utimo teorema de fermat

utimo teorema de fermat

(Parte 1 de 6)

Antonio Gilson Albuquerque Moura

Sobral - Abril de 2008

Antonio Gilson Albuquerque Moura

Monografia apresentada a Universidade Estadual Vale do Acarau como resquisito parcial para a obtencao do Tıtulo de Licenciatura em Ciencias-Matematica.

Sobral - Abril de 2008

Antonio Gilson Albuquerque Moura

Monografia apresentada a Universidade Estadual Vale do Acarau como resquisito parcial para a obtencao do Tıtulo de Licenciatura em Ciencias-Matematica.

Monografia aprovada em: / /

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Sobral- Abril de 2008

Dedico este trabalho a minha famılia por estar sempre presente incentivando, nao deixando que eu desistisse de meus sonhos, dando-me forca para superar os obstaculos que encontrei na busca pelos meus objetivos.

Agradecimentos

Imensa e minha lista de agradecimentos, mas primeiro agradeco a Deus por esta sempre presente em minha vida, fortalecendo-me e ajudando-me a enfrentar as dificuldades que nela aparecem.

Agradeco, particularmente, a algumas pessoas pela contribuicao na construcao deste trabalho. A minha famılia que contribuiu na minha formacao, que sempre me deu forcas para que eu continuasse estudando.

A todos os meus colegas de turma, pois tambem fizeram parte de minha vida como universitario.

A todos professores com quem ja estudei, nao podendo esquecer dos que foram alem de suas obrigacoes para comigo, como Maria Jose, Marcio Nascimento, Tarcisio Praciano, Nilton Neves e Emilson Saraiva. “Muito obrigado”

“Todas as coisas sao lıcitas, mas nem todas convem, todas sao lıcitas, mas nem todas edificam.” 1a Carta de Paulo aos Corıntios 10,23.

7 Introducao

O Ultimo Teorema de Fermat e um dos mais celebres problemas que ficaram em aberto na matematica e a sua investigacao resultou em grandes avancos na matematica. A historia do Ultimo Teorema de Fermat e uma das mais fascinantes da matematica. E o coracao de uma saga de coragem, fraudes, astucia e tragedia, envolvendo todos os grandes herois da matematica.

No primeiro capıtulo desta monografia faco um pequeno relato do momento historico em que viveu Fermat, a biografia de Fermat, descrevo como surgiu Ultimo Teorema de Fermat e o que levava os matematicos a terem tanta vontade em demonstrar esse teorema.

No segundo capıtulo conto a historia do Ultimo Teorema de Fermat, relatando tambem algumas tentativas de grandes matematicos que nao conseguiram demonstrar o problema, mas de alguma forma contribuıram para que em 1994 Andrew Wiles realizasse tal demonstracao.

No ultimo capıtulo apresento a demonstracao de dois casos particulares do Ultimo Teorema de Fermat

Sumario

1.1 Momento Historico9
1.2 Quem foi Fermat?9
1.3 As observacoes de Fermat12
1.4 A compulsao da curiosidade13

1 A origem do Problema 9

2.1 Algumas tentativas ao longo dos tempos15
tenta demonstrar o Ultimo Teorema de Fermat15
2.1.2 Sophie Germain17
2.1.3 Cauchy e Lame19
2.1.4 Paul Wolfskehl20
2.1.5 Yutaka e Shimura21
2.2 A demonstracao do problema23
2.2.1 Quem e Andrew Wiles?23
2.2.2 A Palestra do Seculo24

2 A Historia do Enigma 15 2.1.1 Euler, O homem que mais criou matematica em todos os tempos,

3.1 Alguns resultados da Teoria dos Numeros26
3.2 Ternas Pitagoricas30
3.3 O caso n=43
3.4 O caso n=335

3 Casos particulares do Ultimo Teorema de Fermat 26 8

Capıtulo 1 A origem do Problema

1.1 Momento Historico

No comeco do seculo XVII, a matematica ainda se recuperava da idade das trevas e nao era um assunto muito respeitado os matematicos nao tinham muito prestigio e a maioria tinha que custear seus proprios estudos. Por exemplo, Galileu foi incapaz de estudar matematica na Universidade de Pisa e teve que buscar um professor particular. De fato a unica instituicao na Europa que encorajava o estudo da matematica era a Universidade de Oxford.

Portanto, de certo modo, e verdade dizer que os matematicos do seculo XVII eram todos amadores, e Fermat era um caso extremo. Vivendo longe de Paris, ele estava isolado da pequena comunidade de matematicos que existia na capital.

A natureza reservada dos matematicos parisienses era uma tradicao herdada dos cosista do seculo XVI. Os cosista eram especialistas em calculos de todos os tipos, frequentemente contratados por homens de negocios e comerciantes para resolver complicados problemas de contabilidade. Seu nome derivava da palavra italiana cosa, que significa coisa, porque eles usavam sımbolos para representar quantidades desconhecidas, do mesmo modo como os matematicos usam o x hoje em dia. Todos esses calculistas profissionais inventavam seus metodos para fazer calculos, fazendo todo o possıvel para mante-los em segredo de modo a proteger sua reputacao de serem os unicos a resolver certos problemas. Esta natureza sigilosa dos matematicos continuou ate o fim do seculo XIX.

A teoria dos numeros nao progredia desde o barbaro incendio de Alexandria. Mesmo com todos estes adversos, Fermat estava pronto para retomar o estudo da mais fundamental de todas as disciplinas matematica.

1.2 Quem foi Fermat?

Pierre de Fermat nasceu a 20 agosto de 1601 em Beaumont-de-Lomagne na Franca, e morreu a 12 de janeiro de 1665 em Castres tambem na Franca.

Pierre nasceu em berco de ouro. Seu pai, Dominique Fermat, um rico comerciante de couro, exercia o cargo de segundo consul de Beaumont-de-Lomagne. Sua mae, Claire de Long, era filha de um jurista parlamentar muito influente na corte francesa. Assim

CAPITULO 1. A ORIGEM DO PROBLEMA 10

Fermat teve a sorte de ter uma educacao privilegiada. Primeiro ele estudou no Mosteiro Franciscano de Grandseve, depois frequentou a Universidade de Toulouse e, mais tarde, licenciou-se em direito na Universidade de Orleans.

As pressoes de sua famılia levaram Fermat a seguir a carreira de funcionario publico, tornando-se um magistrado muito conceituado. Como servidor publico, Fermat teve uma rapida ascensao e, assim, tornou-se membro da elite o que lhe dava o direito do uso do “de” em seu nome. Em vez de Pierre Fermat passou para Pierre de Fermat. Naquela epoca se espalhou pela Europa uma praga e aqueles que sobreviviam a doenca, como foi o caso de Fermat, eram promovidos em face da morte do colega. Alem da ascensao por causa da praga, ele ainda foi nomeado pelo o primeiro ministro da Franca para ser conselheiro do rei no parlamento de Toulouse. Quando um cidadao queria interpor um requerimento ao monarca, sobre qualquer assunto, primeiro tinha que convencer Fermat da importancia do seu pedido. Como jurista chegou ao nıvel mais alto do tribunal criminal.

Nao ha nenhum registro de que quando jovem Fermat mostrasse qualquer talento especial para matematica. Nao ha tambem registro que ele tenha adquirido o interesse pela matematica gracas a influencia de algum tutor. O que se sabe ao certo e que ele tinha uma copia da Aritmetica de Diofanto e possivelmente o interesse de Fermat pela matematica deu-se com a leitura deste livro. A Aritmetica era um texto sobrevivente da famosa biblioteca de Alexandria, queimada pelos arabes no ano 646 d.C. A Aritmetica tentava descrever a teoria dos numeros. De fato, era como se Diofanto estivesse apresentando a Fermat cerca de mil anos de conhecimentos matematicos.

Embora os afazeres jurıdicos tomassem a maior parte de seu tempo, Fermat dedicava todo seu tempo de lazer a matematica. A matematica para ele era um hobby, um passa tempo. Ele era um verdadeiro estudioso amador, mas tao talentos que deveria ser considerado um profissional, conta-se que as vezes Fermat passava a noite em claro estudando matematica. E por essas e por outras razoes que Fermat e considerado o prıncipe dos amadores.

Pelo que, se sabe Fermat comecou suas pesquisas matematicas na segunda metade da decada de 20 do seculo XVII, quando se mudou para Bordeaux, onde realizou um importante trabalho sobre maximos e mınimos.

Depois de se formar como advogado em Oleas, Fermat se mudou para Toulouse onde comprou um escritorio no parlamento. Foi em Toulouse que ele encontrou um novo amigo em matematica, Carcavi. Fermat conheceu por forcas de profissao, pois eram colegas como advogados em Toulouse, mas tambem compartilhava o amor pela matematica e Fermat contou a Carcavi sobre suas descobertas. Quando Carcavi foi para Paris trabalha como bibliotecario, contatou-se com Mersenne e o seu grupo, a quem descreveu a descoberta de Fermat sobre os corpos em queda. Mersenne era um padre admirador da matematica, ele era contra a atmosfera de segredo tradicional dos matematicos. Mersenne encorajava os matematicos a trocarem ideias. Foi um grande impulsionador da matematica, servindo como centro de distribuicao de informacoes. Ele trocava correspondencia com outros matematicos, e assim ficava por dentro das principais descobertas da matematica para depois espalhar para outros matematicos as novas descobertas. Desse jeito ele tentava acabar com a cultura sigilosa dos matematicos. Mersenne se tornou um dos poucos amigos de Fermat, eles trocaram varias cartas. Ele foi um dos que pediram para Fermat publicar os seus trabalhos e as suas demonstracoes, mas Fermat sempre recusou.

CAPITULO 1. A ORIGEM DO PROBLEMA 1

A primeira carta que Fermat escreveu para Mersenne continha dois problemas sobre maximos e mınimos, que Fermat pediu a Mersenne para relatar a outros matematicos em Paris. Este era o estilo de Fermat: desafiar os outros a descobrirem resultados que ele ja tinha obtido. O genio tımido e retraıdo tinha um toque travesso, o qual combinado com o sigilo, desafiava seus contemporaneos a encontrarem a prova de seu teorema. O fato de que ele nunca revelava suas proprias provas deixava alguns matematicos de sua epoca muito aborrecidos.

Apesar de rapidamente ter ganhado a reputacao de um dos matematicos mais importantes do mundo, as tentativas para ele publicar os seus trabalhos foram muitos e falhadas, pois Fermat se recusava a expor a sua teoria de uma forma polida. A publicacao e o reconhecimento publico nada significava para ele. Fermat ficava plenamente satisfeito em criar novos teoremas sem ser perturbado.

Apesar de Fermat nao fazer muita amizade, e de gostar de estudar isolado, ele mantinha uma amizade matematica com alguns estudiosos, esta amizade era apenas atraves de portais, onde Fermat relatava suas descobertas. Entre os estudiosos com os quais mantinha contato, estao: Kenelm digby, John Wallis, Nicholas Hensius, alem de Pascal, Assendi, Roberval, Beaugrand e o padre Mersenne.

Entre os estudiosos que Fermat mantinha contatos postais, Pascais era um caso particular, pois Fermat foi obrigado a manter o dialogo, pois Pascal apresentou para ele um novo ramo da matematica, a teoria da probabilidade, e Fermat nao conhecia, por isso o desejo de manter o contato. Juntos, Fermat e Pascal descobriram as primeiras provas e certezas da teoria da probabilidade. Fermat tambem esteve profundamente envolvido na criacao de outro campo da matematica, o calculo.

A matematica de Fermat permitiu que cientistas entendessem melhor o conceito de velocidade e sua relacao com outras quantidades fundamentais como aceleracao - a proporcao com que a velocidade varia com o tempo. Durante seculos acreditava-se que Isaac Newton tinha inventado o calculo sem conhecimento do trabalho de Fermat. Somente em 1934 foi descoberta uma nota que decide a questao e deu a Fermat o credito que ele merece. Newton escreveu que tinha desenvolvido seu calculo baseado no “metodo de mansier Fermat para estabelecer a tangente”. Fermat tambem enunciou o que e hoje conhecido como o princıpio de Fermat da optica: ao percorrer a distancia entre dois pontos, a luz segue sempre o trajeto mais rapido.

Embora o calculo tenha sido usado para enviar foguete para lua e a teoria da probabilidade seja usada pelas companhias de seguros na avaliacao de risco, a grande paixao de Fermat era por um assunto geralmente inutil - a teoria dos numeros. Fermat era obcecado em entender as propriedades e relacoes entre os numeros, isto e, a forma mais pura e antiga de matematica.

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