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Capıtulo 27 Elementos da Teoria da Integracao

27.1 Comentarios Preliminares16
27.2 A Integracao no Sentido de Riemann1168
27.2.1 A Integral de Riemann Impropria1176
27.2.2 Diferenciacao e Integracao em Espacos de Banach1178
27.3 A Integracao no Sentido de Lebesgue1182
27.3.1 Funcoes Mensuraveis e Funcoes Simples1182
27.3.2 A Integral de Lebesgue. Integracao em Espacos Mensuraveis1187
27.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relacao com a de Riemann1194
27.3.4 Teoremas Basicos sobre Integracao e Convergencia1196
27.3.5 Alguns Resultados de Interesse19
27.4 Os Espacos Lp e Lp1200
27.4.1 As Desigualdades de Holder e de Minkowski1203
27.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza1206
APENDICES1207
27.A Equivalencia das Definicoes I e II da Integrabilidade de Riemann1207
27.B Caracterizacoes e Propriedades de Funcoes Mensuraveis1208
27.C Prova do Lema 27.31212
27.D Demonstracao de (27.2)1213
27.E A Equivalencia das Definicoes (27.23) e (27.24)1214
27.F Prova do Teorema da Convergencia Monotona1216
27.G Prova do Lema de Fatou1216
27.H Prova do Teorema da Convergencia Dominada1217
27.I Prova dos Teoremas 27.2 e 27.31218
27.J Prova das Desigualdades de Holder e Minkowski1220
27.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer1222

Conteudo presentaremos neste capıtulo ingredientes basicos da chamada teoria da integracao, centrada na nocao de integral de funcoes definidas em espacos mensuraveis, a integral de Lebesgue sendo uma de suas instancias de particular importancia. Iniciaremos com uma breve digressao sobre o desenvolvimento historico e recordaremos a nocao de integrabilidade no sentido de Riemann, passando a seguir a nocao mais geral de integracao em espacos de medida. Advertimos o leitor que os assuntos tratados neste capıtulo envolvem por vezes nocoes e problemas matematicamente muito sutis, sendo difıcil apresenta-los de modo resumido ou simplificado. Por essa razao, optamos por apresentar certas demonstracoes mais tecnicas nao no texto principal, mas nos apendices que se iniciam a pagina 1207. Nossa intencao e, antes de tudo, guiar o leitor, apontando-lhe os ingredientes de maior importancia e de modo a eventualmente motivar seu interesse em um estudo mais aprofundado.

Como referencias gerais para a teoria da medida e da integracao, recomendamos [160] (fortemente), e tambem [140], [1], [159], [58] ou ainda [126, 127]. Um texto classico e [73]. Para estas Notas tambem coletamos material de [82, 83],

27.1 Comentarios Preliminares

E parte essencial da formacao de todo fısico ou matematico aprender as nocoes basicas do Calculo, como os conceitos de limite, de derivada e de integral de funcoes. Nos passos iniciais dessa formacao e importante dar enfase a metodos de

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 27 1167/1730 calculo de derivadas e integrais de funcoes e, consequentemente, e e natural que assim seja, pouco se discute sobre certas sutilezas ocultas por tras de tais conceitos.

A nocao de integral de uma funcao e uma das ideias fundamentais de toda a Matematica e originou-se no seculo

XVII com os trabalhos de Newton1 e Leibniz2, ainda que tenha raızes muito mais antigas, remontando pelo menos a Arquimedes3. Intuitivamente, a integral de uma funcao real em um intervalo compacto [a, b] e entendida como a area descrita sob o grafico dessa funcao nesse intervalo. Essa nocao simples e suficiente para motivar e sustentar os primeiros passos de qualquer aluno iniciante e, mesmo em um plano historico, satisfez as mentes matematicas ate cerca de meados do seculo XIX, pois as aplicacoes almejadas pela Fısica e pela Matematica de entao pouco requeriam alem dessa nocao intuitiva.

Mesmo hoje, pode ser difıcil a um estudante, acostumado com o calculo de integrais de funcoes “elementares”, entender que a nocao de integral envolve questoes sutis, principalmente pois essas sutilezas envolvem primordialmente a questao de caracterizar para quais funcoes o conceito de integral se aplica. Considere-se, por exemplo, as seguintes funcoes:

1, se x for irracional

0, se x for racional

sen(x), se x for transcendente

Terao essas funcoes uma integral em um dado intervalo compacto [a, b]? Como essas funcoes sao descontınuas em todos os pontos, e facil reconhecer que a nocao de integral como “area sob o grafico” de uma funcao e aqui muito problematica (o leitor nao convencido deve tentar desenhar os graficos dessas funcoes e se perguntar qual a “area” sob os mesmos).

Na grande maioria das aplicacoes com as quais nos acostumamos, funcoes como essas nao ocorrem, mas sim funcoes contınuas e suficientemente diferenciaveis, para as quais a nocao intuitiva de integral dificilmente e problematica. No entanto, uma serie de desenvolvimentos teoricos na Matematica conduziram a necessidade de estender a nocao de integral a classes mais abrangentes de funcoes, como as do exemplo acima. Seria precipitado enumerar neste ponto quais foram precisamente esses desenvolvimentos que pressionaram por um aprofundamento da nocao de integral, pois para tal uma serie de comentarios e definicoes teria que ser antecipada. Discutiremos isso no devido momento. Mencionamos, porem, que esse avanco foi possibilitado pelo desenvolvimento concomitante da Teoria da Medida, que, como ja discutimos alhures, fundamentou e estendeu nocoes como comprimento, area, volume etc., de conjuntos. A area da Matematica que surgiu desse desenvolvimento e usualmente conhecida como Teoria da Integracao.

Um outro avanco importante obtido atraves da Teoria da Integracao foi o seguinte. As nocoes de integracao que aprendemos nos cursos de Calculo aplicam-se a integrais de funcoes definidas em conjuntos como R, Rn, C etc. Uma das consequencias mais importantes do desenvolvimento da teoria da integracao foi a possibilidade de definir a nocao de integral mesmo para funcoes definidas em conjuntos mais “exoticos” que os supra-citados, tais como conjuntos fractais, conjuntos de curvas, de funcoes e outros.

Esse desenvolvimento relevou-se de grande importancia para a Fısica tambem. Na Mecanica Quantica, por exemplo, ocorrem as chamadas integrais funcionais, que sao integrais de funcoes definidas em conjuntos de curvas contınuas. Dados dois pontos x e y no espaco, um metodo importante desenvolvido por Feynman4 permite expressar certas funcoes de Green G(x, y) de sistemas quanticos em termos de integrais sobre o conjunto Cx, y de todas as curvas contınuas no espaco que conectam x a y. Na Teoria Quantica de Campos, o analogo das integrais de Feynman e ainda mais abstrato e envolve integrais sobre conjuntos de distribuicoes5. Como se percebe, tais aplicacoes requerem muito mais que definir a nocao de integral como “area” ou “volume sob um grafico”.

Tentativas informais de caracterizar a nocao de integral sao tao antigas quanto o Calculo. Leibniz tentou definir integrais e derivadas a partir da nocao de infinitesimos. A nocao de infinitesimos carece de respaldo matematico mas, como outras ideias filosofico-especulativas infelizes do passado, estende sua perversa influencia ate o presente, causando em alguns, especialmente em cursos de fısica e engenharia, uma falsa percepcao de compreensao da nocao de integral que impede o entendimento de outros desenvolvimentos. A nocao de limite, que acabou por expurgar os infinitesimos da

1Isaac Newton (1643–1727). 2Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716). 3Arquimedes de Siracusa (ci. 287 A.C. – ci. 212 A.C.). 4Richard Phillips Feynman (1918–1988). A formulacao da Mecanica Quantica em termos das integrais funcionais de Feynman surgiu em cerca de 1942. 5Para uma exposicao introdutoria sobre a integracao funcional de Feynman na Mecanica Quantica, vide, por exemplo, [146], ou bons livros de Mecanica Quantica. Para a integracao funcional de Feynman-Kac, definida no espaco-tempo Euclidiano, vide e.g. [6] ou [152, 153, 154, 155].

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 27 1168/1730 linguagem matematica, era praticamente desconhecida dos fundadores do Calculo, tendo sido usada pela primeira vez em 1754 por d’Alembert6 para definir a nocao moderna de derivada.

Um dos primeiros passos importantes no sentido de dotar a nocao de integral definida de fundamentos mais solidos foi dado por Riemann7 em 1854, em sua famosa tese de livre-docencia8. A motivacao de Riemann foi o estudo das series de Fourier. Ao estudar condicoes que garantam um rapido decaimento dos coeficientes de Fourier de funcoes periodicas, Riemann deparou-se com a necessidade de caracterizar mais precisamente a nocao de integrabilidade de funcoes ou, melhor dizendo, de caracterizar quais funcoes podem ser dotadas de uma integral. Um dos problemas com que Riemann se debateu foi demonstrar o que hoje em dia e conhecido como Lema de Riemann-Lebesgue: a afirmacao que o limite a f(x)sen(λx)dx vale zero se f for contınua por partes. Esse fato e importante para a teoria das series de Fourier e sua demonstracao (que pode ser acompanhada, por exemplo, em [54]), requer compreender a integral como limite de somas de Riemann (a serem definidas abaixo).

A nocao de integrabilidade de Riemann, que sera recordada abaixo, e a primeira a ser ensinada em (bons) cursos de Calculo mas, como discutiremos mais adiante, tambem nao e plenamente satisfatoria. Para a grande maioria dos propositos modernos, a nocao mais satisfatoria de integrabilidade e a de Lebesgue, que tambem apresentaremos adiante. E dessa nocao de integral que emergem os desenvolvimentos mais importantes, na teoria das series de Fourier, dos espacos de Banach e de Hilbert etc. Adiantamos que no caso de funcoes limitadas reais definidas em conjuntos compactos da reta real, as integrais de Riemann e de Lebesgue coincidem. Nesse sentido, a integracao de Lebesgue estende a de Riemann. Trataremos disso de modo mais preciso nos Teoremas 27.2 e 27.3, da Secao 27.3.3, pagina 1194.

Nesse momento e conveniente que encerremos esse palavreado preliminar e elevemos a discussao a um nıvel mais solido.

27.2 A Integracao no Sentido de Riemann

Na presente serao recapitularemos um pouco, mas em um nıvel talvez mais avancado, da teoria da integracao de Riemann no intuito de preparar a discussao, que lhe seguira, concernente a nocao de integral de Lebesgue. Apresentaremos apenas as definicoes e os resultados estruturais mais relevantes. Tendo em vista outras aplicacoes (vide, por exemplo, o tratamento do Teorema da Funcao Implıcita em espacos de Banach da Secao 2.5, pagina 1075), nosso intuito e tambem o de apresentar a nocao de integral de Riemann de modo a permitir sua extensao para funcoes de uma variavel real assumindo valores em um espaco de Banach. Essa preocupacao, ainda que sem maior importancia para a abordagem da teoria de integracao de Lebesgue, sub-jaz boa parte dos tratamento da integracao de Riemann que se segue.

Por simplicidade, restringiremos nossa discussao aqui a funcoes de uma variavel real. A definicao de integral de

Riemann e feita inicialmente em intervalos fechados [a, b] finitos, ou seja, com −∞ < a < b < ∞. Integrais de Riemann em intervalos nao-finitos sao definidas posteriormente (Secao 27.2.1, pagina 1176), tomando-se limites de integrais em intervalos finitos, caso esses limites existam. Seguiremos parcialmente a exposicao de [82], mas com uma organizacao distinta de ideias e com a adicao de alguns detalhes nas demonstracoes. Aquela referencia tambem apresenta diversas extensoes da teoria aqui apresentada as quais omitiremos, por pertencerem mais propriamente a um texto sobre Calculo Diferencial e fora, portanto, das pretensoes gerais no presente capıtulo.

• Particoes

Trata-se de um conjunto finito de pontos {x1,, xn} satisfazendo a = x1 < x2 < · < xn−1 < xn = b, o numero n

Importante para a definicao da integral de Riemann e a nocao de particao de um intervalo compacto [a, b], com a < b. podendo ser arbitrario, com n ≥ 2.

O conjunto de todas as particoes possıveis (com numero de pontos arbitrario) de um intervalo compacto [a, b] sera denotado por P([a, b]), ou simplesmente P, se [a, b] estiver sub-entendido. Uma particao particular sera denotada por P ∈ P([a, b]).

A cada particao P = {x1,, xn} ∈ P([a, b]), com n pontos, estao associados n−1 intervalos fechados I1, ..., In−1,

sendo Ik = [xk, xk+1]. Denotaremos por |Ik| o comprimento do k-esimo intervalo: |Ik| := xk+1 − xk.

8“Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe”. Publidada em 1867.

Outra nocao util e a de fineza de uma particao P, denotada por |P|. Se P = {x1,, xn} ∈ P([a, b]) definimos
|P| := max{|I1|,, |In−1|}. Assim, |P| e o maximo comprimento dos intervalos definidos por P em [a, b].

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 27 1169/1730

Podemos fazer de P([a, b]) um conjunto dirigido9, definindo a seguinte relacao de pre-ordenamento: P ≺ P′ se

|P| ≥ |P′|. Assim, dizemos que uma particao P′ e mais fina que uma particao P se o maior intervalo de P′ tiver comprimento menor que o maior intervalo de P.

E. 27.1 Exercıcio. Mostre que isso define uma relacao de pre-ordenamento em P([a, b]) e que isso faz de P([a, b]) um conjunto dirigido. 6

Note-se que se particularmente P ⊂ P′ entao |P| ≥ |P′| e, portanto, P ≺ P′.

Se P e P′ sao duas particoes de [a, b] dizemos que P′ e um refinamento de P se P ≺ P′. Se P1 e P2 sao duas particoes de [a, b], entao e evidente que P1 ∪ P2 e um refinamento de P1 e de P2.

Dada uma particao P = {x1,, xn} ∈ P([a, b]) com n pontos, podemos associar a mesma um conjunto χ de n−1
pontos χ = {χ1,, χn−1}, com a ≤ χ1 ≤ · ≤ χn−1 ≤ b, escolhendo χk ∈ Ik, k = 1, ..., n − 1, ou seja, escolhendo

• Particoes indexadas cada χk no k-esimo intervalo fechado da particao P. Se χ e associado a P da forma descrita acima, denotamos esse fato em sımbolos por χ ∝ P. Um par (P, χ) com χ ∝ P e dito ser uma particao indexada de [a, b], os “ındices” sendo os pontos χk associados a cada intervalo Ik. Denotaremos por X([a, b]) colecao formada por todas as particoes indexadas de [a, b]:

Tal como P([a, b]), o conjunto X([a, b]) e tambem um conjunto dirigido se definirmos a relacao de pre-ordenamento (P, χ) ≺ (P′, χ′) se P ≺ P′, ou seja, se |P| ≥ |P′| (independentemente de χ e χ′!).

E. 27.2 Exercıcio. Mostre que isso define uma relacao de pre-ordenamento em X([a, b]) e que isso faz de X([a, b]) um conjunto dirigido. 6

Dada uma funcao real limitada f, definida em [a, b], e dado um par (P, χ) ∈ X([a, b]), com P = {x1,, xn} e
χ = {χ1,, χn−1}, χk ∈ Ik, k = 1, ..., n − 1, definimos a soma de Riemann de f associada ao par (P, χ), denotada

• Somas de Riemann. Integrabilidade de Riemann por S[(P, χ), f], como

Podemos, assim, perguntar-nos se essa rede possui pontos de acumulacao e pontos limite. Notemos que, como R e do tipo Hausdorff, se essa rede possuir um ponto limite, o mesmo e unico (pela Proposicao 26.5, pagina 1154). Essa questao nos conduz a seguinte definicao:

Definicao. Integrabilidade de Riemann Ia. Uma funcao limitada f : [a, b] → R e dita ser uma funcao integravel por Riemann no intervalo compacto [a, b] se a rede X([a, b]) ∋ (P, χ) 7→ S[(P, χ), f] ∈ R possuir um ponto limite S(f) ∈ R.

Se f : [a, b] → R for integravel por Riemann no intervalo compacto [a, b] o limite S(f) e denominado integral de Riemann de f em [a, b]. Como e bem conhecido, a integral de Riemann de f em [a, b] e mais frequentemente denotada11 por ∫ b a f(x)dx, ou seja,

9Para a definicao, vide pagina 42. 10A definicao de rede encontra-se a pagina 1152. Note que X([a, b]) e um conjunto dirigido, pelo comentado acima.

11O sımbolo R foi introduzido por Leibniz, sendo uma estilizacao da letra S, de “soma”.

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χf()6

f(x)

f(
5χf()

Figura 27.1: Representacao da soma de Riemann de uma funcao f no intervalo [a, b] com a particao P = {a =

Nota. Uma possibilidade alternativa seria prover P([a, b]) (e, portanto, X([a, b])) de um outro pre-ordenamento, definido pela inclusao, definindo P≺o P′ se P⊂ P. Essa definicao pode ser tambem utilizada e conduz a uma outra definicao equivalente a Ia acima (que denominamos definicao I), da qual tratamos a pagina 1174 e seguintes. Vide tambem Apendice 27.A, pagina 1207. ♣

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