Assumimos aqui m = 0 para a massa do campo. Verificamos que aumentando o valor do momento angular máximo lmax, diminue a diferença entre WM,emlp e W class. Fazendo a soma sobre todos os números quânticos l obtemos WM,emlp = W class [16]. 55 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 0.92 0.94 0.96 0.98 1 W NM , e m  W C l a s s Figura 5.5: Neste gráfico plotamos as curvas referentes à razão entre a potência total emitida obtida via teoria clássica de campos W class e a potência emitida obtida via teoria quântica de campos a ńıvel de árvore WM,em, para lmax = 1, 2, 3,4, 5 e 6. Assumimos aqui m = 0 para a massa do campo. Notamos que aumentando o valor do momento angular máximo lmax, a razão entre W M,em e W class tende a 1. Fazendo a soma sobre todos os números quânticos l obtemos WM,em/W class = 1 [16]. 56 Na figura 5.6 comparamos as curvas referentes à razão entre as taxas de emissão para o caso massivo e não massivo, onde cada curva é plotada assumindo-se lmax = 3 e um de- terminado valor para a massa da part́ıcula do campo. Notamos que a razão é tanto maior quanto menor for a massa do campo. Verificamos que a referida razão tende a 1 na medida em que aumentamos o valor da velocidade angular Ω da fonte. Este comportamento pode ser entendido considerando que para altos valores da velocidade angular a probabilidade de emissão de part́ıculas com baixa energia deixa de ser significativa. Verificamos também que as referidas razões caem a 0 próximo de MΩ = mM . Este comportamento pode ser compreendido considerando que a contribuição para a taxa de emissão para valores de momento angular l maiores que 1 é consideravelmente reduzida. Na figura 5.7 efetuamos uma análise semelhante, agora comparando potência emitida e obtendo essencialmente as mesmas caracteŕısticas observadas na figura 5.6. 57 5.2 Comparação entre os resultados nos espaços-tem- pos curvo e plano Nesta seção efetuamos comparações entre potenciais de espalhamento, entre taxas de emissão e entre potências emitidas nos espaços-tempos curvo e plano, assumindo em todas as situações a fonte girando ao redor de um objeto estelar interagindo com um campo escalar massivo. Realizamos, na figura 5.8, a comparação entre os potenciais de espalhamento em Min- kowski e Schwarzschild para l = 1. Na região assintótica r >> 2M ambos VM e VS comportam-se com 1 r2 e tendem a m2 corroborando o fato de que o espaço-tempo de Schwarzschild é assintoticamente plano. Verificamos que VS só está definido na região externa ao horizonte de eventos do buraco negro (r > 2M), enquanto que VM também é definido no intervalo 0 < r ≤ 2M . Nas figuras 5.9 e 5.10 plotamos o potencial de espa- lhamento VS para l = 0, l = 1 e l = 6, assumindo mM = 1 e mM = 0.1, respectivamente. Observamos que para mM < 1/4 a barreira de potencial é presente para todos os valores do momento angular l. Notamos que o máximo do potencial VS depende do momento angular l. Percebemos que somente part́ıculas provenientes do horizonte de eventos pas- sado H− (buraco branco) podem ter energia menor que a massa de repouso ω < m e os modos associados a estas part́ıculas serão totalmente refletidos para o horizonte de eventos do buraco negro H+. Part́ıculas provenientes do infinito passado tipo tempo I− terão necessariamente ω > m. Verificamos que quanto maior o l, maior é a barreira de potencial. Como consequêcia, part́ıculas com momento angular muito alto l >> 1 e com energia ω < m estarão necessariamente restritas a regiões extremamente proximas do horizonte de eventos, onde o campo gravitacional é forte o suficiente para compen- sar o efeito do momento angular. Consequentemente, encontrar part́ıculas satisfazendo a condição ω < m relativamente longe do horizonte de eventos, significa fundamentalmente encontrar part́ıculas com momento angular l = 1. Na figura 5.11 plotamos o potencial de espalhamento, assumindo l = 0, para os valores de massa mM = 1/8 e mM = 1, respectivamente. Observamos que a probabilidade de encontrar part́ıculas com ω < m 60 distante do horizonte para um valor fixo de l será tanto maior quanto maior for a massa do campo [18]. 61 0 2 4 6 8 10 r2M 10 20 30 40 50 V M  m 2 ; V S  m 2 Figura 5.8: Neste gráfico plotamos as curvas relativas aos potenciais VM (curva tracejada) e VS (curva cont́ınua) em função de r 2M para l = 1 e para mM = 0.1. Verificamos que assintoticamente ambos os potenciais de espalhamento VM e VS comportam-se como 1 r2 tendendo ao valor m2. O potencial espalhador no caso do espaço-tempo de Minkowski, VM , é definido no intervalo 0 < r ≤ ∞ enquanto que o potencial de espalhamento do buraco negro de Schwarzschild, VS, é unicamente definido na região r > 2M , pois este sofre restrição em seu intervalo de definição devido à existência de um horizonte de eventos. 62 0 2 4 6 8 10 r2M 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 V S  m 2 Figura 5.11: O potencial de espalhamento VS é plotado para mM = 1/8 e l = 0 (curva pontilhada) e para mM = 1 e l = 0 (curva cont́ınua). Notamos que quanto maior o produto mM , maior a probabilidade de detetar part́ıculas com ω < m próximo ao horizonte de eventos. 65 Nas figuras 5.12 e 5.13 plotamos RS,emlp e W S,em lp , respectivamente, para diferentes valores do momento angular. Ambas as curvas foram plotadas assumindo para valores de momento angular l = p = 1, l = p = 2 e l = p = 3 e mM = 0.04. Observamos que, a partir de um certo valor de Ω > m, a contribuição mais significativa é proveniente dos modos dotados de momento angular l = p = 1 e que quanto maior o valor de l = p, menor é a contribuição para a amplitude de emissão. As interseções entre as curvas podem ser entendidas considerando o fato de que, para 0 < Ω < m/p, as contribuições, tanto para a potência emitida quanto para a taxa de emissão, provêm apenas dos modos originários do horizonte e, portanto, são muito pequenas. Na figura 5.14 plotamos W S,em somando o momento angular até lmax = 3 para diferentes valores da massa do campo. Percebemos que a potência é tanto menor quanto maior o valor da massa do campo. Percebemos também que, nos casos massivos, considerando valores menores do que Ω = m, a contribuição para à potência emitida é muito pequena. Isto se deve ao fato de que a probabilidade de emissão de modos com l = p maiores do que 1 é consideravelmente baixa. Efetuamos, nas figuras 5.15 e 5.16 a razão entre as taxas de emissão em Minkowski e Schwarzschild e entre as potência emitidas em Minkowski e Schwarzschild, respectivamente. Nas figuras 5.15 e 5.16, cada curva é plotada assumindo-se lmax = 3 e um determinado valor para a massa do campo (assumimos m = 0, mM = 0.02 e mM = 0.04). É importante ressaltar que para regiões muito afastadas do horizonte, os modos com energia ω > m, possuem comprimento de onda λ proporcional a 1√ ω2−m2 e, portanto, o seu comprimento de onda λ será tanto maior quanto maior a massa m. Deste modo, a importância dos efeitos de curvatura do espaço-tempo será tanto menor quanto maior for a massa do campo. Observamos que as referidas razões, para Ω → m (Ω > m), tendem a 1, na medida em que aumentamos a massa do campo. Esta aproximação de 1 com o aumento da massa do campo justifica- se pelo conseqüente aumento do comprimento de onda, discutido anteriormente. Para 0 < Ω < m, as citadas razões diminuem, tendendo a zero, uma vez que RM,emN = 0 e WM,emN = 0, para 0 < Ω < m/p . Ainda nas figuras 5.15 e 5.16, verificamos que para o caso das últimas órbitas circulares estáveis (maiores valores da velocidade angular da fonte, no caso do buraco negro de Schwarzschild), a referida razão é cerca de 1, 4 para m = 0 66 (em outras palavras, que o resultado em Schwarzschild é em torno de 30% menor que em Minkowski [16]) e diminui, aproximando-se de 1, na medida em que aumentamos o valor da massa do campo. No gráfico 5.17 plotamos a razão W←,S,emlp /W S,em. Notamos que esta razão é sempre maior que 0.96 para m = 0 ( o valor 0.96 é obtido para à órbita circular estável mais veloz e mais interna posśıvel, segundo a Relatividade Geral) e que a referida razão é tanto menor quanto maior o valor da massa do campo. Este efeito é consequência do fato de que, fixado um valor para o momento angular l, o máximo do potencial diminue na medida em que aumentamos a massa e, portanto, maior é a contribuição dos modos provenientes do horizonte de eventos para a potência total emitida. Ressaltemos que, para 0 < Ω < m/p, temos W←,S,emlp = 0. Estes resultados atestam o fato de que fenômenos astrof́ısicos envolvendo comprimen- tos de onda da ordem do raio de Schwarzschild, devem ser analisados por meio de um tratamento que considere a curvatura do espaço-tempo do buraco negro. 67 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 W S , e m M 2 q - 2 1 0 6 Figura 5.14: A contribuição para a potência emitida W S,em proveniente de part́ıculas com momento angular até l = 3 é plotada como função da velocidade angular Ω da fonte girante, como medida por observadores estáticos assintóticos, para o caso não- massivo m = 0 (curva cont́ınua) e para os casos massivos mM = 0.02 (curva tracejada) e mM = 0.04 (curva pontilhada). MΩ está definido entre 0 e 0.068 (associado com a órbita circular estável mais interna posśıvel em R = 6M). Notamos que nos casos massivos para mM = 0.02 (curva tracejada) e para mM = 0.04 (curva pontilhada) considerando valores próximos e menores do que MΩ = mM = 0.02 e MΩ = mM = 0.04, respectivamente, a contribuição para à potência emitida é muito pequena. Isto se deve ao fato de que a probabilidade de emissão de modos com l = p maiores do que 1 é consideravelmente baixa. 70 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 R NM , e m  R S , e m Figura 5.15: No gráfico acima plotamos a razão entre as taxas de emissão em Minkowski e Schwarzschild como função de Ω. RS,em e RM,emN são as taxas de emissão da fonte em movimento circular uniforme, assim como medidas por observadores assintóticos estáticos. O número quântico l que representa o momento angular foi somado até lmax = 3. As curvas são plotadas até o valor ΩM = 0.068, caracteŕıstico da órbita circular estável mais veloz e mais interna posśıvel, segundo a Relatividade Geral. Assumindo m = 0 (linha cont́ınua), mM = 0.02 (linha tracejada) e mM = 0.04 (linha pontilhada), verificamos que a razão RM,emN RS,em , para Ω → m (Ω > m), tende a 1, na medida em que aumentamos o valor de mM . Em particular, para ΩM = 0.068, a referida razão diminui, aproximando-se de 1, na medida em que aumentamos o valor da massa do campo. Para 0 < Ω < m esta razão tende a zero, uma vez que RM,emN = 0, para 0 < Ω < m/p . 71 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 W NM , e m  W S , e m Figura 5.16: De forma análoga à figura 5.15, a razão entre as potências de emissão em Minkowski e Schwarzschild W M,emN W S,em é apresentada aqui como função de Ω. Verifica-se que as curvas plotadas nos gráficos 5.15 e 5.16 possuem as seguintes semelhanças: (i) RM,emN RS,em e W M,emN W S,em , para Ω −→ m (Ω > m), tendem a 1, na medida em que aumentamos a massa do campo (ii) Em particular, RM,emN RS,em e W M,emN W S,em , para Ω → 0.068, diminuem, aproximamdo-se de 1, na medida em que aumentamos o valor da massa do campo (iii) RM,emN RS,em e W M,emN W S,em , para 0 < Ω < m, diminuem, tendendo a zero, uma vez que RM,emN = 0 e W M,em N = 0, para 0 < Ω < m/p . Assumimos aqui m = 0 (linha cont́ınua), mM = 0.02 (linha tracejada) e mM = 0.04 (linha pontilhada). 72 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 MW 0.92 0.94 0.96 0.98 1 W S , o b s  W S , e m Figura 5.18: Neste gráfico apresentamos a razão W S,obs W S,em como função de Ω para órbitas circulares geodésicas estáveis. Consideramos as somas nos momentos angulares até lmax = 3. Assumimos aqui m = 0 (curva cont́ınua), mM = 0.02 (curva tracejada) e mM = 0.04 (curva pontilhada). Percebemos nas curvas aqui plotadas que, para ω > m e m = 0, cerca de 3% da potência emitida pela fonte é absorvida pelo buraco negro e que esta porcentagem aumenta a medida que aumentamos a massa do campo. 75 Caṕıtulo 6 Conclusões e perspectivas Apresentamos neste trabalho os procedimentos de quantização do campo de Klein-Gordon massivo nos espaços-tempos de Minkowski e Schwarzschild. Para o espaço-tempo plano determinamos os modos normais em termos de funções especiais, normalizamos as soluções e em seguida quantizamos o campo. Para o espaço-tempo de um buraco negro neutro e com momento angular nulo não foi posśıvel determinarmos analiticamente os modos normais do campo (para quaisquer freqüências) e sua respectiva normalização, uma vez que as equações diferenciais não possuem soluções anaĺıticas em termos de funções espe- ciais dispońıveis na literatura. Não obstante a estas limitações de caráter matemático, obtivemos os resultados almejados via método de análise numérica da equação diferencial envolvida. Lançamos mão das peculiaridades assintóticas do espaço-tempo de um buraco negro de Schwarzschild e determinamos os modos normais e a normalização dos mesmos nas regiões assintóticas muito próxima e muito distante do seu horizonte de eventos. Determinamos a taxa de emissão e a potência emitida por uma fonte orbitando um objeto estelar considerando os espaços-tempos de Minkowski e Schwarzschild. Para o espaço-tempo de Minkowski com os modos normalizados obtidos analitica- mente, calculamos a taxa de emissão e a potência emitida por uma fonte em movimento circular uniforme. Notamos que devido à forma do potencial de espalhamento em Min- kowski, os únicos modos existentes são aqueles provenientes do infinito, dotados de energia maior do que a massa do campo [16, 25]. Verificamos que a contribuição mais significativa 76 para a potência e para a taxa de emissão provém dos modos com momento angular igual a 1. Para o campo escalar não masssivo, sabemos que a potência obtida via teoria quântica de campos em ńıvel de árvore é igual a potência obtida via teoria clássica de campos quando somamos sobre todos os valores do momento angular. No caso do espaço-tempo de Schwarzschild efetuamos o devido tratamento numérico e obtivemos a taxa de emissão e a potência emitida por uma fonte orbitando o buraco negro. Percebemos que os modos provenientes do infinito estão associados a part́ıculas com energia igual ou superior a massa de repouso do campo e que modos provenientes do horizonte de eventos estão associados a part́ıculas com energias com valores maiores que zero. Notamos que a probabilidade de se encontrar part́ıculas com energia inferior à sua massa de repouso distante do horizonte é tanto menor quanto maior for o valor do momento angular l para um dado valor fixo da massa do campo e tanto maior quanto maior for o valor para a massa do campo para um dado valor fixo do momento angu- lar. Percebemos que, os modos com energia superior a massa de repouso serão tanto menos influenciados pelos efeitos de curvatura do espaço-tempo quanto maior a massa do campo. Observamos que a potência em Schwarzschild quando a fonte está próxima à última órbita circular estável é pouco mais de 30% menor que o valor correspondente em Minkowski (assumindo caso não-massivo) e que esta porcentagem diminui na medida em que aumentamos a massa do campo. Notamos que a potência gerada pelos modos provenientes do infinito contribuem com a maior parte da potência total emitida e que esta contribuição é tanto menor quanto maior a massa do campo. Percebemos também que o buraco negro de Schwarzschild absorve em torno de 3% da radiação emitida para as órbitas circulares estáveis mais internas posśıveis de acordo com a Relatividade Geral (assumindo caso não-massivo) e que este valor aumenta na medida em que aumentamos o valor da massa do campo. Atribúımos este efeito ao fato de que o máximo do potencial de espalhamento diminui na medida em que aumentamos o valor da massa do campo, para um valor fixo do momento angular l e, portanto, uma parcela cada vez maior dos modos provenientes do infinito é transmitida. Em trabalhos anteriores foram analisados os casos de uma fonte escalar interagindo 77 [9] A.O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles (Dover Publications Inc., 1980). [10] N.N. Bogoliubov e D.V. Shirkov, Introduction to the Theory of Quantized Fields (Interscience Publishers Inc., 1959). [11] G.B. Arfken e H.J. Weber, Mathematical Methodos for Physics (Academic Press, 1995). [12] P.M. Morse e H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics (McGraw-Hill Inc., 1953). [13] C. Itzykson e J.B. Zuber, Quantum Field Theory (McGraw-Hill Inc., 1965). [14] W. Greiner e J. Reinhardt, Field Quantization (Springer-Verlag, 1996). [15] J. Castiñeiras, I.P. Costa e Silva e G.E.A. Matsas, Phys. Rev. D 67, 067502 (2003). [16] L.C.B. Crispino, A. Higuchi e G.E.A. Matsas, Class. Quantum Grav. 17, 19 (2000). [17] I.S. Gradshteyn e I.M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series, and Products (Academic Press, 1980). [18] J. Castiñeiras, L.C.B. Crispino, G.E.A. Matsas e D.A.T. Vanzella, Phys. Rev. D 65, 104019 (2002). [19] J. Castiñeiras e G.E.A. Matsas, Phys. Rev. D 62, 064001 (2000). [20] D.G. Boulware, Phys. Rev. D 11, 1404 (1975). [21] L.C.B. Crispino, A. Higuchi e G.E.A. Matsas, Proceedings of the Ninth Marcel Gros- smann Meeting on General Relativity, Roma, Itália, 2000, editado por V.G. Gur- zadyan, R.T. Jantzen e R. Ruffini (World Scientific, 2002). [22] J. Castiñeiras, L. C.B. Crispino, R. Murta e G.E.A. Matsas, Phys. Rev. D 71, 104013 (2005). 80 [23] R. Murta, Radiação emitida por uma carga elétrica orbitando um buraco negro de Schwarzschild segundo teoria quântica de campos, Dissertação de Mestrado, PPGF- DF-UFPA (2005). [24] R. Wald, General Relativity (The University of Chicago Press, 1984). [25] L.C.B. Crispino, D.P. Meira Filho, Braz.J.Phys., vol 35, no 4B, 1084 (2005). 81