lista quantica

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FISICA ESTATISTICA (2006/1) Lista de Exercıcios - Capıtulo # 8 - Estatıstica Quantica

Mostre que o comprimento de onda termico para uma partıcula ultra-relativıstica (onde a massa de repouso e muito menor que a energia) ou para um foton, e kT , onde c e a velocidade da luz. Qual sera T0, a temperatura crıtica ou de degenerescencia?

2. Um eletron possui um spin intrısico dado por 12 hσ e um momento magnetico µB, onde as componentes cartesianas de σ sao os operadores de spin de Pauli e µB = eh/2mc. O spin do eletron pode ter duas orientacoes com respeito a um campo magnetico externo B.S e o campo aplicado e tomado na direcao do eixo z, a hamiltoniana referente a parte de spin toma a forma

(a) Calcule a matriz densidade do sistema e a funcao particao no ensemble canonico. (b) Obtenha o valor esperado para σz e compare com o valor classico.

3. Considere uma partıcula livre de massa m, cuja funcao de onda satisfaz as condicoes periodicas de contorno:

L (nx,ny,nz) com numeros quanticos nx, ny e nz inteiros (positivos, negativos ou nulos). Calcule

e obtenha a matriz densidade do sistema na representacao de posicoes.

4. Considere o sistema descrito no problema anterior e obtenha a matriz densidade na representacao de momentos.

5. [Rei65] Considere um sistema composto de partıculas nao relativısticas movendo-se livremente dentro de uma caixa cubica com lados de comprimento L.

(a) Cada estado quantico n das partıculas que compoe o sistema possui uma energia cinetica εn que depende de V . Obtenha εn(V ).

(b) Obtenha a contribuicao para a pressao do gas de uma partıcula no estado n, ou seja, pr = −(∂εn/∂V ).

(c) Use este resultado para mostrar que a pressao de um gas ideal de partıculas fracamente interagentes relaciona-se com a energia cinetica media E por P = 23 E/V , relacao valida tanto para bosons como para fermions.

(d) Por que esta relacao e diferente para fotons, onde P = 13 E/V ?

(e) Calcule a pressao exercida sobre uma parede por um gas classico. Considere a pressao correspondente ao momento transferido por seus constituintes por meio de colisoes com a parede. Mostre que o resultado coincide com o do item (c).

6. A altas temperaturas a capacidade termica CV de um gas ideal monoatomico nao relativıstico se aproxima de 32 Nk. Encontre as primeiras correcoes quanticas, tanto para fermions quanto para bosons. Expresse seus resultados em termos de T/T0, onde T0 e a temperatura crıtica ou de degenerescencia.

7. Para uma molecula poliatomica a energia possui componentes de translacao e dos graus de liberdade internos, rotacoes e vibracoes: ε = εtrans + εrot + εvib. Mostre que a funcao particao e fatoravel, Z = ZtransZrotZvib, e que o calor especıfico e decomposto em uma soma de termos

(b) Para kT h2/2I, aproxime a soma sobre por uma integral e mostre que

(c) Esboce um grafico de cV = ctrans+crot, onde ctrans = 32 Nk, como funcao da temperatura.

Discuta o comportamento do calor especıfico de um gas poliatomico como funcao de T e compare com a previsao classica devido ao teorema da equiparticao.

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