fasores 1

fasores 1

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ejβ ' cos β % j sin β (1.2)

Fig. 1.1 Charles Proteus Steinmetz.

F.A.Q. sobre fasores

Clovis Goldemberg (com a colaboração da Prof. Denise Consonni)

V0.8-Março/2007 1.Porque usar fasores?

A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no tempo.

2.O que é um fasor? Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma senóide.

3.Quem inventou fasores?

O uso de números complexos para resolver problemas em circuitos de corrente alternada foi apresentado pela primeira vez por Charles Proteus Steinmetz em um artigo de 1893. Ele nasceu em Breslau, na Alemanha, filho de um ferroviário. Tornou-se um gênio da ciência apesar de ser um deficiente físico de nascença e ter perdido a mãe com apenas 1 ano de idade. Assim com seu trabalho sobre as leis da histerese atraíram a atenção da comunidade científica, suas atividades políticas na Universidade de Breslau atraíram a polícia política. Foi forçado a fugir da Alemanha sem conseguir concluir seu trabalho de doutorado. Trabalhou em inúmeras pesquisas nos Estados Unidos, principalmente na General Electric Company. A GE havia sido fundada por Thomas Edison que a dirigiu entre 1876 a 1892. O período de 1892 a 1923 ficou conhecido como sendo a Era Steinmetz, por razões óbvias. Seu “paper” sobre números complexos revolucionou a análise de circuitos AC apesar de terem dito (naquela época) que ninguém, exceto Steinmetz, entendia o método.

4. Como se escreve um fasor?

Esta pergunta deve ser decomposta em várias etapas... a.Escreva no domínio do tempo como sendo uma função cossenoidal com uma faseyt determinada. Por exemplo:

Onde: é a amplitude da onda cossenoidal (sempre $0)Y M é a fase da onda cossenoidal [rd]φ é a frequência angular da onda cossenoidal [rd/s]ω b.A fórmula de Euler estabelece que:

e consequentemente temos:

cos β ' Re ejβ (1.3) y t ' YM cos ωt%φ ' Re YM ej ωt%φ ' Re YM e jωt e jφ (1.4)

Y ' YM ejφ ' YM

Fig. 1.2 Representação gráfica do fasor .Y c.Aplicando a Eq. (1.3) em (1.1) resulta:

d.O fasor é dado por:Y e.Fasores não giram! Isto porque o termo da Eq. 1.4 é considerado à parte.ejωt f.A representação do fasor adotada na Eq. (1.5) é denominada polar. Entretanto seriaY perfeitamente aceitável uma representação usando números complexos:

5.Representação gráfica de um fasor A representação gráfica do fasor indicado na Eq. (1.5) está dada na Fig. 1.2Y

6.Qual a fase de um fasor?

Não existe uma única resposta a esta pergunta. Como o tempo é relativo (mais que isto, “tudo é relativo...” e o “big-bang” ocorreu há muito tempo atrás...) é necessário arbitrar um instante inicial para definir a fase do fasor . Esta origem dos tempos deve ser a mesma para todosY os fasores de um mesmo problema. Como regra prática adota-se um dos fasores como referência. Ou seja, este fasor específico tem fase nula. Os outros fasores podem estar “adiantados”, “atrasados” ou “em fase” em relação à referência de fase estabelecida.

7.Um exemplo de fasor? Considere uma corrente:

Reescreva esta mesma corrente como sendo uma função cossenoidal.

y t ' Re YM e jωt e jφ (1.14) y t ' Re YM v t ' Re VM e jωt e jφ (1.19)

Reescreva como sendo a parte real de um número complexo:

Para simplificar a notação podemos deixar de escrever a funcao :Reÿ

Ignore o termo :ej100t

E finalmente:

Ou seja, o fasor possui amplitude (ou magnitude, ou módulo) 5 e fase .Iπ/6

8. Como transformar de uma notação fasorial para uma função temporal? Considere um fasor:

Recoloque a o termo . Nesta etapa existe uma informação absolutamente necessária:ejωt quanto vale ? Se não soubermos a frequência angular o problema não tem solução.ωω

Agrupando-se os expoentes temos:

E finalmente:

9. Porque usar fasores?

A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no tempo (isto já havia sido falado na pergunta #1). Ao utilizar notação fasorial torna-se possível transformar as equações diferenciais que representam um circuito elétrico em equações algébricas. Resolver equações algébricas é muito mais simples do que resolver equações diferenciais. A seguir iremos considerar os elementos passivos do tipo resistor, indutor e capacitor.

10. Resistores A equação básica no domínio do tempo é dada pela Lei de Ohm:

Considere que a tensão é dada por:vt que pode ser reescrito como: A corrente também será dada por uma função cossenoidal que possui uma fase . Portanto:β

i t ' Re IM e jωt e jβ (1.21)

Re VM ejωt ejφ ' R Re IM e jωt e jβ (1.2)

VM ejωt ejφ ' R IM e jωt e jβ (1.23)

VM ejφ ' R IM ωt [deg] v(t) i(t)

Fig. 1.3 Relação temporal entre corrente e tensão em resistor ideal.

Fig. 1.4 Diagrama fasorial para um elemento resistivo.

e também:

Agrupando as Eqs. (1.17), (1.19) e (1.21) teremos:

que pode ser simplificada eliminando-se a função “real” dos dois lados:

Os dois lados podem ser divididos por resultando:ejωt Em termos fasoriais temos:

I ' IM pβ

No caso de resistores as fases e são iguais bastando comparar as Eqs. (1.19) e (1.20). Ouφβ seja, a tensão está em fase com a corrente . Observe a Fig. 1.3 abaixo e o diagramavtit fasorial correspondente na Fig. 1.4.

v t ' L d i t v t ' Re VM e jωt e jφ (1.28) i t ' Re IM e jωt e jβ (1.30)

Re VM e jωt e jφ ' L d Re IM e jωt e jβ

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