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Universidade Federal do Para

Centro de Ciencias Exatas e Naturais Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar

Damiao Pedro Meira Filho Orientador: Prof. Dr. Luıs Carlos Bassalo Crispino

Belem Fevereiro de 2006

Universidade Federal do Para

Centro de Ciencias Exatas e Naturais Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar

Dissertacao de Mestrado

Belem Fevereiro de 2006

Fonte escalar acoplada ao campo de Klein-Gordon orbitando um objeto estelar

Damiao Pedro Meira Filho

Julgado em: Conceito: Comissao Julgadora:

Prof. Dr. Luıs Carlos Bassalo Crispino Orientador

Prof. Dr. George Emanuel Avraam Matsas Membro

Prof. Dr. Jorge Castineiras Rodrıguez Membro

Belem/Fevereiro de 2006

Dedicatoria LYSHATY VELABOTAY

Agradecimentos

Ao Prof. Luıs Carlos Bassalo Crispino pela sua competente e segura orientacao, pela solicitude e empenho ao longo da realizacao deste projeto. Agradeco tambem pela oportunidade de colaborar neste e em futuros projetos.

Aos professores Sergio Vizeu, Van Sergio, Marcelo Lima, Danilo Alves, Joao Felipe,

Petrus Agripino, Paulo de Tarso e Jose Bassalo, sempre solıcitos e dispostos a colaborar.

Ao Prof. Jorge Castineiras pelas profıcuas discussoes em torno deste projeto e de temas diversos em Fısica.

Ao Prof. George Matsas pela atencao e solicitude dispensadas, por ocasiao de minha primeira experiencia como estudante visitante do IFT.

Aos responsaveis tecnicos do Programa de Pos-Graduacao em Fısica, Angela Pacheco,

Alzira Andrade e Anderson Viana, pela constante solicitude.

A todos os amigos entre os quais posso destacar Francisco, Lucivaldo, Eleuterio, Charles, Tadeu, Renato, Edney, Fabio, Antonio e Nelson.

Aos meus queridos pais, Damiao Meira e Joelna Meira pelo empenho na transmissao dos conceitos de moral e etica elevadıssimos de nossa TORAH e pela enorme e permanente disposicao em apoiar-me total e incondicionalmente em todos os ambitos da vida.

Aos meus estimados irmaos e as esferas familiares mais proximas por todo o incentivo. A estimada esposa Celet Meira, por ser amiga e companheira fiel, por ser minha legıtima Eshet Chail.

LEATA HASHEM, HAKADOSH BARUCH HU, por criar o universo e elaborar suas leis, por trazer a existencia as realidades finitas e transcedentes, e especialmente por outorgar a TORAH.

Resumo

Neste trabalho determinamos, utilizando Teoria Quantica de Campos em nıvel de arvore, a radiacao escalar emitida por uma fonte em movimento circular uniforme no espaco-tempo plano de Minkowski, assumindo Gravitacao Newtoniana, e no espaco-tempo curvo de um buraco negro sem carga e com momento angular nulo, assumindo Relatividade Geral. Efetuamos este calculo analiticamente para o caso de Minkowski e numericamente no ambito do espaco-tempo de Schwarzschild, sendo que neste espaco-tempo curvo obtivemos a forma analıtica e a normalizacao dos modos nas regioes assintoticas. Verificamos que, para as orbitas circulares estaveis de acordo com a Relatividade Geral, a potencia irradiada no caso de um buraco negro de Schwarzschild e menor do que a obtida no espaco-tempo de Minkowski assumindo a Gravitacao Newtoniana. Obtemos tambem que apenas uma pequena parcela da radiacao emitida e absorvida pelo buraco negro. Verificamos que a diferenca entre as potencias irradiadas em Schwarzschild e Minkowski diminui na medida em que aumentamos o valor da massa do campo. Em Schwarzschild, uma parcela cada vez maior da radiacao emitida e absorvida pelo buraco negro na medida em que aumentamos o valor da massa do campo.

Palavras chave: Teoria Quantica de Campos, espacos-tempos curvos, buraco negro, radiacao escalar.

Abstract

In this work we determine, using Quantum Field Theory in tree level, the scalar radiation emitted by a source in uniform circular motion in Minkowski spacetime, assuming Newtonian gravitation, and in the curved spacetime of a chargeless black hole with null angular momentum, assuming General Relativity. We perform this calculation analitically for the case of Minkowski spacetime and numerically for Schwarzschild spacetime. In the black hole case we obtain the analytic form and the normalization of the modes in the asymptotic regions. We verify, for stable circular orbits acording to general relativity, that the emitted power in Schwarzschild spacetime is lower than the one obtained in Minkowski spacetime assuming Newtonian gravitation. We obtain that only a little amount of the emitted radiation is absorbed by black hole. We also verify that the difference between the emitted powers in Schwarzschild and Minkowski cases decreases if the mass of field is increased. In Schwarzschild spacetime, the amount of radiation absorbed by the black hole increases for higher values of the mass of the scalar field. Keywords: Quantum field theory, curved spacetimes, black hole, scalar radiation.

Sumario

1 Introducao 10

2.1 Solucoes classicas da equacao de Klein-Gordon em Minkowski12
2.2 Normalizacao das solucoes classicas em Minkowski15
2.3 Quantizacao do campo escalar massivo no espaco-tempo plano17

2 Quantizacao do campo de Klein-Gordon no espaco-tempo de Minkowski 12

3.1 Solucoes classicas da equacao de Klein-Gordon em Schwarzschild2
3.2 Solucoes classicas em Schwarzschild no limite assintotico26
child29
negro estatico e sem carga35

3 Quantizacao do campo de Klein-Gordon no espaco-tempo de Schwarzschild 2 3.3 Normalizacao das solucoes classicas em Schwarzschild no limite assintotico 28 3.4 Metodo numerico de determinacao e normalizacao das solucoes em Schwarzs- 3.5 Quantizacao do campo escalar massivo no espaco-tempo de um buraco

em Minkowski, assumindo Gravitacao Newtoniana41

4 Radiacao emitida por uma fonte escalar girando ao redor de um objeto estelar 41 4.1 Taxa de emissao e potencia emitida usando Teoria Quantica de Campos 8

em Schwarzschild46

4.2 Taxa de emissao e potencia emitida usando Teoria Quantica de Campos

5.2 Comparacao entre os resultados nos espacos-tempos curvo e plano60
5.3 Radiacao absorvida pelo Buraco Negro74

5 Analise e comparacao dos resultados 50 5.1 Analise dos resultados no espaco-tempo plano (campo massivo e nao massivo) 50 6 Conclusoes e perspectivas 76

Capıtulo 1

Introducao

A Teoria Quantica de Campos em Espacos Curvos (TQCEC) empenha-se em elaborar um formalismo capaz de investigar as consequencias de se definir uma teoria quantica de campos para a materia e suas interacoes sobre um espaco-tempo curvo subjacente. Nao obstante a TQCEC se apresentar como teoria efetiva e portanto ser inapta para abordar determinados fenomenos quanticos na escala de Planck, esta vem promovendo predicoes releventes acerca de determinados efeitos tais como a radiacao termica medida por observadores acelerados (efeito Fulling-Davies-Unruh), a evaporacao de buracos negros provocada por efeitos quanticos (radiacao Hawking) e a criacao de partıculas em universos em expansao [1, 2, 3]. Em virtude disso optamos por uma teoria capaz de relacionar coerentemente os ingredientes da Relatividade Geral, que preveem a existencia de buracos negros, com os ingredientes da Teoria Quantica de Campos, que descrevem interacoes entre fonte e campo.

E particularmente importante e desafiador para astrofısica confirmar por meio de evidencias diretas a existencia de buracos negros, uma vez que existem varias evidencias observacionais indiretas destes objetos [4]. Tais evidencias deverao ser obtidas por meio de analises minuciosas da radiacao proveniente dos discos de acrecao de buracos negros. Com efeito, a observacao de fenomenos relativısticos acontecendo nas proximidades do horizonte de eventos de buracos negros e as alteracoes no processo de emissao de radiacao devido aos efeitos gerados pela curvatura nao-trivial dos mesmos sao altamente relevantes

[5]. Neste sentido, e relevante investigar teorica e experimentalmente efeitos relacionados a presenca de fontes em movimento circular uniforme, tais como fonte escalar e carga eletrica orbitando um buraco negro e interagindo na regiao proxima do horizonte de eventos do mesmo.

Tem sido investigado na literatura o problema da radiacao emitida por uma fonte escalar interagindo com um campo escalar nao-massivo e por uma carga eletrica interagindo com um campo eletromagnetico, ambos considerando espacos-tempos plano e curvo [16, 2]. Neste trabalho, nos dedicamos a analisar o problema da radiacao emitida por uma fonte escalar interagindo com um campo escalar massivo, considerando os espacos-tempos de Minkowski e Schwarzschild.

A quantizacao do campo escalar massivo no espaco-tempo plano de Minkowski sera revisitada no capıtulo 2. No capıtulo 3 reproduziremos a quantizacao do campo escalar massivo no espaco-tempo de um buraco negro sem carga e com momento angular nulo. No capıtulo 4 calcularemos a taxa de emissao e a potencia irradiada por uma fonte acelerada no espaco-tempo de Minkowski e em seguida determinaremos as mesmas grandezas para uma fonte orbitando um buraco negro de Schwarzschild. Serao apresentadas no capıtulo 5 a analise e comparacao dos resultados obtidos por tratamento analıtico e via metodo numerico [6]. No capıtulo 6 faremos os comentarios finais e exibiremos as nossas conclusoes.

Capıtulo 2

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