Introdução a cosmologia

Introdução a cosmologia

Cosmologia Basica Laerte Sodre Jr.

April 15, 2009

Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica objetivos:

I abordagem rapida da cosmologia, focando no modelo cosmologico padrao

I uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoria da Relatividade Geral

I veremos como interpretar e calcular algumas quantidades importantes

Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

Figure: A composicao do universo no modelo ΛCDM. Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

O modelo de trabalho atual: ΛCDM

I o universo e plano e dominado por energia escura e materia escura fria (Cold Dark Matter)

I a materia barionica constribui com apenas ∼4% do conteudo de materia e energia do universo

I a constante cosmologica Λ e a forma mais simples de energia escura

I a energia escura e necessaria para explicar a aceleracao do universo, descoberta a partir da observacao de supernovas distantes

Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

O modelo de trabalho atual: ΛCDM

I a materia escura fria (CDM) explica as galaxias e as estruturas em grandes escalas

I CDM- principais propriedades:

I ela e escura, nao interage com os fotons I ela so interage gravitacionalmente I ela e nao-barionica I ela e fria I ela e estavel (algumas dessas propriedades podem ser relaxadas...)

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A Teoria da Gravitacao

I Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915)

I Porque a gravitacao ?

I em grandes escalas e a gravitacao que determina a dinamica dos objetos no universo

I apenas as interacoes gravitacionais e eletromagneticas sao de longo alcance

I como a materia e em media eletricamente neutra, em grandes distancias apenas a gravitacao e cosmologicamente relevante

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A Teoria da Gravitacao

I TRG: materia+energia determinam a geometria do ET I equacoes de Einstein:

c4 Tµν

I Gµν: tensor de Einstein- depende da geometria do espaco-tempo atraves de gµν, o tensor metrico

I Tµν: o tensor de energia-momentum- depende da distribuicao de materia+energia

I lado esquerdo: depende apenas da geometria I lado direito: distribuicao de materia+energia I a distribuicao de materia e energia pode distorcer a geometria

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A Teoria da Gravitacao

Figure: A materia distorce o espaco-tempo, como neste exemplo de lente gravitacional. Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

A Teoria da Gravitacao

I testes da TRG:

I sistema solar; pulsar binario; lentes gravitacionais I mal testada no limite de campos fortes (como buracos negros) ou muito fracos (halo das galaxias)

I limitacao da TRG: nao incorpora efeitos quanticos I incompleta em escalas menores que a escala de Planck:

( Gh

I ou antes do tempo de Planck:

( Gh

I precisamos de uma teoria quantica da gravitacao

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O Princıpio Cosmologico

I em escalas suficientemente grandes o universo e homogeneo e isotropico

I homogeneo: todos os lugares sao equivalentes

I isotropico: todas as direcoes sao equivalentes

I evidencias:

I em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribuicao de galaxias e bastante uniforme (a uniformidade aumenta com a escala)

I homogeneidade da radiacao cosmica de fundo: as flutuacoes de temperatura tem uma amplitude muito pequena

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O Princıpio Cosmologico

Figure: Mapa com as flutuacoes de temperatura da radiacao cosmica de fundo medida pelo satelite WMAP. Este mapa e notavelmente uniforme; a amplitude media das flutuacoes e ∼ 10 .

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A cosmologia newtoniana

I modelo cosmologico baseado na gravitacao newtoniana

I as equacoes que descrevem a dinamica do universo sao muito parecidas com as da Cosmologia Relativıstica

I modelo proposto por Milne e McCrea em 1934

I problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que nao sao comportadas pela fısica newtoniana

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A cosmologia newtoniana

I vamos supor que o universo e ocupado por um fluido: o fluido cosmologico

I as partıculas deste fluido seriam, por exemplo, as galaxias

I esse fluido obedece ao Princıpio Cosmologico: deve estar em repouso ou em expansao ou contracao isotropica - observamos a expansao

I os observadores que estao localmente em repouso com o fluido, que o acompanham em sua expansao, sao chamados de observadores comoveis

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A cosmologia newtoniana

I para que as leis de Newton sejam validas, os referenciais usados devem ser inerciais

I suponha que nossa galaxia seja um referencial inercial

I PC: todos os observadores que participam da expansao (os observadores comoveis) tem a mesma visao do universo

I Logo, todos os observadores comoveis sao inerciais, embora possam apresentar aceleracoes entre si!

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A cosmologia newtoniana

I Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, caso contrario o PC nao seria valido (nos bordos, por exemplo)

I mas em um universo infinito e isotropico, qual e a direcao da aceleracao gravitacional g?

I lei de Gauss: a aceleracao da gravidade produzida por uma regiao esferica homogenea de massa M centrada num ponto O e ρdV = GM

I se g = 0 em todos os lugares, entao ρ = 0: o unico universo que satisfaz o PC e um universo completamente vazio!

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A cosmologia newtoniana

I Regra de Birkhoff: a velocidade (radial) v de qualquer galaxia vista por um observador em O a uma distancia r depende apenas da atracao gravitacional das galaxias dentro da esfera de raio r centrada em O

I nao tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite o desenvolvimento de uma cosmologia newtoniana...

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A cosmologia newtoniana

I O fator de escala

I galaxias A e B: num certo instante t1 elas estao separadas por uma distancia r1 e, num outro instante t, a separacao entre elas e r

I fator de escala R(t):

mede as variacoes nas escalas produzidas pela expansao (ou contracao) do universo.

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A cosmologia newtoniana

I lei de Hubble:

v = dr

Sendo

I nesta formulacao, H nao e constante, mas uma funcao do tempo: o parametro de Hubble I H mede a taxa de expansao no instante t

I t0: idade do universo; H0 = H(t0) I fator de escala normalizado em relacao ao valor atual:

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A cosmologia newtoniana

A densidade da materia

I o fluido cosmologico e nao-viscoso: caracterizado pelo campo de velocidades v(r,t) e pelas distribuicoes de densidade, ρ(r, t), e pressao, p(r, t)

I homogeneidade em grande escala (PC): ρ(r,t) e p(r,t) devem ser os mesmos para todos os observadores comoveis em um tempo t - ρ(r,t) = ρ(t)

I na cosmologia newtoniana assumimos p(t) = 0: os efeitos dinamicos da pressao da materia sao muito pequenos hoje

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A cosmologia newtoniana

I evolucao da densidade de materia com o tempo: devido a expansao comovel, uma certa quantidade de materia,

M, que num instante t0 ocupava uma esfera de raio r0, num instante t ocuparia uma esfera de raio r

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A cosmologia newtoniana

A equacao de evolucao do universo

I regra de Birkhoff: a dinamica de uma galaxia de massa m, observada a uma distancia r de um observador comovel num ponto O, depende apenas da massa dentro da esfera de raio r centrada em O:

I forca de atracao gravitacional que essa massa exerce sobre a galaxia:

ou,

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A cosmologia newtoniana

I Introduzindo o fator de escala

e temos que

I nessa equacao nao aparece r: a dinamica da expansao, descrita pelo fator de escala a(t), e determinada apenas pela densidade de materia ρ(t) (na cosmologia relativıstica depende tambem da pressao)

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A cosmologia newtoniana

Conservacao de energia e o futuro da expansao

I a gravitacao tende a desacelerar a expansao. Mas sera a gravitacao suficientemente forte para interromper a expansao e reverte-la?

I newtonianamente, o universo e gravitacionalmente ligado?

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A cosmologia newtoniana

I galaxia de massa m a uma distancia r de O energia total dessa galaxia (que deve se conservar durante a expansao):

I E < 0: o universo e ligado, e a expansao deve se suceder uma fase de contracao

I E > 0: o universo nao e gravitacionalmente ligado e a expansao sera perpetua

I E = 0: caso crıtico, onde a expansao diminuira sempre mas sem entrar numa fase de contracao

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A cosmologia newtoniana

I densidade crıtica ρc: a densidade que o universo deveria ter para que E = 0

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A cosmologia newtoniana

I equacao de conservacao de energia:

onde K e uma constante

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A cosmologia newtoniana

I resumo: equacoes basicas da cosmologia newtoniana:

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Cosmologia Relativıstica

I equacoes de Einstein: estabelecem uma relacao entre a geometria do espaco-tempo e a distribuicao de materia e energia

c4 Tµν

I a geometria e caracterizada pelo tensor de Einstein, Gµν, que depende dos coeficientes da metrica e de suas derivadas ate segunda ordem

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Metrica e curvatura de superfıcies

I metrica de superfıcies bi-dimensionais

I metrica: distancia entre dois pontos vizinhos, num dado sistema de coordenadas

I por exemplo, numa superfıcie plana

ds2 = dx2 + dy2 = dr2 + r2dφ2 =
(em coordenadas cartesianas, polares,)

I ds2 nao depende do sistema de coordenadas: e um invariante Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

Metrica e curvatura de superfıcies

I gij: sao as componentes do chamado “tensor metrico”, que caracteriza a geometria e depende da curvatura

I superfıcie esferica de raio R: superfıcie de curvatura constante e positiva

I coordenadas esfericas:

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Metrica e curvatura de superfıcies

I superfıcie esferica de raio R: superfıcie de curvatura constante e positiva I coordenadas esfericas:

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Metrica e curvatura de superfıcies

I reescrevendo como

vale para qualquer superfıcie de curvatura constante!

I k = 0: plano; I k = +1: superfıcie esferica I k = −1 superfıcie de curvatura constante negativa nao ”cabe” num espaco tri-dimensional, mas podemos projeta-la sobre um plano

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Metrica e curvatura de superfıcies

Figure: Superfıcies de curvatura nula, positiva e negativa. Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

Metrica e curvatura de superfıcies

Figure: Obra de Escher, representando a projecao de uma superfıcie de curvatura negativa constante sobre um plano.

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A metrica de Robertson-Walker (MRW)

separacao entre dois eventos (pontos no espaco-tempo, ET) proximos

I TRG: distribuicao arbitraria de materia pode levar a um espaco de curvatura arbitraria

I PC: espacos de curvatura constante I metrica de Robertson-Walker:

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A metrica de Robertson-Walker

I t: tempo I R(t): fator de escala I σ,θ,φ: coordenadas comoveis I k: “sinal da curvatura” (-1, 0, +1)

I R(t) determina como a distancia entre 2 observadores comoveis varia com o tempo

I observadores comoveis: em repouso em um sistema de coordenadas comoveis

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A metrica de Robertson-Walker

Figure: Coordenadas comoveis. Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

A metrica de Robertson-Walker

I tempo proprio τ: ds ≡ cdτ

I observador comovel: dσ = dθ = dφ = 0 −→ ds = cdt −→ dt = dτ o tempo t e o tempo proprio dos observadores comoveis

I TRG: as trajetorias das partıculas livres sao geodesicas no ET

I Geodesicas: linhas de comprimento mınimo (ou maximo) entre 2 eventos no ET

I a luz segue “geodesicas nulas”, ds2 = 0, enquanto que partıculas com massa seguem trajetorias time-like: ds2 > 0

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O desvio espectral

I desvio espectral observado no espectro das galaxias: uma medida direta da expansao do universo

I coordenadas comoveis:

I t0: o observador recebe um foton que foi emitido por G no tempo t

I t0 + ∆t0: o observador recebe um outro foton que foi emitido por G no tempo t + ∆t

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O desvio espectral

Figure: Linhas de mundo de fotons emitidos por uma galaxia G. Laerte Sodre Jr. Cosmologia Basica

O desvio espectral

I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0):

c dt

I para o segundo foton emitido em t + ∆t e recebido em

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O desvio espectral

I vamos supor que ∆t e ∆t0 sao muito menores que t e t0:

I vamos associar a ∆t e ∆t0 o perıodo da radiacao emitida e recebida

I os comprimentos de onda correspondentes sao λe = c∆t e λ0 = c∆t0

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O desvio espectral

I temos λ0

I desvio espectral:

I portanto,

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O desvio espectral

I relacao entre desvio espectral e fator de escala:

I z depende apenas da razao entre os fatores de escala quando a luz foi emitida e quando foi recebida e, portanto, e uma medida de quanto o universo se expandiu desde que a luz foi emitida Ex.: z = 1 −→ a = 1/2 - as escalas no universo eram metade do que sao hoje

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Equacoes de Friedmann - Lemaıtre (EFL)

I as equacoes de evolucao do fator de escala que derivamos na cosmologia newtoniana sao, na forma, parecidas com a que se obtem das equacoes de campo da TRG, com a MRW

I tensor de energia-momentum: depende da distribuicao de materia e energia (ρ(t) e p(t)) (note que na TRG p contribui para a energia!)

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Equacoes de Friedmann - Lemaıtre

I dessas equacoes vem que:

c2 d dt

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A equacao de estado

I relacao entre a pressao e a densidade: p = p(ρ)

I com a relacao d c2 d dt

temos, por exemplo:

I vacuo: p = −ρvc2, ρv = Λ/(4piG) (pressao negativa) I modelo simples para energia escura:

p = wρc2, com w constante

I diferentes equacoes de estado −→ diferentes modelos e comportamentos para a(t)

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A constante cosmologica

I universo onde, alem de materia e radiacao (com densidade e pressao ρ e p), tem tambem a energia do vacuo (w = −1)

I ρ → ρ+ρv e p → p +pv

onde Λ ≡ 4piGρv e a chamada constante cosmologica

I note que, se p e ρ sao positivos, nao existe solucao estatica das EFL sem constante cosmologica

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A constante cosmologica

I proposta por Einstein (1919) para se obter uma solucao estatica (isto e, independente do tempo)

I a lei de Hubble so seria descoberta em 1929 I Einstein: “o maior erro de sua vida”

I hoje e associada a “energia do vacuo” (equacao de estado com pressao negativa)

I vacuo: o estado de menor energia de um certo campo fısico I e a “explicacao ” mais simples para a “energia escura”

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A constante cosmologica

I mas w pode depender do desvio espectral z! I modelo simples:

com w0 e wa constantes

I este tipo de modelo devera ser testado nos surveys dos proximos anos

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