conicas

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Secoes Conicas

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matematica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br

1 de dezembro de 2001

Estudaremos as (secoes) conicas, curvas planas que sao obtidas da intersecao de um cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hiperbole e a parabola, que sao chamadas de conicas nao degeneradas. Vamos defini-las em termos de lugares geometricos. As outras conicas, que incluem um unico ponto, um par de retas, sao chamadas conicas degeneradas.

1 Conicas Nao Degeneradas 1.1 Elipse

Definicao 1.1. Uma elipse e o conjunto dos pontos P = (x,y) do plano tais que a soma das distancias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) e constante, ou seja, se dist(F1,F2) = 2c, entao a elipse e o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que

y B

Demonstracao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercıcio, a demonstracao da segunda parte. A elipse e o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que ou seja,

que neste caso e √

ou √

Nas Figuras 1 e 2, os pontos A1 e A2 sao chamados vertices da elipse. Os segmentos A1A2 e B1B2 sao chamados eixos da elipse. A reta que passa pelos focos e chamada eixo focal.

A excentricidade da elipse e o numero e = c a . Como, c < a, a excentricidade de uma elipse e um numero real nao negativo menor que 1. Observe que se F1 = F2, entao a elipse reduz-se a circunferencia de raio a. Alem disso, como c = 0, entao e = 0. Assim, uma circunferencia e uma elipse de excentricidade nula.

A elipse e a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que nao passa pelo vertice, nao e paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gera-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfıcie.

Figura 3: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano

Figura 4: Hiperbole obtida seccionando-se um cone com um plano

1.2 Hiperbole

Definicao 1.2. Uma hiperbole e o conjunto dos pontos P = (x,y) do plano tais que o modulo da diferenca entre as distancias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) e constante, ou seja, se dist(F1,F2) = 2c, entao a hiperbole e o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que

Proposicao 1.2. (a) A equacao de uma hiperbole cujos focos sao F1 = (−c,0) e F2 = (c,0)

e das assıntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x → ±∞),

e das assıntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x → ±∞),

xy F y F

Demonstracao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercıcio, a demonstracao da segunda parte. A hiperbole e o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que ou seja,

que neste caso e √

ou √

Elevando ao quadrado e simplificando, temos

escrita como

Se x tende a +∞, entao o radical no segundo membro se aproxima de 1 e a equacao tende a

O mesmo ocorre para x < 0, quando x tende a −∞ (verifique!).

Nas Figuras 5 e 6, os pontos A1 e A2 sao chamados vertices da hiperbole. A reta que passa pelos focos e chamada eixo focal. A excentricidade da hiperbole e o numero e = c

Como, c > a, a excentricidade de uma hiperbole e um numero real maior que 1. A hiperbole e a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo que nao passa pelo vertice.

1.3 Parabola

Figura 7: Parabola obtida seccionando-se um cone com um plano

Definicao 1.3. Uma parabola e o conjunto dos pontos P = (x,y) do plano equidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), nao pertencente a r, ou seja, a parabola e o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que

Proposicao 1.3. (a) A equacao de uma parabola com foco F = (p,0) e reta diretriz r : x = −p e y2 = 4px. (5)

(b) A equacao de uma parabola com foco F = (0,p) e reta diretriz r : y = −p e

Figura 8: Parabola com foco no ponto F = (p,0) e p > 0

Demonstracao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercıcio, a demonstracao da segunda parte. A parabola e o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que

Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (5).

Figura 10: Parabola com foco no ponto F = (p,0) e p < 0

Nas Figuras 8, 9, 10 e 1, o ponto P0 e o ponto da parabola mais proximo da reta diretriz e e chamado de vertice da parabola. A parabola e a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone conforme a Figura 7 na pagina 5.

1.4 Caracterizacao das Conicas

Vamos mostrar a seguir que todas as conicas nao degeneradas, com excecao da circunferencia, podem ser descritas de uma mesma maneira.

Figura 12: Elipse, um de seus focos e a reta diretriz a direita

Figura 13: Hiperbole, um de seus focos e a reta diretriz a direita

Proposicao 1.4. Seja s uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) nao pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (x,y) tais que em que e > 0 e uma constante fixa, e uma conica. (a) Se e = 1, entao a conica e uma parabola.

(c) Se e > 1, entao a conica e uma hiperbole.

Reciprocamente, toda conica que nao seja uma circunferencia pode ser descrita por uma equacao da forma (7).

Demonstracao. Se e = 1, a equacao (7) e a propria definicao da parabola. Vamos considerar o caso em que e > 0, com e 6= 1. Seja d = dist(F,s). Sem perda de generalidade podemos tomar o foco como sendo o ponto F = (p,0) e a diretriz como sendo a reta vertical s : x = p

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