M30 matematica

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Resolução de Equações Algébricas por Radicais

Gervasio G. Bastos

Resumo

Visão histórica do problema da resolução de equações algébricas, desde os antigos egípcios até Galois. A “completação de quadrados” e os artifícios de cálculo para resolver as equações cúbicas e quárticas. Discussão das equações com coeficientes reais. Comentários sobre a impossibilidade de resolução de equações com grau superior a quatro e o surgimento da teoria dos grupos.

1I ntrodução

Nestaexposição apresentamos os métodos clássicospara resolver as equações algébricas com grau 2 ≤ n ≤ 4, em que se procura determinar expressões para as raízes de um dado polinômio f(x) com grau n,e m função de seus coeficientes, envolvendo somente as operações algébricas fundamentais e mais a extração de raízes quadradas, cúbicas, etc. A isso chamamos a resolução por radicais da equação f(x)=0 .P ara simplificar a questão, mas sem perder a essência do método de solução, consideraremos somente equações com coeficientes reais.

A equação quadrática, apesar de já manuseada no Antigo Egito cerca de l700 anos A. C., somente no século XII foi posta na forma como hoje conhecemos, graças à contribuição de Baskhara (matemático hindu) que a escrevera em versos. As equações do terceiro e quarto graus tiveram suas fórmulas estabelecidas no século XVI pela escola italiana representada por S. del Ferro (1465?-1526),N. Tartaglia (1500?-57),G. Cardano (1501-76) e L. Ferrari (1522-65), entre outros. Deve-se a del Ferro a resolução da equação cúbica (ele manteve o seu método em segredo), mais tarde também resolvida independentemente por N. Tartaglia. Tudo isso se deu até 1545, ano em que G. Cardano a publicou, com as devidas referências a del Ferro e Tartaglia, em seu livro "Ars Magna", juntamente com a fórmula da equação quártica, esta última estabelecida "a seu pedido"por seu discípulo L. Ferrari. No final do século XVIII, o matemático italiano P. Ruffini deu uma prova (com algumas lacunas em sua argumentação) da impossibilidade de se resolver por radicais a equaçãodo 5.o grau. A primeira prova convincente da impossibilidade de resolução da equação quíntica foi estabelecida, no início do século XIX, pelo matemáticonorueguês N. H. Abel (1802-29). O trabalhode Abel foi completado pelo gênio francês E. Galois (1811-32), que caracterizou as equações f(x)= 0, com grau arbitrário n, que são solúveis por radicais, por meio de uma propriedade de certo grupo Gf de permutações de suas raízes, atualmente denominado o grupo de Galois de f. Pode-se dizer que exatamente aí nasce a teoria dos grupos. A partir desse resultado, conclui-se que a equação geral de grau n ≥ 5 nãop odes er resolvidap or radicais. Uma boa referência em língua portuguesa para essa parte da história da matemática se encontra em [M]. Chamaremos equação algébrica de grau n ≥ 2 à uma igualdade

a0 + a1x ++ anxn =0 (n)

onde ai ∈ R (i =0 ,1,...,n), an 6=0 . Procura-se determinar os números x, a “incógnita”, de modo que a igualdade seja satisfeita. Como conse- qüência do teorema fundamental da álgebra, sabemos que o polinômio f(t)= Pn i=0 aiti ∈ R[t],d eg rau n, fatora-se como ondez1,...,zn ∈ C (= corpo dos números complexos)não necesariamente distintos, univocamente determinados. Nesse sentido, dizemos que toda equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes complexas, podendo haver repetições, i. e. contando suas multiplicidades.A s raízes, coeficientes, grau,e tc.d a equação (n) são, por definição, as raízes, coeficientes, grau, etc. do polinômio f. Desenvolvendo o segundo membro de (∗), e comparando os coeficientes de mesmo grau, obtêm-se as relações entre coeficientes e raízes de um polinômio:

z1 ++ zn = −an−1/an
z1z2 ++ zn−1zn = an−2/an

Para encontrar as raízes de f(x)= 0, podemos dividir todos os coe- ficientes de f por an 6=0 , e assim supor, sem perda de generalidade, que an =1 .

2A Equação de 2.o Grau Para n =2 ,t emos a equação quadrátrica

2 ,o nde ∆ = b2 − 4c é chamado o discriminante (2).D efine-se para r< 0: √ r = i√ −r,o nde i é a unidade imaginária no corpo C dos números complexos. Obtém-se, assim, a conhecida fórmula de Baskhara

3 A Equaçãod o3 .o Grau

O processo de “completamento do cubo” para a equação x3+ax2+bx+ c =0 apenas retira o seu coeficiente de 2.o grau. De fato, podemos

resolver a equação reduzida cujas raízes xi fornecem as três raízes xi −a/3 da equação original completa.

Para resolver (3), usa-se um artifício de cálculo: x = u + v,c om u 6=0 e v 6=0 , a determinar. Note-se que podemos supor x 6=0 ,i . e. q 6=0 ; caso contrário recaímos em uma equação quadrática. Assim, (u+v)3+p(u+v)+q =0 ⇔ u3+v3+q+(3uv+p)(u+v)=0 . Obviamente, obtém-se uma raiz x = u+v, se pudermos resolver o sistema de equações

As soluções de (A) são necessariamente soluções (u,v) do seguinte sistema, o qual pode ser resolvido facilmente em u3 e v3:

No entanto, (B) tem a desvantagem de introduzir “soluções estranhas”, já que nem todos os u e v encontrados em (B) servem para (A).D e fato, devemos reter apenas os valores de u e v (dados por raízes cúbicas) tais que uv = −p/3. Pelas relações (∗ ∗),v emos que u3 e v3 são as raízes da equação y2 + qy − p3 27 =0 , chamada a equaçãoq uadráticar esolvente de (3). Uma vez encontradas as raízes α,β ∈ C da resolvente, podemos tomar u = α1/3 e v = β1/3. Nota: Sabemos se z é uma das raízes cúbicas complexas de γ ∈ C, entãoa st rêsr aízesc úbicas de γ são z, wz e wz,o nde w = ei(2π/3) =

Em(B) ospossíveisvalores para uv são −p 3 , −wp 3 ou−w2p 3 . Devemos eliminar as soluções "estranhas"(u,v) tais que uv 6= −p 3 .P ela fórmula de Baskhara, aplicada à resolvente quadrática, obtemos u3 = −q/2+p

Temos, então nove soluções (u,v) para o sistema (B),o nde u e v re- presentam, respectivamente, uma das raízescúbicascomplexas de−q/2+p

Escolhamos para u qualquer uma das raízes cúbicas complexas de

Tomemos v = − p 3u .E ntão,

Logo, v éu ma dasr aízesc úbicas complexasd e −q/2 − p q2/4+ p3/27

Obtemose ntão uma raizd e (3) dada por

são escolhidos sob a condição uv = −p/3. Portanto, as raízes x de (3) se expressam pela chamada fórmula de Cardano:

2 e os dois radicais podem ser tomados como os rad-

Example 2 Tomemos agora um exemplo de equação com raízes prescritas: (x−5)(x+1)(x+4) = x3−21x−20 = 0. Escolhendo inicialmente qualquer raiz cúbica u =

10+i√ 243, vimos quee xisteu ma única raiz cúbica v =

10−i√ 243 tal que 5= u + v. Agora, tudo o que podemos

Example 3 Ae quação x3 −3x +2 = 0 tem como raízes

3.1 O Discriminante

O discriminante da equação (3) éd efinido por

Proposition 4 O discriminante da equação x2 + px + q é dado, em termos dos seus coeficientes, por δ = −4p3 − 27q2.

Proof. Sabemosqueas raízes daequação sãodadas porx1 = u+v, x2 = wu + w2v e x3 = w2u + wv,o nde u (resp. v)éu ma dasr aízesc úbicas

Como as raízes da equação do 3.o grau completa x3+ax2+bx+c =0 são obtidas subtraindo-se a/3 das raízes xi da equação reduzida, então o discriminante é o mesmo que o da equação reduzida. Fazendo as substituições p = b − a2/3 e q = −2a3/27 + c, obtemos δ = −4a3c + a2b2 +1 8abc − 4b3 − 27c2. Do mesmo modo, podemos obter expressões para as raízes da equação completa em termos dos coeficientes a,b e c. Em termos do discriminante, as raízes da cúbica reduzida são:

onde os radicais cúbicos indicam raízes cúbicas tais que

3.2 Discussão da Equação do 3.o Grau

Consideremos o polinômio f(X)= X3 + pX + q ∈ R[X],e a equação cúbica f(x)= x3 + px + q =0 . Em primeiro lugar, observemos que z ∈ C ér aizd e f(X) se e somente se z ér aizd e f(X). De fato, de x3 + px+ q =0 ,t iramos (x)3 + px + q = x3 + px+ q = 0=0 .

1. A equação tem uma raiz tripla se e somente se p = q =0 .C om efeito,se p = q =0 ,é claro que x1 = x2 = x3 =0 . Reciprocamente,

2. A equação tem uma raiz dupla, x1 = x2 6= x3 ⇔ δ =0 e (p,q) 6= (0,0). Ai mplicação “⇒ ” decorre imediatamente da definição do discriminante e de (1). Novamente por (1), se (p,q) 6=( 0,0),e ntão temos, pelo menos, duas raízes distintas. Se, além disso, δ =0 , teremos somente uma raiz dupla.

3. As três raízes são simples (i.e. não há raiz repetida) se e somente se δ 6=0 , como se vê a partir da definição do discriminante.

4. δ ≥ 0 se e somente se todas as raízes da equação são reais. A condição é obviamente necessária, pois o quadrado de qualquer número real é não negativo. Também é suficiente, pois se uma das raízes é imaginária, tem-se duas imaginárias conjugadas,diga-

5. Se δ< 0,p odemos tomar

−δ/108,o nde as raízes cúbicas são as reais, pois o produto delas é −p/3.A demais, temos neste caso, duas raízes complexas não reais conjugadas. Pelas re-

Quando a equação do 3.o grau, com coeficientes racionais, f(x)=0 tem uma raiz x1 ∈ Q, podemos escrever f(x)=( x − x1)g(x). Portanto, as raízes dessa equação são x1 e mais as raízes da equação quadrática g(x)=0 , não havendo necessidade do uso da fórmula de Cardano. Caso contrário, f(x)= x3 + px+q é ump olinômio comc oeficentes racionais, irredutível sobre Q. Se ∆ = −4p3 − 27q2 > 0, a equação f(x)=0 tem três raízes reais (irracionais), x1,x2,x3,d istintas

Notemos que não obstante serem reais, as raízes se expressam em termos de radicais cúbicos de números complexos não reais. Esta situação é conhecida como o casus irreducibilis, o qual na época de Cardano era envolto em mistério pois os números complexos não eram ainda bem definidos; por exemplo, os radicais quadráticos de números negativos eram chamados números imaginários. Hojes abemos queo sd oisr adi- cais na expressão de x1 são complexos conjugados.

4 Equação do 4.o Grau

(4). É mais fácil resolver o sistema seguinte⎧

chamada a cúbica resolvente de (4). Encontramos então números complexos u2 = α,v2 = β, z2 = γ. Escolhendo duas raízes quadradas

quadradasde γ. Assim, x = √ α+√ β+√ γ éu ma raiz de (4).T emos então as quatro raízes de (4),d adas por:

a nossa equação; todas raízes são complexas não reais, dadas por

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