tese de mestrado sobre buracos negros

tese de mestrado sobre buracos negros

(Parte 1 de 6)

Universidade Federal do Espírito Santo

Termodinâmica de Buracos Negros Extremos por

Glauber Tadaiesky Marques

Dissertaçªo de Mestrado

Orientador: Dr. Jœlio CØsar Fabris

Vitória - Espírito Santo 2004

À minha princesa, FlÆvia. i

Agradecimentos

• À minha esposa FlÆvia pelo amor sempre crescente e por sempre entender os meus momentos de estudo;

Aos meus pais Edmilsom e Iolete, a minha irmª Glauce, e as minhas tias Izete e Ivete pela ajuda que me deram, e que dªo, pela carreira que resolvi seguir e por tudo o que sou;

Aos meus amigos do mestrado;

A todos os demais colegas e professores da UFES;

Aos professores, e amigos, do grupo de cosmologia e gravitaçªo da UFES, Profo ′s Antonio B. Batista, FlÆvio, Sergio e Roberto;

Nªo poderia deixar de agradecer a uma grande pessoa, que Ø o meu professor, orientador e amigo, Profo Jœlio CØsar Fabris pela con ança depositada em minha pessoa;

A uma pessoa que me apoiou, incentivou e jamais deixou de acreditar em minha pessoa minha avó Benedita Santana Tadaiesky "vó BebØ";

A CAPES pelo suporte nanceiro.

Resumo

A gravidade super cial para o buraco negro de Reissner-

Nordström extremo Ø zero o que sugere que este tenha uma temperatura igual à zero. PorØm, a avaliaçªo direta dos coe cientes de Bogoliubov, usando a anÆlise semiclÆssica, indica que a temperatura do buraco negro extremo estÆ mal de nida: os coe cientes de Bogoliubov obtidos executando a anÆlise habitual de um modelo de uma casca esfØrica na colapsando, e empregando a aproximaçªo da ótica geomØtrica, nªo obedecem às condiçıes de normalizaçªo que estes coe cientes deveriam satisfazer. Nós discutimos que o motivo da impossibilidade da anÆlise semiclÆssica para o buraco negro extremo estÆ nas características da geometria na vizinhança do horizonte de eventos, que levam à ausŒncia de modos quânticos ortonormais.

É conjecturado aqui que estas propriedades sªo compartilhadas por todos os tipos de buracos negros cuja gravidade super cial Ø zero. Sªo discutidas as razıes para estas anomalias como tambØm suas implicaçıes termodinâmicas.

Abstract

The surface gravity for the extreme Reissner-Nordström black hole is zero suggesting that it has a zero temperature. However, the direct evaluation of the Bogoliubov′s coef cients, using the standard semi-classical analysis, indicates that the temperature of the extreme black hole is ill de nite: the Bogoliubov0s coef cients obtained by performing the usual analysis of a collapsing model of a thin shell, and employing the geometrical optical approximation, do not obey the normalization conditions. We argue that the failure of the employement of semi-classical analysis for the extreme black hole is due to the absence of orthonormal quantum modes in the vicinity of the event horizon.

It is argued here that these properties are shared for all kind of black holes whose surface gravity is zero. The reasons for this anomolous behaviour are discussed as well as their thermodynamics implications.

Conteœdo

1 Introduçªo 3

2.1 Introduçªo7
2.2 Soluçªo de Reissner-Nordström8
Nordström16
2.4 Caso Extremo23
2.6 Conclusªo27

2 Buracos Negros ClÆssicos 7 2.3 Extensªo Analítica MÆxima da Soluçªo de Reissner- 2.5 Propriedades das mØtricas de RN extremo e nªo extremo 25

3 Introduçªo à Teoria Quântica de Campos em Espaço-

3.1 Introduçªo29
3.2 O campo de Klein-Gordon30
3.3 Transformaçªo de Bogoliubov40
3.3.1 Condiçªo de Normalizaçªo43
3.4 Conclusªo4

Tempo Curvo 29

4.1 Introduçªo47
4.2 Radiaçªo Hawking para Reissner-Nordström49
4.3 Conclusªo63
5.1 Introduçªo64
5.3 Colapso da casca esfØrica71
5.4 Euclideanizaçªo da mØtrica74
5.5 Geometria Perto do Horizonte78
5.6 Conclusªo83

5 Radiaçªo Hawking para o caso Reissner-Nordström Extremo 64 5.2 Radiaçªo Hawking para Reissner-Nordström Extremo . 65

6.1 Introduçªo86
6.2 Radiaçªo Hawking para os Buracos Negros Frios8
Multidimensional94
6.4 Conclusªo97

6 Buracos Negros com Gravidade Super cial igual a Zero 86 6.3 Radiaçªo Hawking para os Buracos Negros da Teoria 7 Conclusıes 9 A ApŒndice A 103 B ApŒndice B 107

Capítulo 1 Introduçªo

A temperatura de um buraco negro pode ser obtida de vÆrias maneiras. O mØtodo mais usado Ø o que relaciona a gravidade super cial do buraco negro à sua temperatura, T = =2 , onde Ø a gravidade super cial. Isto nos leva a acreditar que buracos negros com gravidade super cial igual a zero, = 0, tenham temperatura igual a zero. PorØm, como primeiro mostrou Bekenstein, se buracos negros tivessem uma real temperatura como sistemas termodinâmicos, eles teriam que irradiar energia, contrariando a de niçªo bÆsica de buraco negro: uma estrela colapsada de onde nada pode escapar, nem mesmo a luz. Mas Hawking resolveu este problema mostrando a possibilidade que um buraco negro possa irradiar, atravØs de processos quânticos, com um espectro planckiano [6].

É neste contexto que esta dissertaçªo propıe-se a estudar a termodinâmica dos buracos negros com gravidade superfícial igual a zero. Procuramos mostrar que tais buracos negros estªo mal de nidos para a anÆlise semiclÆssica.

Quando falamos de anÆlise semiclÆssica, estamos nos referindo à aproximaçªo da ótica geomØtrica, ou seja, a altas frequŒncias. Nos baseamos aqui no colapso de uma casca esfØrica, com espessura na, como mostra a referŒncia [23]. Analisaremos os coe cientes de Bogoliubov, que permitem expressar os estados quânticos no in nito futuro em termos dos estados quânticos do in nito passado. Estes coe cientes teriam que obedecer a uma condiçªo de normalizaçªo imposta pela construçªo da teoria quântica de campos no espaço-tempo curvo.

A nªo compatibilidade dos coe cientes de Bogoliubov com a condiçªo de normalizaçªo, para os buracos negros com κ = 0, mostra a falha da anÆlise semiclÆssica.

Para proceder o estudo termodinâmico destes buracos negros, divide-se esta dissertaçªo da seguinte forma.

O capítulo 2 serÆ dedicado a uma breve revisªo da soluçªo de

Reissner-Nordström (1918) e do seu caso extremo, Q = M, de onde sªo retiradas algumas propriedades, como a distância de qualquer ponto no exterior do buraco negro ao seu horizonte, r > rH ser no caso nªo extremo nita e no caso extremo ser in nita. Esta pro- priedade Ø importantíssima para entender a falha da anÆlise semiclÆssica para o caso Reissner-Nordström extremo, onde = 0. Este capítulo pode ser omitido, sem perda de continuidade, pelos jÆ versados nos conceitos físicos e matemÆticos bÆsicos de buracos negros clÆssicos.

No capítulo 3 Ø feita uma breve introduçªo à teoria quântica de campos no espaço-tempo curvo. Apresentamos os conceitos essenciais desta teoria para o desenvolvimento ulterior da dissertaçªo. Resolvemos a equaçªo de Klein-Gordon (KG) para um campo escalar real nªo massivo no espaço-tempo de Minkowski. Assumindo raios que venham de uma regiªo assintoticamente plana do in nito passado I− (uma regiªo de vÆcuo), passando por uma regiªo curva do espaço-tempo (presença de gravitaçªo) e seguindo para uma regiªo assintoticamente plana do in nito futuro I+ (uma regiªo de vÆcuo), conectaremos estas informaçıes atravØs dos coe cientes de Bogoliubov. Isto serÆ feito utilizando as transfomaçıes de Bogoliubov. Tiramos daí a condiçªo de normalizaçªo dos coe cientes de Bogoliubov, condiçªo esta importantíssima para o resto deste trabalho.

No capítulo 4 faz-se a aplicaçªo do estudo feito no capítulo 3 para o caso do buraco negro de Reissner-Nordström. Usamos o modelo do colapso de uma casca esfØrica na. Os coe cientes de Bogoliubov obdecem a condiçªo de normalizaçªo imposta pela teoria. Desta anÆlise obtemos a relaçªo de temperatura

que estÆ de acordo com relaçªo de temperatura obtida atravØs da gravidade superfícial, estando de acordo com o estudo termodinâmico dos buracos negros, segundo o qual estes objetos obedecem a terceira lei da termodinâmica. Para os buracos negros,

S = ABH=4 onde S Ø a entropia do buraco negro. O capítulo 5 expıe a essŒncia desta dissertaçªo. Estuda-se a aplicaçªo da teoria quântica de campos no espaço-tempo curvo para o caso Reissner-Nordström extremo. Obtida a relaçªo de temperatura para o caso nªo extremo e aplicado o limite Q ! M, vemos que a temperatura tende a zero. PorØm, aplicando o caso extremo desde o início, observa-se a quebra da anÆlise semiclÆssica, problema este que parece ser devido às propriedades geometricas na vizinhança do horizonte de eventos. Diferente do caso nªo extremo, o caso extremo nªo obedece à condiçªo de normalizaçªo dos coe - cientes de Bogoliubov. Assim nªo podemos tirar nenhuma relaçªo de temperatura para o caso extremo. O problema parece residir na geometria perto do horizonte, que no caso extremo Ø representada pela geometria do espaço-tempo de anti-deSitter, onde os campos quânticos sªo divergentes. Esta divergŒncia em princípio nªo pode ser evitada, devido ao fato de que a distância de qualquer ponto no exterior do buraco negro para o seu horizonte, r > rH, ser in nita, propriedade esta mostrada no capítulo 2.

No capítulo 6 sªo dados mais dois exemplos de buracos negros com = 0. Mostra-se que tanto os buracos negros da teoria escalar tensorial (teoria de Brans-Dicke) [31,32] quanto o caso extremo dos buracos negros de certa classe de teorias multedimensionais [35] apresentam as mesmas de ciŒncias da anÆlise semiclÆssica para o caso RN extremo. Especulamos sobre a possibilidade de se generalizar a falha da anÆlise semiclÆssica para todos os buracos negros estÆticos com gravidade super cial igual a zero.

No capítulo 7 sªo resumidas as principais conclusıes desta dissertaçªo, apresentados comentÆrios adicionais e discutidas algumas perspectivas acerca do estudo de buracos negros com gravidade super cial igual a zero.

Capítulo 2 Buracos Negros ClÆssicos

2.1 Introduçªo

Um buraco negro Ø entendido normalmente como sendo uma regiªo do espaço-tempo onde a gravidade Ø tªo forte que nada pode escapar, nem mesmo a luz. Para de nir esta noçªo mais precisamente, nós temos que especi car a regiªo do espaço-tempo para a qual Ø possível uma "fuga". Fazemos isto restringindo-nos aos espaço-tempos, (M ; gµ ), que sªo assintoticamente planos, isto Ø,

(M ; g ) se torna quase Minkowskiano durante todo o tempo a grandes distâncias de alguma regiªo central com curvatura (r → 1

Um modelo discutindo a formaçªo do buraco negro Ø o colapso de distribuiçªo de massa esfØrica sob a açªo da gravidade, conduzindo a um estado nal onde toda a massa estÆ escondida atrÆs de um horizonte de eventos.

A noçªo de horizonte de eventos de um buraco negro, pode ser vista como uma especializaçªo da noçªo de horizonte associada a qualquer observador ou família de observadores. Seja (M ; gµ ) um espaço-tempo arbitrÆrio onde o tempo Ø orientado, isto Ø, uma escolha contínua do passado para o futuro em cada cone de luz pode ser feita. Temos que Ø uma curva tipo tempo no sentido cronológico, isto Ø, representa a linha de mundo de um obser-

(Parte 1 de 6)

Comentários