nc - cap34

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Capıtulo 34 O Limite Indutivo de Algebras amos neste capıtulo apresentar uma construcao do chamado limite indutivo de certas famılias de algebras, em particular de algebras de Banach. Tal construcao e frequentemente empregada, por exemplo na teoria das algebras C∗ onde e usada na construcao de uma classe importante de algebras C∗, as chamadas algebras AF.

No caminho que seguiremos indicaremos primeiro como construir o chamado limite indutivo algebrico, construcao essa que pode ser efetuada nao so em famılias de algebras, mas tambem em famılias de grupos, de aneis, de semi-grupos, de espacos vetoriais etc. A seguir trataremos do caso de espacos de famılias de espacos de Banach e construiremos o chamado limite indutivo de Banach de (A, φ).

• O “Limite Indutivo Algebrico” de uma Famılia de Algebras

Um conjunto I e dito ser um conjunto dirigido (“directed set”) se for dotado de uma relacao de pre-ordenamento (vide pagina 39), que denotaremos por “≺”, e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer dois elementos a e b de I existe pelo menos um terceiro elemento c ∈ I tal que a ≺ c e b ≺ c. Vide pagina 42.

Seja I um conjunto dirigido que trataremos aqui como um conjunto de ındices. Vamos estar aqui supondo que associada a cada i ∈ I haja uma algebra Ai e que, para cada par i, j ∈ I com i ≺ j haja um morfismo de algebra φij : Ai → Aj satisfazendo os seguintes requisitos:

1. Para todo i, j, k ∈ I com i ≺ j ≺ k, φik = φjk ◦ φij

2. Para todo i ∈ I, φi = idA .

A propriedade 1) acima e chamada de “coerencia”.

No que segue estaremos supondo que todas as algebras Ai sao algebras em relacao ao mesmo corpo (por exemplo, C).

Uma colecao de algebras e morfismos de algebra com as propriedades acima e dito ser um sistema indutivo de algebras e denotaremos um tal sistema por (A, φ).

Ai+1, φi, i+1 sendo a inclusao de Ai em Ai+1 e φij := φi, i+1 ◦ φi+1, i+2 ◦◦ φj−1, j, para todos i, j ∈ N com i < j.

A tıtulo de ilustracao o leitor pode ter em mente o caso em que I = N e onde cada algebra Ai e uma sub-algebra de

Seja A = ⊔ i∈I Ai a uniao disjunta das algebras Ai. Lembramos que a uniao disjunta de uma famılia Xi, i ∈ Λ, de conjuntos foi definida (pagina 32) como ⋃

(x, i). Com o proposito de definir o conceito de limite indutivo associado ao sistema indutivo (A, φ) vamos definir em A uma relacao de equivalencia. Sejam x ∈ Ai e y ∈ Aj. Dizemos que x ∼ y se existir pelo menos um k ∈ I com1 (k ≻ i) ∧ (k ≻ j) tal que φik(x) = φjk(y). Vamos mostrar em primeiro lugar que tal realmente define uma relacao de equivalencia.

1. x ∼ x, x ∈ Ai. Para tal tome-se k = i. 2. Se x ∼ y entao y ∼ x. Obvio, pela definicao.

1Lembramos que os sımbolos ∧ e ∨ representam os conectivos logicos “e” e “ou”, respectivamente.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 34 1702/1730

Isto posto, denotaremos por Aφ a colecao das classes de equivalencia de A pela relacao ∼: Aφ := A/ ∼. Notemos que Aφ depende da colecao {Ai, i ∈ I} e dos morfismos φij usados.

Antes de prosseguirmos provemos o seguinte pequeno resultado, do qual faremos uso:

Logo, φk (x) = φk k (y), provando que x ∼ y.

Este lema diz que, para todo i ∈ I, todo a ∈ Ai e todos k, k′ ∈ I com k ≻ i, k′ ≻ i, tem-se que [φik(a)] = [φik (a)], o que tambem diz que i ∈ I, todo a ∈ Ai e todo k ∈ I com k ≻ i temos [a] = [φik(a)].

Podemos atribuir a Aφ uma estrutura de algebra. Em primeiro lugar, se [x] e a classe de equivalencia associada a um elemento x, definimos α[x] := [αx]. Aqui α e um elemento qualquer do corpo de escalares das algebras.

E preciso demonstrar a independencia dessa definicao dos representantes tomados na classe, mas isso e facil de se

E preciso demonstrar a independencia dessa definicao dos representantes tomados, assim como do k adotado.

Vamos agora provar a independencia da definicao de [x] + [y] do representante tomado em [x]. A independencia em

pela independencia em k, provando o que se desejava. Notemos tambem que para todo y,

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 34 1703/1730

As operacoes de multiplicacao por escalar e de soma em que foram definidas acima dao a Aφ uma estrutura de espaco vetorial. Vamos agora definir um produto em Aφ. Definimos onde, novamente x ∈ Ai, y ∈ Aj e k e tal que (k ≻ i) ∧ (k ≻ j).

E preciso demonstrar a independencia dessa definicao dos representantes tomados, assim como do k adotado. Para vermos a independencia em relacao ao k adotado, seja (k′ ≻ i)∧(k′ ≻ j) entao tomemos k′′ ∈ I tal que (k′′ ≻ k)∧(k′′ ≻ k′).

Denotando z1 ≡ φik(x)φjk(y) e z2 ≡ φik (x)φjk (y) teremos, usando o fato que os φ’s sao morfismos de algebra,

Vamos agora provar a independencia da definicao de [x][y] do representante tomado em [x]. A independencia em

pela independencia em k.

Notemos tambem, por fim, que para todo y,

O conjunto Aφ, dotado da estrutura algebrica definida acima, e chamado de limite indutivo algebrico do sistema indutivo (A, φ).

• Alguns Exemplos

Vamos ilustrar a construcao acima com exemplos. Seja I = N com a ordem usual e An = Mat(n, C), a algebra das matrizes complexas n × n.

Ha tres possıveis morfismos de algebra de Mat(2) em Mat(3), como indicado abaixo:

a b

c d

a b

c d

a b

c d

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 34 1704/1730

E. 34.1 Exercıcio. Mostre que os tres φ’s definidos acima sao homomorfismos de A2 em A3 e que sao os unicos homomorfismos desse tipo. 6

Ha entre An e An+1 exatamente n + 1 homomorfismos. O exemplo acima ilustra como os mesmos sao obtidos: para uma matriz n ×n a, φi n, n+1(a) e uma matriz (n + 1) × (n + 1) obtida inserindo-se em a uma coluna na i-esima posicao e uma linha na i-esima posicao, ambas apenas com zeros:

a1, 1a1, n
an, 1an, n
a1, 1a1, i−1 0 a1, i . . . a1, n
ai−1, 1ai−1, i−1 0 ai−1, i . . . ai−1, n
00 0 0 . . . 0
ai, 1ai, i−1 0 ai, i . . . ai, n
an, 1an, i−1 0 an, i . . . an, n
ındice ia assume valores em {1,,a + 1}. Sejam An e Am, com n < m, e

Uma possıvel colecao de morfismos coerentes e dada da seguinte forma. Seja a colecao {ia, a ∈ N} onde, para a, o

n, n+1 ◦◦ φi

Note-se porem que morfismos com ındices {in,...,im} distintos podem ainda assim ser identicos. O que distingue os morfismos entre si e a localizacao das linhas e colunas nulas.

Cada colecao I = {ia, a ∈ N} caracteriza (nao univocamente) um limite indutivo algebrico AI.

E. 34.2 Exercıcio. Suponha que adotemos um sistema indutivo onde I = N com a ordem usual, An = Mat(n, C) e onde os morfismos sao dados por φn+1,...,m n, m , ou seja, com cada ia assumindo o valor maximo possıvel (ultima linha e coluna de zeros introduzida em cada etapa). Mostre que matrizes como

c d sao equivalentes e que matrizes como

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