geumetridiferencial completa

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Indice

PARTE I. Fundamentos de Variedades Diferenci aveis 5

Li c~ao 1. Variedades e Aplica c~oes Diferenci aveis 7 Li c~ao 2. Espa co Tangente e Diferencial 13 Li c~ao 3. Imers~oes e Subvariedades 23 Li c~ao 4. Mergulhos e o Teorema de Whitney 30 Li c~ao 5. Folhea c~oes 35 Li c~ao 6. Quocientes 43

PARTE I. Teoria de Lie 49

Li c~ao 7. Campos Vectoriais e Fluxo 51 Li c~ao 8. Parenteses e Derivada de Lie 57 Li c~ao 9. Distribui c~oes e Teorema de Frobenius 61 Li c~ao 10. Grupos de Lie e Algebras de Lie 64

Li c~ao 1. Integra c~ao de Algebras de Lie e Exponencial 70 Li c~ao 12. Grupos de Transforma c~oes 78

PARTE I. Formas Diferenciais 87

Li c~ao 13. Formas Diferenciais e Campos Tensoriais 89 Li c~ao 14. Diferencial e C alculo de Cartan 96 Li c~ao 15. Integra c~ao em Variedades 102 Li c~ao 16. Cohomologia de de Rham 110 Li c~ao 17. Invariancia por Homotopia e Sucess~ao de Mayer-Vietoris 119 Li c~ao 18. C alculos em cohomologia 128

PARTE IV. Fibrados 144

Li c~ao 19. Fibrados Vectoriais 146 Li c~ao 20. Pull-backs e a Classi ca c~ao de Fibrados Vectoriais 154 Li c~ao 21. A Classe de Thom e a Classe de Euler 161 Li c~ao 2. Conex~oes e Curvatura 167 Li c~ao 23. Classes Caracter sticas 176 Li c~ao 24. Fibrados Gerais 184 Li c~ao 25. Fibrados Principais 191

Bibliogra a 200

Estas s~ao notas da cadeira de Geometria Diferencial da Licenciatura em

Matem atica Aplicada e Computa c~ao e do Mestrado em Matem atica Aplicada do IST, leccionada por mim nos anos lectivos 2002/2003 e 2003/2004. Este cadeira funciona no 4o ano da licenciatura, e pressup~oe conhecimentos b asicos de algebra, an alise e topologia, para al em de um curso introdut orio de geometria Riemanniana.

O meu objectivo, ao escrever estas notas, foi o de fornecer uma vers~ao escrita das aulas leccionadas. Isto possibilita aos alunos dedicarem mais aten c~ao as aulas, sem se preocuparem em escrever os seus apontamentos, e, simultaneamente, fornece um guia para a mat eria leccionada. Estas notas n~ao substituem a consulta da literatura recomendada. Pelo contr ario, pretendem ser um est mulo para os alunos consultarem as excelentes referencias que constituem a literatura recomendada. Como n~ao podia deixar de ser, estas notas seguem, frequentemente, as exposi c~oes de algumas dessas obras.

Cada uma das Li c~oes que constituem estas notas corresponde, de facto, a uma aula do curso (dura c~ao aproximada de 1h30m). No entanto, existem li c~oes que incluem mais material do que outras, o que re ecte os diferentes ritmos impostos em cada aula. Os exerc cios no nal de cada Li c~ao s~ao parte integrante do curso, e nunca e demais insistir que a Matem atica se aprende praticando. Estes exerc cios contem, frequentemente, resultados que foram referidos (mas n~ao demonstrados) nas aulas, e que s~ao utilizados mais tarde. O grau de di culdade dos exerc cios n~ao e homog eneo.

Sendo esta a primeira vers~ao das notas, elas contem demasiados erros e omiss~oes. Alguns deles foram detectados pelos alunos que frequentaram a cadeira, e que tamb em zeram cr ticas ao texto. Estou particularmente grato aos alunos Ana Rita Pires, Miguel Negr~ao, Miguel Olmos, Ricardo Ingles e Ricardo Joel, bem como ao meu colega Jos e Nat ario. O autor agradece que lhe seja comunicado quaisquer erros, bem como sugest~oes para melhorar estas notas.

Rui Loja Fernandes rfern@math.ist.utl.pt Departamento de Matem atica, IST Lisboa, 19 de Dezembro de 2003

PARTE I. Fundamentos de Variedades Diferenci aveis

A no c~ao de variedade diferenci avel formaliza o conceito de um espa co que localmente e como um espa co euclidiano, quer do ponto de vista topol ogico, quer do ponto de vista da sua estrutura diferenci avel. Esta no c~ao e uma abstrac c~ao das no c~oes usuais de curva e superf cie em Rn. A geometria diferencial ocupa-se do estudo das variedades diferenci aveis. Veremos que, por um lado, muitas das constru c~oes da an alise in nitesimal (i.e., do c alculo) podem ser extendidas do espa co euclidiano a qualquer variedade. Por outro lado, a an alise global em variedades requer t ecnicas e m etodos novos, e mesmo as quest~oes mais elementares resultam muitas vezes em problemas em aberto.

Nesta primeira s erie de li c~oes pretendemos introduzir alguns conceitos elementares, que est~ao na base da geometria diferencial, e que nos ajudar~ao a car familiarizados com a no c~ao de variedade. Os conceitos e ideias principais a reter s~ao:

• Na Li c~ao 1: espa co localmente euclidiano e variedade diferenci avel (os nossos objectos). Aplica c~ao diferenci avel (os nosso mor smos). Parti c~ao da unidade (uma t ecnica de \colagem"). Na Li c~ao 2: vector tangente, espa co tangente (os objectos in nitesimais) e diferencial (os mor smos in nitesimais). Na Li c~ao 3: classes importantes de aplica c~oes diferenci aveis: imers~oes, submers~oes e difeomor smos locais. Subvariedades (os sub-objectos). Na Li c~ao 4: variedades mergulhadas. O Teorema de Whitney, que mostra que toda a variedade e mergulhada nalgum Rn. Na Li c~ao 5: folhea c~oes (uma parti c~ao de uma variedade em subvariedades), generaliza c~ao muito util da no c~ao de variedade. Na Li c~ao 6: quocientes de variedades.

Lic ~ao 1. Variedades e Aplicac ~oes Diferenci aveis

euclidiano de dimens~ao d. Vamos adoptar a conven c~ao de designar tamb em por xi : Rd ! R a fun c~ao coordenada i. Um espa co localmente euclidiano de dimens~ao d e um espa co topol ogico M em que cada ponto p 2 M possui uma vizinhan ca U M homeomorfa a um aberto de Rd.

Ao homeomor smo : U ! Rd chamamos um sistema de coordenadas ou carta, as fun c~oes i = xi chamamos fun c~oes coordenadas, e designamos o sistema de coordenadas abreviadamente por (U; ). Muitas vezes escrevemos xi em vez de i, e denotamos o sistema de coordenadas por (U;x1;::: ;xd). Um sistema de coordenadas (U; ) diz-se centrado num ponto p 2 M se (p) = 0.

De ni c~ao 1.1. Uma estrutura diferenci avel de classe Ck (1 k 1) num espa co localmente euclidiano M de dimens~ao d, e uma colec c~ao de

(i) A colec c~ao C e maximal: se (U; ) e um sistema de coordenadas com

A um par (M;C) chamamos uma variedade diferenci avel de dimens~ao d.

A uma colec c~ao de sistemas de coordenadas que satisfaz (i) e (i) chamamos

para C a colec c~ao de todos os sistemas de coordenadas (U; ) tais que 1 e 1 s~ao de classe Ck. Podemos ainda considerar variedades anal ticas, em que as fun c~oes de transi c~ao s~ao anal ticas, ou variedades complexas, modeladas no espa co eu- clidiano R2d ’ Cd, em que as fun c~oes de transi c~ao s~ao fun c~oes holomorfas. 7

Rd R d

R d

R k

N p

~w TpS

TpM

Nesta notas, vamos concentrar-nos no estudo de variedades diferenci aveis de classe C∞, que chamaremos variedades regulares, variedades suaves, ou simplesmente variedades. Vejamos alguns exemplos simples.

1. A estrutura diferenci avel standard do espa co euclidiano Rd e a colec c~ao de coordenadas maximal que cont em o sistema de coordenadas (Rd,i), onde i : Rd → Rd e a aplica c~ao identidade.

2. A esfera d-dimensional e o conjunto

onde N e S designam as projec c~oes estereogr a cas por N e S. As fun c~oes de transi c~ao para estes sistemas de coordenadas s~ao C∞. A estrutura diferenci avel standard na esfera obt em-se considerando a colec c~ao de coordenadas maximal que cont em estes dois sistemas de coordenadas.

3. O espa co projectivo d-dimensional e o conjunto

Podemos identi car Pd com o quociente Rd+1 f0g= , onde e a rela c~ao de equivalencia:

para algum n umero real 2 R com 6= 0. O espa co Pd, com a topologia quociente, e um espa co localmente euclidiano de dimens~ao d: designando por 8

(o sinal ba signi ca que omitimos o termo a). As fun c~oes de transi c~ao para estes sistemas de coordenadas s~ao C∞. A estrutura diferenci avel standard no espa co projectivo obt em-se considerando a colec c~ao de coordenadas maximal que cont em estes sistemas de coordenadas.

4. Se M e uma variedade d-dimensional com estrutura diferenci avel C e U M e um aberto, ent~ao U e uma variedade d-dimensional com estrutura diferenci avel

5. Se M e N s~ao variedades diferenci aveis, ent~ao o produto cartesiano M N e uma variedade diferenci avel: em M N consideramos a colec c~ao maximal

(U ; ) e (V ; ) s~ao sistemas de coordenadas das estruturas diferenci aveis de M e N, respectivamente. Deve ser claro que dimM N = dimM +dimN.

De forma an aloga, se M1;:::;Mk s~ao variedades diferenci aveis de dimens~oes d1;:::;dk podemos de nir uma estrutura diferenci avel no produto cartesiano

Adoptamos, daqui em diante, a seguinte conven c~ao:

Todas as variedades s~ao Hausdor e possuem uma base de abertos cont avel.

Deve-se observar que e, por vezes, interessante estudar variedades n~ao-

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