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(Parte 1 de 8)

Capıtulo 3

Operadores Lineares Limitados em Espacos de Banach e de Hilbert

3.1 Operadores Lineares em Espacos Vetoriais Normados1562
3.1.1 Espacos de Banach de Operadores1565
3.1.2 O Dual Topologico de um Espaco de Banach1569
3.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequencias do Mesmo1573
3.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princıpio de Limitacao Uniforme1578
3.1.5 O Teorema da Aplicacao Aberta e o Teorema do Grafico Fechado1579
3.2 Operadores Limitados em Espacos de Hilbert1585
3.2.1 O Adjunto de um Operador Agindo em Espacos de Hilbert1585
3.3 Algebras de Banach e Algebras C∗1595
3.3.1 Algebras de Banach1595
3.3.2 A Inversa de Operadores Limitados1598
3.3.3 O Espectro de Operadores em Algebras de Banach1603
3.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em Algebras C∗1611
3.3.5 Raızes Quadradas de Operadores em Algebras de Banach1613
3.3.6 Elementos Positivos de Algebras C∗1614
3.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em Espacos de Hilbert1618
3.3.7.1 A Decomposicao Polar de Operadores Limitados em Espacos de Hilbert1621
3.4 Um Pouco sobre Estados e Representacoes de Algebras C∗1623
3.5 O Espectro de Operadores em Espacos de Banach1630
3.6 Operadores Compactos em Espacos de Banach e de Hilbert1637
3.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos1647
3.7.1 O Calculo Funcional Contınuo e o Homomorfismo de Gelfand1653
3.7.2 Generalizando o Calculo Funcional Contınuo. As Medidas Espectrais1654
3.7.3 Medidas com Valores em Projecoes Ortogonais1662
3.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral1665
3.8 Operadores Tipo Traco e de Hilbert-Schmidt1675
3.8.1 Operadores Tipo Traco, ou Traciais1677
3.8.1.1 O Traco de um Operador Tracial1681
3.8.2 Operadores de Hilbert-Schmidt1684
3.8.3 Operadores Traciais e de Hilbert-Schmidt e os Operadores Compactos1692
3.8.4 Operadores de Hilbert-Schmidt e Operadores Integrais1693
3.8.5 O Teorema de Lidskii. Traco e Espectro de Operadores Traciais1697
3.A Prova do Teorema 3.181698

Conteudo 3.2.2 Operadores Auto-Adjuntos, Normais, Unitarios, Isometrias Parciais e Projetores Ortogonais . 1588 3.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espacos de Hilbert 1653 3.7.5 A Relevancia do Teorema Espectral para a Fısica Quantica (um pouco de Fısica, finalmente) . 1668 ste capıtulo tenciona ser uma pequena introducao a teoria dos operadores lineares limitados (contınuos) em espacos de Banach e de Hilbert. O assunto e de central importancia em varias areas da Fısica e da Matematica, desde a Mecanica Quantica e a Teoria Quantica de Campos ate a Teoria das Equacoes Diferenciais Parciais.

Na Secao 3.1 apresentamos nocoes basicas e demonstramos uma serie de teoremas de importancia fundamental para toda a teoria de operadores em espacos de Banach e de Hilbert: o Teorema BLT, o Teorema de Hahn-Banach, o Teorema

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 3 1562/1730 de Banach-Steinhaus, o Teorema da Aplicacao Aberta, o Teorema da Aplicacao Inversa e o Teorema do Grafico Fechado. Na Secao 3.2 estudamos a teoria basica de operadores em espacos de Hilbert. A Secao 3.3 e uma introducao as algebras de Banach e as algebras C∗, com uma certa enfase na teoria espectral dessas algebras. Na Secao 3.4 desenvolvemos um pouco mais a teoria das algebras C∗ e discutimos sua relacao com algebras de operadores em espacos de Hilbert. Na Secao 3.5 especializamos a teoria espectral para o contexto de operadores limitados agindo em espacos de Banach e de Hilbert. Na Secao 3.6 desenvolvemos a teoria dos operadores compactos em espacos de Banach e de Hilbert e obtemos o Teorema Espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espacos de Hilbert e generalizacoes. A Secao 3.7 e dedicada a demonstracao do Teorema Espectral para operadores limitados auto-adjuntos agindo em espacos de Hilbert. A Secao 3.7.5 discute a relevancia desse teorema para a Fısica Quantica. A Secao 3.8 introduz as nocoes de operador tracial e de Hilbert-Schmidt em espacos de Hilbert separaveis, assim como a nocao de traco de operadores traciais. Diversas propriedades e desigualdades sao obtidas.

• Operadores lineares

Sejam V e W dois espacos vetoriais1. Um operador linear, ou simplesmente operador2 T entre V e W e uma funcao cujo domınio e V, Dom (T) = V, e cuja imagem e um subconjunto de W, Im(T) ⊂ W, tal que, para todo α, β ∈ C e todo u, v ∈ V tem-se T(αu + βv) = αT(u)+ βT(v).

Note-se que isso em particular implica T(0) = 0.

Notacao. Na teoria dos operadores lineares em espacos vetoriais e costume denotar-se T(u) simplesmente por Tu. Nomenclatura. Se T : V → W e um operador entre espacos vetoriais V e W e comum dizer-se que T age entre V e W.

Neste capıtulo iremos nos dedicar ao estudo de propriedades basicas de operadores lineares em espacos de Hilbert3.

Algumas dessas propriedades podem ser estudadas em um contexto mais geral como propriedades de operadores lineares em espacos vetoriais normados ou em espacos de Banach4, sem referencia a propriedades especıficas de espacos de Hilbert.

O estudo de funcoes entre espacos vetoriais normados e de grande importancia em matematica e na fısica, em especial na fısica quantica. O maior papel, porem, e seguramente desempenhado pelas funcoes lineares entre espacos normados, das quais falaremos agora.

3.1 Operadores Lineares em Espacos Vetoriais Normados

Sejam entao V e W dois espacos vetoriais normados, cujas normas serao denotadas por ‖ · ‖V e ‖ · ‖W, respectivamente. Por exemplo V e W podem ser dois espacos de Banach ou de Hilbert, mas por ora nao vamos requerer nada sobre a completeza dos mesmos.

Um dos problemas basicos da teoria dos operadores lineares entre espacos vetoriais normados e classifica-los de acordo com caracterısticas que permitam associar-lhes propriedades comuns. Veremos varias dessas classificacoes ao longo destas notas, a mais basica, da qual trataremos a seguir, sendo a continuidade. Outras classificacoes que veremos, em particular no contexto de espacos de Hilbert, sao a classificacao de operadores em limitados ou nao-limitados, fechados ou naofechados, de fechaveis ou nao-fechaveis, de operadores auto-adjuntos ou nao auto-adjuntos, de operadores compactos ou nao etc.

Os exemplos mais bem conhecidos de operadores sao as matrizes, que sao operadores entre espacos de dimensao finita como V = Cn e W = Cm. Acreditamos que os estudantes destas notas ja tenham nocoes bem definidas sobre matrizes mas, apesar disso, ou mesmo por isso, vale advertir que iremos aqui desenvolver a teoria de operadores entre espacos vetoriais normados gerais, mesmo de dimensao infinitas e, por isso, muito da intuicao que desenvolvemos sobre matrizes nao e mais valida. Por exemplo, matrizes agindo entre Cn e Cm (com as normas usuais) sao sempre operadores contınuos, um fato nao mais necessariamente verdadeiro para operadores lineares entre espacos vetoriais normados de dimensao infinita. Tal e a origem de boa parte da dificuldades no estudo de operadores lineares agindo entre espacos vetoriais normados em geral.

1Daqui por diante sempre trataremos de espacos vetoriais sobre o corpo dos complexos. 2Como nestas notas so falaremos de operadores lineares, vamos frequentemente omitir o qualificativo “linear” e falar apenas em operadores.

Operadores lineares sao tambem denominados “transformacoes lineares” ou “aplicacoes lineares”. 3David Hilbert (1862–1943). 4Stefan Banach (1892–1945).

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 3 1563/1730

• Operadores contınuos

Se V e W sao dois espacos vetoriais normados ambos sao espacos metricos com a metrica definida por suas normas e, portanto, sao espacos topologicos metricos. Consequentemente, ao falarmos de funcoes entre V e W coloca-se a questao da continuidade dessas funcoes como funcoes entre dois espacos topologicos metricos. Essa questao e de grande relevancia, pois em espacos vetoriais de dimensao infinita e muito frequente o aparecimento de operadores lineares nao-contınuos. De fato, na mecanica quantica, por exemplo, quase todos os operadores com os quais tipicamente lidamos, como os operadores de posicao e de momento, nao sao contınuos. O ponto e que, como veremos, operadores nao-contınuos podem ter propriedades drasticamente diferentes das de operadores contınuos.

Como V e W sao dois espacos metricos, valem as definicoes usuais de continuidade em espacos metricos. Assim, dizemos que um operador T : V → W e contınuo seT (

para qualquer sequencia convergente {xn}n∈N em V. Note que, na ultima igualdade, o limite do lado esquerdo refere-se a topologia de V enquanto que o limite do lado direito refere-se a topologia de W.

Equivalentemente (vide discussao a pagina 1160) um operador T : V → W e contınuo se para todo ǫ > 0 e todo u ∈ V existir δ ≥ 0 (eventualmente dependente de ǫ e de u) tal que ‖Tu − Tv‖W ≤ ǫ sempre que v for tal que ‖u − v‖V ≤ δ.

Adiante (vide por exemplo, pagina 1564) veremos exemplos de operadores nao-contınuos. Passemos primeiro a uma definicao igualmente importante e que se mostrara equivalente a de continuidade.

• Operadores limitados

De grande importancia e tambem a seguinte definicao. Um operador T : V → W e dito ser um operador limitado se existir uma constante M > 0 tal que para todo u ∈ V tem-se

Note-se que a constante M acima deve ser a mesma para todo u. A seguinte proposicao tem importancia fundamental:

Proposicao 3.1 Um operador linear T agindo entre dois espacos vetoriais normados V e W e limitado se e somente ser for contınuo. 2

Prova. Seja T limitado, ou seja, tal que existe M > 0 satisfazendo ‖Tu‖W ≤ M‖u‖V para todo u ∈ V. Seja ǫ um numero positivo arbitrario e sejam u e v dois vetores de V tais que ‖u − v‖V ≤ ǫ/M. Entao

Assim, adotando-se δ = ǫ/M vemos que T satisfaz a definicao de continuidade.

Provemos a recıproca. Seja T contınuo. Entao, vale que para todo ǫ ≥ 0 e todo u ∈ V existe δ > 0 tal que ‖Tu− Tv‖W ≤ ǫ sempre que v for tal que ‖u − v‖V ≤ δ. Tomemos u = 0 e fixemos um ǫ. Temos entao que sempre que ‖v‖V ≤ δ. Lembremos que a constante δ independe de v e que sempre podemos escolher δ > 0. Seja entao u um vetor nao-nulo arbitrario de V e seja e claro que

Portanto, para esse v vale ‖Tv‖W ≤ ǫ e, entao

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 3 1564/1730 ou seja,

Definindo M = ǫ/δ mostramos estao que ‖Tu‖W ≤ M‖u‖V para todo u 6= 0. Para u = 0 essa relacao e trivialmente satisfeita e, portanto, vale para todo u ∈ V, mostrando que T e limitado.

• Exemplo de operador nao-limitado. O funcional delta de Dirac

Vamos a um exemplo de um operador agindo entre dois espacos vetoriais normados e que nao e limitado e, portanto, nao e contınuo.

Seja V = C([−1, 1], C), o conjunto de todas as funcoes contınuas do intervalo [−1, 1] ⊂ R com valores complexos e adotemos como norma em V a norma L2:

Seja W = C e adotemos em W a norma usual ‖z‖W = |z|, z ∈ C .

Seja T0 : V → W o seguinte operador linear: T0f = f(0) , que associa a cada funcao f ∈ C([−1, 1], C) o seu valor no ponto 0. T0 e denominado funcional delta de Dirac. E elementar mostrar que T0 e linear. Mostremos que T0, porem, nao pode ser contınuo.

0, de outra forma.

Como g foi escolhida de modo que g(−1) = g(1) = 0, e facil verificar que un ∈ C([−1, 1], C) (por que?). Temos que

e, portanto, ‖un‖V → 0 quando n → ∞. Por outro lado T0un = un(0) = g(0) 6= 0 e constante, ou seja, nao depende de n. Assim, temos que

mas limn→∞T0un = g(0) 6= 0 , o que mostra que T0 nao pode ser contınuo nem, portanto, limitado. E facil verificar que T0 tambem nao seria contınuo se adotassemos em V a norma Lp (com p ≥ 1):

E. 3.1 Exercıcio. Complete os detalhes da prova dessa ultima afirmacao. 6

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 3 1565/1730

Se, porem, adotassemos em V a norma do supremo

entao T0 seria contınuo. E. 3.2 Exercıcio. Complete os detalhes dessa ultima afirmacao. 6

Esses exemplos mostram mais uma vez que a continuidade de uma aplicacao depende das topologias adotadas.

• O espaco vetorial B(V, W)

Sejam V e W dois espacos vetoriais normados, cujas normas serao denotadas por ‖ · ‖V e ‖ · ‖W, respectivamente. Denotamos por B(V, W) o conjunto de todas os operadores lineares contınuos de V em W.

O conjunto B(V, W) e um espaco vetorial sobre os complexos. De fato, dados dois operadores quaisquer T e

U ∈ B(V, W) podemos definir o operador αT + βU, com α, β ∈ C, como sendo o operador que associa a cada v ∈ V o vetor de W dado por αTv + βUv. E trivial ver que αT + βU e tambem um operador linear e que tambem e contınuo.

Mais que isso, B(V, W) e um espaco vetorial normado, onde para cada operador T definimos sua norma operatorial ‖T‖ como

Notemos que o lado direito de (3.1) e finito pois T e limitado.

E. 3.3 Exercıcio. Verifique que as propriedades que caracterizam uma norma sao de fato satisfeitas pela definicao acima. 6

Notemos tambem que se T ∈ B(V, W) entao para todo u ∈ V vale que ‖Tu‖W ≤ ‖T‖‖u‖V .

Mais adiante veremos que se W for um espaco de Banach entao B(V, W) tambem e um espaco de Banach em relacao a norma definida acima. Esse fato e importante para toda a teoria dos operadores limitados em espacos de Hilbert e abre caminho para a teoria das chamadas algebras de Banach e das chamadas algebras C∗.

• Extensoes de operadores

Convidamos neste momento o leitor a reler a definicao do conceito de extensao de funcoes a pagina 32. Esse conceito se aplica diretamente a teoria dos operadores lineares agindo entre espacos vetoriais.

Sejam V e W dois espacos vetoriais e T : V → W um operador linear agindo entre eles. Suponha que V seja subespaco de um espaco vetorial V ′. Uma extensao do operador T ao espaco V ′ seria um funcao T′ : V ′ → W tal que T′(v) = Tv para todo v ∈ V . Se uma extensao T′ de T for tambem um operador linear de V ′ em W, entao T′ e dita ser uma extensao linear de T.

Como veremos, extensoes lineares desempenham um papel importante no estudo de operadores nao-limitados em espacos de Hilbert.

3.1.1 Espacos de Banach de Operadores

• O Teorema BLT

Vamos agora enunciar e demonstrar um resultado sobre extensoes lineares que sera frequentemente usado adiante, muitas vezes ate sem mencao explıcita.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 3 1566/1730

Seja V um espaco vetorial normado, cuja norma e denotada por ‖·‖V. O espaco vetorial V e assim um espaco metrico e na discussao iniciada a pagina 1014 discutimos o conceito de completamento canonico de um espaco metrico generico.

Chamemos de V o completamento canonico de V. Como discutimos a pagina 1014 e seguintes, existe uma bijecao natural isometrica de V em um subconjunto denso de V, de modo que podemos, com um pequeno abuso, considerar V como um subconjunto (denso) de V, no mesmo sentido que usamos quando dizemos que o conjunto dos racionais e um subconjunto denso dos reais, embora em princıpio os reais sejam classes de equivalencias de racionas e, portanto, objetos de natureza diferente dos racionais.

Na discussao deste topico adotaremos essa convencao de entender V como um subconjunto denso de V.

Muitas vezes nos e apresentado um operador limitado T agindo entre dois espacos vetoriais normados V e W, sendo

V um espaco metrico nao-completo. Muitas vezes e util, conveniente ou mesmo necessario saber se e possıvel estender o operador T para o completamento canonico V de V. Veremos abaixo aplicacoes em que tal procedimento e util. Sera isso sempre possıvel? Sera a extensao tambem contınua? E se o for, sera a extensao obtida a unica possıvel?

O teorema seguinte nos da condicoes suficientes para que uma tal extensao exista e seja unica, a saber, basta que W seja completo. Esse teorema e denominado por alguns autores de Teorema BLT (“bounded linear transformation”). Em verdade, trata-se parcialmente de um caso particular do Teorema 28.13, pagina 1262, pois operadores lineares e contınuos sao uniformemente contınuos (verifique!).

Teorema 3.1 (BLT) Seja V um espaco vetorial normado, cuja norma e denotada por ‖ · ‖V e seja W um espaco vetorial normado, cuja norma e denotada por ‖ · ‖W. Suponha que W seja completo na metrica definida pela norma

‖ · ‖W, ou seja, suponha que W seja um espaco de Banach. Entao, para todo operador linear limitado T : V → W, T ∈ B(V, W), existe uma extensao T : V → W que tambem e um operador linear limitado, T ∈ B(V, W), e tal que

‖T‖B(V, W) = ‖T‖B(V, W). Fora isso, tal extensao e a unica com as propriedades mencionadas. 2

Prova. A demonstracao consiste em construir a extensao T e mostrar que a mesma satisfaz as propriedades mencionadas. A primeira etapa e a construcao de T.

Como entendemos V como um subconjunto denso de V, todo elemento de V e limite de uma sequencia de elementos de V. Seja entao x ∈ V e seja {xn}n∈N uma sequencia de elementos de V que converge a x. Como {xn}n∈N converge, e uma sequencia de Cauchy.

Seja yn = Txn ∈ W. Mostremos que {yn}n∈N e um sequencia de Cauchy de elementos de W. De fato,

Como {xn}n∈N e uma sequencia de Cauchy em V, o lado direito pode ser feito menor que qualquer ǫ > 0 dado, desde que m e n sejam grandes o suficiente, mostrando que {yn}n∈N e de fato um sequencia de Cauchy de elementos de W.

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