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Capıtulo 26

Continuidade e Convergencia em Espacos Topologicos

26.1 Primeiras Definicoes1149
26.2 Espacos Hausdorff1151
26.3 Redes e o Caso de Espacos Topologicos Gerais1152
26.3.1 Redes em Espacos Metricos15
26.4 O Limite do Infimo e o Limite do Supremo15
26.5 Continuidade de Funcoes em Espacos Topologicos1159
26.5.1 Outras Nocoes Associadas a de Continuidade1161
26.5.1.1 Homeomorfismos e Mergulhos1161
26.5.2 Outras Caracterizacoes do Conceito de Continuidade em Espacos Topologicos1162
26.5.3 Continuidade e Convergencia1164

Conteudo amos neste capıtulo estudar dois assuntos de grande importancia no contexto de espacos topologicos, a saber, o conceito geral de convervencia (de sequencias ou de redes, vide definicoes adiante) e o conceito geral de continuidade de funcoes. O conceito de convergencia foi introduzido anteriormente para o caso especial de sequencias em espacos metricos (vide Capıtulo 21, pagina 1003). Aqui sera dada particular atencao aos espacos topologicos do tipo Hausdorff.

Todo estudante possui uma nocao mais ou menos clara do conceito usual de continuidade de funcoes reais da reta real.

Aqui, vamos estender este conceito a funcoes entre espacos topologicos gerais. A possibilidade de se estender o conceito de continuidade das situacoes mais comuns e familiares, encontradas na topologia usual da reta real, para situacoes mais gerais e, em verdade, uma das principais razoes pelas quais topologias mais gerais que aquelas produzidas por metricas sao definidas e estudadas. Percebeu-se que, tomados os devidos cuidados, muitos dos resultados passıveis de demonstracao no caso metrico estendem-se tambem para topologias nao derivaveis de uma metrica. Fora isso, aprenderemos, ao elevar o nıvel de abstracao com que o conceito de continuidade e apresentado, que muitas caracterizacoes distintas, gerais e uteis do mesmo podem ser apresentadas. Uma consequencia desse alargamento de horizontes e uma maior facilidade na demonstracao de resultados importantes.

O leitor interessado na nocao de continuidade pode passar diretamente a Secao 26.5, pagina 1159. Sua leitura dispensa a leitura das secoes que lhe precedem exceto, em parte, pela nocao de rede, a qual pode ser colhida na Secao 26.3, pagina 1152.

26.1 Primeiras Definicoes

Dado um espaco topologico X, uma sequencia x e uma funcao x : N → X. Por vezes estamos interessados em considerar uma sequencia apenas atraves de seu conjunto imagem: Imx = {x(n) ∈ X, n ∈ N}. Os elementos da sequencia sao os valores x(n), que frequentemente sao denotados apenas por xn. Com um certo abuso de linguagem e costume referir-nos a sequencia x como sendo {x(n) ∈ X, n ∈ N}, ou denotamo-la por {xn, n ∈ N} ou mesmo por {xn} ou ate apenas por xn. Em geral, essas notacoes sao mais praticas e nao causam confusao. A nocao tradicional de convergencia de uma sequencia em um espaco metrico e a seguinte:

Seja M um espaco metrico com metrica d e seja {an} uma sequencia em M. Dizemos que {an} converge a um elemento a ∈ M se para todo ǫ > 0 existir N ≡ N(ǫ) ∈ N tal que d(an, a) < ǫ sempre que n > N.

Abaixo vamos apresentar uma nova nocao de convergencia de sequencias em espacos topologicos gerais que e equivalente aquela apresentada acima no caso de espacos metricos. Comecemos com duas nocoes uteis. Seja x uma sequencia em X e A ⊂ X.

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1. Dizemos que a sequencia x esta eventualmente em A se existir um natural N ≡ N(A) (que pode eventualmente depender de A) tal que xn ∈ A para todo n > N.

2. Dizemos que a sequencia x esta frequentemente em A se houver infinitos valores de n para os quais xn ∈ A.

Se uma sequencia x esta eventualmente em A, entao ela esta frequentemente em A, mas a recıproca nao e necessari- amente verdadeira. Por exemplo, a sequencia de numeros reais an = (−1)n esta frequentemente no intervalo (0, 2), mas nao eventualmente.

Nota. Nas definicoes aqui apresentadas estamos fazendo uso do ordenamento usual de N. Para o caso geral vide a Secao 26.3, pagina 1152, sobre redes em espacos topologicos. ♣

Definamos agora as nocoes de ponto de acumulacao e ponto limite de uma sequencia x em X, um conjunto dotado de uma topologia τ.

1. Um ponto x em X e dito ser um ponto de acumulacao da sequencia x em relacao a topologia τ de X se x esta frequentemente em todo aberto A ⊂ τ que contem x.

2. Um ponto x em X e dito ser um ponto limite, ou simplesmente limite, da sequencia x em relacao a topologia τ de X se x esta eventualmente em todo aberto A ⊂ τ que contem x.

Note que todo limite e um ponto de acumulacao, mas a recıproca nao e verdadeira.

E. 26.1 Exercıcio. Mostre que {−1, +1} sao os pontos de acumulacao da sequencia xn := (−1)n + 1/n, n ∈ N, na topologia usual de R. Essa sequencia tem limites nessa topologia? E a sequencia xn := 1/n2, n ∈ N? 6

E. 26.2 Exercıcio. Seja uma sequencia r : N → R tal que Imr = Q (tais sequencias existem pois Q e contavel). Mostre que R e o conjunto de todos os pontos de acumulacao de r na topologia usual de R. Mostre que r nao tem limites na topologia usual de R. 6

E. 26.3 Exercıcio. Seja a sequencia do exercıcio anterior, mas agora tome a topologia discreta (R). Mostre que r nao tem pontos de acumulacao nessa topologia se a funcao r for injetora. 6

Se x e um limite da sequencia xn dizemos que xn converge a x e escrevemos x = lim n→∞ xn.

E. 26.4 Exercıcio. Mostre que as duas nocoes de convergencia que apresentamos acima sao equivalentes no caso de sequencias em espacos metricos. 6

O ultimo exercıcio nos afirma a equivalencia, no caso de espacos metricos, dos dois conceitos de convergencia que apresentamos, mas e importante frisar que a convergencia de uma sequencia e fortemente dependente da topologia adotada. Isso pode ser claramente visto no exemplo discutido a seguir.

Uma sequencia {xn} em X e dita ser eventualmente constante se existir x ∈ X e N ∈ N tais que xn = x para todo n > N.

Seja, entao, X um conjunto nao-enumeravel (R, por exemplo) e seja a topologia co-contavel1 em X: τc(X). Entao, nenhuma sequencia que nao seja eventualmente constante tem limites em X em relacao a τc(X). Isso segue do seguinte.

Seja x uma sequencia em X e seja x ∈ X um ponto qualquer e seja ainda A := (Imx)c ∪ {x} = (Imx ∩ {x}c)c . Como

Imx ∩ {x}c e contavel, entao A e aberto em τc(X) e contem x. Porem, x nao esta eventualmente em A se nao for eventualmente constante, pois Imx∩A = Imx∩{x}. Assim, para qualquer x ∈ X podemos achar um aberto que contem x onde x nao esta eventualmente. Logo, nenhuma sequencia x tem limites na topologia considerada.

Um exemplo ilustrativo e o da sequencia xn = 1/n, n ∈ N, em R. Na topologia co-contavel τc(R) essa sequencia nao converge a zero, ao contrario do que ocorre na topologia usual, pois o conjunto A := R \ {1/n, n ∈ N} e aberto, contem x = 0, mas nao contem nenhum elemento da sequencia xn.

1A topologia co-contavel foi definida a pagina 1085.

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Em funcao de exemplos como esses, ha geralmente pouca utilidade no conceito de convergencia de sequencias em certos espacos topologicos nao-metricos. O que entao normalmente se faz nesses casos e considerar uma generalizacao do conceito de sequencia, conhecido como rede (“net” em ingles). Para esse novo conceito ha uma definicao analoga de convergencia que funciona de modo mais efetivo em espacos topologicos gerais. Disso trataremos na Secao 26.3.

26.2 Espacos Hausdorff

Vamos neste momento introduzir um conceito que sera retomado na Secao 28.2, pagina 1229, mas que esta intimamente ligado ao discutido acima.

Um espaco topologico H dotado de uma topologia τ e dito possuir a propriedade de Hausdorff2 se para quaisquer pontos distintos x, y ∈ H existirem dois abertos Ax e Ay em τ tais que x ∈ Ax, y ∈ Ay mas Ax ∩ Ay = ∅.

Um espaco topologico que tem a propriedade Hausdorff e dito simplesmente ser um espaco Hausdorff, ou do tipo Hausdorff. Vamos primeiro a alguns exemplos de espacos que nao tem a propriedade Hausdorff.

Seja X qualquer com a topologia indiscreta. Esse espaco nao tem a propriedade de Hausdorff. Seja X nao finito com a topologia co-finita. Esse espaco nao tem a propriedade de Hausdorff. Seja X nao-contavel com a topologia co-contavel. Esse espaco nao tem a propriedade de Hausdorff. Para esses dois ultimos exemplos, vide pagina 1086.

E. 26.5 Exercıcio. Prove as afirmativas do ultimo paragrafo. 6

Agora temos a seguinte proposicao: Proposicao 26.1 Todo espaco metrico tem a propriedade de Hausdorff. 2

Demonstracao. Seja M espaco metrico com metrica d, sejam x, y ∈ M distintos e seja r = d(x, y) > 0. Sejam entao os abertos Ax = Bd(x, r/3) e Ay = Bd(y, r/3). Suponha que exista um ponto z ∈ Ax ∩ Ay. Entao, como z pertence ao mesmo tempo a Bd(x, r/3) e Bd(y, r/3), vale que d(x, z) < r/3 e d(z, y) < r/3. Agora, pela desigualdade triangular tem-se r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < 2r/3. Porem, a desigualdade r < 2r/3 e absurda. Daı, nao pode existir qualquer ponto z em Ax ∩ Ay.

Nem todo espaco Hausdorff e metrico. A topologia de Sorgenfrey3 τ[S] de R (pagina 1088) e Hausdorff (prove isso!) mas nao e metrica (vimos isso a pagina 1103).

Chegamos agora a uma propriedade importante de espacos Hausdorff, sejam eles espacos metricos ou nao.

Proposicao 26.2 Uma sequencia em um espaco Hausdorff pode ter no maximo um ponto limite. 2

Prova. Suponha que uma sequencia a em um espaco Hausdorff H com topologia τ tenha dois limites distintos x e y.

Sejam Vx ∋ x e Vy ∋ y dois abertos disjuntos de τ contendo x e y, respectivamente. Que tais abertos sempre existem e garantido pela propriedade de Hausdorff, que esta sendo suposta. Entao, como a converge a x e a y, temos que an ∈ Vx para todo n > N(Vx) e an ∈ Vy para todo n > N(Vy). Logo, an ∈ Vx ∩ Vy para todo n > max{N(Vx), N(Vx)}. Isso contraria a hipotese que Vx ∩ Vy = ∅.

Corolario 26.1 Uma sequencia em um espaco metrico pode ter no maximo um limite. 2

Note que sequencias em espacos Hausdorff podem ter muitos pontos de acumulacao.

E. 26.6 Exercıcio. Seja A a colecao de todos os subconjuntos de R2 do tipo {(x, y) ∈ R2, com a < y < b para −∞ < a < b < ∞} (faca um desenho de um tal conjunto). Seja τ[A] a topologia gerada por tais conjuntos.

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1. Mostre que τ[A] nao e Hausdorff. Para tal, tente ver se e possıvel encontrar dois abertos nessa topologia que contenham os pontos x = (0, 0) e y = (1, 0), respectivamente, mas que nao se intersectem.

2. Mostre que a sequencia xn = (0, 1/n), n ∈ N, tem por limite todos os pontos da forma (x, 0) para todo x ∈ R. (Na topologia usual de R2 o unico limite dessa sequencia e o ponto (0, 0)).

26.3 Redes e o Caso de Espacos Topologicos Gerais

Recordemos a definicao de conjunto dirigido introduzida a pagina 42. Um conjunto I e dito ser um conjunto dirigido se for dotado de uma relacao de pre-ordenamento que denotaremos por “≺”, e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer dois elementos a e b de I existe pelo menos um terceiro elemento c ∈ I tal que a ≺ c e b ≺ c.

Como usualmente, denotaremos alternativamente a afirmacao que a ≺ b por b ≻ a.

Seja I um conjunto dirigido com respeito a uma relacao de pre-ordenamento ≺. Se X e um conjunto nao-vazio, uma funcao f : I → X e denominada uma rede baseada no conjunto dirigido I com respeito a ≺. O estudante deve observar que uma sequencia e uma rede baseada em N, que e um conjunto dirigido com respeito a ordem usual dos naturais.

Redes sao, portanto, generalizacoes da nocao de sequencias e assumem em espacos topologicos gerais um papel semelhante ao de sequencias em espacos metricos. A nocao de rede foi introduzida na Topologia por Moore4 e Smith em 19225. Alguns autores referem-se a redes como sequencias de Moore-Smith.

De modo analogo ao que costumeiramente se faz com sequencias, designaremos uma rede x : I → X por {xλ}λ∈I, por {xλ, λ ∈ I}, ou simplesmente por xλ, sendo I e ≺ subentendidos.

Vamos a algumas definicoes. Seja uma rede {xλ}λ∈I em X com I sendo dirigido por ≺.

1. Dizemos que {xλ}λ∈I esta frequentemente em A ⊂ X se para todo λ ∈ I existir um λ′ ∈ I com λ ≺ λ′ tal que xλ ∈ A.

2. Dizemos que {xλ}λ∈I esta eventualmente em A ⊂ X se existe λ0 ∈ I tal que xλ ∈ A para todo λ ≻ λ0.

3. Se (X, τ) for um espaco topologico, dizemos que x ∈ X e um ponto de acumulacao de {xλ}λ∈I com respeito a τ se

{xλ}λ∈I estiver frequentemente em qualquer τ-aberto que contem x. Nesse caso, dizemos que {xλ}λ∈I acumula-se em x com respeito a τ.

4. Se (X, τ) for um espaco topologico, dizemos que x ∈ X e um ponto limite de {xλ}λ∈I com respeito a τ se {xλ}λ∈I estiver eventualmente em qualquer τ-aberto que contem x. Nesse caso, dizemos que {xλ}λ∈I converge a x com respeito a τ.

O estudante deve notar que essas definicoes correspondem perfeitamente aquelas introduzidas para sequencias a pagina 1149 e seguinte.

• Sub-redes

Seja {xα}α∈I uma rede em X. Uma outra rede {yβ}β∈J em X e dito ser uma sub-rede de {xα}α∈I se existir uma funcao h : J → I tal que

1. yβ = xh(β) para todo β ∈ J, 2. para todo α ∈ I existe β1 ∈ J tal que h(β) ≻I α para todo β ∈ J que satisfaca β ≻J β1.

Acima, ≻I e a relacao de pre-ordenamento do conjunto dirigido I e ≻J e a relacao de pre-ordenamento do conjunto dirigido J.

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Uma situacao de interesse e aquela na qual J ⊂ I. Nesse caso podemos tomar h : J → I como sendo a identidade h(β) = β para todo J e as condicoes acima podem ser fraseadas da seguinte forma: {yβ}β∈J e uma sub-rede de {xα}α∈I se

1. yβ = xβ para todo β ∈ J, 2. para todo α ∈ I existe β1 ∈ J tal que β ≻I α para todo β ∈ J que satisfaca β ≻J β1.

• Redes e convergencia

Se (X, τ) for um espaco topologico e x ∈ X, seja Ix a colecao de todos os τ-abertos que contem x. Entao, Ix e um conjunto dirigido pelo ordenamento parcial definido pela inclusao de conjuntos ⊆.

E. 26.7 Exercıcio. Prove essa afirmacao. 6

Seja (X, τ) um espaco topologico, x ∈ X e B ⊂ X. A colecao Ix, B := {A ∩ B, A ∈ Ix} e um conjunto dirigido pelo ordenamento parcial definido pela inclusao de conjuntos ⊆.

E. 26.8 Exercıcio. Prove essa afirmacao. 6

Esses dois exercıcios nos preparam para as seguintes proposicoes relevantes.

Proposicao 26.3 Sejam (X, τ) um espaco topologico, x ∈ X e Ix a colecao de todos os τ-abertos que contem x. Seja

{xA}A∈I uma rede em X com base no conjunto dirigido Ix. Se a rede {xA}A∈I tiver a propriedade que xA ∈ A para todo A ∈ Ix, entao {xA}A∈I converge a x. 2

A prova e quase imediata pelas definicoes e deixada ao leitor como exercıcio.

Proposicao 26.4 Se (X, τ) for um espaco topologico e B ⊂ X, entao x ∈ B se e somente se existir uma rede em B que converge a x. 2

Prova. Precisamos primeiro provar que se x ∈ B entao existe uma rede {xλ}λ∈I que converge a x com a propriedade que xλ ∈ B para todo λ ∈ I. Sabemos que todo elemento de Ix tem interseccao nao-vazia com B, pela definicao de fecho de um conjunto. Assim o conjunto Ix, B, definido em exercıcio acima, e nao-vazio, e um subconjunto de B e e um conjunto dirigido pelo ordenamento parcial definido pela inclusao de conjuntos ⊆. Por uma ligeira variacao da proposicao anterior, e facil ver que qualquer rede baseada em Ix, B e que a cada A ∈ Ix, B associe xA ∈ A converge a x e esta, claramente, contida em B.

Vamos agora provar que se uma rede {xλ}λ∈I com xλ ∈ B para todo λ ∈ I converge a x, entao x ∈ B. Se {xλ}λ∈I converge a x, entao {xλ}λ∈I esta eventualmente em cada aberto A que contem x. Isso implica que cada aberto A que contem x contem elementos de {xλ}λ∈I, que estao em B. Logo, A ∩ B 6= ∅, provando que x ∈ B.

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