imca MATEMATICA

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Instituto de Matematica y Ciencias Afines

Integrabilidade de Equacoes Diferenciais no Plano Complexo

Jorge Vitorio Pereira

Prefacio

Nesta monografia apresentamos ao leitor alguns aspectos da teoria de integracao explıcita de equacoes diferenciais. Tratamos o caso de equacoes polinomiais no plano complexo. Nao buscamos a originalidade, de fato todos os resultados apresentados podem ser encontrados na literatura, mas sim expor de forma elementar alguns metodos classicos de integracao e baseados em resultados recentes discutir a sua surpreendente eficacia.

No primeiro capıtulo sao expostas as nocoes basicas a serem utilizadas ao longo do texto. Alem de apresentar os conceitos de integrais primeiras, fatores de integracao e curvas algebricas invariantes, e posta em evidencia a dualidade entre 1–formas diferenciais e campos de vetores no plano complexo.

No segundo capıtulo apresentamos a estrategia utilizada por Darboux para obter integrais primeiras para 1–formas polinomiais em C2. Destaca-se nesse capıtulo o criterio de Darboux-Jouanolou que pode ser sucintamente enunciado da seguinte forma: uma 1–forma diferencial polinomial admite integral primeira racional se, e somente se, admite uma infinidade de curvas algebricas invariantes.

No terceiro capıtulo voltamos a nossa atencao para o paradigma introduzido por Lie para resolver equacoes diferenciais. Este baseiase no uso de simetrias infinitesimais para obter integrais primeiras. Como resultado principal do capıtulo mostramos que um campo de vetores polinomial admite um fator de integracao racional se, e somente se, admite uma simetria infinitesimal. Apos uma breve digressao para caracterizar as 1–formas racionais fechadas em C2 explicitamos a forma das integrais primeiras obtidas por este paradigma.

PREFACIO 2

No quarto capıtulo apresentamos o belo Teorema de Singer que caracteriza as equacoes diferenciais polinomiais em C2 que podem ser integradas utilizando os metodos do calculo diferencial. Este capıtulo pressupoe uma certa maturidade matematica do leitor ao assumir alguma familiaridade com aspectos basicos da teoria de extensao corpos. Isso deve-se ao fato de que o Teorema de Singer e um resultado do ambito da algebra diferencial e apesar de expormos os conceitos desta teoria que utilizamos, ela baseia-se na teoria classica de corpos. Concluımos mostrando que, apos uma pequena alteracao, o metodo de integracao de Darboux permite integrar qualquer equacao diferencial polinomial em C2 que possa ser integrada por metodos do calculo diferencial.

Em um quinto e ultimo capıtulo reunimos referencias a questoes relacionadas com o material desta monografia. Nao pretendemos ser completos nesta lista e certamente cometemos omissoes graves. O objetivo desta e apenas fornecer subsıdio para que o leitor interessado possa ter uma ideia dos desenvolvimentos recentes da teoria de equacoes diferenciais polinomiais no plano complexo e tambem de sua natural generalizacao na teoria das folheacoes holomorfas.

Estas notas foram redigidas a partir de um curso dado no IMCA no mes de outubro de 2001. Agradeco ao interesse e atencao dos que participaram do curso. Agradeco tambem aos colegas do IMCA pela hospitalidade durante a minha visita ao seu instituto.

Jorge Vitorio Pereira Rio de Janeiro, novembro de 2001.

Conteudo

Prefacio 1

Capıtulo 1. Nocoes Basicas 4 1. Integrais primeiras e fatores de integracao 5 2. Solucoes Algebricas 8 3. Campos de Vetores e Derivacoes 9

Capıtulo 2. O metodo de integracao de Darboux 12 1. Encontrando Integrais Primeiras 12 2. Criterio de Darboux-Jouanolou 14 3. Encontrando Fatores de Integracao 16

Capıtulo 3. Integrabilidade na presenca de simetrias 20 1. Colchete de Lie e simetrias infinitesimais 21 2. Simetrias e fatores de integracao racionais 23 3. Formas racionais fechadas 24

Capıtulo 4. Integrais primeiras liouvillianas 27

1. Rudimentos de Algebra Diferencial 27 2. Criterio de Singer 29 3. O metodo de Darboux revisitado 32

Capıtulo 5. Leituras Suplementares 36 1. Integrabilidade 36 2. O problema de Poincare 38 3. Equacoes diferenciais sem solucoes algebricas 39

Bibliografia 41

CAPıTULO 1

Nocoes Basicas Considere um sistema de equacoes diferenciais da forma

onde P e Q sao polinomios complexos em duas variaveis. Dizemos que uma funcao holomorfa φ : U ⊂ C → C2 e uma solucao de (1) se para qualquer t ∈ U vale que

A existencia de solucoes para o sistema (1) e garantida pelo conhecido teorema de existencia e unicidade. Para a comodidade do leitor o enunciamos abaixo.

Teorema 1 (Existencia e unicidade). Considere um sistema de equacoes diferenciais na forma (1). Entao valem as seguintes afirmacoes:

a. Para qualquer p ∈ C2 existe um numero real positivo rp e uma funcao holomorfa φp : D(0,rp) → C2 tal que φp(0) = p

b. Seja U ⊂ C um aberto contendo a origem. Se ψ : U → C2

Comentario 1. O Teorema acima vale sob hipoteses bem mais fracas. Por exemplo podemos supor que P e Q sao apenas funcoes holomorfas definidas em algum aberto de C2.

1. Integrais primeiras e fatores de integracao

Apesar do teorema 1 nos garantir a existencia de solucoes locais para o sistema (1) passando por qualquer ponto p ∈ C2, na maioria das vezes muito pouco de sabe sobre a natureza das solucoes. Entretanto em algumas situacoes e possıvel encontrar integrais primeiras para (1) e estas, de certa forma, permitem entender o comportamento qualitativo das solucoes da equacao diferencial em questao.

Definicao 1 (Integral primeira). Seja U ⊂ C2 um aberto e

F : U → C uma funcao holomorfa nao-constante. Dizemos que F e uma integral primeira em U para o sistema de equacoes diferenciais (1) se F e constante ao longo das solucoes de (1) contidas em U.

Exemplo 1 (Equacao de Lotka-Volterra). Considere o sistema de equacoes diferenciais de Lotka-Volterra 1

(2) dxdt = ax − bxy dydt = −cy + dxy onde a,b,c e d sao numeros complexos. Afirmamos que em qualquer aberto simplesmente conexo U contido em C2 \ {x · y = 0} vale que qualquer determinacao da funcao e uma integral primeira para (2).

1Quando a,b,c e d sao reais e positivos o sistema acima modela a competicao entre especies.

Consequentemente qualquer determinacao de F e constante ao longo das solucoes de (2), ou seja qualquer determinacao de F e uma integral primeira do sistema (2).

De posse da integral primeira podemos efetuar de maneira relativamente simples o estudo qualitativo das solucoes da equacao diferencial em questao. Para exemplificar este fato vamos supor que a,b,c e d sao reais positivos e interpretar (2) como uma equacao diferencial real. As curvas de nıvel de F passando por qualquer ponto do conjunto U = {(x,y)|x > 0 e y > 0} sao fechadas(exercıcio para o leitor). Com isso podemos concluir que toda solucao com condicao inicial pertencente ao aberto U e periodica. ¤

Podemos associar ao sistema (1) a 1-forma diferencial holomorfa ω = Pdy −Qdx.

Convidamos o leitor a verificar que F e uma integral primeira para o sistema (1) se, e somente se,

O simples fato de associar a 1-forma ω ao sistema (1) algumas vezes torna a obtencao de uma integral primeira uma tarefa trivial.

Exemplo 2 (Sistemas exatos). Suponha que o sistema de equacoes diferenciais (1) e tal que

Ve-se entao que a 1-forma diferencial ω = Pdy−Qdx e fechada, i.e., dω = 0. Portanto a funcao

obtida integrando ω ao longo de qualquer caminho ligando um ponto inicial arbitrario (x0,y0) ao ponto (x,y) esta bem definida(pois ω e fechada e C2 simplesmente conexo) e e tal que ω = dF. Portanto F e uma integral primeira para o sistema (1). ¤

Nos cursos basicos de equacoes diferenciais aprendemos que podemos utilizar integrais ao longo de caminhos para obter integrais primeiras para equacoes diferenciais que admitem fatores de integracao.

Definicao 2 (Fator de integracao). Seja U ⊂ C2 um aberto e µ : U → C uma funcao holomorfa nao-constante. Dizemos que µ e um fator de integracao para o sistema de equacoes diferenciais (1) se

Equivalentemente µ e um fator de integracao para (1) se a 1-forma diferencial µ · ω e fechada, i.e., d(µω) = 0.

Exemplo 3 (Equacoes diferenciais lineares). Considere a equacao diferencial

Ao tentar encontrar um fator de integracao µ que dependa apenas da variavel x vemos que µ deve satisfazer

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