Gases diluidos em equilibrio, Notas de estudo de Física

Baixe Gases diluidos em equilibrio e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 2. Gases dilúıdos em equiĺıbrio A descrição microscópica de um sistema clássico de N part́ıculas se faz através de suas posições e momentos como função do tempo, é o que chamamos de espaço de fases (r1, · · · , rN ,p1, · · · ,pN ) . Se cada part́ıcula se move no espaço tridimensional, o espaço de fases possui dimensão 6N . É óbvio que quando analisamos um sistema da muitas part́ıculas (N  1) a descrição microscópica do espaço de fases torna-se inviável. Neste caso, a abordagem estat́ıstica é a alternativa quantitativa eficiente mais simples. Veremos agora como fazê-lo para sistemas gasosos. Gases são sistemas de part́ıculas extremamente dilúıdos. A energia potencial entre suas moléculas é muito pequena em comparação com a energia cinética. Vamos, portanto, inicialmente ignorar a energia devido a interações intermoleculares. Como conseqüência a informação sobre as posições relativas entre as part́ıculas torna-se supérflua. Esta enorme simplificação sugere com que basta conhecermos o comportamento médio das moléculas individuais para descrevermos o sistema. Em termos matemático isto é feito através de f(r,p, t), a densidade de probabilidade de encontrar uma molécula do sistema na posição r com momento p no tempo t. No nosso dia a dia desenvolvemos a intuição de que uma distribuição de moléculas de um gás deve tender para uma distribuição espacialmente homogênea quando o equiĺıbrio é estabelecido. A distribuição de momentos também tende uma uma forma particular, a qual independe da interação entre moléculas. Este caṕıtulo será devotado ao estudo desta distribuição de equiĺıbrio, sem a preocupação de discutir a rota para o equiĺıbrio. Em termos matemáticos, estudaremos f0(r,p), a forma limite de f(r,p, t) quando t → ∞. Uma vez que uma distribuição f́ısica é conhecida, a conexão entre a f́ısica estat́ıstica com a termodinâmica é, em geral, simples. Para distinguir ambas, cabe frisar que a termodinâmica é solidamente embasada em fatos emṕıricos e trata de leis de sistemas macroscópicos. Este curso parte de interações microscópicas e através de hipóteses estat́ısticas deriva equações que regem o comportamento de sistemas constitúıdos de N corpos. Assim, no limite de N  1 devemos necessariamente recuperar e entender a origem das leis termodinâmicas, relacionando-as às leis microscópicas que governam o movimento molecular. 2.1. O prinćıpio da máxima probabilidade e a distribuição de Maxwell- Boltzmann A idéia central para a derivação de f0(r,p) supõe que em equiĺıbrio, um sistema pode ser en- contrado em qualquer estado consistente com as condições macroscópicas com igual probabilidade. Para obtermos a distribuição de equiĺıbrio basta estão fazermos uma contagem de microestados que satisfaçam às condições macroscópicas e escolhamos o mais provável. Isto pode ser implementado dividindo o espaço de fases em K células de volume dµi = dridpi suficientemente grandes de modo a conterem em média ni  1 moléculas, mas pequenas bastante para representarem o continuo. Uma distribuição arbitrária é definida pelo conjunto de moléculas 23 {ni} ocupando as i-ésimas células. Fixando um macroestado através de E e N , temos K∑ i=1 ni = N e K∑ i=1 εini = E , (1) onde para um gás dilúıdo podemos considerar εi = p 2 i /2m + V (ri), sendo pi o momento linear e V (ri) a energia potencial correspondente à i-ésima célula. O próximo passo é contar quantos estados podemos construir respeitando os v́ınculos impostos por (1) e determinar qual é a distribuição mais provável. Iniciemos escrevendo o número total de microestados para N moléculas distribuidas em K células Ω({ni}) = N ! n1!n2! · · ·nK! , cuja grande maioria não satizfaz à Eq. (1). É conveniente tomar o logaritmo de Ω lnΩ({ni}) = lnN ! − K∑ i=1 lnni! . Isto permite utilizarmos a aproximação de Striling, que diz que lnn! ≈ n lnn − n é muito acurada para n  1. Como as células devem conter muitas moléculas, escrevemos lnΩ({ni}) ≈ N lnN − K∑ i=1 ni lnni (2) Para encontrarmos a distribuição de equiĺıbrio basta variarmos o conjunto de {ni} sujeitos a (1) encontrando o máximo de lnΩ{ni}. Isto pode ser feito através do método dos multiplicadores de Lagrange, ou seja, queremos encontrar δ [ lnΩ({ni}) ] − δ [ α K∑ i=1 ni + β K∑ i=1 εini ]∣∣∣∣∣ ni=ni = 0 , (3) onde α e β são os multiplicadores de Lagrange. Agora cada ni pode ser considerado independente dos demais. Substituindo (2) em (3) obtemos K∑ i=1 ( − (lnni + 1) − α − βεi ) δni ∣∣∣∣∣ ni=ni = 0 . (4) Como cada variação δni é independente, temos K condições de equiĺıbrio dadas por lnni = −1 − α − βεi, que dão ni = e −1−α−βεi . (5) Este resultado é ainda um pouco insatisfatório, pois n depende do volume das células do espaço de fases. Dividindo n pelo volume das células e fazendo-as muito “pequenas”, podemos construir a função distribuição f0(r,p), associada à probabilidade de encontrarmos uma part́ıcula dentro do elemento de volume ∆p = ∆px∆py∆pz e centrado em p. ni −→ f0(ri,pi)∆3r∆3p 24 Figura 1: Pressão sobre uma superf́ıcie S. As part́ıculas com vx > 0 contidas no volume V = (vx∆t)×A atingirão S no intervalo de tempo ∆t e contribuirão para a pressão. Esta é a equação de estado de um gás ideal. Empiricamente definimos a temperatura como P = nkT , onde k é a constante de Boltzmann. Então, para um gás ideal sem estrutura interna ε = 〈 p2 2m 〉 = 3 2 kT . (16) Reunindo os resultados (11), (12) e (16) podemos escrever a distribuição de Maxwell-Boltzmann como função da temperatura f0(p) = n (2πmkT )3/2 e−(p−p̃) 2/2mkT . (17) Este é o resultado central deste caṕıtulo. Algumas observações importantes devem ser feitas antes de continuarmos. A distribuição não se altera se introduzirmos uma parede perfeitamente refletora, pois f0(p) depende apenas da mag- nitude de p (para p̃ = 0) a qual não é alterada pela parede. Notem também que a distribuição (17) não é estritamente nula para valores altos de p correspondendo a v > c, velocidade da luz. Este erro é apenas muito pequeno para temperaturas ambientes. Correções relativ́ısticas são importantes em problemas astrof́ısicos, onde podemos encontrar temperaturas da ordem de T ≈ 1010 K. É comum discutirmos propriedades de gases em termos de suas velocidades mais prováveis vmp e da raiz da velocidade quadrática média vrms. A primeira corresponde ao valor de v para o qual 4πp2f0(p) tem seu máximo: d dp [ 4πp2f0(p) ]∣∣∣∣∣ p=mvmp = 0 então pmp = √ 2mkT e portanto: vmp = √ 2kT m . (18) A raiz da velocidade quadrática média vrms é definida como vrms = [∫ d3p (p/m)2 f0(p)∫ d3p f0(p) ]1/2 = √ 3kT m . (19) 27 p mp p rms p2 f(p) Figura 2: Distribuição de Maxwell-Boltzmann f(p) versus p. O valor mais provável do momento é pmp e prms é a raiz do momento quadrático médio. À temperatura ambiente estas velocidades são da ordem de 103 m/s para moléculas de O2. Isto é compat́ıvel com a velocidade do som na atmosfera (≈ 340 m/s), pois esta obviamente tem que ser menor do que a das part́ıculas t́ıpicas que compõem o ar. Neste ponto fica claro porque podemos desprezar o campo gravitacional quando calculamos a distribuição f(r,p) de moléculas em problemas que envolvem diferenças de alturas de alguns poucos metros, como por exemplo em uma sala de aula. Consideremos que T ≈ 300 K e que o ar contém apenas moléculas de N2 (m = 4, 6 × 10−26 kg). A diferença de energia potencial é mgh ≈ h4, 5 × 10−25 J, onde h é a diferença em altura das moléculas consideradas (em metros). A diferença entre a densidade de N2 no chão e no teto é insignificante, uma vez que para h = 4, 0 m, ∆Epot/kT ≈ 4, 4 × 10−4. Vale também comparar a relação entre ∆Epot e a energia cinética média das moléculas, a qual é 3kT/2 (16), o que dá numericamente ≈ 6, 2 × 10−21 J. Para alturas da ordem de 4 m, temos que ∆Epot/Ecin ≈ 2, 7 × 10−4, um número muito pequeno. 2.3. Evidências experimentais da distribuição de Maxwell-Boltzmann No ińıcio desta monografia salientamos que a f́ısica estat́ıstica é uma ciência essencialmente emṕırica. No entanto, até o momento poucos exemplos experimentais foram apresentados, sendo o curso centrado em considerações mais formais. A partir deste caṕıtulo, dispomos de informação suficiente para remediar esta situação. Em particular, a distribuição de Maxwell-Boltzmann, foi objeto de diversas medidas visando observá-la experimentalmente. Discutiremos no que segue um experimento clássico, o qual utilizara uma técnica medida bas- tante importante em f́ısica atômica até os dias atuais: a produção de um feixe molecular. Em geral, deseja-se estudar substâncias que em condições ambientes encontram-se no estado ĺıquido ou sólido. Assim, é necessário um recipiente (forno) onde as mesmas são aquecidas de modo a produzir um gás da substância a pressão apreciável. Isto impõe que as temperaturas do forno são altas e suas dimensões reduzidas. A produção do feixe molecular se dá através de um pequeno orif́ıcio no forno, além de uma sucessão de anteparos com fendas para colimá-lo a contento. Modernamente é posśıvel controlar bastante bem as caracteŕısticas do feixe. Por exemplo, a temperatura é abaixada fazendo o feixe passar por dispositivos contendo gases nobres, quimica- mente inertes, a baixas temperaturas (para ententer o processo veja problema 2.2). A separação 28 Figura 3: Esquema experimental para medir a distribuição de Maxwell-Boltzmann: Part́ıculas saem do forno F , são colimadas pelas fendas dos anteparos S1 e S2 e coletadas na placa de vidro P do cilindro S3. de massas das moléculas do feixe é feita facilmente após um processo de ionização das moléculas. Part́ıculas carregadas são aceleradas por campos elétricos, e/ou defletidas por campos magnéticos de formas diferentes dependendo de sua massa 1. O experimento descrito abaixo, embora tecnica- mente primitivo para os padrões modernos, tem um grau de engenhosidade bastante grande sendo semelhante em essência ao que se faz hoje em dia. O ingrediente principal para verificarmos a distribuição de Maxwell-Boltzmann é constatarmos que, uma vez aberto um orif́ıcio no forno, a distribuição de momentos das part́ıculas que saem não é isotrópica sendo dada por f(p) = p · n̂ 4π (2mπkT )3/2 p2e−p 2/2mkT , (20) onde n é a direção perpendicular à parede onde o orif́ıcio foi feito. A demonstração desta relação é deixada como problema proposto. Assim, um arranjo experimental como o descrito pela Fig. 2.3, estará medindo uma distribuição dada pela Eq. (20). A Fig. 3 esquematiza o experimento feito por Zartman e Ko. Nela um feixe molecular é pro- duzido num forno F e colimado pelas fendas S1 e S2. Moléculas do feixe entram em um cilindro que gira com velocidade ω através de um fenda fina S3. Estas se depositam em uma placa de vidro P . As moléculas vão se depositar em diferentes posições de P dependendo de suas velocidades. A distribuição de velocidades fica determinada analisando o enegrecimento produzido pelo feixe molecular em P através de um microfotômetro. A Fig. 4 mostra o resultado do experimento de Miller e Kusch, mais preciso do que o original e realizado em 1955. As medidas comprovaram a distribuição de Maxwell Boltzmann com uma imprecisão de no máximo 1% para 0.2 < v/vmp < 0.8. 2.4. Termodinâmica de um gás dilúıdo 1Um excelente texto analisando estas técnicas é Walt A. de Heer, Rev. Mov. Phys. 65, 611 (1992). 29 discussão bastante detalhada deste procedimento pode ser encontrada no livro de Sommerfeld [Som55]. A vantagem da abordagem apresentada neste caṕıtulo é que a dinâmica sai de evidência e a noção de entropia começa a despontar. Uma vez que estas idéias são aceitas, passa a ser natural introduzir o conceito de “ensemble”. Por este motivo acredito que a ordem em que o problema foi apresentado ilustra bem que os procedimentos são de certa forma equivalentes e serve de preparação para os métodos de Gibbs a serem discutidos nos próximos caṕıtulos. Problemas resolvidos 1. Suponha que em algum instante todas as N moléculas de um gás em um recipiente te- nham energia cinética ε. À medida que o tempo passa, através de múltiplas colisões molecu- lares, o movimento torna-se caótico a as velocidades tendem a se distribuir segundo Maxwell- Boltzmann. (Após um tempo muito maior do que o tempo de relaxação do sistema.) (a) Qual a temperatura final do sistema se ε = 2 × 10−14 ergs (k = 1.38 × 10−23 J)? (b) Qual a fração de moléculas que se encontra entre a energias 1.98 × 10−14 e 2.02 × 10−14 ergs? (Sugestão: aproxime a integral pelo primeiro termo em Taylor em ∆ε – aproximação trapezoidal do cálculo numérico.) Solução: (a) A energia total é preservada, assim a energia interna inicial Uinicial = ∑ εi = Nε é igual à energia final quando o equiĺıbrio é alcançado Ufinal = 3 2 NkT seguindo que ε = 3 2 kT , ou ainda T = 2ε/3k. Para ε = 2 × 10−14 ergs a temperatura de equiĺıbrio é T = 96.6 K. (b) A fração de moléculas com energia E entre ε1 e ε2 é dada por α = 1 N ∫ dr ∫ ε1< p2 2m <ε2 dp f0(p) . A integral no espaço de coordenadas é trivial e dá o volume V . A integral nos momentos nos leva a expressão α = V N n (2πmkT )3/2 ∫ ε1< p2 2m <ε2 dpe−p 2/2mkT = 4π (2πmkT )3/2 ∫ ε1< p2 2m <ε2 dp p2e−p 2/2mkT . Através da substituição de variável p2/2mkT = x, o que implica que pdp = mkTdx, obtemos α = 4 √ 2π(mkT )3/2 (2πmkT )3/2 ∫ ε2/kT ε1/kT dx x1/2e−x então α = 2√ π ∫ ε2/kT ε1/kT dx x1/2e−x . 32 Esta integral não pode ser expressa em termos de funções anaĺıticas simples, sendo necessária uma mudança de variáveis para expressá-la através da função erro (problema proposto 2). No entanto, para ε2 − ε1 kT = ε2 − ε1 2ε/3 = 3 2 ( ε2 − ε1 ε )  1 , o integrando x1/2e−x varia muito pouco entre os limites de integração. Lembrando que partindo de uma expansão de Taylor da função f I = ∫ b a dxf(x) ≈ (b− a) f ( a + b 2 ) sendo a aproximação bastante boa para intervalos [a, b] onde f varia pouco, podemos escrever α ≈ 2√ π 3 2 ( ε2 − ε1 ε )[ x1/2e−x ]∣∣∣∣∣ x=(ε2−ε1)/(2kT ) . O que resulta numericamente em α ≈ 0.0092. 2. Um forno a temperatura T tem um furo de pequenas dimensões. Supondo que as moléculas do forno estão sempre em equiĺıbrio térmico, calcule: (a) O fluxo de moléculas que saem do forno; (b) A função distribuição de momentos das moléculas ao sair do forno; (c) A velocidade quadrática média das moléculas que saem do forno. Solução: (a) Como já foi mostrado, quando calculamos o fluxo I de moléculas através de uma superf́ıcie perpendicular ao eixo x dI(vx) = vxf(p)dp , se considerarmos o orif́ıcio em y = z = 0, podemos escrever o fluxo das moléculas que saem como I = ∫ px>0 dp px m f0(p) = n m(2πmkT )3/2 ∫ px>0 dp px e−p 2/2mkT . O modo mais apropriado de resolver esta integral é usando coordenadas cartesianas I = n m(2πmkT )3/2 ∫ ∞ 0 dpx pxe−p 2 x/2mkT ∫ ∞ −∞ dpy e−p 2 x/2mkT ∫ ∞ −∞ dpz e−p 2 z/2mkT = n √ kT πm . (b) A função distribuição de momentos ao sair do forno não é a de Maxwell-Boltzmann, pois px > 0. Mais do que isto, as moléculas mais rápidas do forno são as que saem antes, pois após explorarem as paredes do forno, acabam atingindo o buraco mais rapidamente. De fato, o número de moléculas que o forno perde por intervalo de tempo é: dN dt = −A ∫ px>0 dp px m f0(p) , 33 onde A é a área do orif́ıcio. Dáı é fácil ver que a distribuição de moléculas ao sair é f̃(p) = cte px/mf0(p), onde a constante de normalização deve ainda ser calculada. Digamos que Ñ é o número de moléculas fora do forno cte ∫ px>0 dp ∫ fora drf̃(p) = Ñ ou cte ∫ px>0 dpf̃(p) = ñ . onde ñ = Ñ/V . Desta forma, após fazer as integrações cte = ñ 2πm(kT )2 , resultando na distribuição f̃(p) = ñ 2πm2(kT )2 pxe−p 2/2mkT . (c) A velocidade quadrática média das moléculas que saem do forno é v2 ≡ 1 ñ ∫ px>0 dp ( p m )2 f̃(p) = 1 2πm2(kT )2 ∫ px>0 dp ( p m )2 pxe−p 2/2mkT . A integral pode ser resolvida em coordenadas esféricas v2 = 1 2πm2(kT )2 ∫ 1 0 d(cosθ) cos θ ∫ 2π 0 dφ ∫ ∞ 0 dpp5 e−p 2/2mkT , onde usamos px = p cosθ. O resultado final é v2 = 4kT m . 3. Expansão Adiabática: Considere um gás ideal monoatômico, contido em um cilindro de comprimento L e secção transversal A e fechado por um pistão que se move com velocidade w, conforme a ilustração: w
 Assuma que todas as colisões do gás com o recipiente e o pistão são elásticas e que o gás se encontra em equiĺıbrio térmico quando o pistão começa a se mover. (a) Mostre que a pressão que o gás exerce sobre o pistão é P = 2 m ∫ px>mw d3p(px − mw)2f0(p) (b) Mostre que a variação da energia interna do gás com o tempo é dada por: dU dt = −w4nAkT√ π ∫ ∞ 0 dxx2 exp { − [ x + w √ m 2kT ]2} 34 Nesta ordem, podemos escrever que dU dt = −AwnkT ( 1 − 8√ π w √ m 2kT ∫ ∞ 0 dx x3 e−x 2 ) = −AwnkT ( 1 − w √ 8m πkT ) . Para calcularmos a variação da entropia, devemos distinguir a pressão do gás P̃ da pressão que o gás exerce sobre o pistão P (se w = 0, então P̃ = P ). A variação da entropia com o tempo é dS dt = 1 T dU + P̃ T dV dt levando a dS dt = Aw2n √ 8mk πT . Como a densidade é n = N/V = N/(AL) dS dt = N L w2 √ 8km πT > 0 . Note que a entropia cresce com o tempo mesmo para um pistão contraindo o volume do gás, pois dS/dt ∝ w2. Problemas propostos 1. Suponha que a atmosfera possa ser descrita em primeira aproximação como um gás ideal isotérmico em equiĺıbrio. Ou seja, temperatura T constante, independente da altura h em relação ao ńıvel do mar. (a) Mostre que: dP dh = −Pmg/kT onde P é a pressão do gás, m a massa de suas moléculas constituintes, e g = 9.8 m/s2. (b) Dentro desta aproximação qual é a diferença de pressão entre São Paulo (h = 700m) e Rio de Janeiro? Simplique as contas supondo o ar é constituido somente de N2 (m = 4.65 × 10−26 Kg), que T = 300 K, e que P = 1 atmosfera ao ńıvel do mar. (c) Em equiĺıbrio, cada componente de um gás tem a mesma pressão. Ou seja, no caso da atmosfera, a pressão de O2 é a mesma que a de N2, que é a mesma que a de H2, etc.. Usando (1), mostre que n(h), a densidade de uma espécie molecular, na aproximação isotérmica obedece a n(h) = n(0)e−h/h0 com h0 = kT mg , onde n(0) é a densidade molecular a h = 0. (d) Calcule h0 para o trietil-chumbo (m = 5.23 × 10−26Kg), um dos maiores poluentes em carros sem catalisador. Escapamos do efeito poluente desta part́ıcula se morarmos no 10o andar (h ≈ 30m)? Discuta. 37 2. A velocidade de escape de um gás da superf́ıcie de um planeta é dada por ve = √ 2gR. A T = 300K e ao ńıvel do mar, qual a fração de moléculas de N2 que tem velocidade acima de ve? Suponha que a atmosfera pode ser tratada como um gás em equiĺıbrio. O raio da Terra é R = 6.37 × 106m, m e g já foram dados. Expresse seus resultados em termos da função erro: erf(x) = (2/π) ∫ x 0 dy exp(y 2). 3. Para um gás em equiĺıbrio térmico constitúıdo de moléculas obedecendo à distribuição de Maxwell-Boltzmann: (a) Calcule a fração de moléculas que tem energias entre ε− 1/2 kT e ε + 1/2 kT . Expresse o resultado em termos da função erro. (b) Calcule a energia correspondente ao máximo da curva de distribuição de energias. 4. Efusão: Um exemplo prático de aplicação da distribuição de Maxwell-Boltzmann é o caso de produção de um feixe de átomos por um forno com um pequeno orif́ıcio. Tal sistema é de grande interesse para experimentais que lidam com sistemas a vácuo, na produção de agregados atômicos e moleculares. Quando o livre caminho médio das moléculas é maior do que as outras escalas de comprimento do sistema, dizemos que estamos no “regime sem colisões”. (a) Para um forno a uma temperatura T , contendo moléculas de massa m, expresse o fluxo molecular através do buraco em termos da densidade n de moléculas no forno. (Sugestão: use as idéias desenvolvidas para a pressão na apostila.) (b) Se a área do buraco for S e o número de moléculas no forno for N , mostre que dN dt = −Sn √ kT 2πm (Sugestão: o número de moléculas que saem do forno é proporcional ao fluxo vezes um intervalo de tempo). O fator 1/ √ m faz com que o processo seja muito útil para separação isotópica – em escala industrial separa-se 235U de 238U assim. (c) Como as moléculas mais rápidas tendem a escapar do forno preferencialmente, a tem- peratura do gás residual no forno deve diminuir, caso o gás alcance um novo equiĺıbrio. Segundo o mesmo racioćınio do item (b), faça o balanço da energia e mostre que dU dt = 2kT dN dt (Sugestão: pese a distribuição das part́ıculas que deixam o forno dN(p) com sua energia p2/2m e integre sobre p). (d) Mostre que nestas condições a temperatura do gás residual no forno decai proporcional- mente a N1/3 (T ∝ N1/3) (Sugestão: use a equação de estado e os resultados obtidos em (b) e (c) para obter uma equação diferencial em N e T ) 5. A famosa função H de Boltzmann é definida como H = ∫ d3pf(p, t) ln f(p, t) 38 onde a função f(p, t) é arbitrária a menos dos v́ınculos ∫ d3pf(p, t) = n e 1 n ∫ d3p p2 2m f(p, t) = ε . Mostre que H é mı́nimo quando f é a distribuição de Maxwell-Boltzmann. (Sugestão: use o método dos multiplicadores de Lagrange.) 6. A distribuição de Maxwell-Boltzmann e o centro de massa: O momento total de um sistema é dado pela soma dos momentos dos momentos das part́ıculas contituintes: K = N∑ i=1 ki , queremos determinar a função distribuição P(K) = ∫ dk1 · · · dkN δ ( K − N∑ i=1 ki ) P (k1) · · ·P (kN ) . O modo mais conveniente é usar a função caracteŕıstica da distribuição P . (a) Para tal mostre que a função caracteŕıstica Q(r), definida por Q(R) = ∫ dk eiK·RP (K) , pode ser expressa por: Q(R) = 1 + i〈K〉 · R − 1 2 3∑ i,j=1 〈KiKj〉RiRj (b) Para um sistema em que as part́ıculas se movem isotropicamente mostre que Q(R) = 1 − 1 6 〈K2〉R2 + · · · implicando que [ Q(R) ]N = e−N/6〈K 2〉R2 . (c) A partir da transformada inversa P(K) = 1 (2π)3 ∫ dRe−K·R [ Q(r) ]N mostre que P(K) = ( 3 2πN〈K2〉 )3/2 e−3K 2/2N〈K2〉 . 39