Cosmologia Matematica

Cosmologia Matematica

(Parte 1 de 10)

O Universo como um Todo

Cosmologia

Lei de Hubble

O Paradoxo de Olbers

Teoria de Relatividade

Big Bang

Densidade Crítica

Radiação do Fundo do Universo

Inflação

Resultados do WMAP

A idade do Universo

A evolução química do Universo

Viagem no Tempo

Quarks

Teoria de Cordas

Microlentes Gravitacionais

Cosmologia matemática

Via Láctea

Apesar de fortes restrições interiores, o homem teve aos poucos que abandonar a noção de que tinha qualquer posição central no Universo, e no começo deste século reconheceu que vivemos num planeta nada excepcional, em torno de uma estrela nada excepcional, o Sol, localizada quase na extremidade de uma galáxia normal, a Via Láctea. Esta galáxia faz parte de um grupo de galáxias, o Grupo Local, localizado na periferia de um grande cúmulo de galáxias. Mesmo este cúmulo, o cúmulo de Virgem, é pequeno em relação aos grandes cúmulos de galáxias que podemos observar em outras partes do Universo. Nossa localização no Universo é portanto insignificante.

Aglomerado de Galáxias de Virgem e Distribuição de Galáxias em Grande Escala

Deslocamento Espectral para o Vermelho

Em 1912 Vesto Melvin Slipher (1875-1969) descobriu que as linhas espectrais das estrelas na galáxia de Andrômeda (M31) mostravam um enorme deslocamento para o azul, indicando que esta galáxia está se aproximando do Sol, a uma velocidade de 300 km/s. Slipher iniciou então um trabalho sistemático que levou duas décadas, demonstrando que das 41 galáxias que ele estudou, a maioria apresentava deslocamento espectral para o vermelho, indicando que as galáxias estavam se afastando de nós. Slipher descobriu que quanto mais fraca a galáxia e, portanto mais distante, maior era o deslocamento para o vermelho de seu espectro (redshifht).

O Universo em Grande Escala

Hubble

Em 1923, Edwin Powell Hubble (1889-1953) , usando o recém instalado telescópio de 2,5 m de diâmetro do Monte Wilson, na Califórnia, conseguiu identificar as estrelas individuais na galáxia de Andrômeda e, medindo sua distância (mais de 2 milhões de anos-luz), demonstrou conclusivamente que nossa galáxia, com 100 mil anos-luz de extensão, não é a única no Universo.

Humason e Hubble

Em 1929 Hubble, medindo o deslocamento para o vermelho nas linhas espectrais das galáxias observadas por Milton La Salle Humason (1891-1972), e medindo ele próprio suas distâncias, descobre que as galáxias estavam se afastando com velocidades proporcionais à sua distância, isto é, quanto mais distante a galáxia, maior sua velocidade de afastamento. Hubble publicou seus resultados para 24 galáxias em 1929, no Proceedings of the National Academy of Science, e dois anos mais tarde, junto com Humason, estendeu seus resultados por um fator de 18 em distância. Isso constituiu a primeira evidência para a expansão do Universo, já predita pelo russo Alexander Friedmann (1888-1925) em dois artigos publicados no Zeitschrift für Physik em 1922 e 1924, e pelo belga Georges-Henri Édouard Lemaître (1894-1966) em 1927, no Annales de la Société Scientifique de Bruxelles.

Seja o deslocamento para o vermelho das linhas espectrais (redshift):

A expansão não indica que estamos no centro do Universo. Em um bolo com passas em expansão, todas as passas se afastam umas das outras.

Modelo do bolo de passas:

Num tempo ti=0, as distâncias das passas em relação a uma passa de referência são:

passa A: di= 1 cm

passa B: di= 3 cm

passa C: di= 4 cm

Após 1 hora, o bolo dobra de tamanho, e as distâncias entre as passas serão:

passa A: df= 2 cm

passa B: df= 6 cm

passa C: df= 8 cm

Portanto as velocidades são:

passa A: v=1 cm/h

passa B: v=3 cm/h

passa C: v=4 cm/h

Se nesse momento fizermos um gráfico da velocidade de afastamento das outras passas em funçáo de suas distâncias, acharemos uma reta com uma declividade constante igual a

C = (1cm/h)/2cm = (3cm/h)/6cm = (4cm/h)/8cm = 0,5/h

que é a "constante de afastamento" das passas. Qual o significado dessa constante? Podemos pensar o seguinte: Se a passa A, se movendo a uma velocidade de 1cm/h, está a uma distância de 2cm, há quanto tempo atrás ela estava a uma distância de 0 cm?

O tempo para se mover de 0 até a distância atual é dado por: t = d/v = 2cm/1cm/h = 2h

Certamente podemos fazer o mesmo cálculo para a passa B e para a passa C e chegaremos ao mesmo tempo. Note que fizemos esse cálculo assumindo que elas se moveram com velocidade constante (o que não é necessariamente verdade!)

O tempo para se mover de 0 até a distância atual é exatamente igual ao inverso da constante C:

t = 1/C = 1h/0,5

Note que em geral precisamos utilizar o efeito Doppler relativístico para estimar a velocidade a partir do deslocamento das linhas espectrais das galáxias, :

O Paradoxo de Olbers: O enigma da escuridão da noite

Uma das constatações mais simples que podemos fazer é que o céu é escuro, à noite. É estranho que esse fato, sobre o qual ninguém em sã consciência colocará qualquer dúvida, e que à primeira vista parece tão compreensível para qualquer pessoa, tenha dado tanto o que pensar durante tanto tempo.

Imagem obtida pelo Telescópio Espacial Hubble mantendo a câmara aberta por 10 dias em uma região aparentemente sem estrelas do céu.

Aparentemente a primeira pessoa que reconheceu as implicações cosmológicas da escuridão noturna foi Johannes Kepler (1571-1630), em 1610. Kepler rejeitava veementemente a idéia de um universo infinito recoberto de estrelas, que nessa época estava ganhando vários adeptos principalmente depois da comprovação por Galileu Galilei de que a Via Láctea era composta de uma miríade de estrelas, e usou o fato de que o céu é escuro à noite como argumento para provar que o Universo era finito, como que encerrado por uma parede cósmica escura.

A questão foi retomada por Edmund Halley (1656-1742) no século XVIII e pelo médico e astrônomo Heinrich Wilhelm Mattäus Olbers (1758-1840) em 1826, quando passou a ser conhecida como paradoxo de Olbers. Olbers também descobriu os dois asteróides (planetas menores) Palas (1802) e Vesta (1807).

O problema é o seguinte: suponha que as estrelas estejam distribuídas de maneira uniforme em um espaço infinito. Para um observador em qualquer lugar, o volume de uma esfera com centro nele aumentará com o quadrado do raio dessa esfera (dV = 4R2 dr). Portanto, à medida que ele olha mais longe, vê um número de estrelas que cresce com o quadrado da distância. Como resultado, sua linha de visada sempre interceptará uma estrela seja lá qual for a direção que ele olhe.

Uma analogia simples de fazer é com uma floresta de árvores. Se estou no meio da floresta, a meu redor vejo as árvores bem espaçadas entre si, mas quanto mais longe olho, mais diminui o espaçamento entre as árvores de forma que no limite da minha linha de visada as árvores estão todas juntas e nada posso ver além delas.

Como o brilho das estrelas cai com o quadrado da distância (demonstrado por Johannes Kepler em seu Optica em 1604), enquanto o número de estrelas aumenta com o quadrado da distância, o céu em média deveria ser tão brilhante quanto a superfície de uma estrela média, pois estaria completamente coberto delas.

Mas obviamente não é isso que vemos e, portanto, o raciocínio está errado. Por que?

Algumas propostas de solução:

A poeira interestelar absorve a luz das estrelas.

Foi a solução proposta por Olbers, mas tem um problema. Com o passar do tempo, à medida que fosse absorvendo radiação, a poeira entraria em equilíbrio térmico com as estrelas, e passaria a brilhar tanto quanto elas. Não ajuda na solução.

A expansão do Universo degrada a energia, de forma que a luz de objetos muito distantes chega muito desviada para o vermelho e portanto muito fraca.

O desvio para o vermelho ajuda na solução, pois o desvio é proporcional ao raio do Universo, mas os cálculos

mostram que a degradação da energia pela expansão do universo não é suficiente para resolver o paradoxo.

O Universo não existiu por todo o sempre.

Essa é a solução atualmente aceita para o paradoxo. Como o Universo tem uma idade finita, e a luz tem uma velocidade finita, a luz das estrelas mais distantes ainda não teve tempo de chegar até nós. Portanto, o universo que enxergamos é limitado no espaço, por ser finito no tempo. A escuridão da noite é uma prova de que o Universo teve um início.

Usando-se a separação média entre as estrelas de 1 parsec, e o raio médio como o raio do Sol, de 700 000 km, obtém-se que o céu seria tão luminoso quanto a superfície do Sol se o Universo tivesse um raio de 2 ×1015 parsecs, equivalente a 6,6 ×1015 anos-luz. Como o Universo só tem 13,7 bilhões de anos, a idade finita do Universo é a principal explicação ao Paradoxo de Olbers.

Portanto o Paradoxo de Olbers e a expansão do Universo resultante da Lei de Hubble são consistentes, o Universo é finito no tempo.

Relatividade Geral

Em 1905 Albert Einstein (1879-1955) havia proposto a teoria da relatividade especial. Esta teoria propunha que a velocidade da luz no vácuo é constante, independente da velocidade da fonte, que a massa depende da velocidade, que há dilatação do tempo durante movimento em alta velocidade, que massa e energia são equivalentes e que nenhuma informação ou matéria pode se mover mais rápido do que a luz no vácuo. A teoria é especial somente porque estava restrita ao caso em que os campos gravitacionais fossem pequenos, ou desprezíveis. Embora a teoria de relatividade geral, proposta por Einstein em 1916, só difira da teoria da gravitação de Isaac Newton (1643-1726) em poucas partes em um milhão na Terra, em grandes dimensões e grandes massas, como o Universo, ela resulta bastante diferente.

A teoria da relatividade geral é universal no sentido de ser válida mesmo nos casos em que os campos gravitacionais não são pequenos. Trata-se na verdade da teoria da gravidade, descrevendo a gravitação como a ação das massas nas propriedades do espaço e do tempo, que afetam o movimento dos corpos e outras propriedades físicas. Enquanto na teoria de Newton o espaço é rígido, descrito pela geometria Euclidiana [Euclides de Alexandria (c.365-300 a.C.)], na relatividade geral o espaço-tempo é distorcido pela presença da matéria que ele contém. Um ano depois de propor a relatividade geral, em 1917, Einstein publicou seu artigo histórico sobre cosmologia, Considerações Cosmológicas sobre a Teoria da Relatividade, construindo um modelo esférico do Universo. Como as equações da Relatividade Geral não levavam diretamente a um Universo estático de raio finito, mesma dificuldade encontrada com a teoria de Newton, Einstein modificou suas equações, introduzindo a famosa constante cosmológica, para obter um Universo estático, já que ele não tinha nenhuma razão para supor que o Universo estivesse se expandindo ou contraindo. A constante cosmológica age como uma força repulsiva que previne o colapso do Universo pela atração gravitacional. O holandês Willem de Sitter (1872-1934) demonstrou em 1917 que a constante cosmológica permite um Universo em expansão mesmo se ele não contivesse qualquer matéria e, portanto, ela é também chamada de energia do vácuo. As observações mostram que o Universo é homogêneo em escalas de 10 a 100 milhões de anos luz e maiores. Para escalas menores, podemos ver estrelas, galáxias e aglomerados de galáxias, mas em larga escala os elementos de volume são homogêneos. A hipótese que o Universo seja homogêneo e isotrópico é chamada de Princípio Cosmológico.

Lentes Gravitacionais

A previsão da relatividade geral de que um raio de luz é desviado ao passar por um corpo massivo foi confirmada em 1919 por uma expedição dupla chefiada pelo astrônomo inglês Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) [ The Observatory, Vol. 42, p. 119-122 (1919)] a Sobral, no Ceará, e à ilha de Príncipe, na África, para medir a posição das estrelas durante um eclipse total do Sol de 29 de maio de 1919, na constelação do Touro, com as 13 estrelas brilhantes das Hyades no campo. A expedição ao Brasil foi coordenada pelo inglêses Andrew Claude de la Cherois Crommelin (1865-1939) e Charles Rundle Davidson (1875-1970) e retornou com 7 fotografias boas [The Observatory, Vol. 42, p. 368-371 (1919)], Nature 104, 280-281 (1919), Charles Rundle Davidson, The Observatory, Vol. 45, p. 224-225 (1922).

Uma das imagens obtidas em 1919 em Sobral, do acervo da biblioteca do Observatório Nacional.

Medindo a distância entre as estrelas à esquerda do Sol e as estrelas à direita do Sol durante o eclipse, quando as estrelas estão visíveis pelo curto espaço de tempo do eclipse, e comparando com medidas das mesmas estrelas obtidas 2 meses mais tarde, quando elas eram visíveis à noite, Eddington encontrou que as estrelas pareciam mais distantes umas das outras durante o eclipse. Isto implica que os raios de luz destas estrelas foram desviados pelo campo gravitacional do Sol, como predito por Einstein. O desvio previsto era de

a uma distância de raios do Sol do centro do Sol. As duas expedições obtiveram 1,98± 0,12" (interno) ±0,30" (sistematico) e 1,61± 0,30" (interno), confirmando a teoria [Frank Watson Dyson (1868-1939), Arthur S. Eddington & Charles Davidson, 1920, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 220, 291; Einstein's Jury: the race to test relativity, Jeffrey Crelinsten, 2006, Princeton University Press]. A única razão de realizar estas medidas durante um eclipse é que durante um eclipse podemos enxergar e medir as estrelas próximas ao disco do Sol.

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