Cosmologia

Cosmologia

(Parte 1 de 9)

Instituto de Fısica Teorica

Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORAMENTO IFT–T.009/07

Equacao de Estado para o Universo Primordial Leo Gouvea Medeiros

Orientador Prof. Dr. Ruben Aldrovandi

Setembro de 2007

Dedico este trabalho aos meus filhos.

i Agradecimentos

A minha mae e a meu pai que tem me apoiado nesta fase de transicao. A minha esposa Debora Hashiguchi por todo o carinho demostrado durante estes quatro anos.

Ao Cassius, Pege e Rodrigo, pela amizade e pelos trabalhos desenvolvidos juntos. Ao meu orientador Prof. Ruben Aldrovandi pela excelente orientacao. Ao Prof. Pimentel e a Gabi, pela grande amizade. Aos pesquisadores R. Kaminski e L. Lesniak que responderam prontamente as minhas duvidas sobre o espalhamento kaon-kaon.

A professora Silmara, por ter sido a primeira pessoa a me falar sobre cosmologia.

Eu tinha apenas 10 anos.

Ao Nicolai Gromov, meu primeiro professor sobre cosmologia. Ele ministrou o curso de fundamentos de cosmologia oferecido pelo planetario do parque do Ibirapuera. Isso foi entre 1993 e 1995.

A todos meus amigos da escalada, nos quais, muitas vezes, deposito a minha vida atraves de um no na ponta da corda.

Ao pessoal da sala 7 e a todos os colegas do IFT. A FAPESP, pelo apoio financeiro.

Por fim, gostaria de agradecer a todas as pessoas deste mundo, que de alguma forma contribuıram para minha formacao.

i Resumo

O principal objetivo desta tese e explorar o papel das interacoes nucleares durante o universo primordial. Para tanto, importamos para a cosmologia um formalismo da mecanica estatıstica de equilıbrio baseado em sistemas interagentes relativısticos. A partir deste formalismo e utilizando uma abordagem fenomenologica das interacoes nucleares, construimos equacoes de estado cosmologicas constituidas de fotons, leptons e hadrons interagentes, e aplicamos estas equacoes no modelo padrao da cosmologia.

Supondo certas extrapolacoes, as equacoes de estado propostas sao capazes de gerar um regime de expansao acelerada primordial (inflacao) conectado continuamente com a era da radiacao existente durante a nuclessıntese. Este perıodo inflacionario e suficientemente intenso para resolver os problemas de planura e horizonte, permitindo tambem uma explicacao natural de porque o universo esta se expandindo. Contudo, devemos ressaltar que todos estes resultados sao obtidos apenas para um universo simetrico de materia e antimateria.

Resumidamente falando, o trabalho realizado sugere que os processos de interacao nuclear sao importantes para a evolucao do universo primordial podendo inclusive ser os responsaveis pelo perıodo inflacionario.

De uma perspectiva mais ampla, esta tese tambem tem por objetivo estabelecer um procedimento formal capaz de incluir termos de interacao como fonte de gravitacao na cosmologia. Este procedimento e baseado na teoria de ensembles da mecanica estatıstica, e em princıpio pode ser aplicado sempre que o fluido cosmico estiver em equilıbrio termodinamico.

Palavras Chaves: cosmologia; equacoes de estado; interacao forte; sistemas estatısticos com interacao; hadrons.

Areas do conhecimento:1.05.01.03-7.

i Abstract

The main purpose of this thesis is to explore the role of the nuclear interactions during the early universe. For that, we import to cosmology an equilibrium statistical mechanics formalism based for relativistic interacting systems. Using this formalism and a phenomenological approach of the nuclear interactions, we built cosmological equations of state including photons, leptons and interacting hadrons and apply them to the cosmological standard model.

Supposing certain extrapolations, the proposed equations of state are able to produce a primordial acceleration (inflation) continually linked with the radiation era present during the nucleosynthesis. This inflationary period is effective enough to solve the flatness and horizon problems, and it still allows a natural explanation for why the universe is expanding. However, we must stress that all these results are obtained only for a matter-antimatter symmetric universe.

The research made suggest that the nuclear interactions are important for the early universe evolution and it might be the responsible for the inflationary period.

This thesis has also the purpose of establishing a formal procedure able to include interaction terms as sources of gravitation in cosmology. This procedure is based in the ensemble theory of statistical mechanics, and can in principle be applied whenever the cosmic fluid is in thermodynamical equilibrium.

Indice

Introducao 1

1.1 Introducao ao modelo cosmologico padrao6
1.2 Caracterısticas gerais do universo pre-nucleossıntese9
1.3 Condicao de equilıbrio para o fluido cosmico14
1.4 Introducao a teoria geral da inflacao20
1.4.1 Motivacao dos modelos inflacionarios20
1.4.2 Caracterısticas gerais da inflacao23

1 Universo Primordial Ideal 6

2.1 Sistemas estatısticos com uma componente25
2.1.1 Expansao em termos da constante de acoplamento26
2.1.2 Expansao em termos da fugacidade31
2.2 Equacoes de estado46
2.2.1 O significado fısico das quantidades p, ρ e n50
2.2.2 Comparacao explicita entre as serie z e n para a pressao5
2.2.3 Estabilidade termodinamica57
2.3 Sistemas multicomponentes59
2.3.1 Sistema multicomponente em termos das fugacidades60
2.3.2 Equacoes de estado multicomponentes62

2 Sistemas Estatısticos Interagentes 25

3.1 Relacao da matriz S com o operador S64
3.2 O problema de dois corpos70
3.2.1 Relacao da matriz S2 com as defasagens δl70
3.2.2 Relacao do segundo coeficiente da fugacidade com δl73

3 Teoria do Espalhamento e o Problema de Dois Corpos 64

4.1 Caracterısticas gerais dos sistemas hadronicos78
4.1.1 Hadrons relevantes para o universo Pns79

4 Interacao Hadronica 78 iv

4.2 Abordagem fenomenologica da interacao hadronica82
4.2.1 Interacao entre pıons, kaons e nucleons85
5.1 Consideracoes gerais para o universo Pns real94
5.2 Equacoes de estado primordiais96
5.2.1 EoS para hadrons97
5.2.2 EoS de partıculas ideais105
5.2.3 EoS completas106
5.3 Validade das equacoes de estado na cosmologia109
5.3.1 Instabilidade nas EoS cosmologicas110
5.3.2 Desconfinamento112
5.3.3 Convergencia das series de ρ e p113
5.4 Consequencias cosmologicas116
5.4.2 O regime inflacionario119
5.4.3 Origem e evolucao do universo para k = 0127

5 Universo Primordial Real 94 5.4.1 O fator de escala a(kT) e o tempo t(kT) para curvatura nula . 117

6 Consideracoes Finais 130

A.1 Estatıstica classica133
A.2 Estatıstica quantica136
A.3 Contagem de diagramas conexos140

A Sistema Estatıstico Relativıstico Ideal 132

B.1 Extensao analıtica143
B.2 Identidades entre operadores146

B Calculo do Traco de W e Relacoes entre T, Ω e S. 143

C.1 Sistema de uma componente148
C.2 Sistema de duas componentes149

C Calculo Explıcito dos Coeficientes do Virial 148

D.1 O espalhamento nao relativıstico152
D.2 O segundo coeficiente da fugacidade160

D Limites Nao Relativısticos 152 E Formalismo de Potenciais Separaveis 162

Indice vi

F.1 Espalhamento pipi165
F.1.1 Onda S165
F.1.2 Onda P166
F.1.3 Onda D167
F.2 Espalhamento piK167
F.2.1 Onda S167
F.2.2 Onda P168
F.3 Espalhamento piN168
F.3.1 Onda S169
F.3.2 Onda P169
F.3.3 Onda D170
F.4 Espalhamento K171
F.4.1 Onda S172
F.5 Espalhamento KN172
F.5.1 Onda S172
F.5.2 Onda P173
F.5.3 Onda D174
F.6 Espalhamento N175
F.6.1 Onda S175
F.6.2 Onda P176
F.6.3 Onda D177

F Ajuste e Graficos das Funcoes Defasagens 165 Referencias 179

Introducao

Ate o presente momento, o maior sucesso da cosmologia se deve ao desenvolvimento do chamado modelo padrao do Big Bang. Como se sabe, este modelo foi estabelecido com base em dois princıpios condizentes com as observacoes em larga escala do universo: o princıpio cosmologico, que postula que o universo e espacialmente homogeneo e isotropico, e o princıpio de tempo universal que admite para a variedade M quadridimensional do espaco-tempo uma topologia de produto direto M = R × , e que permite a adocao de um tempo cosmologico para a folheacao da variedade M [1, 2]. Baseado nestes dois princıpios constroi-se um elemento de linha conhecido como intervalo de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) [3], [4]. Por outro lado, os termos de fonte na cosmologia podem ser simulados satisfatoriamente atraves do tensor energia-momento de um fluido perfeito. Entao, atraves da equacao de Einstein e possıvel derivar duas equacoes de movimento (equacoes de Friedmann) para a cosmologia. Estas duas equacoes, juntamente com uma equacao que relaciona a pressao p com a densidade de energia ρ, sao capazes de descrever a evolucao do universo por completo.

A relacao entre p e ρ pode ser obtida diretamente atraves de uma equacao de estado (EoS) tipo p(ρ), ou indiretamente, quando p e ρ sao obtidas atraves de funcoes conhecidas como funcoes de distribuicao. E bastante razoavel supor tambem que esta relacao possa ser determinada pelas varias abordagens da mecanica estatıstica (ME).

Pode-se dividir a mecanica estatıstica em duas areas bem definidas [5]: ME no equilıbrio∗, cuja abordagem se da, por exemplo, via ensembles; e ME fora do equilıbrio, caracterizada por funcoes de distribuicao que geram, por exemplo, equacoes cineticas, como as equacoes de Boltzmann e Vlassov-Landau. E importante ressaltar que, enquanto as funcoes de distribuicao podem descrever sistemas estatısticos dentro e fora do equilıbrio, a teoria dos ensembles, cujos entes fundamentais sao as funcoes de particao, so existe para sistemas em equilıbrio.

Em diferentes situacoes a cosmologia se vale de ambas as abordagens da ME. Por

∗Entende-se por equilıbrio o conceito de equilıbrio termodinamico, onde se pode definir a grandeza temperatura.

exemplo: equacoes de estado obtidas via funcao de particao sao usadas para descrever o modelo ΛCDM, os perıodos dominados pela radiacao ou pela materia, etc. [6, 7]; ja as funcoes de distibuicao determinadas atraves da equacao de Boltzmann sao utilizadas nos modelos cosmologicos perturbativos relacionados diretamente com as anisotropias na radiacao cosmica de fundo e com o processo de formacao de estruturas [8].

Porem, na imensa maioria dos casos, os modelos cosmologicos levam em conta apenas termos cineticos, esquecendo-se dos chamados termos dinamicos referentes ao processo de interacao entre os constituintes. De fato, a cosmologia padrao (sem levar em conta os tratamentos perturbativos) apresenta uma descricao dos constituintes do universo na qual as interacoes tem o papel somente de produzir novas partıculas e termalizar o sistema [1, 6, 9]. Ja a cosmologia moderna (perturbativa) introduz os termos de interacao atraves da determinacao de funcoes de distribuicao com o uso da equacao de Boltzmann [8]. Porem, mesmo nesta abordagem perturbativa, a interacao e computada de forma demasiadamente parcial, uma vez que a definicao usual do tensor energia momento atraves das funcoes de distribuicao determina apenas termos cinematicos da funcao pressao [10, 1]. Portanto, podemos afirmar de forma contundente que, salvo poucas excessoes [12, 13], a “cosmologia atual nao leva em conta, como fonte direta de gravitacao, termos de interacao”.

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