lista fermions

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FISICA ESTATISTICA (2006/1) Lista de Exercıcios - Capıtulo#9 – Gases de Fermions

1. De as estimativas numericas para a energia de Fermi das seguintes substancias:

(a) eletrons em um metal tıpico;

(b) nucleons em um nucleo pesado (suponha que o raio nuclear seja de 1.2 A1/3 fermi, onde A eo numero de massa);

(c) atomos de 3He em 3He lıquido (volume atomico de 46.2 A3/atomo).

Trate a todos como partıculas livres.

2. A temperatura ambiente a distribuicao de eletrons em um metal e muito proxima da distribuicao a temperatura nula. Ha um numero relativamente pequeno de eletrons excitados acima da superfıcie de Fermi, deixando buracos no mar de Fermi. Mostre que a probabil- idade Pp(∆) de encontrar um eletron com energia ∆ acima da energia de Fermi e igual a probabilidade Pb(∆) de encontrar um buraco com energia ∆ abaixo de εF.

3. Um recipiente esta separado em dois compartimentos por um pistao que pode se movimentar sem atrito. Dois gases ideais de fermions sao colocados nos compartimentos, como indicado na Fig. 1.

Figura 1: Os dois compartimentos nao trocam partıculas e o pistao deslisa livremente.

As partıculas no compartimento 1 tem spin 1/2, enquanto que as do compartimento 2 tem spin 3/2. Encontre a densidade relativa ρ1/ρ2 no equilıbrio nos casos (a) T = 0 e (b) T TF.

4. Para um gas ideal de Fermi a baixas temperaturas mostre que:

(a) O potencial quımico e dado por

( kT

( kT

(b) A energia media por partıcula e:

( kT

( kT

5. Mostre que para um gas ideal de Fermi

( ∂z

Usando esta relacao mostre que

Verifique que para temperaturas baixas

( kT

6. Um gas constituıdo de N eletrons livres esta contido em um recipientede volume V . Considere os eletrons no regime de energia ultrarelativıstica, ou seja, suas energias obedecem a relacao de dispersao

onde p e o momento linear do eletron, m sua massa de repouso e c e a velocidade da luz.

(a) Calcule a energia de Fermi do sistema.

(b) Qual a energia interna do sistema no estado fundamental? Defina U como a media de E −mc2.

(c) Calcule o calor especıfico a volume constante no limite de T TF.

(d) Obtenha a equacao de estado do sistema. Mostre que a baixas densidades PV =2 U/3 enquanto que a altas densidades PV = U/3. Defina o criterio para classificar baixas e altas temperaturas.

7. Considere bidimensional um gas de N eletrons nao interagentes confinados se moverem em uma superfıcie de area A.

(a) Mostre que a densidade de estados de partıcula independente e constante: ρ(ε)= D, ε ≥ 0 e calcule D.

(b) Calcule a energia de Fermi (potencial quımico a temperatura nula) como funcao de N e D.

(c) No regime ultradegenerado, devido a densidade de estados ser constante, suponha que µ(T) ≈ µ(T =0 )= εF e mostre que energia interna U do gas e

pi2

(d) Nestas condicoes calcule o calor especıfico CV e compare com o caso tridimensional.

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